2020-2021中考數(shù)學(xué)圓的綜合綜合練習(xí)題附答案解析

1、2020-2021中考數(shù)學(xué)圓的綜合綜合練習(xí)題附答案解析一、圓的綜合1.如圖1,已知扇形 MON的半徑為 J2 , /MON=90，點(diǎn)B在弧MN上移動(dòng)，聯(lián)結(jié) BM , 作OD, BM,垂足為點(diǎn) D, C為線段OD上一點(diǎn)，且 OC=BM,聯(lián)結(jié)BC并延長(zhǎng)交半徑 OM于 點(diǎn)A,設(shè)OA=x, /COM的正切值為y.(1)如圖2,當(dāng)AB±OM時(shí)，求證：AM=AC;(2)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出定義域；(3)當(dāng)4OAC為等腰三角形時(shí)，求 x的值.&后圖,14 .2x【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)y2x【解析】分析：(1)先判斷出/ABM=/DOM,進(jìn)而判斷出 OAXBAM,即可得出

2、結(jié)論;x 2 )；(3) x由 1OA OE (3)(2)先判斷出BD=DM,進(jìn)而得出-DM ME,進(jìn)而得出AE=1(8 x),再判斷出BD AE2OC 2DM“，即可得出結(jié)論；OD OD分三種情況利用勾股定理或判斷出不存在，即可得出結(jié)論.詳解：(1) - OD± BM, AB± OM, . . / ODM=/BAM=90°. / ABM+Z M=Z DOM+Z M, :'人 ABM=Z DOM . Z OAC=Z BAM, OC=BM, OAC BAM,.AC=AM .(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)D作DE/AB,交OM于點(diǎn)E.OB=OMODXBMBD=DM.1.

3、DE/AB,DMBDMEAEAE=EM. OM=V2,AE=1(近 x).21. DE/AB,OAOC2DMOEODODDMOAOD 2OEy xm(0<x我)1 -OC 21X .在 RtAODM 中, 21(3) ( i)當(dāng) OA=OC時(shí). DM BM 2OD J'OM 2 DM 2 22 1x2 .1或x瓶八（舍）.22(ii)當(dāng) AO=AC時(shí)，則 /AOO/ACO. / ACO> / COB, /CO&/AOC, . / ACO>/ AOC,，此種情況不存在.(iii)當(dāng) CO=CA 時(shí)，貝U ZCOA=ZCAO=a. / CAO> / M ,

4、Z M=90° - a, . . a> 90° a, a>45 :/ BOA=2 A 90 : : / BOAW 90 °，此種情況不存在.即：當(dāng)4OAC為等腰三角形時(shí)，x的值為 E 衣.點(diǎn)睛：本題是圓的綜合題，主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，圓的有關(guān)性質(zhì)，勾股定 理，等腰三角形的性質(zhì)，建立 y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是解答本題的關(guān)鍵.2 .如圖，已知 4ABC中，AC=BC以BC為直徑的。交AB于E,過(guò)點(diǎn)E作EG,AC于G,交BC的延長(zhǎng)線于F.（1）求證：AE=BE（2）求證：FE是。的切線；（3）若FE=4, FC=2,求。的半徑及 CG的長(zhǎng).【答案】

5、（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析；（3） 3【解析】（1）證明：連接CE,如圖1所示： BC是直徑，/ BEC=90 ； CE!AB;又. AOBG 1- AE=BE.(2)證明：連接OE,如圖2所示：. BE=AE, OB=OC, . OE是4ABC的中位線， . OE/ AC, AC=2OE=6.又EG，AC,.FEI OE,，F(xiàn)E是。的切線.(3)解：.EF是。的切線，F(xiàn)H=FC?FB.設(shè) FC=x,貝U有 2FB=16,FB=8, . BC=FB FC=8- 2=6, . OB=OC=3,即。的半徑為 3;.OE=3.CG 2 I63上十"，解得：CG=J .OE/. &quo

6、t;CS CG FCOEFO點(diǎn)睛：本題利用了等腰三角形三線合一定理，三角形中位線的判定，切割線定理，以及勾 股定理，還有平行線分線段成比例定理，切線的判定等知識(shí).AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) D,點(diǎn)E在3 .如圖，AB是半圓的直徑，過(guò)圓心 。作AB的垂線，與弦OD 上 DCE B .(1)求證：CE是半圓的切線；2(2)若CD=10, tanB 2,求半圓的半徑.3分析：(1)連接CO,由 DCE B且OC=OB導(dǎo) DCE判斷出/BCO+/ BCE=90,即可得出結(jié)論；(2)設(shè)AC=2x,由根據(jù)題目條件用 x分別表示出OA、AD、 列出等式即可.OCB,利用同角的余角相等AB,通過(guò)證明 AODACB,C

7、O./ DCB=180 -°Z ACB=90 : / DCE-+Z BCE=90. °,.OC=OB,/ OCB=Z B.DCE= B,/ OCB=Z DCE/ OCE=Z DCB=90 : OCX CE OC是半徑, .CE是半圓的切線.(2)解：設(shè) AC=2x,_ AC 21 .在 RHACB中，tanB ， BC 3BC=3x.AB 2x 2 3x 2、13x.2 .ODXAB,/ AOD=ZACB=90.°/ A=Z A,3 .AODAACBlAC AO.AB AD1 .13 OA -AB -x,AD=2x+10, 2221 13x2x 2.J13x 2x

8、 10解得x=8.OA -13 8 4 13 . 2則半圓的半徑為4.13.點(diǎn)睛：本題考查了切線的判定與性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形4.如圖，點(diǎn)P是正方形 ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，連接 PA, PB, PC.將 PAB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90°到P'CB的位置.(1)設(shè)AB的長(zhǎng)為a, PB的長(zhǎng)為b(b<a),求 PAB旋轉(zhuǎn)到 P'CB的過(guò)程中邊PA所掃過(guò)區(qū)域(圖 中陰影部分)的面積；(2)若 PA=2, PB=4, /APB=135°,求 PC 的長(zhǎng).t)IT【答案】(1) S陰影=4(a2-b2)；(2)PC=6.【解析】試題分析：(1)依題意，將'

9、 CB時(shí)針旋轉(zhuǎn)90?？膳c4PAB重合，此時(shí)陰影部分面積 二扇 形BAC的面積-扇形BPP的面積，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，兩個(gè)扇形的中心角都是90。，可據(jù)此求出陰影部分的面積.(2)連接PP；根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知： BP=BP；旋轉(zhuǎn)角ZPBP'=90°,則4PBP是等腰直角三 角形，/BP'C=/ BPA=135, /PP'C=/ BP'C-Z BP'P=135°-45 =90°,可推出PP'C是直角三角 形，進(jìn)而可根據(jù)勾股定理求出 PC的長(zhǎng).試題解析：(1)二,將4PAB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到AP' C

10、B位置，.PABAP'CB,Sa pae=Sx p'cb,HS陰影=S扇形bac-S扇形bpp =斗(a2-b2);(2)連接PP,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：APBCP BP.BP=BP ' ,=P' C=PA=2 PBP' =90 ° PBP是等腰直角三角形，p'p2=pb2+P'B2=32；又 / BP C= BPA=135,./PP' CBP'-aBP' P=1355°= 90 ；即 APP'是直角三角形.PgPP" P。'.考點(diǎn)：1.扇形面積的計(jì)算；2.正方形的性質(zhì)；

11、3.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).5.如圖，四邊形 ABCD內(nèi)接于。O,對(duì)角線AC為。的直徑，過(guò)點(diǎn) C作AC的垂線交AD 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E,點(diǎn)F為CE的中點(diǎn)，連接 DB, DF.(1)求證：DF是。的切線；(2)若 DB平分 ZADC, AB=5反，AD : DE=4 ： 1,求 DE 的長(zhǎng).【答案】(1)見(jiàn)解析；(2) 5【解析】分析：(1)直接利用直角三角形的性質(zhì)得出DF=CF=EF,再求出ZFDO=ZFCO=90O,得出答案即可；(2)首先得出AB=BC即可得出它們的長(zhǎng)，再利用4ADC4AC耳得出AC2=AD?AE,進(jìn)而得出答案.詳解：(1)連接OD.OD=CD, . . / ODO/OCD. AC為。的

12、直徑， / ADO/ EDC=90 °.點(diǎn) F 為 CE的中點(diǎn)，DF=CF=EF, . . / FDO/FCD, . / FDO=/FCO.又AC，CE,ZFDO=Z FCO=90°, . DF是。的切線.(2) AC 為。的直徑，Z ADC=ZABC=90°.,DB 平分/ADC,Z ADB=Z CDB, -Ab = ?c，-BC=AB=5V2 在 RtABC 中，AC2=AB2+BC2=100.又. AC，CE . ./ACE=90。，AC AE ADC ACE 1=，AC2=AD?AE.AD AC設(shè) DE為 x,由 AD： DE=4： 1,，AD=4x, A

13、E=5x,.-100=4x?5x,，x=75, .DE=T5.點(diǎn)睛：本題主要考查了切線的判定以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確得出ac2=ad?ae是解題的關(guān)鍵.6.如圖，在RtAAB的，/ABC=90°, AB=CB,以AB為直徑的。交AC于點(diǎn)D,點(diǎn)E是 AB邊上一點(diǎn)(點(diǎn) E不與點(diǎn)A、B重合)，DE的延長(zhǎng)線交。于點(diǎn)G, DF± DG,且交BC于 點(diǎn)F.(1)求證：AE=BF;(2)連接 EF,求證：/FEB=Z GDA；(3)連接GF若AE=2, EB=4,求 A GFD勺面積.【答案】（1） （2）見(jiàn)解析；（3） 9【解析】分析：（1）連接BD,由三角形ABC為等腰直角三

14、角形，求出 / A與/C的度數(shù)，根據(jù) AB 為圓的直徑，利用圓周角定理得到/ADB為直角，即BD垂直于AC,利用直角三角形斜邊1上的中線等于斜邊的一半，得到 AD=DC=BD=bAC,進(jìn)而確定出/A=/FBD,再利用同角的 余角相等得到一對(duì)角相等，利用 ASA得到三角形AED與三角形BFD全等，利用全等三角形 對(duì)應(yīng)邊相等即可得證；（2）連接EF, BG,由三角形 AED與三角形BFD全等，得到ED=FD,進(jìn)而得到三角形 DEF為等腰直角三角形，利用圓周角定理及等腰直角三角形性質(zhì)得到一對(duì)同位角相等，利 用同位角相等兩直線平行，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和同弧所對(duì)的圓周角相等，即可得出結(jié) 論；（3）由全等

15、三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到AE=BF=1,在直角三角形 BEF中，利用勾股定理求出EF的長(zhǎng)，利用銳角三角形函數(shù)定義求出DE的長(zhǎng)，利用兩對(duì)角相等的三角形相似得到三角形AED與三角形GEB相似，由相似得比例，求出 GE的長(zhǎng)，由GE+ED求出GD的長(zhǎng)，根據(jù) 三角形的面積公式計(jì)算即可.詳解：（1）連接 BD.在 Rt ABC 中，ZABC=90°, AB=BC, . . / A=/C=45°.1. AB為圓 O 的直徑，Z ADB=90 ,即 BDXAC, . AD=DC=BD=AC, Z CBD=Z C=45 ,2/ A=/ FBD.DF± DG, ./FDG=90 ： ZF

16、DB+Z BDG=90 °.A FBD ZEDA+Z BDG=90 °, . . / EDA=/FDB.在 AED和 4BFD 中，AD BD ,EDA FDB2 .AEDABFD (ASA) , . AE=BF；(2)連接 EF, BG.3 AAEDABFD, . DE=DF.4 ZEDF=90°,AEDF 是等腰直角三角形，/DEF=45°.5 ZG=Z A=45 °,ZG=Z DEF, ，GB/ EF, . . / FEB=/GBA. /GBA=/GDA,ZFEB=ZGDA；(3) AE=BF, AE=2, .BF=2 .在 RR EBF

17、 中，Z EBF=90 °,根據(jù)勾股定理得:EF2=EB2+BF2. EB=4, BF=2,EF=742 22 =245. 4DEF為等腰直角三角形,DE/EDF=90 ,cosZ DEF=EF- EF=2V5, DE=2 ZG=Z A, ZGEB=ZAED,.GEBAAED, . . GE =空，即 GE?ED=AE?EB,AE EDM?GE=8,即 gE=40 ,5貝U GD=GE+ED=9 - 10 .51S GD DF GD219、10DE 2510 2點(diǎn)睛：本題屬于圓綜合題，涉及的知識(shí)有：全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定 與性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，以及平行線的判

18、定與性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是解答 本題的關(guān)鍵.7.如圖，在以點(diǎn) 。為圓心的兩個(gè)同心圓中，小圓直徑AE的延長(zhǎng)線.與大圓交于點(diǎn)B,點(diǎn)D在大圓上，BD與小圓相切于點(diǎn) F, AF的延長(zhǎng)線與大圓相交于點(diǎn) C,且CE! BD.找出圖中相等的線段并證明.【答案】見(jiàn)解析【解析】試題分析：由AE是小。的直徑，可得 OA=OE,連接OF,根據(jù)切線的性質(zhì)，可得OF± BD,然后由垂徑定理，可證得 DF=BF,易證得OF/ CE,根據(jù)平行線分線段成比例定理，可證得AF=CF，繼而可得四邊形 ABCD是平行四邊形，則可得 AD=BC, AB=CD然后連接 OD、OC,可證得 AAOD2則可得 BC=AD=C

19、E=AE試題解析：圖中相等的線段有： OA=OE DF=BR AF=CR AB=CQ BC=AD=CE=AE 證明如下：.AE是小。的直徑，OA=OE.連接OF,BD與小O O相切于點(diǎn)F, .OFIBD. BD是大圓O的弦， DF=BF. - CE± BD,.CE/ OF, .AF=CE二四邊形ABCD是平行四邊形. .AD=BC, AB=CD.,. CE： AE=OF： AO, OF=AO, .".AE=EC連接OD、OC,-.OD=OC,Z ODC=Z OCD. - Z AOD=Z ODC, /EOC"OEC, Z AOC=Z EOQ.AO* EOG.AD=C

20、EBC=AD=CE=AE【點(diǎn)睛】考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，平行線分線段成比例定理，平行四邊形的判定與 性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí).此題綜合性很強(qiáng)解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思 想的應(yīng)用，注意輔助線的作法，小心不要漏解.8.閱讀：圓是最完美的圖形，它具有一些特殊的性質(zhì)：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，一 條弧所對(duì)的圓周角等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半 先構(gòu)造 輔助圓”，再利用圓的性質(zhì)將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，往往能化隱為顯、化難為易。解決問(wèn)題：如圖，點(diǎn) A與點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是(1,0), (5, 0),點(diǎn)P是該直角坐標(biāo)系內(nèi) 的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).(1)使/APB=30的點(diǎn)P有 個(gè)；(2)若點(diǎn)P在y軸正半軸上，且/A

21、PB=30,求滿足條件的點(diǎn) P的坐標(biāo)；(3)設(shè)sin/APB=m,若點(diǎn)P在y軸上移動(dòng)時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P有4個(gè)，求m的取值范 圍.【答案】(1)無(wú)數(shù)；(2) (0, 23 、7)或(0, 2出；(3) 0<m< 23【解析】試題分析：(1)已知點(diǎn)A、點(diǎn)B是定點(diǎn)，要使/APB=30°,只需點(diǎn)P在過(guò)點(diǎn)A、點(diǎn)B的圓 上，且弧AB所對(duì)的圓心角為 60。即可，顯然符合條件的點(diǎn) P有無(wú)數(shù)個(gè).(2)結(jié)合(1)中的分析可知：當(dāng)點(diǎn) P在y軸的正半軸上時(shí)，點(diǎn) P是(1)中的圓與y軸的 交點(diǎn)，借助于垂徑定理、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)即可求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).(3)由三角形外角的性質(zhì)可

22、證得：在同圓或等圓中，同弧所對(duì)的圓周角大于同弧所對(duì)的圓外角.要/APB最大，只需構(gòu)造過(guò)點(diǎn) A、點(diǎn)B且與y軸相切的圓，切點(diǎn)就是使得 /APB最 大的點(diǎn)P,由此即可求出 m的范圍.試題解析：解：(1)以AB為邊，在第一象限內(nèi)作等邊三角形ABC,以點(diǎn)C為圓心，AC為半徑作OC,交y軸于點(diǎn)P1、P2.在優(yōu)弧 AP1B 上任取一點(diǎn) P,如圖 1,則/APB=1 / ACB=1 X 60=30°, .使 / APB=30 ° 的點(diǎn) P 22有無(wú)數(shù)個(gè).故答案為：無(wú)數(shù).(2)點(diǎn)P在y軸的正半軸上，過(guò)點(diǎn) C作CGJ±AB,垂足為 G,如圖1.點(diǎn) A (1, 0)，點(diǎn) B (5, 0

23、) , .OA=1, OB=5,，AB=4.點(diǎn) C 為圓心，CG± AB, /.AG=BG=-AB=2 . . OG=OA+AG=3 2 ABC 是等邊三角形，AC=BC=AB=4,CG=；AC2""AG2=42 22=2j3,點(diǎn) C 的坐標(biāo)為(3, 2J3).過(guò)點(diǎn)C作CD，y軸，垂足為D,連接CP2,如圖1 .二點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3, 2，3), .CD=3, OD=273 .Pi、巳是。C與 y 軸的交點(diǎn)，/ ARB=/AP2B=30°. CP2=CA=4, CD=3, ，DP2=432' = ".點(diǎn) C 為圓心，CD)± P

24、1P2,PiD=P2D=V7 ,Pi (0, 273+77) , P2 (0, 2瓜-幣).(3)當(dāng)過(guò)點(diǎn)A、B的。E與y軸相切于點(diǎn)P時(shí)，/APB最大.理由：可證： /APB=/AEH,當(dāng)/APB最大時(shí)，/AEH最大.由sinZAEHk 得當(dāng) AEAE最小即PE最小時(shí)，/AEH最大.所以當(dāng)圓與 y軸相切時(shí)，/APB最大./APB為銳角， .sin/APB隨/ APB增大而增大，.連接EA,彳EHI±x軸，垂足為H,如圖2. OE與y軸相切于點(diǎn)P,. PE±OP. EHXAB, OPXOH, . / EPO=/POH=/EHO=90 ； . .四邊形 OPEH是矩形，. . O

25、P=EH,2 2PE=OH=3,EA=3. sinZ APB=sinZAEH= ,，m 的取值氾圍是 0m.3 3T 卡 / - f fJ小圖1-圖2點(diǎn)睛：本題考查了垂徑定理、圓周角定理、勾股定理、等邊三角形的性質(zhì)、矩形的判定與 性質(zhì)，切線的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)等知識(shí)，綜合性強(qiáng).同時(shí)也考查了創(chuàng)造性思維，有一 定的難度.構(gòu)造輔助圓是解決本題關(guān)鍵.9.如圖，在 RtABC中，C 90 , AD平分/BAC,交BC于點(diǎn)D,點(diǎn)O在AB上，OO經(jīng)過(guò)A、D兩點(diǎn)，交AC于點(diǎn)E,交AB于點(diǎn)F.(1)求證：BC是。的切線；(2)若。O的半徑是2cm, E是弧AD的中點(diǎn)，求陰影部分的面積(結(jié)果保留兀和根號(hào))【解析

26、】 【分析】(1)連接(2)連接 【詳解】(1)連接1)證明見(jiàn)解析OD,只要證明OD/AC即可解決問(wèn)題；OD. OA=OD,/ OAD=Z ODA.OE, OE交AD于K.只要證明4AOE是等邊三角形即可解決問(wèn)題. Z OAD=Z DAC,ZODA=Z DAC, ，OD/ AC, . . / ODB=/C=90 ； . . OD,BC, . BC是OO的切線.(2)連接OE, OE交AD于K.Ae De，ad./OAK=/ EAK, AK=AK, Z AKO=Z AKE=90 ； .AK必AKE, ，AO=AE=OE, .AOE是等邊三角形，ZAOE=60°,.SmS 扇形 oae-

27、 Sa aoe 602- - 22 V3 .36043【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定、扇形的面積、等邊三角形的判定和性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)、 全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí) 解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型.10.已知：如圖，在四邊形 ABCD中，AD/BC.點(diǎn)E為CD邊上一點(diǎn)，AE與BE分別為 /DAB和/CBA的平分線.(1)請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件 ,使得四邊形 ABCD是平行四邊形，并證明你的結(jié) 論；(2)作線段AB的垂直平分線交 AB于點(diǎn)O,并以AB為直徑作OO (要求：尺規(guī)作圖，保 留作圖痕跡，不寫(xiě)作法)；(3)在(2)的條件下，。交邊AD于

28、點(diǎn)F,連接BF,交AE于點(diǎn)G,若AE=4,2）作出相應(yīng)的【答案】（1）當(dāng)AD=BC時(shí)，四邊形ABCD是平行四邊形，理由見(jiàn)解析;圖形見(jiàn)解析；（3）圓O的半徑為2.5.【解析】分析：（1）添加條件AD=BC,利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形為平行四邊形驗(yàn)證即可；（2）作出相應(yīng)的圖形，如圖所示；（3）由平行四邊形的對(duì)邊平行得到AD與BC平行，可得同旁內(nèi)角互補(bǔ)，再由AE與BE為角平分線，可得出 AE與BE垂直，利用直徑所對(duì)的圓周角為直角，得到AF與FB垂直，可得出兩銳角互余，根據(jù)角平分線性質(zhì)及等量代換得到/AGF=/ AEB,根據(jù)sin/AGF的值，確定出sin/AEB的值，求出AB的長(zhǎng)，即可確定出圓的

29、半徑.詳解：（1）當(dāng)AD=BC時(shí)，四邊形 ABCD是平行四邊形，理由為：證明：AD/ BC, AD=BG四邊形ABCD為平行四邊形；故答案為：AD=BC;（2）作出相應(yīng)的圖形，如圖所示；(3) .AD/BC, / DAB+/ CBA=180 ；.AE與BE分另1J為/ DAB與/CBA的平分線, / EAB+Z EBA=90 ,°/ AEB=90 ； AB為圓O的直徑，點(diǎn)F在圓。上，/ AFB=90 ,° / FAG+Z FGA=90 ,° . AE 平分 / DAB,Z FAG=Z EAB,/ AGF=Z ABE,- sin Z ABE=sinZ AGF=,5

30、AB.AE=4,.AB=5,則圓O的半徑為2.5.點(diǎn)睛：此題屬于圓綜合題，涉及的知識(shí)有：圓周角定理，平行四邊形的判定與性質(zhì)，角平 分線性質(zhì)，以及銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握各自的性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵.11.如圖，PA切。于點(diǎn)A,射線PC交。于C、B兩點(diǎn)，半徑ODLBC于E,連接BD、DC和OA, DA交BP于點(diǎn)F;(1)求證：/ ADC+-Z CBD= - / AOD.2，(2)在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫(xiě)出圖中相等的線段.【答案】(1)詳見(jiàn)解析；(2)詳見(jiàn)解析;【解析】【分析】1根據(jù)垂徑定理得到 ",根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BD CD11ODA 180o AOD 90&#

31、176; AOD ,即可得到結(jié)論； 222根據(jù)垂徑定理得到 BE CE , BD CD ,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到ADO OAD ,根據(jù)切線的性質(zhì)得到PAO 900,求得 OAD DAP 900,推出 PAFPFA,根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到結(jié)論.【詳解】1 證明：QOD BC, n n BD CD，CBD DCB,Q DFE EDF 900,EDF 90o DFE ，QOD OA,1 oo 1ODA 180 AOD 90 AOD ，22oo 190 DFE 90 AOD ，21DEF AOD,2Q DFE ADC DCB ADC CBD ,_1 分ADCCBD AOD ；22 解：QO

32、D BC,BE CE，BD CD，BD CD ,QOA OD ,ADO OAD,Q PA切e O于點(diǎn)A,PAO 900,OAD DAP 900,Q PFA DFE ,PFA ADO 900,PAF PFA ,PA PF .【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，正確的識(shí)別 圖形是解題的關(guān)鍵.12.如圖1,等腰直角 ABC中，Z ACB=90°, AC=BQ過(guò)點(diǎn)A, C的圓交 AB于點(diǎn)D,交BC 于點(diǎn)E,連結(jié)DE(1)若AD=7, BD=1,分別求 DE, CE的長(zhǎng)(2)如圖2,連結(jié)CD,若CE=3, 4ACD的面積為10,求tan / BCD(3)

33、如圖3,在圓上取點(diǎn) P使得/PCD=Z BCD (點(diǎn)P與點(diǎn)E不重合)，連結(jié) PD,且點(diǎn)D是4CPF的內(nèi)心請(qǐng)你畫(huà)出CPE說(shuō)明畫(huà)圖過(guò)程并求 /CDF的度數(shù) 設(shè)PC=a, PF由 PD=c,若(a-J2c) (b-J2c) =8,求 CPF的內(nèi)切圓半徑長(zhǎng).Bi02圖3【答案】(1) DE=1, CE=3應(yīng)；(2) tan/BCD=； ；(3) 135。；2.【解析】【分析】(1)由A、C、E、D四點(diǎn)共圓對(duì)角互補(bǔ)為突破口求解；(2)找/ BDF與/ ODA為對(duì)頂角，在 0O中，Z COD=2Z CAD,證明OCD為等腰直角三 角形，從而得到 Z EDC+Z ODA=45 ,即可證明/CDF=135;(

34、3)過(guò)點(diǎn)D做DH CB于點(diǎn)H,以D為圓心，DH為半徑畫(huà)圓，過(guò)點(diǎn) P做eD切線PF 交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,結(jié)合圓周角定理得出 / CPD=Z CAD=45 ,再根據(jù)圓的內(nèi)心是三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)，得出/CPF=90,然后根據(jù)角平分線性質(zhì)得出_1_DCF CFD PCF2【詳解】由勾股定理得:出c值，即求出4CPF的內(nèi)切圓半徑長(zhǎng)為 巨 c21 _PFC 45 ,最后再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求 2解；證明/DCF+Z CFD=45,從而證明/CPF是直角，再求證四邊形 PKDN是正方形，最后以4PCF面積不變性建立等量關(guān)系，結(jié)合已知(a-J2c) (b-J2c) =8,消去字母a, b求A

35、C2+BC2=AB2, . AB=AD+BD, AD=7, BD=1, .x2+x2=82, 解得：x=4、/2 . O O內(nèi)接四邊形，/ ACD=90 ,° / ADE=90 ;/ EDB=90 ； / B=45 ； .BDE是等腰直角三形.DE=DB,又DB=1,.DE=1,又 CE=BC-BE-CE=472 72 3<2又.<£=3, ，BC=3+y,1/ Saacb=SAcd+Sdcb,1-114.2 4'.;2 103 y y222解得：y=2或y=-11 (舍去).，EM=1,CM=CE+ME=1+3=4又 / BCD=Z MCD,tanZ

36、BCD=tanZ MCD,在 RtDCM 中，tanZ MCD=-DM- = 1 ,CM 4 .tan / BCD=1 .4(3)如下圖所示：過(guò)點(diǎn)D做DH CB于點(diǎn)H,以D為圓心，DH為半徑畫(huà)圓，過(guò)點(diǎn) P做eD切線PF交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F. Z CAD=45 ；c C CPD=Z CAD=45又.點(diǎn)D是 CPF的內(nèi)心，.PD、CD DF都是角平分線，/ FPD=Z CPD =45, / PCD叱 DCF, / PFD=Z CFD/ CPF=90 ° / PC% PFC=90 °一 一 1-1-DCF CFD PCF PFC 45 22/ CDF=180-Z DCF-/ CF

37、D F=90+45 = 135 ；即/CDF的度數(shù)為135°.如下圖所示2N三點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D分別作 DK, PC, DM ± CF, DNPF于直線PC, CF和PF于點(diǎn)K, M , 設(shè) PCF內(nèi)切圓的半徑為 m,則DN=m, 點(diǎn)D是 PCF的內(nèi)心，.DM=DN=DK,又/ DCF+Z CFD+Z FDC=180 , / FDC=45 , / DCFtZ CFD=45 ,°又 DC, DF分別是/ PCF和/ PFC的角平分線，/ PCF=2Z DCF, / PFC=2Z DFC, / PCF吆 PFC=90, °/ CPF=90.°在四邊形 PK

38、DN 中，Z PND=Z NPK=Z PKD=90 ,四邊形PKDN是矩形,又 KD=ND,四邊形PKDN是正方形.又 / MBD=Z BDM=45 , / BDM= / KDP,/ KDP=45 .° . PC=a, PF=b, PD=c, ，PN=PK=&CK=a2.NF=b又. CKmCM, FM=FN, CF=CM+FM CF=a b V2c，又 S PCF=S PDF+S PDC+S DCF,2 ab1a 2 1b 3 1(a b22222化簡(jiǎn)彳導(dǎo)：ab=72 a b c c2 ( i ),又若(a- J2 c) ( b- J2 c) =8化簡(jiǎn)彳導(dǎo):ab V2c a

39、 b 2c2 8 ( n ),將（i ）代入（n ）得：c2=8,解得：c 2亞，或c 2V2 （舍去），.m=2c : 2近 2, 22即 CPF的內(nèi)切圓半徑長(zhǎng)為 2.【點(diǎn)睛】本題考查圓的內(nèi)接四邊形性質(zhì)，圓的內(nèi)心，圓心角、圓周角，同弧（或等?。┲g的相互關(guān)系，同時(shí)也考查直角三角形，勾股定理，同角或等角的三角函數(shù)值相等和三角形的面積公式，正方形，對(duì)頂角和整式的運(yùn)算等知識(shí)點(diǎn)；難點(diǎn)是作輔助線和利用等式求4CPF的內(nèi)切圓半徑長(zhǎng).13.如圖，AB是e O的直徑，弦CD AB于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)C的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F ,連接DF .（1）求證：DF是e O的切線；（2）連接 BC,若 BCF 30, B

40、F 2,求 CD 的長(zhǎng).【答案】（1）見(jiàn)解析；（2） 273【解析】【分析】（1）連接OD,由垂徑定理證 OF為CD的垂直平分線，得 CF=DF / CDF=/ DCF,由 /CDO=/ OCD,再證 ZCDO +/ CDB=Z OCD+Z DCF=90,° 可得 ODDF,結(jié)論成立.（2）由/OCF=90°, /BCF=30°,得/OCB=60°,再證 A OC的等邊三角形，得 /COB=60°,可 得/CFO=30,所以FO=2OC=2OB FB=OB= OC =2在直角三角形 OCE中，解直角三角形可 得CE再推出CD=2CE.【詳解】（

41、1）證明：連接OD .CF是。的切線/ OCF=90 ° / OCD+/ DCF=90 ° 直徑AB，弦CD .CE=ER即OF為CD的垂直平分線.CF=DF / CDF玄 DCF .OC=OD,/ CDO=Z OCD / CDO +/ CDB之 OCD+Z DCF=90 ODXDF .DF是。O的切線(2)解：連接OD Z OCF=90, °Z BCF=30 °/ OCB=60 °.OC=OBA OC囪等邊三角形，/ COB=60 °/ CFO=30 °FO=2OC=2OBFB=OB= OC =2在直角三角形 OCE中，/

42、 CEO=90 / COE=60sin COE .CF、3.CD=2 CFCE 3OC 22.3【點(diǎn)睛】本題考核知識(shí)點(diǎn)：垂徑定理，切線，解直角三角形.解題關(guān)鍵點(diǎn)：熟記切線的判定定理，靈活運(yùn)用含有 30。角的直角三角形性質(zhì)，巧解直角三角形.14.如圖所示，ABC內(nèi)接于圓O, CD AB于D；(1)如圖1,當(dāng)AB為直徑，求證： OBC ACD ;(2)如圖2,當(dāng)AB為非直徑的弦，連接 OB,則(1)的結(jié)論是否成立？若成立請(qǐng)證明, 不成立說(shuō)明由；(3)如圖3,在(2)的條件下，作 AE BC于E,交CD于點(diǎn)F,連接ED,且AD BD 2ED,若 DE 3, OB 5,求 CF的長(zhǎng)度.【答案】(1)見(jiàn)

43、解析；(八 一 -142)成立.；(3(1)根據(jù)圓周角定理求出 /ACB=90,求出/ADC=90,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即 可；(2)根據(jù)圓周角定理求出 /BOC=2Z A,求出Z OBC=9 0-/A和/ ACD=90-/ A即可；(3)分別延長(zhǎng) AE、CD交。于H、K,連接 HK、CH、AK,在AD上取DG=BD,延長(zhǎng)CG交AK于M,延長(zhǎng)KO交。O于N,連接CN、AN,求出關(guān)于a的方程，再求出a即可. 【詳解】(1)證明：.AB為直徑,ACB 90 , CD AB 于 D,ADC 90 ,OBCA 90 , A ACD 90 ,OBCACD ;A ，1OBC - 18021BOC 1

44、802 A 90 A ,2(2)成立，ADC 90 ,ACD 90 A ,OBC ACD ;(3)分別延長(zhǎng) AE、CD交。于H、K,連接 HK、CH、AK,AE BC, CD BA ,AEC ADC 90 ,BCD CFE 90 , BAH DFA 90 ,CFEDFA ,BCDBAH , 根據(jù)圓周角定理得：BAH BCH ,BCD BAH BCH,，由三角形內(nèi)角和定理得：CHE CFE,. CH CF, EH EF,同理DF DK ,DE 3, HK 2DE 6 ,6,在AD上取DG BD ,延長(zhǎng)CG交AK于M,則AG AD BD 2DE BC GC,MCK BCK BAK ,CMK 90

45、,延長(zhǎng)KO交。O于N,連接CN、AN,則 NAK 90 CMK , CM / /AN ,NCK ADK 90 , CN /AG , 四邊形CGAN是平行四邊形，AG CN 6,作OT CK于T, 則T為CK的中點(diǎn)， .O為KN的中點(diǎn)，1. OT CN 3, 2OTC 90 , OC 5, 由勾股定理得：CT 4,CK 2CT 8,作直徑HS,連接KS,HK 6, HS 10, 由勾股定理得：KS 8, tan HSK - tan HAK , 41，tan EAB tan BCD , 3設(shè) BD a, CD 3a,1. AD BD 2ED a 6, DK -AD 3. CD DK CK ,八r9解得：a 9,DK135CF CK 2DKc 26148 本題考查了垂徑定理、解直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理等知識(shí) 點(diǎn)，能綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，綜合性比較強(qiáng)，難度偏大.15.對(duì)于平面內(nèi)的OC和。C外一點(diǎn)Q,給出如下定義：若過(guò)點(diǎn) Q的直線與OC存在公共 點(diǎn)，記為點(diǎn)A, B,設(shè)k與薩'則稱(chēng)點(diǎn)A (或點(diǎn)B)是。C的加關(guān)依附點(diǎn)工特別,一 一， 一 ，一2