動力氣象學(xué)第二章

1、第二章第二章 描寫大氣運動的基本方程組描寫大氣運動的基本方程組一切天氣現(xiàn)象都與大氣運動相關(guān)，一切天氣現(xiàn)象都與大氣運動相關(guān)，盡管大氣運動很復(fù)雜，但始終要遵循一盡管大氣運動很復(fù)雜，但始終要遵循一定的物理定律（定的物理定律（fundamental physical laws）。這些物理定律的數(shù)學(xué)表達式就）。這些物理定律的數(shù)學(xué)表達式就構(gòu)成了研究大氣運動具體規(guī)律的基本方構(gòu)成了研究大氣運動具體規(guī)律的基本方程組。程組。Basic Equations本章目的本章目的 依據(jù)基本物理定律依據(jù)基本物理定律 ，結(jié)合地球大氣的特點，建，結(jié)合地球大氣的特點，建立描寫大氣運動的基本方程組。立描寫大氣運動的基本方程組。建立方

2、程組要解決的幾個主要問題建立方程組要解決的幾個主要問題1、分析方法的轉(zhuǎn)變（、分析方法的轉(zhuǎn)變（Lagrange Euler）2、參考系的轉(zhuǎn)變（慣性、參考系的轉(zhuǎn)變（慣性 旋轉(zhuǎn)）旋轉(zhuǎn)）3、坐標系的選擇（球坐標系、局地直角坐標系）、坐標系的選擇（球坐標系、局地直角坐標系）一、地球與大氣的基本特征一、地球與大氣的基本特征地球：地球一方面繞太陽公轉(zhuǎn)地球：地球一方面繞太陽公轉(zhuǎn)（一年365.25天繞太陽一周），一方面繞自己的軸自西向東自轉(zhuǎn)一方面繞自己的軸自西向東自轉(zhuǎn)（一個太陽日24小時，一個恒星日23小時56分4秒）。 地球自轉(zhuǎn)角速度： 地球自轉(zhuǎn)對大氣運動有重大影響，而地球公地球自轉(zhuǎn)對大氣運動有重大影響，而地

3、球公轉(zhuǎn)主要決定一年四季的變化，但對大氣運動的變轉(zhuǎn)主要決定一年四季的變化，但對大氣運動的變化影響化影響“不大不大”。1510292. 78616422ss一個恒星日 地球可視為一個橢球體，但是一般作為球體處理，地球的平均半徑為： 其質(zhì)量經(jīng)推算為：ma610371. 6kgM2410976. 5大氣：大氣環(huán)繞地球并與地球一起旋轉(zhuǎn)，必須大氣：大氣環(huán)繞地球并與地球一起旋轉(zhuǎn)，必須考慮因旋轉(zhuǎn)而產(chǎn)生的虛擬力?？紤]因旋轉(zhuǎn)而產(chǎn)生的虛擬力。大氣的總質(zhì)量約為：一標準大氣壓（即海平面氣壓）為：標準大氣密度值為：kgMa1810136. 5hPahPaP100025.101303029. 1mKg大氣的密度、壓強和溫度

4、隨著高度的增加而減大氣的密度、壓強和溫度隨著高度的增加而減小，大約小，大約95%的大氣質(zhì)量集中在離地面的大氣質(zhì)量集中在離地面20km高度以下，這層大氣相對于地球半徑是高度以下，這層大氣相對于地球半徑是很薄的，但其中有千變?nèi)f化的天氣現(xiàn)象。很薄的，但其中有千變?nèi)f化的天氣現(xiàn)象。由于輻射和水汽相變，大氣不斷受到加熱和冷由于輻射和水汽相變，大氣不斷受到加熱和冷卻，對大氣的熱力狀況產(chǎn)生很大的影響，從而卻，對大氣的熱力狀況產(chǎn)生很大的影響，從而引起動力作用。引起動力作用。實際大氣不是理想流體，需要考慮粘性作用實際大氣不是理想流體，需要考慮粘性作用（主要表現(xiàn)在接近地面的邊界層大氣中）（主要表現(xiàn)在接近地面的邊界層

5、大氣中）拉格朗日方法拉格朗日方法流體流體。以流體中某一物質(zhì)體積元物質(zhì)體積元為研究對象，研究它的空間位置及其物理屬性隨時間變化的規(guī)律，并進而推廣到整個流體的運動。歐拉方法歐拉方法流場流場。以流體空間中某一固定空間體積元空間體積元為研究對象，研究不同流體微團通過某一固定點時的運動狀態(tài)及其它物理屬性變化的規(guī)律，從而掌握流場中各物理量的空間分布及其變化規(guī)律。 經(jīng)典力學(xué)和熱力學(xué)常以個別物體和個別熱力經(jīng)典力學(xué)和熱力學(xué)常以個別物體和個別熱力學(xué)系統(tǒng)作為研究對象，物理定律可以直接用于研學(xué)系統(tǒng)作為研究對象，物理定律可以直接用于研究個別空氣微團運動狀態(tài)和熱力狀態(tài)變化問題，究個別空氣微團運動狀態(tài)和熱力狀態(tài)變化問題，但

6、是不能直接用于研究物理量場的變化規(guī)律。但是不能直接用于研究物理量場的變化規(guī)律。 能否找到場變量隨個別空氣微團在運動中的變化能否找到場變量隨個別空氣微團在運動中的變化率（場變量的全導(dǎo)數(shù)）與空間點上場變量隨時間的變率（場變量的全導(dǎo)數(shù)）與空間點上場變量隨時間的變化率（場變量的局地導(dǎo)數(shù)）之間的關(guān)系呢？化率（場變量的局地導(dǎo)數(shù)）之間的關(guān)系呢？But：二、全導(dǎo)數(shù)（二、全導(dǎo)數(shù)（Total differentiation）和局地）和局地導(dǎo)數(shù)（導(dǎo)數(shù)（Local derivative） 以溫度場溫度場為例討論場變量的全導(dǎo)數(shù)與局地導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系。 在直角坐標系中，溫度場可用函數(shù)表示T=T(x,y,z,t)，稱溫度場函

7、數(shù)。個別空氣微團的軌跡可表示為x=x（t）, y=y（t）, z=z（t），則x、y、z方向上微團的速度分量為：dtdzwdtdyvdtdxu; 若t時刻位于（x，y，z）處，經(jīng)過t時刻后移至 處，則溫度在運動中的變化為：利用泰勒（Taylor)級數(shù)展開，得： 上式除以t，令其 0 ，略去高階項，取極限，則有：zzyyxx,.tzyxTttzzyyxxTT, ! 2222ttTzzTyyTxxTttTTzTwyTvxTutTdtdT 等式左邊：溫度的個別變化，表示個別空氣微團的溫度在運動中隨時間的變化率； 等式右邊：第1項為溫度的局地變化，表示固定的空間點溫度隨時間的變化；右方第2、3項稱之為

8、平流變化項，是因水平面上溫度分布不均勻，而大氣運動產(chǎn)生的變化；右方第4項為對流變化項，是因大氣垂直運動及垂直方向上溫度分布不均勻產(chǎn)生的變化。zTwyTvxTutTdtdT（1） 平流變化的物理意義平流變化的物理意義平流變化TVtT 0,0 wdtdT為了討論平流變化的意義，設(shè)：sTVtT S的方向為水平速度的方向，冷冷平平流流0 sT暖暖平平流流,0 sT低低沿沿水水平平速速度度方方向向溫溫度度降降高高沿沿水水平平速速度度方方向向溫溫度度升升, 0, 0 sTsT暖冷冷例如：寒潮氣溫驟降引入算子符號：zkyjxikwj vi uV則（1）式可以表示為：TVtTdtdT上述關(guān)系式對其他物理量也是

9、成立的，即Vtdtd運動的描述運動的描述運動運動 位置隨時間的改變位置隨時間的改變?nèi)魏芜\動都是相對于確定的參考系的運動任何運動都是相對于確定的參考系的運動運動本身不受參考系的影響，但是對運動運動本身不受參考系的影響，但是對運動的描述卻隨著所用參考系的不同而不同的描述卻隨著所用參考系的不同而不同 三、絕對運動和相對運動、絕對運動和相對運動1.概念 在地球外某一固定點觀測地球上的大氣運動，是“絕對運動絕對運動”，可以看到大氣隨地球一起旋轉(zhuǎn)。 在地球上觀測大氣運動，是“相對相對運動運動”，觀測者與地球一起旋轉(zhuǎn)，感覺不到地球自轉(zhuǎn)。2. 參考系（坐標系）參考系（坐標系） 為了確定物體位置和描述物體運動，

10、應(yīng)采用適當?shù)淖鴺讼?。根?jù)觀測方式的不同，坐標系分為：慣性坐標系慣性坐標系：原點位于地球中心，坐標軸方向相對于太陽是固定的坐標系。慣性坐標系下，可以看到大氣隨地球一起旋轉(zhuǎn)，是“絕對運動絕對運動”；旋轉(zhuǎn)坐標系旋轉(zhuǎn)坐標系：原點位于地球中心，坐標軸固定在地球上的坐標系。旋轉(zhuǎn)坐標系下，感覺不到地球自轉(zhuǎn)，觀察到的大氣運動是“相對運動相對運動”。矢量表述導(dǎo)數(shù)表述參照物標架坐標 kAjAiAAzyx kdtAdjdtAdidtAddtAdzyxa kAjAiAAzyx kdtdAjdtdAidtdAdtAdzyxr 恒星地球kji kjizyxo xyzo 慣性坐標系與旋轉(zhuǎn)坐標系absoluterelativ

11、e慣性坐標系與旋轉(zhuǎn)坐標系中矢量全導(dǎo)數(shù)的關(guān)系慣性坐標系與旋轉(zhuǎn)坐標系中矢量全導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 任意矢量 kAjAiAdtddtAdzyxaa 矢矢量量在在慣慣性性系系中中可可視視為為位位置置idtida矢矢端端線線速速度度 角角速速度度線速度與角速度關(guān)系kdtkdjdtjdidtidaaa 同同理理可可得得 dtddtdAdtAddtAdraradtkdAdtjdAdtidAkdtdAjdtdAidtdAazayaxzyx 普適微分算子dtAdr3. 兩個參考系中物理量全導(dǎo)數(shù)的聯(lián)系滿足普適微分算子：dtddtda證明證明: : 見書見書P12P12（關(guān)鍵（關(guān)鍵2.122.12式）式） 四、運動方程（牛頓

12、第二定律）四、運動方程（牛頓第二定律）牛頓第二定律：（單位質(zhì)量的氣團）牛頓第二定律：（單位質(zhì)量的氣團） 成立條件：成立條件：慣性（絕對）坐標系慣性（絕對）坐標系 iiaafdtVdV研究對象研究對象大氣運動（風(fēng)）大氣運動（風(fēng)）相對于地球的相對速度相對于地球的相對速度;取地球取地球作為參照系更為方便；作為參照系更為方便；地球是旋轉(zhuǎn)的，具有旋轉(zhuǎn)角速度地球是旋轉(zhuǎn)的，具有旋轉(zhuǎn)角速度;非慣性坐標系非慣性坐標系旋轉(zhuǎn)坐標系旋轉(zhuǎn)坐標系;But，牛頓第二定律不能直接應(yīng)用于，牛頓第二定律不能直接應(yīng)用于旋轉(zhuǎn)坐標系。旋轉(zhuǎn)坐標系。慣性系慣性系旋轉(zhuǎn)系旋轉(zhuǎn)系？將算子作用于位置矢量rdtddtdrarVVa 3絕絕對對速速度

13、度dtrdVaa 相相對對速速度度3dtrdVr 牽牽連連速速度度r 絕對速度與相對速度之間的關(guān)系式rVdtddtVdraa3rVdtVdr332abca c ba b c RR0cosRRR2araVdtddtd將算子作用于速度矢量絕對加速度與相對加速度之間的關(guān)系ooPRrcosrRRcossinrrrr向心加速度科氏加速度相對加速度RVdtVddtVdraa2332 相對加速度 視示力 真實力RVfdtVdii2332 真實力是物體與物體之間的相互作用，而“視示力”是一種虛擬的力，反映地球旋轉(zhuǎn)效應(yīng)對相對運動的作用和影響。 iiaafdtVd旋轉(zhuǎn)參考系中牛頓第二定律的表達式RVdtVddtV

14、draa2332 ？ 氣壓梯度力（Pressure Gradient Force）zyxxPzyxxpppGxx)(方向上的合壓力：zyxxPzyxxpppGxx)(方向上的合壓力：左圖為空氣微團（體左圖為空氣微團（體積元）在介質(zhì)中所受積元）在介質(zhì)中所受到的周圍空氣對其的到的周圍空氣對其的作用圖，以作用圖，以x方向為例。方向為例。方向同理可得。和方向上的合壓力：上因此，單位質(zhì)量空氣塊zyxPmzyxxPmGxx1/ )(結(jié)果，周圍空氣介質(zhì)對單位質(zhì)量的空氣微團的作用力為：PkzpjyPixPmG31111p1記作：氣壓梯度力 萬有引力 （Gravitational Force）)(2*rrrGM

15、gMmr以a為地球半徑，萬有引力可近似表示為，)(20*rraGMg 分子粘性力（Viscous Force）VVF2)()(31廣義牛頓粘性假設(shè)，有 分子運動論觀點來看，摩擦力乃是不同速度兩層空氣的分子動量交換的結(jié)果。大氣是低粘流體，分子粘性力作用甚小，一般都將其略去。物理模型物理模型轉(zhuǎn)盤試驗轉(zhuǎn)盤試驗o1t2t3t4t5t4t1t2t3t5toAA正上方視圖試驗設(shè)置：O點固定在轉(zhuǎn)盤中心，A位置為轉(zhuǎn)盤外固定點，由O向A拋出小球A 科氏力（Coriolis Force）V 2又稱地轉(zhuǎn)偏向力 科氏力Note: 只有物體相對于地球有運動時才有科氏力，它只改變運動方向，不改變運動速度。地球風(fēng)系分布(d

16、istribution of wind belt)低層高層EQEQ赤道低壓帶副極地低壓帶極地高壓帶副熱帶高壓帶赤道東風(fēng)極地東風(fēng)副熱帶西風(fēng)實際應(yīng)用R2慣性離心力項慣性離心力項(Centrifugal Force) 萬有引力慣性離心力重力萬有引力慣性離心力重力grraGMR)(22垂直地面向下垂直地面向下 重力（Gravity Force） 科氏力 地球引力RVfdtVdii2332 Fgp 1 iiaafdtVd 真實力 視示力RV232 重重力力gRg 2FgVpdtVd 33321 相相對對運運動動方方程程矢矢量量形形式式氣壓梯度力 科氏力摩擦力重力旋轉(zhuǎn)坐標系下運動方程的矢量形式重力：重力：

17、 保守力保守力科氏力：不做功，只改變運動方向科氏力：不做功，只改變運動方向 （運動形式）（運動形式）摩擦力：耗散摩擦力：耗散驅(qū)動大氣運動的主要動力：壓力梯度力驅(qū)動大氣運動的主要動力：壓力梯度力FgVpdtVd 33321 相相對對運運動動方方程程矢矢量量形形式式左邊：加速度項；左邊：加速度項；右邊：引起大氣運動變化的原因右邊：引起大氣運動變化的原因從以上討論可見：從以上討論可見：物理上壓力梯度力是驅(qū)動大氣運動物理上壓力梯度力是驅(qū)動大氣運動的主要因子，而壓力的變化與熱力與動的主要因子，而壓力的變化與熱力與動力過程相關(guān)聯(lián)，因此描寫大氣過程必須力過程相關(guān)聯(lián)，因此描寫大氣過程必須考慮熱力過程。考慮熱力

18、過程。數(shù)學(xué)上：運動方程：數(shù)學(xué)上：運動方程：1個（矢量）個（矢量） 3個（分量）個（分量）未知量：速度、氣壓、密度未知量：速度、氣壓、密度必須尋找描寫氣壓、密度變化的方程必須尋找描寫氣壓、密度變化的方程方程才能閉合方程才能閉合五、連續(xù)方程（質(zhì)量守恒定律）五、連續(xù)方程（質(zhì)量守恒定律）。壓縮，則；體積膨脹，則兩種表達形式： 0Vdtd L觀點： dtd：氣團密度隨體變化率 dtdV1：氣團體積的相對變化率 質(zhì)量守恒：質(zhì)量守恒：0)(0)(dtdmdtd速度散度速度散度歐拉觀點 ： 0)(Vt ：固定空間密度的局地變化率 t ., 0);, 0)VV（凈流出時，（凈流入時，單位時間單位空間體積（固定）

19、內(nèi)的質(zhì)量變化 ：單位時間單位空間體積內(nèi)流體質(zhì)量的流出流入量 )( V連續(xù)方程的物理意義1.1.連續(xù)方程描寫了速度場與密度場之間的相互制約關(guān)系。連續(xù)方程描寫了速度場與密度場之間的相互制約關(guān)系。2.2.當物質(zhì)體積元在運動中體積增大（輻散）時，因質(zhì)量守恒當物質(zhì)體積元在運動中體積增大（輻散）時，因質(zhì)量守恒其密度要減??；運動中體積減小（輻合）時，其密度要增其密度要減??；運動中體積減小（輻合）時，其密度要增大。大。3.3.對于固定空間體積元而言，當有質(zhì)量凈流入時，固定體積對于固定空間體積元而言，當有質(zhì)量凈流入時，固定體積元的密度要增大；當有質(zhì)量凈流出時，固定體積元的密度元的密度要增大；當有質(zhì)量凈流出時，固

20、定體積元的密度要減小。要減小。 ABxyzxyz),(zyx2)(xxuu2)(xxuuABxyz),(zyxAuBu六、狀態(tài)方程（熱力學(xué)方程）六、狀態(tài)方程（熱力學(xué)方程）RTp理想氣體：理想氣體：pTp;R是干空氣比氣體常數(shù)，是干空氣比氣體常數(shù)，287J287JK K-1-1kgkg-1-1七、熱力學(xué)第一定律（熱流量方程）七、熱力學(xué)第一定律（熱流量方程）能量守恒定律：能量守恒定律：QdtdPdtdTCV單位質(zhì)量氣團外界加熱率內(nèi)能變化率氣團膨脹反抗壓力作功率內(nèi)能變化率氣團膨脹反抗壓力作功率 Cv=718J/kg*K 干空氣定容比熱另外一種常用表達：另外一種常用表達：RTp)()(RTdtdPdt

21、d dtdTRdtdPdtdPQdtdTCQdtdPdtdTARCpV,)(A: 熱功當量熱功當量, Cp=1005J/kg*K 干空氣定壓比熱 QdtdTCRTpVtFVpgdtVdp0)(21個）方程個（個）未知量個（6464,TPV閉合閉合總結(jié)總結(jié)：八、局地直角坐標中的基本方程組八、局地直角坐標中的基本方程組球坐標 解決全球問題(global)局地直角坐標 解決局地問題(local) sin 球面局地切平面 局地切平面問題的引入局地切變面近似局地切平面近似：在局地范圍內(nèi)，可以把球面視為平面，不考慮單位矢量 的空間變化，即0 dtkddtjddtidkji,矢量運動標量運動又稱：z坐標系

22、o:地面區(qū)域中心z:垂直地面向上 (天頂方向）y:與經(jīng)圈相切向北x:與緯圈相切指向東忽略地球的曲面性。適用于中低緯局忽略地球的曲面性。適用于中低緯局部地區(qū)大氣運動，不適用于靠近極地部地區(qū)大氣運動，不適用于靠近極地區(qū)域區(qū)域QdtdpdtdTcRTpVdtdFufgrprvudtdwFfurprvwrtgudtdvFwffvrpruwruvtgdtduvr011cos133222球坐標系下的大氣運動方程sfsffufkfujfvwfiukujvwivukwujwviwvukjiVkjkwj vi uV451010292. 7;sin2,cos2:)()()()cos2()sin2()sin2cos2()cos0sin0sincos(2sincos022sincos其中QdtdPPRTdtdTCRTPzwyvxuzwyvxutFgufzpzwwywvxwutwFfuypzvwyvvxvutvFfvwfxpzuwyuvxuutuPzyx0)(111u、v、w、p、T六個未知量，六個方程；閉合方程描述各種尺度的大氣運動問題：不是有計算機么，不是有數(shù)值