初中數(shù)學(xué)《最值問題》典型例題-(1)

1、1初中數(shù)學(xué)最值問題典型例題一、解決幾何最值問題的通常思路兩點(diǎn)之間線段最短；直線外一點(diǎn)與直線上所有點(diǎn)的連線段中，垂線段最短；三角形兩邊之和大于第三邊或三角形兩邊之差小于第三邊（重合時(shí)取到最值）是解決幾何最值問題的理論依據(jù)，根據(jù)不同特征轉(zhuǎn)化是解決最值問題的關(guān)鍵通過轉(zhuǎn)化減少變量，向三個(gè) 定理靠攏進(jìn)而解決問題；直接調(diào)用基本模型也是解決幾何最值問題的高效手段.幾何最值問題中的基本模型舉例軸 對稱 最值圖形/BlA、/IIP1M N1原理兩點(diǎn)之間線段最短兩點(diǎn)之間線段最短三角形三邊關(guān)系特征A, B 為定點(diǎn)，1 為定直 線，P 為直線 1 上的一 個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求 AP+ BP 的 最小值A(chǔ), B 為定點(diǎn)，1 為定

2、直線，MN 為直線 I 上的一條動(dòng)線段，求 AM+BN 的最小值A(chǔ), B 為定點(diǎn)，1 為定直線，P為直線 1 上的一個(gè)動(dòng) 點(diǎn)，求AP-BP|的最大值轉(zhuǎn)化作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定 直線l 的對稱點(diǎn)先平移 AM 或 BN 使 M , N 重合，然后作其中一個(gè)定 點(diǎn)關(guān)于定直線 I 的對稱點(diǎn)作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定 直線1 的對稱點(diǎn)折 疊最 值圖形ABNC原理兩點(diǎn)之間線段最短特征在厶 ABC 中，M , N 兩點(diǎn)分別是邊 AB, BC 上的動(dòng)點(diǎn)，將 BMN 沿 MN 翻折， B 點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為 B，連接 AB，求 AB的最小值.轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化成求 AB + BN+NC 的最小值、典型題型1.如圖：點(diǎn) P 是/ AOB

3、 內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn) M、N 分別在邊 OA、OB 上運(yùn)動(dòng)，若/ AOB=45 OP =3.2,則厶 PMN【分析】作 P 關(guān)于 OA, OB 的對稱點(diǎn) C,D .連接 OC,OD .則當(dāng) M,N 是 CD 與 OA, OB 的交點(diǎn)時(shí)， PMN 的周長最短，最短的值是 CD 的長根據(jù)對稱的性質(zhì)可以證得： COD 是等腰直角三角形，據(jù)此即可求解.【解答】解：作 P 關(guān)于 OA, OB 的對稱點(diǎn) C, D .連接 OC, OD .則當(dāng) M , N 是 CD 與 OA, OB 的交點(diǎn)時(shí)， PMN的周長最短，最短的值是 CD 的長. PC 關(guān)于 OA 對稱，/ COP=2 / AOP , OC=OP同理，/

4、 DOP=2 / BOP , OP = OD2/ COD= / COP+ / D0P=2 (/AOP+ / BOP) =2 / AOB=90 OC=OD . COD 是等腰直角三角形.貝 U CD =2OC= Q $湮=6.A【題后思考】 本題考查了對稱的性質(zhì)，正確作出圖形，理解 PMN 周長最小的條件是解題的關(guān)鍵.2._ 如圖，當(dāng)四邊形 FABN 的周長最小時(shí)，a=【分析】因?yàn)?AB, PN 的長度都是固定的，所以求出PA+NB 的長度就行了.問題就是 PA+NB 什么時(shí)候最短.把 B 點(diǎn)向左平移 2 個(gè)單位到 B 點(diǎn)； 作 B 關(guān)于 x 軸的對稱點(diǎn) B ， 連接 AB ， 交 x 軸于 P

5、,從而確定 N 點(diǎn)位置, 此時(shí) PA+NB最短.設(shè)直線 AB 的解析式為 y=kx+b，待定系數(shù)法求直線解析式即可求得a 的值.【解答】 解：將 N 點(diǎn)向左平移 2 單位與 P 重合，點(diǎn) B 向左平移 2 單位到 B(2, - 1),作 B 關(guān)于 x 軸的對稱點(diǎn) B ”,根據(jù)作法知點(diǎn) B (2, 1),設(shè)直線 AB 的解析式為 y=kx+b,1 =2k b則，解得 k=4 , b= - 7.-3=k b y=4x- 7 .當(dāng) y=0 時(shí)，x=，即 P (, 0), a=.444故答案填：-.4Z 0?0)JlJ ,.0【題后思考】 考查關(guān)于 X 軸的對稱點(diǎn)，兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí).33._ 如

6、圖，A、B 兩點(diǎn)在直線的兩側(cè)，點(diǎn) A 到直線的距離 AM=4，點(diǎn)B 到直線的距離 BN=1，且 MN=4, P 為 直線上的動(dòng)點(diǎn)，|FA- PB|的最大值為.N p【分析】作點(diǎn) B 于直線 I 的對稱點(diǎn) B,則 PB=PB 因而|PA - PB|=|PA - PB 則當(dāng) A, B、P 在一條直線上時(shí)， |PA - PB|的值最大.根據(jù)平行線分線段定理即可求得 PN 和 PM 的值然后根據(jù)勾股定理求得 FA、PB的值， 進(jìn)而求得|FA - PB|的最大值.【解答】 解：作點(diǎn) B 于直線 I 的對稱點(diǎn) B,連 AB并延長交直線 I 于 P. B N=BN=1 , 過 D 點(diǎn)作 B D 丄 AM ,

7、 利用勾股定理求出 AB、=5 |PA- PB|的最大值=5 .【題后思考】 本題考查了作圖-軸對稱變換，勾股定理等，熟知兩點(diǎn)之間線段最短”是解答此題的關(guān)鍵.4.動(dòng)手操作：在矩形紙片 ABCD 中，AB=3, AD=5 .如圖所示，折疊紙片，使點(diǎn) A 落在 BC 邊上的 A 處， 折痕為PQ,當(dāng)點(diǎn) A 在 BC 邊上移動(dòng)時(shí)，折痕的端點(diǎn) P、Q 也隨之移動(dòng).若限定點(diǎn) P、Q 分別在 AB、AD 邊 上移動(dòng)，則點(diǎn) A 在BC 邊上可移動(dòng)的最大距離為E_C【分析】本題關(guān)鍵在于找到兩個(gè)極端，即BA 取最大或最小值時(shí)，點(diǎn) P 或 Q 的位置經(jīng)實(shí)驗(yàn)不難發(fā)現(xiàn)，分別求出點(diǎn) P 與 B 重合時(shí)，BA 取最大值

8、3 和當(dāng)點(diǎn) Q 與 D 重合時(shí)，BA 的最小值 1 .所以可求點(diǎn) A 在 BC 邊上 移動(dòng)的最大距離為 2.【解答】 解：當(dāng)點(diǎn) P 與 B 重合時(shí)，BA 取最大值是 3,當(dāng)點(diǎn) Q與 D重合時(shí)(如圖)， 由勾股定理得 A C=4， 此時(shí) BA取最小值為 1 . 則點(diǎn) A在 BC邊上移動(dòng)的最大距離為 3 - 1=2 .故答案為：2E _CA.:-(O)【題后思考】 本題考查了學(xué)生的動(dòng)手能力及圖形的折疊、勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)，難度稍大，學(xué)生主要缺 乏動(dòng)手操作習(xí)慣，單憑想象造成錯(cuò)誤.5._如圖，直角梯形紙片 ABCD , AD 丄 AB, AB=8, AD=CD=4，點(diǎn) E、F 分別在線段 AB、AD

9、 上，將 AEF 沿 EF 翻折，點(diǎn) A 的落點(diǎn)記為 P.當(dāng) P 落在直角梯形 ABCD 內(nèi)部時(shí)，PD 的最小值等于 _.4EF 最大，且點(diǎn) A 落在 BD 上時(shí)，PD 最小；根據(jù)勾股定理求出BD 的長度，問題即可解決.【解答】解：如圖，當(dāng)點(diǎn) P 落在梯形的內(nèi)部時(shí)，/ P=ZA=90四邊形 PFAE 是以 EF 為直徑的圓內(nèi)接四邊形，只有當(dāng)直徑 EF 最大，且點(diǎn) A 落在 BD 上時(shí)，PD 最小, 此時(shí) E 與點(diǎn)B 重合；由題意得：PE=AB=8,由勾股定理得：2 2 2BD =8 +6 =80, BD= 4.,5,以翻折變換為方法，以考查全等三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用為 動(dòng)中求靜，以靜制動(dòng).

10、6.如圖，/ MON=90 矩形 ABCD 的頂點(diǎn) A、B 分別在邊 0M , ON 上，當(dāng) B 在邊 ON 上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A 隨之 在 0M 上運(yùn)動(dòng)，矩形 ABCD 的形狀保持不變，其中 AB=2 , BC=1，運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn) D 到點(diǎn) 0 的最大距離 為【分析】取 AB 的中點(diǎn) E,連接 OD、0E、DE，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得0E= AB ,2利用勾股定理列式求出 DE，然后根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊可得0D 過點(diǎn) E 時(shí)最大.【解答】 解：如圖，取 AB 的中點(diǎn) E,連接 OD、0E、DE ,/MON=90 , AB=2 OE=AE= AB=1,2/ BC=1，

11、四邊形 ABCD 是矩形, AD=BC=1 , DE= .2 ,根據(jù)三角形的三邊關(guān)系,ODvOE+DE,核心構(gòu)造而成；解題的關(guān)鍵是抓住圖形在運(yùn)動(dòng)過程中的某一瞬間, PD= 4.,5-8.25當(dāng) 0D 過點(diǎn) E 是最大，最大值為2+1 . 故答案為：.2+1 .【題后思考】 本題考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān) 系，勾股定理，確定出 0D 過 AB 的中點(diǎn)時(shí)值最大是解題的關(guān)鍵.定理然后用配方法即可求解.【解答】 解：設(shè) AC=x, BC=4- x,ABC, BCD 均為等腰直角三角形,/ ACD=45 , / BCD =45/ DCE=90 ,2 2

12、212122 2 DE =CD +CE = x +(4 - x) =x - 4x+8= (x - 2) +4,2 2根據(jù)二次函數(shù)的最值，當(dāng) x 取 2 時(shí)，DE 取最小值，最小值為：4.故答案為：2.【題后思考】 本題考查了二次函數(shù)最值及等腰直角三角形，難度不大，關(guān)鍵是掌握用配方法求二次函數(shù)最 值.&如圖，菱形 ABCD 中，AB=2, / A=120。，點(diǎn) P, Q, K 分別為線段 BC, CD , BD 上的任意一點(diǎn)，則 PK+QK【分析】根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，作點(diǎn) P 關(guān)于 BD 的對稱點(diǎn) P:連接 PQ與 BD 的交點(diǎn)即為所求的 點(diǎn) K，然后根據(jù)直線外一點(diǎn)到直線的所有連

13、線中垂直線段最短的性質(zhì)可知PQ 丄 CD 時(shí) PK+QK 的最小值,然后求解即可.【解答】 解：如圖，IAB=2，/ A=120 , PK+QK 的最小值為7.如圖，線段 AB 的長為 4, C 為 AB 上一動(dòng)點(diǎn)，分別以 AC、BC 為斜邊在 AB 的同側(cè)作等腰直角 ACD【分析】設(shè) AC=x, BC=4 - x,根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)，得出CD = x,2CD(4 - x),根據(jù)勾股 CD =2x，CD，=2-2(4 - x),和等腰直角 BCE,那么 DE 長的最小值是點(diǎn) P 到 CD 的距離為 2X6【題后思考】 本題考查了菱形的性質(zhì)，軸對稱確定最短路線問題，熟記菱形的軸對稱性和利用軸

14、對稱確定 最短路線的方法是解題的關(guān)鍵.9._ 如圖所示，正方形 ABCD 的邊長為 1，點(diǎn) P 為邊 BC 上的任意一點(diǎn)（可與 B、C 重合），分別過 B、C、 D 作射線 AP 的垂線，垂足分別為 B、C、D,貝 U BB CC+DD 的取值范圍是_ ._ _ - 一11【分析】首先連接 AC , DP 由正方形 ABCD 的邊長為 1，即可得：SAADP= S正方形ABCD=,22111 _SAABP+ SAACP=SAABC=得 - AP? ( BBCC DD) =1，又由 1*PW. 2，即可求得2 2 2答案.【解答】解：連接 AC , DP.四邊形 ABCD 是正方形，正方形 AB

15、CD 的邊長為 1 ,-AB=CD , S正方形ABCD=1 ,111 SAADP= S正方形ABCD= , SAABP+SAACP= SAABC= S正方形ABCD=,2222- SAADP+SAABP+SAACP=1 ,1 1 ,122AP， 1*pw、2 ,當(dāng) P 與 B 重合時(shí)，有最大值 2; 當(dāng) P 與 C 重合時(shí)，有最小值2.尹缽尹住+ AP?DD=AP? (BB CC，DD =1 ,2故答案為：,3.7一2毛 BCCDDW2【題后思考】 此題考查了正方形的性質(zhì)、面積及等積變換問題此題難度較大，解題的關(guān)鍵是連接W2AC,DP，根據(jù)題意得到SAADP+SAABP+SAACP=1，繼而得到BB CCDDAP810._如圖，菱形 ABCD 中，/ A=60 AB=3,0A、OB 的半徑分別為 2 和 1, P、E、F 分別是邊 CD、OA 和OB 上的動(dòng)點(diǎn)，貝UPE+PF 的最小值是.【分析】禾 U 用菱形的性質(zhì)以及相切兩圓的性質(zhì)得出P