專題12不等式選講——2021年高考真題和模擬題文科數(shù)學(xué)分項(xiàng)匯編(解析版)

1、專題12不等式選講L【2020年高考全國I卷文數(shù)】已知函數(shù)/（x）T3x + ll-2lx-ll.（1）畫出）=/*）的圖像;（2）求不等式+ 的解集.【解析】（1）由題設(shè)知/。）= <x + 3.x> 1.y = /（x）的圖像如圖所示.（2）函數(shù)），= /（、）的圖像向左平移1個(gè)單位K度后得到函數(shù)y = /（x+i）的圖像.）, = /“）的圖像y = /（x + l）的圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)為（?）. 667由圖像可知當(dāng)“僅、7，,<-=時(shí)，丁 = /。）的圖像在y = f（x+D的圖像上方, 67故不等式.X）>.f*+D的解集為（Y0,）.6【點(diǎn)睛】本題主要考查畫分段

2、函數(shù)的圖象，以及利用圖象解不等式，意在考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力,屬于基礎(chǔ)題.2.【2020年高考全國H卷文數(shù)】已知函數(shù)危）=卜-研+|廠20+”.（1）當(dāng)。=2時(shí)，求不等式兀r）24的解集：（2）若«x）24,求的取值范圍.7-2x,x43,【解析】(1)當(dāng)“ =2時(shí),/(%) = - l,3<x<4, 2x-7,x> 4, 11因此，不等式的解集為或r之».（2）因?yàn)?。）=以-42| + 1工-24 + 1以標(biāo)一為+ 11=3 - 1尸，故當(dāng)3 1）2之4,即1。-1122時(shí)，/（幻之4.所以當(dāng)心3或H或時(shí),/（a） > 4 .當(dāng)-133 時(shí),f（

3、a2 ） T / 一為 +11= （ - 1- < 4 .所以4的取值范圍是（f，TU3,m）.【點(diǎn)睛】本題考查絕對值不等式的求解、利用絕對值三角不等式求解最值的問題，屬于?？碱}型.3.【2020年高考全國川卷文數(shù)】設(shè)a, b, cwR, a+Hc=0, abc=l.（1）證明：ab+bc+ca<Q；（2）用 inaxa, b, c表示 a, b, c 中的最大值，證明：maxa, b, c>/J .【解析】（1）由題設(shè)可知，a, b, c均不為零，所以ab + A + ca = (t/ + b + c)2 - (a2 +b2 + c2)2= -'(/ +b2 +c2

4、) 2<0.(2)不妨設(shè) maxa,b,c=,因?yàn)? La = -( + c),所以 a>0,6<0, c<0.由 bcW(b + Q ,可得而c« 幺,44故,所以 maxa,0,c > >/4 .【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的基本性質(zhì)以及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.4.【2020年高考江蘇】【選修上5：不等式選講(本小題滿分10分)設(shè)xwR,解不等式2lx + ll + lxk4.2【解析】當(dāng)心>0時(shí)，原不等式可化為2a + 2 + xv4,解得0<人<；當(dāng)一 IWxKO時(shí)，原不等式可化為2x + 2-x<4,解得一

5、IVxKO；當(dāng)XV1時(shí)，原不等式可化為一2%24<4,解得一2vxv1.2綜上，原不等式的解集為3-2、<亨.L【2020廣東省湛江二十一中高三月考】已知函數(shù)/。)=k-1|.(1)解不等式/(x) + /(x + l)之4；(2)當(dāng)xwO, xwR時(shí)，證明：/(-) + /(-)>2. x【答案】(1)5、+8 ： (2)證明見解析.2)【解析】(1)由/(x) + /(x + l)之4得打一1| +國之4,當(dāng)X>1時(shí)，得2x124.所以工之士；2當(dāng)0戈<1時(shí)，得1之4,所以XC0：3當(dāng)x<0時(shí)，得1一21之4,所以工一大：2 ( 3一二，此不等式的解集為

6、：一雙一不=由 “t)+ K)=|E+ 3由絕對值不等式得|x + l|+ -1 > X又因?yàn)楣?，同?hào)，所以X + - =Lv|+ -, XXX由基本不等:式得：|x|+ -22,當(dāng)?shù)﹥H當(dāng)N = 1時(shí)，等號(hào)成立，所以/（一幻+ /（1）之2.x【點(diǎn)睛】本題主要考查了含絕對值的不等式的求解，以及絕對值三角不等式的應(yīng)用，其中解答中熟記含 絕對值不等式解法，以及合理應(yīng)用絕對值三角不等式和基本不等式求最值是解答本題的關(guān)鍵，著重考查 了分類討論思想，考查了學(xué)生的邏輯推理與運(yùn)算求解能力.2.【2020黑龍江省大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三月考】設(shè)a、b、c均為正數(shù)，（二）證明：a2 + b + c2 >ab

7、+be + ca ：（二）若。+。+（、。= 1，證明4 + /? +。之".【答案】（二）見解析（二）見解析【解析】（二）因?yàn)??，c均為正數(shù)，由重要不等式可得a2 +b22ab，b' +c，2bc , c2 + a22ca ,以上三式相力口可得a? +從+ +/ +/勿b + 2bc + 2ca »即 a2 +h2 + c2,ab + be + ca ：（二）因?yàn)閍b+bc+ca = 1.由（二）可知a- +/+c，i,故（a + + c）? =a2 + b' +c2 + 2ab + 2Z?c + 2c+ 2 = 3 ,所以“+方+。/得證.【點(diǎn)睹】本題

8、考查不等式的證明，注意運(yùn)用基本不等式和變形，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.3.12020四川省瀘縣第二中學(xué)高三二模】已知函數(shù)/（x） = |2x l| + k + （1）求不等式/（x）Wx + 2的解集:(2)若函數(shù)y = /(x)的最小值記為？，設(shè)。0, 【答案】(1)0,1 (2)紀(jì)業(yè)12人0,且有。+/? = ?.求-+ -一的最小值.。+1 b+2【解析】(1)因?yàn)?(x) = |2x l| + k + l| = ,3x, x < - 1,x + 2,一,2八13x.x>.2從圖可知滿足不等式/(x)4x+2的解集為0.33(2)由圖可知函數(shù)y = /(x)的最小值為即相=/

9、.3Q.所以 + /? = -.從而。+ 1 + + 2 = ，22從而占l+/r#+l)+("2)島 + 言)2(。+ 1)"2 J2("-1) b + 26 + 4>/29當(dāng)且僅當(dāng)匕=電型，即=出二11為=!±3匹時(shí)，等號(hào)成立， 。+ 1 h + 222的最小值為空槎.4+1 b+29【點(diǎn)睛】本題考查解絕對值不等式以基本不等式求最值的問題，是一道中檔題.4.【2020遼寧省高三三?！吭O(shè)函數(shù)x) = k -2|+|3x-4.(1)解不等式x)>2：(2)若/(x)最小值為？，實(shí)數(shù)"、Z;滿足+如=3加，求( 2+的最小值.【答案】

10、(1) xlxvl或X>2： (2).25【解析】(1) /(x) = |x-2| + |3x"4| = <4x-6,x> 22x-2, <x< 2,34一 4x + 6,x«-3由“>2得<x>24x-6>24。 <x<2 3 或,2x-2>23-4x + 6 > 2得x>2或?；騲vl,，不等式解集xlxvl或x>2./ 4 1 2(2)根據(jù)圖象知：/(x)min=/ -| = -, ：.3a+4h = 2,1 3 / 3所求可看做點(diǎn)(2,0)到直線3x+4y 2 = 0的1他的平

11、方，4 = 誓曰=±V32 +42 5【點(diǎn)睛】本題考查了解絕對值不等式，求函數(shù)最值，意在考查學(xué)生的許算能力和綜合應(yīng)用能力，轉(zhuǎn)化為 點(diǎn)到直線的距離是解題的關(guān)鍵.5.12020山西省高三其他】已知函數(shù)/(x) = |3x + 6|, g(x) = |x-3|.(1)求不等式f(x)>g(x)的解集；(2)若x) + 3g(x)之為對于任意x£R恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范同【答案】(1)973)-(2)【解析】(1)由f(x)>g(x)，得|3x+6|x-3|,平方得(3x+6)2>(x3)，得9/ +36x + 36> x2 -6x + 9，得 8/+42

12、工 + 27>0，得(2x+9)(4x+3)>0,93解得X V 一二或X > 一 三 .24(9)(3、故不等式/(x)>g(x)的解第是一°°，-3 d 一不 .(2)若x)+3g(x)A2一方恒成立，即段+6|+|31-9|卜右一北恒成立只需(|3x+6|+3|x-3bmm >a2-2a 即可.lHi|3x+6|4-|3x-9| >|3x + 6-(3x-9)| = 15 ,所以/一2。415,得/-2a-15KO，解得一故實(shí)數(shù)。的取值范惘是：3,5【點(diǎn)睛】本題考查了含有絕對值不等式的解法、含參不等式的恒成立問題，考察了數(shù)學(xué)運(yùn)算技能

13、和邏輯 推理能力，轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于一般題目.6 .【2020河北省高三其他】已知函數(shù)f(x) = k+l|+|2x2|, g(x) = kl|+k+3?|一z.(=)求函數(shù)/(x)的最小值；(=)對于任意玉eR,存在eR,使得戶8(毛)成立，求 ？的取值范圍.3 1【答案】(Z) 2； (I).j-3x +1, x v -1解析(二)/(a-) = |x + 1| + |2x-2| = < -x + 3,-1<x<1 ,3x-l,x > 1上單調(diào)遞減，在。,+8)上單調(diào)遞增，"“),. = "1) = 2,故當(dāng)X = 1時(shí)，/(x)取得最小值2.

14、(口)由。得 1焉=2,而 8(大)=卜-1| + 卜+3團(tuán)|一1之,_1_-丫_3團(tuán)|一1 =|1+3，一團(tuán)，當(dāng)x = l時(shí)等號(hào)成立，由題意知，對任意玉仁足，存在使得xj2g(%)成立，則/(力出之江立獷即2邛+3向一切,2+m>0所以?(2+ /?)' >(1 + 3/7?)"31解得：一二,423 1即團(tuán)的取值范圍為.I 4【點(diǎn)睹】本題考查根據(jù)分類討論和單調(diào)性求函數(shù)的最值，絕對值不等式的解法，以及絕對值三角不等式 的性質(zhì)和根據(jù)不等式恒成立問題求參數(shù)取值范惘，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力.7 .【2020山西省太原五中高三月考】已知函數(shù)fWTx-41 + ll xl

15、, xgR(1)解不等式：/W<5.112(2)記/*)的最小值為M，若實(shí)數(shù)。，8滿足c+=M，試證明：一一十二一2二.cr +2 /?" +1 3【答案】(1)xl0<x<5 (2)證明見解析2x-5,x> 4【解析】(1)/3)=1X-41 + 11-巾=3,1於它4一 2x + 5,x< 12x-5W5 x>4或1Q&4或,2x + 5W5 x<.4<.小或長它4或2<1,，0令舉,，不等式的解集為“攵運(yùn)5)：因?yàn)?(%)=1X一41 + 11-工以-4) + (1-工)1=3(當(dāng)且僅當(dāng)1«X工4等號(hào)成立)

16、,所以所力的最小值M = 3,即a=一(當(dāng)且僅當(dāng)M = 1 /2 = 2等號(hào)成立). 【點(diǎn)睛】本題考查了絕對值不等式的解法和利用基本不等式求最值，屬于中檔題.a2 +48.【2020河北省河北正中實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三其他】已知函數(shù)/(x)=x +lx + 2l(a<。)，ag(x) = 8-lx + 3L(1)當(dāng)。=1時(shí)，求不等式/(x)K 11的解集：(2)若關(guān)于x的不等式/(x)Kg(x)的解集包含求。的取值集合.【答案】(1) H，7： (2) -23 - 2x, x < -2【解H】T ；1 時(shí)，/(x) = |x 5| + |x+2| =< 7,2<x<5 ,2

17、x - 3, x > 5+b2=3,所以Ke,a2 + 2 + b2 + /+2)+ ( +川弓12 + 9 +Ja2+2 b2+6/72+1x->(2 + 242/tr+2 /r+163 2工411x<-2得：-4<x<-2：由7<11-得：一2cx<5：由，-2 < x < 52x-3<llx>5得：5<x<7,綜上所述：的解奧為<7(2)由題意可知：當(dāng)工£-2,-1時(shí),a2 +4 x +a+ |x + 2| < 8 |.v + 3 卜恒成立,a2 +4< 8 -|x+3| -|x+2

18、 恒成立,.avO, .<0,當(dāng) xe2,1時(shí)，x + Ii_±do, x+3>0, x + 2>0. aa/.-x-il<8-x-3-x-2 = 3-2x>2 %一3在-2,-1上恒成立,er + 4>-4,又“<0,可解得：a = -2.人的取值集合為-2.【點(diǎn)睛】本題考查絕對值不等式的求解、恒成立問題的求解；關(guān)鍵是能夠根據(jù)解集的子集將問題轉(zhuǎn)化為 在不等式在子集范惘內(nèi)恒成立問題的求解，進(jìn)而通過分離變量將問題轉(zhuǎn)化為所求變量與函數(shù)最值之間的 大小關(guān)系求解問題.9.12020廣東省湛江二十一中高三月考】函數(shù)/(x) = k+4+|x-4 + C

19、'其中>0，b>0, c>0.(1)當(dāng) = b = c = l時(shí)，求不等式/(x)>4的解集;,222(2)若/(x)的最小值為3,求證： + + >3. a b c【答案】(1)3)p'3u(|，+s). (2)見解析【解析】(1)當(dāng)o = /? = c = l時(shí)，不等式/(x)>4,H|J |x +1| + |.v -1| +1 > 4 r |x +1| + |x -1| > 3.3當(dāng)工之1時(shí)，化為x+l + x l >3,解得x>二: 2-1 <x v 1 時(shí)，化為 x +1 (x - 1) > 3

20、此時(shí)無解;3:與/« 1 廿，化為一(X + l) (x l)>3,解得x< 乙綜上可得，不等式/(x)>4的解奧為:3OQ, 2【2(2)由絕對值三角不等式得f(x) = x + a + x-b + c>(x + a)-(x-b + c = a+b + c = 3 .由基本不等式得生+ 422" + b>2c, + c>2a , abc.222三式相力”. F - + a + b + c>2a + 2b + 2cf a b c整理即得生+三+工2 + + c = 3,當(dāng)且僅當(dāng)。=/? =。= 1時(shí)，等號(hào)成立. a b c【點(diǎn)睛】本

21、題考查了解絕對值不等式，絕對值三角不等式，均值不等式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.10.【2020銀川高級中學(xué)高三月考】已知J'(x)=lx - ll + lx+ll,不等式/*)<4的解集為M.(1)求集合M：(2)當(dāng)時(shí)，證明：2a + b<14 + ab .【答案】知=(一2；(2)證明見解析.2xx < - 1【解析】(1)/(幻=上一1|+厄 + 1| = (2-1<x<1,2x x> 1所以/*)v4等價(jià)于x<-l -1<x<1 fx>l-2x<42<4' 12x<4-241或一1

22、<*<1或1<不<2,2 v x v 2, A/ = (2,2) (2)當(dāng)凡beM 時(shí),即一2<a v2,-2v<2, 4(a+b)2 -(4 + ab)2 =4a2 +4b2-16-a2b2=(。2-4)(4一/)<0,/. 4(。+ h)2 <(4 + ab)2，.二 21 a + Z? I<l 4 + 4。I.【點(diǎn)睛】本題考查絕對值不等式求解、不等式的證明，分類討論去絕對值是解題的關(guān)鍵，利用作差法 證明不等式，屬于中檔題.11.12020黑龍江省哈爾濱三中高三其他】已知函數(shù)x) = kd + k + M，(4>0,>0).

23、(1)當(dāng)4 = 1, = 3時(shí)，求不等式f(x)v6的解集；(2)若“X)的最小值為2,求證：+ ->1. a+ b+【答案】(1) (-4,2)： (2)證明見解析.【解析】(1)依題意打一1| +卜+3|<6,當(dāng)xNl時(shí)，xl+x+3<6,解得x<2,即當(dāng)一3<xcl時(shí)，1x+x+3<6,解得4<6成立，即一3<xvl,當(dāng)x<3時(shí)，1一工一工一3<6,解得即TcxvB,綜上所述，不等式的解集為(-4,2).(2) f(x) = x-a + x+b>x-a)-x+b = -a-b = a+b,所以。+Z? = 2111/7一

24、/ 11 1 "1a + b + 14、A« + lb + 1)4 a + 1b + l J當(dāng)且僅當(dāng)。= b = l時(shí)，取等號(hào).【點(diǎn)睛】本題考查了絕對值不等式的解法、基本不等式證明不等式，屬于基礎(chǔ)題.1312.12020重慶高三月考】已知函數(shù)/(x)= 21+ 5+。工-5 .(1)當(dāng) =一1時(shí)，解不等式/(x)<3x；(2)當(dāng)。=2時(shí)，若關(guān)于x的不等式4/(x)v2|l-|的解集為空集，求實(shí)數(shù)6的取值范同【答案】 “1%之一； (2) -6,8.2【解析】(1)當(dāng)。=1時(shí)，不等式可化為/(x)W3xI3-(2a + -) + (x-)<3x2213(2x +

25、-)-(x-)<3x22(2x + ) + (x-) < 3x22“<或"3或24242故不等式/(X) K 3x的解集為XI %之一；乙117(2)當(dāng)。=2時(shí),/(x) =12x + -1 +12x-31>(2x+ -)-(2x-3) 1=- 222137(當(dāng)且僅當(dāng)一一WxK不時(shí)取等號(hào))，則不等式4/(x)min=4x = 14 4,22因此4/(x)<2ll- I的解集為空集等價(jià)于2llbK14,解得故實(shí)數(shù)b的取值范惘是-6,8【點(diǎn)睛】本題考查分類討論解含絕對值不等式、絕對值三角不等式應(yīng)用，考查基本分析求解能力，屬 中檔題.13.12020四川省綿陽

26、南山中學(xué)高三一?！恳阎?。，b，。均為正實(shí)數(shù)，求證：(1) (t/ + Z?) ( ab + c2> 4abc ；(2)若。+c=3,則vm+>/m+T?TTwsvi.【答案】證明過程詳見解析【解析】(1)要證(4+匕)("+。2”加機(jī)'，可證 a2b + ac1 + ab2 + be2 - 4abc >0 ,需 U b(。 + c 2"c) + a (c + b 2bc > 0 , 即證6(。一。)2+。«與220,當(dāng)且僅當(dāng)。=6 =。時(shí)，取等號(hào)，由已知，上式顯然成立， 故不等式(。+ /»(，心+ c2) > 4a

27、be成立.(2)因?yàn)閍,6,c均為正實(shí)數(shù).由不等式的性質(zhì)知>/百.J?K " +：+ 2 = W ,當(dāng)且僅當(dāng)。+ 1 = 2時(shí)，取等號(hào)， 22g四婦詈當(dāng)且僅當(dāng)。+1=2時(shí)，取等號(hào)，后點(diǎn)葉詈當(dāng)且僅 2222當(dāng)c+l = 2時(shí)，取等號(hào)，以上三式相加，得 >/2 (y/a + l + yjb + 1 + y/c + 1 j <= 6片以 y/a + 1 + yjb + 1 + Jc + 1 < 35/2 , "1 且僅當(dāng)。=Z? = C = 1 時(shí),取等號(hào).【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的證明問題，在求解過程中可以運(yùn)用基本不等式、對要證明的不等式進(jìn)行 化簡等方法來求證，關(guān)鍵是要靈活運(yùn)用基本不等式等方法求證結(jié)果.3114