小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法的梳理(一)

1、小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法的梳理（一）課程教材研究所王永春數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法既有區(qū)別又有密切聯(lián)系。數(shù)學(xué)思想的理論和抽象程度要高一些，而數(shù)學(xué)方法的實(shí)踐性更強(qiáng)一些。人們實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思想往往要靠一定的數(shù)學(xué)方法；而人們選擇數(shù)學(xué)方法，又要以一定的數(shù)學(xué)思想為依據(jù)。因此，二者是有密切聯(lián)系的。我們把二者合稱為數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，那么，要想學(xué)好數(shù)學(xué)、用好數(shù)學(xué)，就要深入到數(shù)學(xué)的“靈魂深處”。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)在總體目標(biāo)中明確提出：“ 學(xué)生能夠獲得適應(yīng)未來社會生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學(xué)知識以及基本的數(shù)學(xué)思想方法和必要的應(yīng)用技能。 ” 這一總體目標(biāo)貫穿于小學(xué)和初中，這充分說明了數(shù)學(xué)思想方法的重要性。在小學(xué)數(shù)學(xué)階

2、段有意識地向?qū)W生滲透一些基本的數(shù)學(xué)思想方法可以加深學(xué)生對數(shù)學(xué)概念、公式、法則、定律的理解，提高學(xué)生解決問題的能力和思維能力，也是小學(xué)數(shù)學(xué)進(jìn)行素質(zhì)教育的真正內(nèi)涵之所在。同時，也能為初中數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)打下較好的基礎(chǔ)。在小學(xué)階段，數(shù)學(xué)思想方法主要有 符號化 思想、 化歸 思想、 類比 思想、 歸納 思想、分類 思想、 方程 思想、 集合 思想、 函數(shù) 思想、 一一對應(yīng) 思想、 模型 思想、 數(shù)形結(jié)合 思想、 演繹推理 思想、變換 思想、 統(tǒng)計與概率思想等等。為了使廣大小學(xué)數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中能很好地滲透這些數(shù)學(xué)思想方法，筆者把這些思想方法比較系統(tǒng)地進(jìn)行概括和梳理，明晰這些思想方法的概念，整理它們在小

3、學(xué)數(shù)學(xué)各個知識點(diǎn)中的應(yīng)用，以及了解每個思想方法的適當(dāng)拓展。一、符號化思想1. 符號化思想的概念。數(shù)學(xué)符號是數(shù)學(xué)的語言，數(shù)學(xué)世界是一個符號化的世界，數(shù)學(xué)作為人們進(jìn)行表示、計算、推理和解決問題的工具，符號起到了非常重要的作用；因?yàn)閿?shù)學(xué)有了符號，才使得數(shù)學(xué)具有簡明、抽象、清晰、準(zhǔn)確等特點(diǎn)，同時也促進(jìn)了數(shù)學(xué)的普及和發(fā)展；國際通用的數(shù)學(xué)符號的使用，使數(shù)學(xué)成為國際化的語言。符號化思想是一般化的思想方法，具有普遍的意義。2. 如何理解符號化思想。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)比較重視培養(yǎng)學(xué)生的符號意識，并提出了幾點(diǎn)要求。那么，在小學(xué)階段，如何理解這一重要思想呢？下面結(jié)合案例做簡要解析。第一，能從具體情境中抽象 出 數(shù)量關(guān)系

4、和 變化規(guī)律 ，并用符號表示。這是一個從具體到抽象、從特殊到一般的探索和歸納的過程。如通過幾組具體的兩個數(shù)相加， 交換加數(shù)的位置和不變，歸納出加法交換律，并用符號表示：a+b=b+a。再他如在長方形上拼擺單位面積的小正方形，探索并歸納出長方形的面積公式，并用符號表示：S= abo這是一個符號化的過程，同時也是一個 模型化 的過程。第二，理解符號所代表 的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律。這是一個從一般到特殊、從理論到實(shí)踐的過程。包括用關(guān)系式、表格和圖象等表示情境中數(shù)量間的關(guān)系。如假設(shè)一個正方形的邊長是a,那么4a就表示該正方 形的周長，a2表示該正方形的面積。這同樣是一個符 號化的過程，同時也是一個解釋和應(yīng)

5、用模型的過程。第三，會進(jìn)行符號間的轉(zhuǎn)換。數(shù)量間的關(guān)系一旦確定，便可以用數(shù)學(xué)符號表示出來，但數(shù)學(xué)符號不是唯一的，可以豐富多彩。如一輛汽車的行駛時速為定值 80 千米，那么該輛汽車行駛的路程和時間成正比，它們之間的數(shù)量關(guān)系既可以用 表格的形式表示，也可 以用公式s=80t表示，還可以用 圖象表示。即這些符 號是可以相互轉(zhuǎn)換的。第四，能選擇適當(dāng)?shù)某绦蚝头椒ń鉀Q用符號所表 示的問題。這是指完成符號化后的下一步工作，就是 進(jìn)行數(shù)學(xué)的運(yùn)算和推理。能夠進(jìn)行正確的運(yùn)算和推理 是非常重要的數(shù)學(xué)基本功，也是非常重要的數(shù)學(xué)能力。3. 符號化思想的具體應(yīng)用。數(shù)學(xué)的發(fā)展雖然經(jīng)歷了幾千年，但是數(shù)學(xué)符號的 規(guī)范和統(tǒng)一卻經(jīng)歷

6、了比較慢長的過程。如我們現(xiàn)在通 用的算術(shù)中的十進(jìn)制計數(shù)符號數(shù)字 09于公元8世紀(jì) 在印度產(chǎn)生，經(jīng)過了幾百年才在全世界通用，從通用 至今也不過幾百年。代數(shù)在早期主要是以文字為主的 演算，直到16、17世紀(jì)書達(dá)、笛卡爾和萊布尼茲等數(shù) 學(xué)家逐步引進(jìn)和完善了代數(shù)的符號體系。符號在小學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用如下表知識領(lǐng) 域知識點(diǎn)應(yīng)用舉例應(yīng)用拓展數(shù)與代 數(shù)數(shù)的表示阿拉伯?dāng)?shù)字：09中文數(shù)子：一 十百分號：千分號：%。用數(shù)軸表示數(shù)數(shù)的運(yùn)算+、一、x、+、（） 2 （平方）3 （立方）數(shù)的大小關(guān) 系=、=、A、W、豐運(yùn)算定律加法交換律：a+b=b+a加法結(jié)合律：a+b+c=a+（b+c）乘法交換律：ab=ba乘法結(jié)合律：

7、(ab) c=a(bc)乘法分配律： a(b+c)=ab+ac方程ax+b=c數(shù)量關(guān)系時間、速度和路程：s=vt數(shù)量、單價和總價：a=np正比例關(guān)系：y/x=k反比例關(guān)系：xy=k用去格表水?dāng)?shù)量間的關(guān) 系用圖象表示數(shù)量間的關(guān) 系空間與 圖形用字母表示 的單位長度單位：km、m、dm、cm、mm面積單位：km2、m2、dm2、cm2、mm2質(zhì)量單位：t、kg、g用符號表示 圖形用字母表示點(diǎn)：三角形ABC用符號表示角：/1、/2、/3、/4 ABC 線段AB 直線CD 直線L兩線段平行：AB/CD 兩線段垂直：ABXCD口 ABCD用字母表示三角形面積：$= ab公式平行四邊形面積：S= ah梯形

8、面積：S= (a+b)h2圓周長：C = 2兀r 圓面積：S=兀r 2長方體體積：v=abc正方體體積：v=a3 圓柱體積：v=sh 圓錐體積：1v=sh3統(tǒng)計與 概率統(tǒng)計圖和統(tǒng) 計表用統(tǒng)計圖表描述和分析 各種信息可能性用分?jǐn)?shù)表示可能性的大 小4,符號化思想的教學(xué)。符號化思想作為數(shù)學(xué)最基本的思想之一，數(shù)學(xué)課 程標(biāo)準(zhǔn)把培養(yǎng)學(xué)生的符號意識作為必學(xué)的內(nèi)容，并提 出了具體要求，足以證明它的重要性。教師在日常教 學(xué)中要給予足夠的重視，并落實(shí)到課堂教學(xué)目標(biāo)中。 要創(chuàng)設(shè)合適的情境，引導(dǎo)學(xué)生在探索中 歸納和理解數(shù) 學(xué)模型，并進(jìn)行解釋和應(yīng)用。學(xué)生只有理解和掌握了 數(shù)學(xué)符號的內(nèi)涵和思想，才有可能利用它們進(jìn)行正確

9、的運(yùn)算、推理和解決問題。數(shù)學(xué)符號是人們在研究現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空 間形式的過程中產(chǎn)生的，它 來源于生活，但并不是生 活中真實(shí)的物質(zhì)存在，而是一種抽象概括。如數(shù)字1, 它可以表示現(xiàn)實(shí)生活中任何數(shù)量是一個的物體的個 數(shù)，是一種高度的抽象概括，具有一定的抽象性。一 個數(shù)學(xué)符號一旦產(chǎn)生并被廣泛應(yīng)用，它就具有明確的 含義，就能夠進(jìn)行精確的數(shù)學(xué)運(yùn)算和推理證明，因而 它具有精確性。數(shù)學(xué)能夠幫助人們完成大量的運(yùn)算和 推理證明，但如果沒有簡捷的思想和符號的參與，它 的工作量及難度也是很大的，讓人望而生畏。一旦簡 捷的符號參與了運(yùn)算和推理證明，數(shù)學(xué)的簡捷性就體 現(xiàn)出來了。如歐洲人12世紀(jì)以前基本上用羅馬數(shù)字進(jìn) 行計數(shù)和運(yùn)算，由于這種計數(shù)法不是十進(jìn)制的，大數(shù) 的四則運(yùn)算非常復(fù)雜，嚴(yán)重阻礙了數(shù)學(xué)的發(fā)展和普及。直到 12 世紀(jì)印度數(shù)字及十進(jìn)制計數(shù)法傳入歐洲，才使得算術(shù)有了較快發(fā)展和普及。數(shù)學(xué)符號的發(fā)展也經(jīng)歷了從各自獨(dú)立到逐步規(guī)范、統(tǒng)一和國際化的過程，最明顯的就是早期的數(shù)字符號從各自獨(dú)立的埃及數(shù)字、巴比倫數(shù)字、中國數(shù)字、印度數(shù)字和羅馬數(shù)字到