2021中考數(shù)學_最值問題100題(教師版)

1、2021中考數(shù)學最值問題1001.如圖3.1所示，在Rs."C中，44=30。，=4,點。為邊的中點，點尸為邊KC上的動點，則尸8+尸Z）的最 小值為（）A.小 B. 2& A. 2。 A. 4/91.解 延長8C至點8 ,使3c = 5C,連接4P、5 A,如圖4.1所示，：.AC 垂直平分 BB , ： BA = BA，1 C 平分 /BAB.V ZCAB = 3OC,，NB A8 = 60°,； MBB 為等邊三角形.丁點尸為上一點，： PB = PB , ： PB + PD = PB +PDNBD,當且僅當8、尸、。在同一直線上時，如圖4.2所示，心+尸。取

2、得最小值.在 R/A405中，AO = 1a8 = 2, ZB AB = 60°,BD = AD tan 60° = J3AD = 25/3 ,2故答案是C.思路點撥：這是典型的“將軍飲馬”型線段和最值問題，利用對稱法將動線段構造至動點P所在直線的兩側；根據(jù)“兩點之間線 段最短”找到最小值位置，利用勾股定理進行計算即可.拓展 若點。為邊.空上任意一定點，則依舊可以根據(jù)勾股定理和60。特殊角計算8。的長度；若點。是邊,43上 的一動點，則3。將變?yōu)橐粭l動線段，利用“垂線段最短”可確定最值位置還是在中點處.2 .如圖3.2所示，在矩形.138中，48=5,.43,動點尸滿足:加

3、=卜.心鳥，則點尸到."兩點距離之和E妊尸8 的最小值為.3 .解令點尸至的距離為d丁 Sx%8 =§S班開維e = qx3x5=5=2 4 5 , /. d = 2, 點尸為到48距離為2的直線、4上的點.直線4、4關于結對稱，因此選其甫一條進行計算.作點3關于直線4的對稱點8,連接AC、BP、AB如圖4.3所示,： PA + PB = PA + PB NAB ,當且僅當d、P、3三點共線時取得最小值，如圖4.4所示.在R/AA陽中，A3 = 5, BB =2d=4.：.AB =AB2 +BB2 =6 +4?=而， 故以+總的最小值是4T.圖43圖4.4思路點撥：這是典型

4、的“將軍飲馬”型線段和最值問題.根據(jù)題目中中給出的而積關系，可判斷點P的運動軌跡為宜線（或稱為 “隱線”）：利用釉對稱的性質，構造對稱點3,，再運用線段公理獲得不等式：根據(jù)勾股定理計算最值A4'.4 .如圖3.3所示，在矩形43C。中，切=3,點、E為邊AB上一點、，AE=1,平面內動點尸滿足5皿=手中吆，則 DP EP|的最大值為.CE圖3.33 .解令點尸至L/的距離為a: SAB = §S矩物se > :, d =2 '點產在到,43距離為2的直線，上，如圖4.5所示.作點E關于直線4的對稱點E，連接£力并延長交直線乙于點尸，連接EP,如圖4.6

5、所示, ： EP = EP.當點尸在直線4上時，DP EP = DP E P<E D.當且僅當。、£'、尸三點共線時取得最大值+12 =啦.當點尸在直線4上時，|。尸-七尸|«石。，當且僅當E、尸三點共線時取得最大值，如圖4.7所示.在義AIDE中，AD = 3, A£ = l,DE =百 +:=聞, A DP - EP| < ED = V10 ,，當點尸為DE的延長線與直線12的交點時有最大值 M.思路點撥：解法向題2,需要找出滿足條件的點尸所在的“隱線”，這里兩條直線均要考慮(因為圖形不對稱).由于兩邊之差小 于第三邊，在共線時取得最大值，

6、故遵循“同側點直接延長，異側點需對稱后再延長”的規(guī)律，分別計算最大值并進 行大小比較.特別說明筆者認為這里的最大值只能取一個值.改編此題的目的是讓大家不要忽略矩形外的“隱線”，畢竟題中敘述 點尸時用的是“平面內”，而非“矩形內二4 .已知y =一 2x + 2 + JF +2x + 2 ,則y的最小值為.5 .解 原式;=(x-1)" +(0-1)' + yl(X +1)* + 0 - (-1).建立平面直角坐標系，設尸(x,0),5(-1,-1),貝k/在X軸的兩側，% =+(0-1)2 ,夕8 =小 + 1+0_(_1)了,A y = J(x_lf +(0T)2 + J(

7、x + 1)2 +0_(T)于=PA + PB 之 AB,當,4、P、8三點共線時，y值最小,ymln = AB = 272 .思路點撥：若將式子看作函數(shù)，對于初中生來說解題難度較大.若換個角度，將每一個根式都看作是兩點間的距離(距離公式是 平而直角坐標系中的勾股定理)，則將問題轉化為我們熟悉的幾何最值模型兩點之間線段最短.6 .已知 y =3> +9 «x -1)2 +4 ,則 y 的最大值為.7 .解 原式二J(x-3)2 +(0_3/-/if +(0-2)2建立平面直角坐標系，設尸(x,0), A(3,3), 8(1,2),A PA = (x-3)2 +(0-3f , P

8、B =- if +(0_2',A)，=+(0_3/+(0-2)2 = PA-PBS AB ,當,4、尸、8三點共線，即點尸在45延長線上時y值最大，I. %ax =A8 = 7T思路點撥：閱讀題目時需觀察清楚或"一”，切不可盲目下筆.本題與題4形式相似，解法相近，但是又有所不同.將代數(shù)式轉 化為平面直角坐標系中的兩條線段的差；利用三邊關系中的兩邊之差小于第三邊，共線時取等找到最大值.8 .如圖3.4所示，在等腰RtzUBC中，ZBAC=90°, AB=AC. BC=4日 點。是邊乂3上一動點，連接CQ,以 .1D為直徑的圓交CD于點£則線段BE長度的最小值

9、為.解：連接HE,取乂。得中點產，連接石產，如圖4.8所示 二4。是圓的直徑，ZAED=900：.ZJEC= 90°：.EF=-AC=22點E的軌跡為以點下為圓心的圓弧(圓的定義)：.BE>BF-EF當且僅當8、E、F三點共線時等號成立，如圖4.9所示 在 RtdABF 中，dF*=2, 43=4：.BF= JafTaB = JR/ =2 y/5 , ，（3% =BF-EF=2 卡-2思路點撥閱讀題目時要找到三條關鍵信息：點E為圓周上一點，,如所對的圓周角是90。，/。石。是平角，連接4E后就 找到了定弦定角（或斜邊上的中線），若一個角的度數(shù)和其所對的一條線段均為定值，則這個角

10、的頂點的軌跡為圓 （根據(jù)題目需求判斷是否需要考慮兩側）.因此判斷出點E的軌跡是圓（不是完整的圓，受限于點D的運動范圍）.根 據(jù)三角形的三邊關系，知3、E、尸三點共線時BE取得最小值.7.如圖3.5所示，正方形.138的邊長是4,點E是邊鋁上一動點，連接CE,過點8作5GLCE于點G,點尸 時邊,48上另一動點，則尸D+PG的最小值為.解：取得中點尸，連接GF,作點。關于,45的對稱點。，連接。F、DA,如圖4.10所示.：.DP=DfP,/BGC=90。，點F為8c的中點：.GF=-BC=2 2 PD+PG =PD'+PGRG又 D'G+GFD'F：.PD +PG+GF

11、>jDfF- GF如圖4. 11所示，當且僅當O'、P、G、尸四點共線時取得最小值.根據(jù)勾股定理得D1F= 斤W =2岳：.PD+PG的最小值為2 JT5 2思路點撥不難發(fā)現(xiàn)N8GC=90。是個定角，因此點G的軌跡為以3C為直徑的圓（部分），可以通過斜邊上的中線構造長 度不變的動線段，再利用三邊關系求解.8.如圖3.6所示，在矩形中，乂3=2, JZ>=3,點E、F分別為邊。上的點，且EF=2,點、G為EF 的中點，點尸為邊8。上一動點，貝ijRt+PG的最小值為.AED解：作點4關于3c的對稱點W,連接尸、DG,如圖4.12所示 ：.PAf=PA：.PA+PG=PAf+P

12、GV ZADC=90 EF=2：.DG=EF=2yPAPG+DGD:.Pf+PGID-DG如圖4. 13所示，當且僅當、尸、G、。四點共線時等號成立根據(jù)勾股定理得 'D= y/AAf2+AD2 = 42ABy + 心=5，E4+PG的最小值為4思路點撥與題7的已知條件是相似的，解法幾乎一致，抓住核心條件，線段 成始終不變，線段"所對的角為直角， 因此斜邊上的中線。G始終不變，從而判斷出點G的軌跡圖形為圓.利用軸對稱的性質將線段和最小值問題轉化為 點到動點的距離最小值問題，再根據(jù)圓外一點到圓周上一點的距離最值求解.9.在平面直角坐標系中，4（3, 0）, BQ 2）, C（0,

13、，項,0）,且加+川=4,若點E為CD的中點，則H3+3E 的最小值為（）A. 3B. 4C. 5D. 25解：VC（0,機），。（”，0）,m2+“2=4,：.CD2=4.：.CD=2在RmC。中，點E為CD的中點，OE=1,即點E在以。為圓心，1為半徑的圓上.作圖4.14,連接。區(qū) 過點乂作直線尸2的對稱點/，連接力夙。，（3, 4）:AB+BE=B+BE=4B+BE+EOEglO-EO如圖4.15所示，當且僅當4、B、E、。四點共線時等號成立.根據(jù)勾股定理得$。=釬 =5"4B+3E的最小值為4AvA'AvA'思路點撥根據(jù)兩點之間的距離公式/+2=CD2,得到C

14、D的長度；由己知條件判斷出。石為斜邊上的中線，0石=，8 2(定值)；根據(jù)圓的定義可知點E的軌跡是以坐標原點為圓心、；CD為半徑的圓：利用對稱的性質將線段和的最值 問題轉化為圓外一點到圓周上一點的距離最值問題.10.如圖3.7所示，13=3, 乂。=2,以8C為邊向上構造等邊三角形BCD,則.10的取值范圍為解:以,45為邊向上作等邊連接。E,如圖4.16所示:AB=BE, CB=BD, /ABC= /EBD=60°- /CBE在和E3Q中AB = BE,< NABE = NEBD.CB = BD.：41BCdEBD(SAS)：.DE=AC=2點。的軌跡是以點石為圓心，2為半徑

15、的圓.：.AE-ED<1D<1E+ED如圖4.如和圖4.1三3518所示，當且僅當乂、E、。三點共線時取得最值思路點撥這樣理解.43=3, ,4C=2這個條件：固定一邊NCAB可以自由變化，因此點。的軌跡是以點乂為圓心、 2為半徑的圓.通過構造全等圖形找出點。的運動軌跡.利用圓外一點到圓周上的距離最值來解決問題.拓展本題的解法較多，對于“定點+動點”的最值問題，探究動點的軌跡圖形時直接的方法.11.如圖3.8所示，乂8=3, HC=2,以8c為腰（點8為直角頂點）向上構造等腰直角三角形BCD貝hm的取值范 國為:圖3.8解答：以一鋁為腰做等腰直角及"E （乙48丘90。）

16、，連接。七，如圖4.19所示,圖4.19:AEn&B=30, NABC=/EBD=90° NCBE,在aABC和aEBD中AB = BE/.ABC =乙 EBDCB = BD:ABgAEBD （SAS）：.ED=AC=2，點。的軌跡為以點石為圓心、2為半徑的圓：.AE - EDLD mE+ED如圖4.20和圖4.21所示，當且僅當A,如。三點共線時取得最值,，3四一2三33后+2思路克援：鐳咫方讓基本同e延，也聶通過拘造全等的找出點。的也動就達e, 1利用®外一點初回閶e的距您12.如圖 3.9 所示，AB=4, 4C=2,以BC為底邊向上構造等腰直角三角形BCD,

17、則AD的取值范圍為D圖3.9解答:圖 4.22以空為底邊構造等腰直角aAEB （NAE8=90。），連接。E,如圖4.22所示,:AeEaB=2®, NEBA=NCBD=45。2 處=里=近】EB DB乙ABC =乙EBD = 45° 一（CBE:./XABCsLEBD：.DE=AC=y/2.點。的軌跡為以點E為圓心、V2為半徑的圓AE-EDSADSAE+ED如圖4.23和圖4.24所示，當A、E、。三點共線時取得最值圖4.23圖4.24：.y/2<.lD<3y/2思路立握：與前而高通彳的蠱，由孑旄菇中2彳自是冢建三6超預保的頂點，0此構造全等號的武成倍道代似例

18、 的，而撥出點。的已動氣也，爰后根漏外一點卻閭R的距憊是心條解決向咫13.如圖3.10所示,A8=4, AC=2,以BC為底邊向上構造等腰直角三角形BCD,連接AD并延長至點P,使AD=PD, 則PB的取值范圍為，圖3.10解答：以,鋁為底邊構造等腰直角“反（44七8二90。），連接。E,如圖4.25所示,圖4.25，J£=£43=2技 NEBA=NCBD=45° 2些="=夜 /JEB DB ABC =乙EBD = 45° CBE b:AABCsAEBD：.DEAC=y/2 .點。的軌跡為以點E為圓心、V2為半徑的圓延長AE至點Q，使A丘EQ

19、,連接PQ、BQ, 9：AD=DP.，OQ=2DE=2萬如圖423和圖424所示，當A、E、。三點共線時取得最值 BE 垂直平分 MQ, ：.AB=BQV ZQAB=45% ABQ為等腰直角三角形，,BQ=AB=4 .-.5Q-PQ<P5<5Q+PQ如圖4.26和圖4.27所示,當8、P、Q三點共線時取得最值：.4-2y/2<PB<A+2>/2思路點就：注意打點尸的產生與中點有關，點p的隹動5點2r摑解“左一起，斂可通國構造中色在束赳斷點尸的這 動九邊，a利用弱外一點到尚e的距條是3家解貨同咫14.如圖3.11所示，正六邊形A8C£花尸的邊長為2,兩頂點

20、A、8分別在x軸和v軸上運動，則頂點。到坐標原點 O的距離的最大值和最小值的乘積為:解答：取.43的中點G,連接。G、0G,如圖4.28所示,1ky圖4.28,:乙408= ZxOj=90°, :. 0G= ：AB= 1,連接。8、ODOC5為等腰三角形VZC=120%，NOBC=30。，DB=WDC=26,AZDBA=120°-30°=90°在 RSDGB, GB=1, ：.DG=yjDB2 + GB2 = J(2於)? + M =后:.DG - OG<OD<OG+DG當且僅當O、G、。三點共線時取得最值D、G在點O同側時取得最大值，在點O

21、異側時取最小值，如圖4.29所示,圖4.29.V13-1<OD<V13 + 1.0。的最大值和最小值乘積為(VH -1)(713 + 1)=12號路正加：過個連“端價”型向跳，寵例孑秘孑夫陳a黑動，將他/求為平面金扇生標多，過樣轉動的星荏步大型 黃方面；利用“繕”盧隹的金自，以己也彳求的繾點，行出043的中點G,利用劍己上的中俵0G初臺翌囪定 的苻聲.。、G案他遭芮除大J彳衣、C2正我化的凄0.OG、DG,利用司經之“與鬲已之去莊到0。的是£魚“星J 俗；另糜再：利用彳£對迨動的知物，或的偎襤2六邊彩足彳爽的，生杼疑可以俁卷2六已超逵動；利用/乂03=90

22、76;, AB=29月所出點0的心動凱選為一個，k04.30所3,02圖4.30利用圓外一點到圓周上的距憊轉.便解居OD的量之住加是J保；崔老可以行封"彩門15.如圖3.12所示，A8=4,點O為A3的中點，0O的半徑為1,點P是。O上一動點，aPBC是以PB為直角邊 的等腰直角三角形（點P、B、。按逆時針方向排列），則AC的取值范圍為：圖 3.12解答：如圖4.31所示，以08為腰向上構造等腰直角O8Q,連接OP、CQ、AQ：在等腰直角小股和等腰直角產。中，胎=需=技 ZQBO=45°, :./CBQ=45。- /QBP=NPBO, AACBQAPBO點C在以點Q為圓心，

23、心為半徑的圓上, ZOQ=O5=OJ=2, ZQOB=90° AQ=4AQ? + OQ2=2 y/2 AQ-QC<AC<AQ+QC如圖4.32和圖4.33所示，當且僅當A、。、Q三點共線時取得最值,圖4.32圖4.33:迎S yj2恩路立旗：出孑aPBC強優(yōu)定，苻個動點尸、Ca點3的距需之吮能點彳或，過是地技望型的色似簇酢，出可理 鐳巧立尸、C鬼辨''族超；族據(jù)通程中，點。的就妝多點尸的凱超依似，相例吮為痣：1；利用汽似族出動點C %也的® p, AC的貴俗印定立M知定固上一動點的距密的錠.住16.如圖3.13所示，0O的半徑為3, RtzUBC

24、的頂點乂、3在。上，Z5=90%點C在。內，且tanJ=2 .當點4A在圓上運動時，0C的最小值為（）答案：連接。3,過點B向下作8DJ_O8, KlBD=ioB,連接JD,如圖4.34所示.V NCBA = NOBD=90。, ：. ZO5C=90°-ZOBA=ZDBA.££ = ££ = 3, :aocbssab,，空=3. AB BD 4AD 44D>OD-OA = >1OB- + BD2 -OA=2,當且僅當。、.4、。三點共線時取得最值， 333A0C=-.W>-x2=_.圖 4.34思路點撥艮是比較典型的位似旋轉問

25、題，我們利用相似的性質將OC的最值問題轉化為XQ的最值問題.通過旋轉型相似構造RsOBD,其中/。8。=90。. /ODB=/CAB,因此點。為定點.另外，由OCBsaEUB得到OC和之間 的固定比例，從而可利用-W的最值求解。的最值一m的最值即為圓外一點到圓周上一點的距離最值.另辟蹊徑根據(jù)直徑所對的圓周角為90。，找到直徑乂。，而/乂8=180。一/,4。8為定值，因此由定弦定角得出 點C的軌跡為圓弧，可根據(jù)圖435所示計算OC的最小值.圖 4.3517 .如圖3.14所示，在平面直角坐標系中，。(3, 4),點P是以。為圓心、2為半徑的。上一動點，乂(1, 0), B(- b 0)，連接刈

26、、尸"則用2+尸爐的最小值是答案：連接0尸、QP、OO.如圖4.36所示.設尸(x, >).根據(jù)兩點距離公式得工用2=(丫-1)2+丁，尸爐=(x+l)2+V，：.Rl2+PB2=2x2+2y+2=2(x2+y)+2.：.OP= &2 + y2 ,工。產2=/+科 ,EW+尸產=2。尸?+2,要求E42+尸爐的最小值，即求op的最小值，也就是求。尸的最小值，。&O0P。, 如圖4.37所示，當且僅當0、P、。三點共線時取得最值， ，0尸=5-2=3,，上#+尸¥=2。尸2+2*32+2=20.思路點撥根據(jù)小2+尸¥這樣的形式，產生兩個聯(lián)想，一

27、是勾股定理，二是坐標公式.要使用勾股定理，就得把總和尸3 構造為兩條直角邊，在題圖中難以實現(xiàn)，所以轉而利用坐標公式表達，我們便發(fā)現(xiàn)23+尸*與OP2的聯(lián)系，而。尸 的最小值即圓外一點到圓周上一點的距離最小值.弦外之音 我們會發(fā)現(xiàn)，雖然點尸在動，但。尸始終是.45尸邊上的中線，且乂8是個定值，我們可以直接利用 中線長公式得到用2+產爐=2。產+ 且，接下來的計算和上面是一致的.公式的應用有助于對思路的拓展，因此學 4有余力的同學可以自行推導中線長公式(僅用勾股定理即可).18 .如圖3.15所示，兩塊三角尺的直角頂點靠在一起，BC=3, EF=2, G為。E上一動點.將三角尺QEF繞直角頂 點尸

28、旋轉一周，在這個旋轉過程中，B、G兩點的最小距離為.B C（FK /圖3.15 E答案：在 RsD£產中，CE=2, ZCDE=30°,:.DF=2& DE=4.如圖4.38所示，當點G與點。重合時，CGmax=DF=2,當 CG工DE 時，CGmin=h= 2,DE 4工 V3<CG<2>/3.當CG=3時，以C為圓心、CG為半徑的圓恰好經過點B.在£）由旋轉的過程中，點G會經過點B.因此，當8G恰好重合時，8G取得最小值為0.圍路點撥這是個“特別”的題，點G是。E上一動點，因此在轉動的過程中，點G的軌跡不是線而是面，這個而的形狀為 以

29、點。為圓心、分別以CGm力和為半徑的同心圓環(huán)，點3也在這個“面軌跡”中，因此3G的最小值為0.19 .如圖 3.16 所示，在 RtAJBC 中，乙/C=90。，ZJC5=30°, BC=2 0、與ZU5c 關于,4C 對稱，點 E、R分別是邊。C、上的任意一點，且DE=C尸，BE、OF相交于點尸，則。尸的最小值為（）A.l B.小 C -D.2D答案：連接3。，如圖4.39所示.JDC 與AlSC 關于乂C 對稱，ZACB=30°,:.BC=CD, NBCD=60。.二mC 是等邊三角形,:BD=CD, ZBDC=ZBCD=60在3QE 和QCF 中，BD = CD, Z

30、BDC=ZBCD, DE=CF.：.應）四QCF（£均，A ZBED=ZDFC./ ZBED+ ZP£C= 180°, /. ZPEC+ ZZ）FC= 180°,A ZDCF+ ZEPF= NDCF+ NBPD = 180。.V ZDCF= 60°, A /BPD =120°丁點尸在運動中保持N8PD=120。，點產的運動路徑為以H為圓心、,IB為半徑的120。的弧.當C、尸、乂三點共線時，。產能取到最小值，如圖4.40所示，密4。-3尸=2,即線段。尸的最小值為2.思路點撥需要熟悉等邊三角形中的常見全等圖形.因為點尸在運動中保持/班

31、少=120。，3。又是定長，所以點尸的路徑 是一段以點，為圓心的弧，于是將CP的最小值轉化為圓外一點到圓上一點的距離最小值.20.如圖3.17所示，smO= |,長度為2的線段DE在射線。4上滑動，點。在射線。8上，且OC=5,則CDE周 長的最小值為.答案：過點C作CCQE且連接"，如圖4.41所示， ，四邊形CC功為平行四邊形，：.CE=CD.作點C關于OA的對稱點C”,連接CTE、CD CC,:CE=C"E, ：.CDCE=CE+ CE= CE+ CnE>CC9,當且僅當C、E、。'三點共線時取得最值，如圖4.42所示.YCC關于CU對稱，垂直平分CC”

32、，:.9=2CF= 2OC 汕0=6.在 Rs。中，CC”=2加,/. CDE周長的最小值為2加 + 2.思路點撥因為DE為定值，所以CQE周長的最小值問題轉變?yōu)镃D+CE的最小值問題似收馬“非“飲馬”，注意觀察, 這是一定兩動問題.利用平移將動線段。葉壓縮”為一個動點；軸對稱后根據(jù)兩點之間線段最短找到最小值線段，再 根據(jù)勾股定理計算即可解決問題.21、如圖3.18所示，在矩形.188 中，.48=6,在邊乂3上運動，MN=3, X產=2, BQ=5,則尸M+MN+N0的最小值是>圖 3.18解：作QQ'=MN=3,作點0關于直線乂3的對稱點連接P0,連接。九、QM ,作?！?，0

33、4于 點H,如圖4.43所示，二四邊形MV00為平行四邊形，QM =QM ,PM + NQ + MN =PM+QM+3>PQ +3,如圖4.44所示，當尸、"、。"三點共線時，PM+Q M取得最小值。: Q。關 于 對稱，=。=28。= 10 , 田三80=5,，PH=AP+AH=2+5=7° 在 RMHQ中,HQ =AB-QQ =3, /. PQPHrHQ? =6+3?=屈, /.尸M+MV+N。的最小值為3+ V58 o圖443圖 4.44思路點撥：作。A8,使得Q0=MN=3,作點。關于."的對稱點。，連接尸?！?，當尸、M、Q三 點共線時，尸

34、A/+MV+N0的值最小。作。力，DA,利用勾股定理求出尸。即可解決問題。22、如圖3.19所示，在等腰直角三角形,48C中，乙4c3=90。，乂3=6,。為，坊的中點，E為8上的點，且CE=2DE,尸。為.鋁上的動線段，PQ=L尸為HC上的動點，連接E。、FP,則石。+抄的最小值為 0圖 3.19解：過點E作E?尸0,取上？=尸。=1,作點E快于的對稱點石，連接ER E"P,如圖4.45所示，二 四邊形 EEF0 為平行四邊形，E'P=E”P, ：.E'P=EQ、，EQ+FP=E'P+FP=E”P+FPNE”F,如圖 4.46 所示，當且 僅當E“、P、尸三

35、點共線且時取到最小值。當？'FL4c時，設？E”與，口的交點為G, E“尸與的交 點為H,如圖4.47所示?與E”關于,43對稱，,E”G=E，G=ED=L，AG=2 - NK=45。，/. NFH4 = NE"HG=45。,/T，HG=E”G=1, .AH=AG-HG=lo 在等腰直角切和HGE”中，/田=1, HG=1,，F(xiàn)H=±, E”H=0 /. 2E"F=E"H+FH= 42，二當 EHF±AC 時，E"F 取得最小值為。22思路點撥：作EEFPQ,取在=尸。，構造平行四邊形，將石。十q的長度轉化為EF小沖的長度來找

36、最小值. 作對稱點，構造“將軍飲馬”模型，再利用“垂線段最短”求出最小值。與題21類似，本題也要將線段尸0壓縮”為一 個點，屬于平移后求垂線段長度的問題，23、如圖3.20所示，在正方形X3CZ）中，.13=4, E、F分別為.13、的中點，和尸。分別是邊3C、CD 上的線段，MN=P0=1,依次連接及W、NP、QF、EF,則六邊形EMNP0尸周長的最小值為。解：分別過點£尸作8C、8的平行線，截取E?=FF=MV=P0,作點？關于3c的對稱點E，點F關于 CD的對稱點尸”，連接EN、E”N、FT、PR 如圖4.48所示，四邊形EENM和四邊形"丁。為平行四邊形， ，EM=

37、E'N,尸。=戶7 .點、E”關于8c對稱，N為BC上的點，E，N=E"N,同理，F(xiàn)WP“六邊形EMNPQF 的周長=EM+M¥+NP+P。+尸0+EK 其中MV、PO.石產為定值，要求周長最小值即求EM+NP+F。的最小值0. EM+NP+FQ=E“N+NP+F”PNE”F如圖4.49所示，當E”、M尸、尸''四點共線時取到最小值。嵬立如圖4.50所 示的坐標系，由題意得點E的坐標為（0, 2）,二？（1, 2）,.E（1, -2）0同理可得產"（6, 3）,二夕尸”=50 .TE=AF=2. EF= 6 AE= 26,，六邊形EKVP0

38、F的周長最小值為7點+2,思路點撥：本題中有兩條定線段平移，那我們就仿照上兩題的方法平移兩次即可。分別構造平行四邊形EE'MM 和平行四邊形尸F(xiàn)尸。，將六邊形EMVP0F的周長最小值問題轉化為？W+NP+FT的最小值問題（屬于“郵差送信” 問題），依舊作出對稱點，根據(jù)兩點之間線段最短求出最小值°這里求解最小值時用到了平面直角坐標系，這是“偷 懶”的一種計算方法，相當于在平面直角坐標系的背景下應用勾股定理，亦可根據(jù)勾股定理求解與題21,題 22相比，本題是兩次平移后的“兩點之間距離”問題。24、如圖3.21所示，在矩形.438中，.鋁=2, 3C=4, £> F

39、分別為，8。上的動點，且EFLNC,連接,小、 CE,則NF+CE的最小值為 o解：過點C作CG/EF,且CG=EF,連接FG、，G,如圖4.51所示，二四邊形ECG尸為平行四邊形，:.EC=FG。 在圖4.52中，過點B作BHEF,二四邊形3尸即 為平行四邊形，二E尸=8/九,.EALMC,二及45。6/乂/，二 BH： AC=EF:AC=1B:BC.綜上所述，CGJ_HC 且 CG三防二喬，二 G 為定點，乂F*CE=X尸竹GNMG,如圖 4.53 所示，當工尸、G三點共線時取到最小值。在矩形.488中，,48=2, BC=4, .7。=后77 = 2褥，RtACG 中，JG=7aC2+C

40、G2 = 5o1思路點撥：本題要求兩條線段和的最小值，而對分開的兩線段不易判斷最值的問題，所以需要將它們合并起來， 可采用的方法是全等轉換，我們這里使用的是平移變換。將線段CE平移至以點F和另一個固定點G為端點的線段 位置，即可根據(jù)兩點之間線段最短解決最小值問題.25、如圖3.22所示，在三438 中，JD=7,，8=2、6，ZB=60°, E是邊BC上任意一點，沿AE剪開，將沿8。方向平移到£)中的位置，得到四邊形,回則四邊形.何。周長的最小值為 0解：如圖 4.54 所示，將，麻：平移，二 aABEqADCF,，AE=DF, BE=CF.在FBCD 中，AD=BC, :

41、.AD=EF, 二四邊形,因D的周長=Z4P+2J£=14+Z4£。如圖4.55所示，當時，HE取得最小值。在於及鋁。中，Z 8=60。，.J£=，Asin6O°=3,二四邊形IE尸D周長的最小值=14+6=200圖4 54思路點撥：四邊形,®IX依舊是一個平行四邊形，周長等于2 (JZ)+,4E),故將四邊形HEFD周長的最小值問 題轉化為.4E的最小值問題°根據(jù)“點到直線，垂線段最短”即可解決問題，26.如圖1所示，在R048C中，NA4C=90。，.48=4, ,4C=3,點。、E分別是4c的中點，點G、F在BC邊 上(均不與端

42、點重合)，0G七R將BDG繞點。順時針旋轉180。，將尸繞點E逆時針旋轉180。，拼成四邊形MGFN,則四邊形MGEM周長/的取值范圍是圖1#«圖126 .解：由題意得 :.NM=NDGB,:.AMU/BG,，四邊形MGFN為平行四邊形， ：.1=2 (GF+GM).:GF=MN= BG+CF=BC-GF,： GF= - BC二， 22: GM=2DG,.，當OG取得最小值時，四邊形MGFN的周長最??；同理，當OG取得最大值時，四邊形MGFN周長最大. 如圖1和圖2所示，當。G,8c時，OG取得最小值；若點G與點8重合，則OG取得最大值.NB是公共角,： aBDGsbCA,：.BD

43、： BC=DG : AC, 6:.DG= 一 ,56：.-<DG<2,549/. </< 13 5思路點撥：四邊形MGFN為平行四邊形，而GF為定值，所以將周長的取值范圍問題轉化為線段OG (EF) 的取值范圍問題，當OG1.3C時OG取得最小值：由于點G、F與端點均不重合，因此最大值取不到.27 .如圖1所示，在RtA48C中，NAC8=90。，CDL4B,若CO=3,則Sm比的最小值為27.解：取45的中點£連接CE,如圖1所示,圖1：.CE=-AB. 29： CD A.AB,.：.CE>CD,"928=6,當且僅當。為的中點時取到最小值，

44、Sa.曲的最小值為9.思路點撥8為定值，則當乂8最小時，Smbc取得最小值.根據(jù)“斜邊上的中線等于斜邊的一半''和"垂線段最短“，找到當。為 -15的中點時，.43取得最小值為2G>直角三角形中斜邊上的中線是一個比較容易被忽略的知識點，尤其是在需要 主動去構造的時候.28 .如圖1所示，在平面直角坐標系中，以坐標原點。為圓心、2為半徑畫。，尸是。上一動點且點尸在第一象 限內，過點尸作。的切線與x軸相交于點以與丁軸相交于點名 則線段,45的最小值是.#： 0Q AB. 29：OP<OQ.：.-AB>OP.2：.AB>4,即AB的最小值為4,此時A

45、08為等腰直角三角形.思路點撥要求A8的最小值，只需取A8的中點，求出斜邊上的中線的最小值，根據(jù)“垂線段最短”，48的最小值在0P與斜 邊上的中線重合時取到.29.如圖1所示，在矩形A8CQ中，BC=8, AB=6,經過點8和點。的兩個動圓均與AC相切，且與A3、BC、 A。、0c分別交于點G、H、E、F,則EF+GH的最小值是.圖129.解：設切點為N,連接。必OM作出乂。邊上的高DW,如圖1所示.圖1 ? Z.WC= 90% 成為。的直徑，JC=762 +82 =10,:.EF=OD+ONDM,當且僅當切點為點”時竊取到最小值，:.EF廿 DM=2八一 =4.8.AC 10 :矩形為中心對

46、稱圖形，同理，GHn-EFmin = 4.8, (EF+GE)mn = 96恩路點撥雖然目標式是"+G8的組合形式，但是觀察后發(fā)現(xiàn)兩個線段可獨立求解最值.由于矩形為中心對稱圖形，因此成 和GH的最小值顯然是相等的，于是將問題轉化為求 ”的最小值，注意到EF是圓的直徑，根據(jù)“垂線段最短“，可 知圓的最短直徑是,48斜邊上的高線.30.如圖1所示，在中，ZC=90°, AC=4, BC=3點D、E分別為AC、8C邊上的動點，且OE=3,以OE 為直徑作。O，交AB于M、M則MN的最大值為.圖130.解：過點O作0GLi5,連接ON、CO,如圖1所示,圖113* ON=r= _

47、DE= _ , 22：.GN=GM=-MN.2在RsOGN中，GO-OG2.其中ON為定值，故當OG取最小值時，GN取得最大值，即取得最大值.過點C作CH1AB.在 R3.15C 中，4C=4, BC=39 AB 5.： S&ABC= -AC BC= - CH AB, 22：.CH=<CO+OG.5. “ 1239.OG> =, 一 5210.rv _ 尸 296V 210512AdNmax = 2 GNmax =.J思路點撥。上為定值，即。的半徑為定值，故當弦MN上的垂徑最短時，取得最大值，根據(jù)“垂線段最短”找出OG最短 時垂足的位置.31.如圖3.28所示，在肋ABC中

48、，NA = 90。，AB = 3, AC = 4,。為AC的中點，。為AB上的動點，將點P繞點。逆時針旋轉90。得到點尸，連接CP',則線段CP'的最小值為 o22二pf圖 3.28解：如圖4.62所示，過點/作PE'_LAC于點£,則NA = NPED = 90。 由題意可得QP=P'。，NPDP' = 90°,ZADP = EP D在四和P'Q中ZADP = ZEP'D< ZA = ZP'EDDP = DP' *AAZMPAPTDCAAS)，PE = AD = 2:.CP'NPE當AP

49、 = O£ = 2,即點E與點C重合時，CP' = P'E = 2, J線段CP的最小值為2 32.如圖3.29所示，已知NA/QN = 30。，B為OM上一點、,8ALQN于點A，四邊形鉆8為正方形，P為射線BM 上一動點，連接CP,將CP繞點C順時針旋轉90。得到CE,連接若AB = 4,則4石的最小值為解：連接也>，如圖4.64所示在正方形 ABC。中，CD = BC, 48 = 90。 由題意得 PC = CE, ZPCE = 90°,:.乙BCE = NDCP = 90' + 4BCP在3CE和£>(¥中BC

50、 = CD< 4BCE = ZDCPCE = CP *.BCEA27CP(SAS)，BE = PD如圖4.65所示，當尸D1.QW時，PQ取得最小值在m ZkAOB 中，ZO = 30°:.OA = EAB = 46在放OOP中，PD = -OD = -(OA + AD) = 2>/3 + 2, 22的最小值為2G+ 233 .已知梯形中，AD! IBC , AB IBC 9 AD= ,3c = 4。若夕為線段AB上任意一點，延長PQ到點E,使DE = 2PD,再以PE、PC為邊作OPCQE,如圖3.30 所示，則對角線尸。的最小值為>值解：如圖4.66所示V PE

51、 / ICQ. 2PD = DE:.XPFDsXqfc.DF _PD _PF _1正=詼=瓦=?:.PF=：PQ, DF = DC 即尸為。的四等分點(定點) 如圖4.67所示，當時，依取得最小值，PQ也取得最小 如圖4.68所示，過點。、產分別作3c的垂線段，垂足分別為點 :.DM/IFN，四邊形為矩形A DM = AB = 3, BM=AD = ：.MC = 3YF為。四等分點為CM四等分點3:.MN =43 7:.PF = BN = +，= -4 4:.PQ = 4PF = 7，PQ的最小值為7434 .如圖3.31所示，在ABC中，AC = 10, C = 30。，點P是射線AB上的一

52、個動點，cos ZCm=-,點。是5射線PM上的一個動點。則。長度的最小值是B P圖 4.69解：如圖4.69所示，當CP«L4V時，C尸最小同理，當CQLPM時，CQ最小由于cosNCPM為定值，CP、。同時取得最小值 在用ZkAPC中，AC = 10, NE4c = 30。：.CP = -AC = 5 2：.CQ = yCP2-PQ2 =3C。的最小值為3235 .如圖3.32所示，直線y = 1x + 4與x軸、），軸分別交于點A和點3,點。為線段08的中點，點C、夕分別為 AB、OA上的動點，當PC + PD最小時，點。的坐標為圖 3.32解：作點。關于x軸的對稱點沙，連接P

53、£T、O'C,如圖4.70所示/. PD = PD'，PD + PC = PD'+PCND'C如圖4.71所示，當。，P、C三點共線且。'C_LA3時，PD+PC取得最小值:.NCO'5 + ZA3O = 90°:./CD' B = ZBAO : Z4O8 = ZPQ£>' = 90。：.4AB0sAd'P0：.OA:OD' = OB:OP 直線y = gx + 4與坐標軸交于點A、B 3(0,4) , A(-6,0)，0（0.2）。、。'關于X軸對稱 0'（02

54、）A Ot4 = 6, 。3 = 4, OD' = 2 :.OP =.當尸C+尸。最小時，pj-1,036.在平面直角坐標系中，原點O到直線2a4的最大距離為（）36 .解 產辰-2M4y=k （x-2） +4.當工=2時,）=4,故無論上為何值，直線必過（2, 4）.如圖4.72所示，過點。無論作直線丸、/）、/；的險垂足分別為-4、B、C,其中點d為定點（2, 4）.在如ZU3O 中，OA>OB同理，OA>OC.當且僅當at，/時，點。到直線/的距離最大，最大值即。乂= 萬方=2行.思路點撥題中直線雖然是動直線，但是只含有一個參數(shù)上進行化簡后，可以找到一定點（2, 4）

55、不受k的影響.根據(jù) “直角三角形中斜邊大于直角邊“，所求最大距離為原點到定點的距離.弦外之音動直線過定點和動點定軌跡的問題其實偏向高中的解析幾何，卻又在初中經常出現(xiàn)，注意下而兩3 5種形式的點和直"：如A （2?/. -3計4）,動點A經過直線v=-3x+巳：又如直線/：42息-3什1.經過定點223（一 . 1）,要學 見察題目中這些“動中有靜”的信息，才能快速找到解題的思路.237 .如圖3.33所示，在直角坐標系中，。（0, 0）, A （7, 0）, B （5, 2）, C （0, 2）, 一條動直線/分別與8C、OA 交于點E、F,且將四邊形。/C分為面積相等的兩部分，則點

56、C到動直線/的距離的最大值為.Ay37.知識儲備過梯形中位線中點的直線(經過梯形的上底和下底)將梯形分為面枳相等的兩個梯形. 證：如圖4.73所示，在梯形中，E、尸分別為3c的中點，連接工廠交。的延長線于點G VAB/CD.:.NBAF=NG, ZB=ZFCG.在下和aGCF中，ZBAF = ZCGF< ZABF=ZGCFBF = CF：41BFAGCF (£tS), :AB=CG, AF=GF.,:E為AD的中點，J.EF/DG.：.EF=-DG=- (CD+CG) =- (JB-CD),222即梯形的中位線等于1 (上底+卜底).2如圖4.74所示，。為E尸的中點，尸0經過點。分別與上底、下底交于點尸、Q,過點。作MAUCD /.四邊形APQD和四邊形BPQC也是梯形.5梯除巾0 = )(AP+DQ) MN=EOMN,S梯形即備=；(BP+CQ),MN=FO.MN,又。為EF的中點，:EO=FO, q = q 。梯北訃PC0 一。梯開融。C，經過點。的直線平分梯形X8CQ的面積.解 取0C和.空的中點G、H,連接GH.取GH的中點M、如圖4.75所示，：.G (0, 1), H (6, 1),：.M (3, 1).當直線,經過點河時，梯形而枳被平分.當CMLEF時，