2014級(jí)碩士研究生應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)答案(B卷)

1、北京航空航天大學(xué)研究生課程試卷B2014 2015學(xué)年 第一學(xué)期期末試卷答案學(xué)號(hào)姓名成績(jī)考試日期：2015年1月13日考試科目：應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)（B層）、填空題（本題共16分，每小題4分）設(shè)OX2,，X2n是來(lái)自正態(tài)總體N（N,。2）的簡(jiǎn)單樣本，則c=f 時(shí)，統(tǒng)計(jì)m- (x2k - X2k_0量”=c睛服從F-分布。- (x2k - X2k 1 )k 5 11 n c .2.設(shè)XX2,，Xn是來(lái)自正態(tài)總體N（0,。2）的簡(jiǎn)單樣本，用62 = nX2= Xi）2估 n =計(jì)仃2,則均方誤差 EO?2-2）2 = 2g4 （ 2-4/n ）。I2一 x. X 0 .設(shè)總體X的密度函數(shù)為p（X；e） =

2、 ,其中日0, me，兒是0, X 0,來(lái)自總體X簡(jiǎn)單樣本，則q（e）=e2的矩估計(jì)b=_9x2或2三xi2 。4n y4.在雙因素方差分析中，總離差平方和&的分解式為p q r其中 Se 2 m (Xjk -Xj)2i 1 j 1 k=1St = SaSbSa b a,1 .rXij =-Z Xijk，則 Se 的自由度是 pq(r1)或 n - pq r kd其中n二pqr 。、（本題12分）設(shè)總體X的密度函數(shù)為f（x*） = ；3 , x三（0,1）,其中日0,0, x-(0,1)-1 -北京航空航天大學(xué)研究生課程試卷B-4 -X1,X2，Xn是來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單樣本。（1）求e的

3、極大似然估計(jì)（2）求e的一致最小方差無(wú)偏估計(jì)；（3）問(wèn)日的一致最小方差無(wú)偏估計(jì)是否為有效估計(jì)？證 明你的結(jié)論。解（1）似然函數(shù)為1 二Xi 尸 I0 ：X（1）當(dāng)）：1（X1, X2，,Xn)對(duì)數(shù)似然函數(shù)為求導(dǎo)，有l(wèi)n L(u) - -nln 1lnx In I0 兇獨(dú)咨n)：1(X1,X2,)FlnL(旬c6令=0 ,可得日的極大似然估計(jì)為?= -11 ln Xi 。nn y（2）因?yàn)? n 1 jf(X1,X2, ,Xn；U) n(| Xi 尸 I0 ：X(1)%n)：1(X1,X2, .，Xn)1 i 111 八、n .、=" I0 為1) Rn) ：1(X ,X2,Xn)eX

4、P( -1rjn Xi*.1,u,、1 , h(X) =I0 條1)國(guó)nV(X1,X2，Xn) , w(切=3 -1nT =£ In x ,由于 w(6) i 1n的值域（0,收）有內(nèi)點(diǎn)，由定理2.2.4知T=£ 1nxi是完全充分統(tǒng)計(jì)量。而i 1114E(lnxJ(lnx)x dx 二 一口0 0所以nnEQ lnx)=< E(lnxi);一nui 1i 1nn因而?= -X 1nxi既是完全充分統(tǒng)計(jì)量T =2 1nxi的函數(shù)，又是后的無(wú)偏估計(jì)，由 n i 1i 11 n定理2.2.5知3=£ lnx是H 一致最小方差無(wú)偏估計(jì)。 n ij(3)由于 Var

5、 (的=1Var(ln x1),而 n.d1 dVar(ln x1) = E(ln x1)2 一(E(ln x1)2 = (In x)2x- dx - 2 -120所以Var（的=e2。 n2 一又因?yàn)楫?dāng)xw（0,1）時(shí),從而 Var(3 二=- n nI ("F ln f (x;i)12 ,二工+丁此x ,所以F212。3I最3)二CJv1 n 一,即信息不等式等號(hào)成立，故 ?= L lnx是日的有效 n y估計(jì)。三、（本題12分）設(shè)x1,x2，xn是來(lái)自正態(tài)總體N（匕。；）的簡(jiǎn)單樣本，其中式是 已知常數(shù)，N是未知參數(shù)?？紤]假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題Ho：-0 H1：o（1）求顯著性水平a （0

6、<a <1）下的似然比檢驗(yàn)；（2）求犯第二類(lèi)錯(cuò)誤的概率解：（1）當(dāng)NMN。時(shí)，口的極大似然估計(jì)為f? = minNo,x似然比統(tǒng)計(jì)量為r 1,又下方supp（x1，x2，xn；N）1/ or 1 z x 0x2-1. L!（x1，x2， ,xn）- = exp-（ ） , x 0p（x1,x2，xn； %）2上（2. n,則北京航空航天大學(xué)研究生課程試卷B1, X . % ,(X1,X2, ,xn)13,expU , x 一。即1, U 0,(xi, x2, xn)12exp U , U < 02由于K(x1，”,，xn)的最小值是1,所以當(dāng)Ho成立Mx)遠(yuǎn)離1時(shí)拒絕Ho,即

7、K(x)至c拒 絕Ho,只有在U <0時(shí)才能獲得，因而有Pg (x)-G =P$U £G = ：又由于H0成立時(shí)，U服從N(0,1),因此C1 =Ua=-U1與。故似然比檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量可取為U = 2=，拒絕域?yàn)?W( x1, x2,xn )： U F=0 - 一u1 4。:二 0：二0一,n n(2)二類(lèi)錯(cuò)誤的概率為：二0四、(本題10分)考慮某四因子二水平試驗(yàn)，除考察因子 A,B,C,D外，還需考察交互作用AMB, AxC o今選用表L8(27),表頭設(shè)計(jì)及試驗(yàn)數(shù)據(jù)如表所示，所 考慮指標(biāo)是越小越好。試用極差分析方法指出因子的主次順序和較優(yōu)工藝條件。111111111.0221

8、1122220.78312211221.06412222110.94521212121.12621221211.16722112210.85822121120.973.84.083.624.054.214.053.97K2j4.13.824.283.853.693.853.93Rj0.30.260.660.20.520.20.04因素影 響上次AMB , AM ; A, B , C ; D最優(yōu)方 案A1 B1 C2 D2。BiB2A 1.82CiA 2.281.82C2Ai2.081.72A 1.972.13五、（本題10分）隨機(jī)向量（X1，X2，X3）的相關(guān)系數(shù)矩陣6 P P）R= P 1 P<P1J（1）根據(jù)主成分75%的選取標(biāo)準(zhǔn)，若只選取一個(gè)主成分，求 P滿(mǎn)足的條件-7 -北京航空航天大學(xué)研究生課程試卷B(2)試求第一主成分。解：(1)求特征根| I _R| =- -1-PP-P -1P-P-P -1=(' -1 )2( -1-2。)令| 川R| = 0,可得 =1+2P,=1P, %=1 P。若只選取一個(gè)主成分，只要12->