數學建模碩士分配案例

1、2012年 天津商業(yè)大學數學建模競賽承 諾 書我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網上咨詢等）與隊外的任何人研究、討論與賽題有關的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴肅處理。我們參賽選擇的題號是（從A/B/ 中選擇一項填寫）：參賽隊員 (打印并簽名) ：1.日期： 2012 年 5 月 13 日XXXX大學數學建模競賽編 號 專 用

2、 頁碩士研究生招生指標分配問題分析摘 要本文為碩士生指標分配問題的分析，研究生招生指標分配主要根據指導教師的數量以及教師崗位進行分配。本題附件闡述的是某高校關于研究生名額分配的一些依據的相關信息。然而隨著研究生招生改革方案的出爐，碩士研究生招生指標如何進行優(yōu)化配置還需要深度研究，建立碩士研究生指標分配模型及分析碩士研究生招生指標分配問題的因素是解決本問題的關鍵。針對問題一 ，我們先對附件Excel中的已知數據進行的大量整理分析與處理工作，通過變量的篩選原則，選出一些影響教師崗位的因素。通過使用SPSS做出相關矩陣，進行相關性分析，找出了影響招生分配問題的主要因子。然后我們用Excel做出所需的

3、散點圖，運用趨勢線功能，找出所求函數的公式，從而得出結果。針對問題二，以崗位級別為分類依據，統(tǒng)計各個因素的統(tǒng)計規(guī)律，主要運用Excel軟件，求出各組數據的中值，算術平均值，幾何平均值，標準差，最值等，并做表格歸納統(tǒng)計結果，分析各組數據、尤其是各因素（每個崗位的招生人數、科研經費、發(fā)表中英文論文數、申請專利數、獲獎數、獲得優(yōu)秀論文數量）與崗位級別的相關性規(guī)律。針對問題三，運用層次分析法，列出因素樹狀圖，綜合數據文獻中不同類型碩士的培養(yǎng)目標及方案的側重點等原因，權衡得出題目所給各主要因素對專碩和學碩招生人數影響的相互比值，建立正互反矩陣，運用MATLAB軟件編寫程序，進行矩陣的一致性檢驗、求出各因

4、素權值，從而得出模型公式。Ni=（0.1783*Ai +0.3606*Bi+0.1343*Ci+0.1783*Di+0.2024*Ei）*0.4+（0.0224*Ai +0.3007*Bi+0.1999Ci+0.2228*Di+0.2542*Ei）*0.6針對問題四，考慮到學科的特點和學科發(fā)展的需要引入降崗升崗的創(chuàng)新點。 對每位教師定義如下評分體系：ni Ni ，分別計算五年內每崗位，每學科的每位教師的平均得分、每位教師近兩年情況綜合得分，并進行比較。從而做出升崗降崗處理。計算2012年碩士生招生名額分配時，以新的崗位進行計算。針對問題五，考慮到每年每學科研究生招生人數的名額以及限制不可抗力的

5、自然因素，學生對老師的滿意度，以及學生就業(yè)率等因素的影響，我們分別提出了更加完善的研究生招生指標分配方案的思路。關鍵詞：招生指標分配，層次分析法，MATLAB,降崗升崗。一 、 問題的重述高等學校研究生培養(yǎng)質量、科研水平的高低以及學科建設的成效，與研究生招生指標的的分配密切相關。特別是2011年研究生招生改革方案中，將碩士研究生招生指標劃分為學術型和專業(yè)型兩類。這一改革方案的實施，給研究生教育的發(fā)展帶來了難得的機遇，同時也使研究生管理部門面臨一個新的課題：碩士研究生招生指標如何進行優(yōu)化配置？附件中的數據是某高校2007-2011年碩士研究生招生實際情況。研究生招生指標分配主要根據指導教師的數量

6、以及教師崗位進行分配。其中教師崗位分為七個崗位等級（一級崗位為教師的最高級，七級崗為具備碩士招生資格的最低級）。另外數據表還列出了各位教師的學科方向，2007-2011年的招生數，科研經費，發(fā)表中、英文論文數，專利數，獲獎數，獲得校、省部級優(yōu)秀論文獎數量等信息。請要求參考有關文獻、利用附件的數據建立數學模型，并解決下列問題： 問題一 由于統(tǒng)計數據的缺失，第18、103、110、123、150、168、274、324、335、352位教師的數據不完整，用數學模型的方法將這些缺失的數據補充完整。問題二 以前的碩士研究生名額分配方案主要參考導師崗位級別進行分配。以崗位級別為指標，分析每個崗位的招生人

7、數、科研經費、發(fā)表中英文論文數、申請專利數、獲獎數、獲得優(yōu)秀論文數量的統(tǒng)計規(guī)律，并給出合理的解釋。問題三 根據問題二的結論，提出更加合理的研究生名額分配方案，使得新方案既兼顧到崗位又能兼顧到其他因素，例如研究生的招生類型等，并要求用此方案對2012年的名額進行預分配。問題四 如果在研究生招生指標分配當中，考慮到學科的特點和學科發(fā)展的需要，進行差異分配，請設計調整方案，并用方案給出2012年的調整方案。問題五 如果想把分配方案做得更加合理，你認為還需要哪些指標數據，用什么方法可以完成你的方案？闡述思想。二、基本假設1.假設附表中每位老師在2007年2012年內始終在該學校任教2.假設每位教師在統(tǒng)

8、計數據的五年內沒有崗位等級的變化3.假設學校各方面的政策均不發(fā)生很大改動。4.假設近年碩士招生趨向穩(wěn)定。5.三、主要變量的符號說明四、模型的建立與求解1、問題一分析求解1.1教師各級崗位相關性統(tǒng)計附件Excel中數據中，第18、103、110、123、150、168、274、324、335、352位教師崗位數據不完整。要對其補充完整，我們Excel表做了統(tǒng)計分析。首先，統(tǒng)計一到七級崗教師的相關信息，總結一級到七級的教師總人數，并且運用Excel進行相關分析和回歸分析，求出2007年2011年的招生人數，科研經費，發(fā)表中、英文論文數，專利數，獲獎數，獲得校、省部級優(yōu)秀論文獎數量等的最大值，最小值

9、，極差，算術平均值，以及方差（見附錄表1）例如：一級崗位教師統(tǒng)計相關信息表，如下：表1:一級崗教師相關信息1.2影響教師崗位的因數的SPSS相關性分析題目中指出：“研究生招生指標分配主要根據指導教師的數量以及教師崗位進行分配”。由于Excel的統(tǒng)計分析，教師崗位級別與碩士研究生人數合計的范圍不是純線性相關關系，例如：教師是五年招研究生人數，一級崗位是19-32人之間，二級崗位是12-33。我們不能直觀的通過五年間教師招生研究生人數判斷該教師的崗位級別。從而，我們運用了SPSS對崗位等級，教師總人數，人均五年共帶碩士生人數，人均五年到賬經費，人均英文論文數，人均發(fā)表英文論文影響力，人均發(fā)表中文論

10、文，人均申請專利，人均獲獎個數進行相關性分析。如下表所示：表2：SPSS五年的相關性分析1.3 分析碩士研究生與教師崗位級別的顯著特性運用數學軟件SPSS做相關性分析后，人均五年內的相關性不明顯。查文獻知（見文獻5），2009年碩士研究生招生改革方案有調整，將碩士研究生招生指標劃分為學術型和專業(yè)型兩類，從而各等級教師五年內平均招收研究生數量相關性不大。所以我們對經三年的相關信息，從新用SPSS數學軟件對崗位等級，教師總人數，人均三年共帶碩士生人數，人均三年到賬經費，人均英文論文數，人均發(fā)表英文論文影響力，人均發(fā)表中文論文，人均申請專利，人均獲獎個數進行了相關性分析。如下表所示:表3：SPSS三

11、年的相關性分析由上表可知，教師崗位級別與人均三年帶碩士研究生有很強的相關性。1.4 統(tǒng)計三年內碩士研究生招生人數以及與崗位級別的相關性分析我們以人均三年碩士招生人數為X軸，以教師崗位等級為Y軸運用Excel做出散點圖。如下圖所示：我們運用數學公式：i=2009Xi=S(Xi :表示第i年的該教師的招生人數)n=3運用公式計算出2009年到2011年各位教師的碩士研究生招生人數之和。得出空缺崗位級別的各位教師的近三年的招生人數。記錄人數放入Excel表格中。由散點圖相關性，在Excel表格中，添加趨勢線，擬合函數出來。 添加線性趨勢線，顯示趨勢線的公式 記錄公式：Y=-0.5167x+8.002

12、8添加三次多項式趨勢線，顯示趨勢線的公式記錄公式：Y=0.0012x3-0.0142x2-0.5643x+8.4375 添加指數趨勢線，顯示趨勢線的公式。 記錄公式：Y=添加乘冪趨勢線，記錄公式：Y=22.946x(-1.0058) 添加對數趨勢線，記錄公式：Y=-3.4047lnx+10.483運用空缺崗位為x，有上述記錄的近三年數據，用Excel表格功能，計算出空缺處x的結果，即空缺處教師的崗位等級如下表所示：-0.1634x)1.5 得出結論通過表分析，根據四舍五入原則，可求出缺失的崗位數據：2. 問題二統(tǒng)計規(guī)律2.1 崗位級別與每個崗位招生人數規(guī)律由表中得知，各項數據的算術平均值與中值

13、并不是很接近，而其幾何平均值卻與中值更為接近，故更能準確反應整個總體的趨勢和分布特征。觀察表，由幾何平均值可知：教師等級越高，該教師所招收的碩士研究生名額越多。其中，七崗級幾何平均值不存在，是因為七級崗中存在有教師沒有招收碩士研究生。再由各個崗級的最大值與最小值之間有重疊部分，如一級崗位是19-32人之間，二級崗位是12-33。所以我們也不能簡單的求出各位教師通過崗級就能得出其碩士研究生招收人數。通過標準差可以看出，五級崗的標準差為1.611159，表明五級崗教師所接受的碩士研究生數量相互差異不多。同理六級崗，七級崗位老師相互之間帶的人數差不多。 2.2崗位級別與每個崗位科研經費規(guī)律通過上表的

14、數據分析可得，橫向和縱向到賬經費與崗位等級沒有很明顯的關系。四級崗位，五級崗位，七級崗位2007年到2011年人均到賬經費相對不高，一級崗，二級崗，三級崗人均到賬經費比較接近。然而，六級崗位的到賬經費合計的方差42092.47相對其他崗位差異很大，說明六級崗位的教師研究是項目分布不均勻，而且各個項目的經費也有很大差異。綜合各種因素考慮，到賬經費與教師崗位級別沒有很強的關系。2.3崗位級別與每個崗位發(fā)表中英文論文數規(guī)律通過上述第一個表格，統(tǒng)計崗位級別與中英文論文發(fā)表數量的規(guī)律，首先，每個崗級發(fā)表英文論文中每位老師的平均影響力可知，除二級崗位外，基本規(guī)律是，崗級越高，其英文論文影響力越大。再看各個

15、等級里面人均發(fā)表英語論文的篇數年均，最大值，沒有特別的相關性，但個等級教師最小值都為0，即代表各個等級里的不是每位老師都發(fā)表了英語論文，也就是說，英語論文發(fā)表篇數只是與等級關系，但不是最重要的評判標準。每位老師影響力的方差與極差基本上是正相關。通過第二個表格可知，算數平均值與標準差成正相關關系，相互差距也不多，故能準確反應整個總體的趨勢和分布特征。教師崗位級別越高，該教師發(fā)表的中文論文數越多。崗位級別與每個崗位發(fā)表中文論文數是有著很強的正相關性。 綜合上述，崗位級別與每個崗位發(fā)表中英文論文數是有著正相關性。2.4崗位級別與每個崗位申請專利數規(guī)律由表中得知，各項數據的算術平均值與中值并很不接近，

16、故其不能準確反應整個總體的趨勢和分布特征。通過觀察不難發(fā)現，不管是幾級崗，中值基本上是0，所以也不能反應統(tǒng)計規(guī)律。最大值，最小值分析，其規(guī)律性也不明顯。綜合各組數據可知，崗位級別與每個崗位申請專利數沒有明顯的相關規(guī)律。2.5崗位級別與每個崗位獲獎數規(guī)律有上表數據綜合可知，除去二級崗位外，其算數平均值是隨著剛級別越高，算數平均數越大，也就是說，崗級高低與人均獲獎個數有著正相關性。但考慮到獲獎個數的合計值太小，獲獎數不作為崗位級別的評判依據。2.6崗位級別與每個崗位獲得優(yōu)秀論文數量規(guī)律依據上表可知，由于獲獎率太低，不足以作為崗位級別的評判標準，崗位級別與每個崗位獲得優(yōu)秀論文數量不具有明顯相關性。3

17、. 對問題三的建模與求解3.1分析數據，建立層次結構模型經過對由問題二的結果分析（見附錄表2）。我們知道在研究生名額分配方案影響因素有如下幾個：研究生的類型（專碩與學碩），申請專利數，教師崗位級別，到賬經額，發(fā)表中文論文數，英語論文影響力。我們運用層次分析法，建立起的層次結構模型如下所示：根據上述層次分析建立函數如下：經過查閱文獻知道，2012年專碩與學碩招生比例為4:6。得目標權值=0.4 0.6建立模型公式：Ni=Pi*0.4+Qi*0.6Pi=1*Ai+2*Bi+3*Ci+4*Di+5*EiQi=1*Ai+2*Bi+3*Ci+4*Di+5*EiNi表示第i位老師所帶碩士生人數，Pi表示第

18、i位老師所帶專業(yè)碩士生人數 Qi 表示第i位老師所帶學業(yè)碩士生人數，Ai表示第i位老師所申請（其中專利數，Bi表示第i位老師崗位等級,示第i位老師發(fā)表中文期刊論文篇數, Ci表示第i位老師的到賬經費, Di表Ei表示第i位老師英文論文的影響，j，j表示第i位老師所帶專業(yè)碩士生人數。）3.2、構造并判斷矩陣再通過查閱資料，以及小組討論擬定上述5個因數的兩兩比值，得到以下正負反矩陣。 152456767251354757545315374767435165767547561 111111181012 784 111 453 4117 8 17611 4 105111 865 3115112474學

19、碩正負反矩陣 專碩正負反矩陣通過MATLAB編程得專碩相關數據：（見附錄3）Eigenvalue =5.0867CI =0.0217WI =0.1783 0.3065 0.1343 0.1783 0.2025其中CI為為矩陣的一致性指標，WI為影響專業(yè)碩士的各個因素的權重值。參考判斷一致性的指標CR=CI/RI0.1，用隨機一致性比率CR0.1作為矩陣具有滿意的一致性的判斷。平均隨機RI一致性指標值,并計算得出CR=0.0194 CICI =0.0969 WIWI =0.0224 0.3007 0.1999 0.2228 0.2541其中CI為矩陣的一致性指標，WI為影響學術碩士的各個因素的權

20、重值。參考判斷一致性的指標CR=CI/RI0.1，用隨機一致性比率CR0.1作為矩陣具有滿意的一致性的判斷。平均隨機RI一致性指標值,并計算得出CR=0.08650.1,則判斷學碩正負反矩陣具有一致性。F層總排序權值WI= 0.0224 0.3007 0.1999 0.2228 0.2541代入模型公式：得Qi=1*Ai+2*Bi+3*Ci+4*Di+5*Ei Qi=0.0224*Ai +0.3007*Bi+0.1999Ci+0.2228*Di+0.2542*Ei3.3、給出評分標準，得出模型結果對Ai申請專利數，Bi老師崗位等級, Ci到賬經費, Di老師發(fā)表中文期刊論文篇數,Ei英文論文的

21、影響進行綜合統(tǒng)計分析，給出以下評分標準：12345i= 678910aiaiaiaiaiaiaiaiaiai=0123456789ci=0di=012di=13di=2di=34di=45di=567di=67di98910di17di1810專利因素A1060/750/7因素崗位等級Bi=40/730/720/710/7bi=1bi=2bi=3bi=4 bi=5bi=6bi=712345報賬經費因素Ci6789100ci55ci1010ci2020ci3030ci5050ci100100ci200200ci500ci500發(fā)表中文論文因素Di發(fā)表英文的影響力因素Eiei=0120ei131e

22、i22ei343ei454ei5675ei66ei108910ei1515ei10根據評分標準，由模型公式：Ni=Pi*0.4+Qi*0.6得出最終2012年名額預分配方案：Ni=（0.1783*Ai +0.3606*Bi+0.1343*Ci+0.1783*Di+0.2024*Ei）*0.4+（0.0224*Ai +0.3007*Bi+0.1999Ci+0.2228*Di+0.2542*Ei）*0.64.問題四解析4.1現對每位教師定義如下評分體系：ni= Ni ， 其中ni0,1i()ni=（0.1783*Ai +0.3606*Bi +0.1343*Ci+0.1783*D+0.2024*Ei）*0.4+（0.0224*Ai +0.3007*Bi+0.1999Ci+0.2228*D+0.2542*Ei）*0.6 其中i由于各學科之間受到專業(yè)本身條件限制，發(fā)表論文、申請專利不能用同一標準衡量?，F將各學科別分進行數據處理。以A學科為例：將A學科綜合數據代入公式，取每個等級的平均數作為該科目該等級的參考標準，崗位等級 平均值1 6.9035072 5.4510874 5.0454515 3.912666 3.6962397 3.07119取每位教師近兩年來的數據，計算其ni，與標準做比較，做出降崗與升崗處理。如圖進行降崗與