z變換離散時間系統(tǒng)的z域分析

1、章節(jié)第八章z變換、誠時間系統(tǒng)的z域分析1-3節(jié)日期教學目的理解z變換及其收斂域，掌握典型序列z變換教學重點典型序列z變換；z變換的收斂域教學難點z變換的收斂域教學方法講授教學內容第八章z變換、離散時間系統(tǒng)的z域分析8.1引言z變換方法的原理可以追溯到18世紀。棣莫弗(DeMoivre)、拉普拉斯(P.S.Lapalce)相繼作出過杰出的貢獻。在離散信號與系統(tǒng)的理論中，z變換成為一種重要的數學工具。它把離散系統(tǒng)的數學模型一一差分方程轉化為簡單的代數方程，使其求解過程得以簡化。因此，其地位類似于連續(xù)系統(tǒng)中的拉氏變換。下面借助抽樣信號的拉氏變換引出其定義。若連續(xù)因果信號x(t)經均勻沖激抽樣，則抽樣

2、信號xs(t)為：O0xs(t)=x(t)、T(t)x(nT)、(t-nT)n=0取拉氏變換：二項.'：三stXs(s)=£x(t)edt=匚，x(nT)6(tnT)edtnOQ=Lx(nT)、(t-nT)e項dtn歹00QO=、x(nT)e"(t-nT)dtn=0x(nT)e"n-0asT1令：z=e或寫作s=lnz，且一般令T=1則：ToOoOX(z)x(nT)z='x(n)z43(8-1)n=0n-0sz=e上式即為單邊z變換。記為：X(z)=Lx(n)=Ex(n)z=x(0)中)+")+(8-2)nTzz8.2z變換定義、典型序列

3、z變換與拉氏變換類似，z變換也有單邊和雙邊之分，對于一切n只都有定義的序列x(n)，定義雙邊z變換為：0X(z)=Lx(n)='、'x(n)z*n=-：:顯然，如果x(n)為因果序列，則雙邊和單邊是等同的。上面兩式表明，序列的z變換是復變量z=的藉級數(亦稱洛朗級數)，其系數是序列x(n)值。有些文獻當中也把X(z)稱為序列x(n)的生成函數。由于離散時間系統(tǒng)非因果序列也有一定的應用范圍，因此在著重介紹單邊z變換的同時兼顧雙邊下面介紹一些典型序列的（一）單位樣值函數定義為：z變換分析。如圖8-1所示。取z變換，得到:z變換。6(n)=(n=0)(n=0)、（n）A10n圖8-1

4、單位樣值函數oOZ、.（n）、.（n）zJ=1nz0可見，與連續(xù)系統(tǒng)單位沖激函數的拉氏變換類似，單位樣值函數的于1。z變換等（二）單位階越序列定義為：u(n)=-1(n芝0)P(n<0)u(n)圖8-2單位階越序列如圖8-2所示。取z變換，得到:QOZu(n)-、'u(n)z"QO-頊zn=0若|z|>1,該幾何級數收斂,它等于11-zJ（三）斜變序列斜變序列為：如圖8-3所示。取z變換，得到:該變換可以用下面的方法間接求得。x(n)=nu(n)Zx(n)-'nz0已知，當|z|A1時有：Zu(n)=Hn=0-nz11-zJ將上式兩邊分別對z求導，得到:o

5、O/4xn4n(z)n=0142(1z)兩邊各乘z，就可得到斜變序列的z變換:+x(n)0n圖8-3斜變序列COZnu(n)-'、'nzn=0(z-1)2(|z|)同樣，若對上式再對z求導，可以得到:z(z1)Zn2u(n)=3(z-1)33z(zzZcos("n)u(n)=。_ze4z1)ZE"(z1)4(四)指數序列單邊指數序列：如圖8-4。取z變換，得到:Zanux(n)=anu(n)0圖8-4單邊指數序列(n)=Lanz"=：即)項n蟲若滿足：|z|>|a|,則可收斂為:牛堀)=1二飛，若令a=eb，當|z|>|eb|時，則:同

6、樣，對單邊指數序列變換式兩邊對Zabnu(n)z求導，可以求得：JZnanu(n)=彩2(1-az)2az(za)2Zn2anu(n)=："十：)(z-a)(五)正余弦序列單邊余弦序列cos(eo°n)如圖8-5所示。因為:Zabnu(n)=z-e令b=jo%,則當|z|>|ej®|=1時，得：(|z|eb|)同樣，令b=-jCO。，則得:將上兩式相加，得:Zaj0nu(n)zz-ej°Zaj°nu(n)0圖8-5單邊余弦序列由z變換的定義可知：兩序列之和的z變換等于各序列到余弦序列的z變換：從上式可以直接得Zaj0nu(n)Zaj0nu

7、(n)zzz-ej0z-et0z變換的和。根據歐拉公式,z_z(z-cos0)z-e-0z2-2zcosb0+1同理可得正弦序列Z變換:1Zsin(pn)u(n)Z_j-0zn:_cj'。rT02j_z-'ez-'e以上兩式得收斂域都為：|zA1。zsin02z2zcos01在指數序列的變換式中，令a6e)®,則有:Z頊aj0nu(n)=1一Vj0zJ同理:Z'na°nu(n)借助歐拉公式，有上面兩式可以得到:Z-ncos(on)u(n)Z：nsin(on)u(n)1：zcos01-2z'coso：2z':z'sino

8、1-2zJcoso2z'z(zWcos0)z2-2zcos，0：2:zsino上面兩式就是單邊指數衰減(P<1)及增幅(BA1)的余弦、正弦的典型的單邊z變換列于附錄五。z2_2：zcoso；"2z變換。收斂域為：|z|P|。一些8.3z變換的收斂域只有當級數收斂時，z變換才有意義。對于任意給定的有界序列x(n),使z變換定義式級數收斂之所有z值的集合，稱為z變換的收斂域(regionofconvergence，簡寫為ROC)。對于單邊變換，序列與變換式一一對應，同時也有唯一的收斂域。而在雙邊變換時，不同的序列在不同的收斂域條件下可能映射為同一個變換式。也即：兩個不同的

9、序列由于收斂域不同，可能對應于相同的z變換。因此，為了單值的確定z變換所對應的序列，不僅要給出序列的z變換式，而且必須同時說明它的收斂域。在收斂域內，z變換及它的導數是z的連續(xù)函數，即z變換函數是收斂域內每一點上的解析函數。雙邊z變換的表達式滿足收斂的充分條件是絕對可積：Q0、|x(n)z&|：n:上式左邊構成正項級數，有兩種方法判定收斂性：比值判定法和根值判定法。cd若一個正項級數為Z|an|,判定其收斂的方法為:比值判定：lim冬也=P；根植判定：limV|an|=PnFan當P<1時級數收斂，當P>1時級數發(fā)散，當P=1時無法判定。利用上述判定方法討論幾類序列的收斂域

10、。(1)有限長序列這類序列只在有限區(qū)間(n1nn2)內有非零的有限值，此時z變換為:上式是一個有限項級數。當n1<0,n2>。時，收斂域為當n<0,n2玄0時，收斂域為當n0,n>0時，收斂域為(2)右邊序列這類序列是有始無終的序列,X(z)='、'x(n)znfz手g且z,0,即：0<|z|<°°；z,即：|z|<°°；z。0,即：|z|A0。即當n<n1時，x(n)=0，此時z變換為:zSp°時，若n0,則zH0；z0時,若n|0,則z國。當n，山都大于0時，收斂域包括巧:當n

11、1,n2都小于0時，收斂域包括0。qQX(z)=x(n)z由根植判定法，該級數收斂應滿足limn|x(nb|=1n_.即：|z|limn|x(n)|=Rxin:，其中，Rxi是級數的收斂半徑?？梢姡疫呅蛄械氖諗坑蚴前霃綖镽xi的圓外部分。若n>0，則收斂域包括z=*,即|z|Rxi;若R|<0，則收斂域不包括z=°o,即Rxi<|z|<°0。顯然，當ni=。時，右邊序列變成因果序列，也就是說，因果序列是右邊序列的一種特殊情況。(3)左邊序列這類序列是無始有終的序列，即當nn2時，x(n)=0,此時z變換為：n2X(z)-'、'x(n

12、)z頊進行變量代換可得：oOX(z)=£x(n)zn由根植判定法，該級數收斂應滿足lim偵|x(-n)zn|=p<i即：,i|z|iRx2nmnwn)|n其中，Rx2是級數的收斂半徑?？梢姡疫呅蛄械氖諗坑蚴前霃綖镽x2的圓內部分。若n>0，則收斂域不包括z=0,即0<|z|<Rx2;若n0，則收斂域包括z=0,即|z|<Rx2。(4)雙邊序列一般寫作：:二4X(z)='、'x(n)zT=、x(n)z'、'x(n)z該式可以看作是右邊序列(第一項)和左邊序列(第二項)的疊加。收斂域為兩部分收斂域的重疊部分:RxiWz&qu

13、ot;x2其中RxiA0,Rx2<8。所以，雙邊序列的收斂域通常是環(huán)形。若RxiARx2,則該序列不收斂。以上可以看到，收斂域取決于序列的形式。P52表8-i列出了幾類雙邊變換的收斂域。例8-1求序列x(n)=anu(n)bnu(nT)的z變換，并確定它的收斂域(其中bAa0)。解：這是一個雙邊序列。先求單邊z變換:QOQOQOX(z)=£x(n)z"=Zanu(n)一bnu(-n-1)z"=Zanz如果|z|a,則該級數收斂，可得到：v/；n_nzX(z)=，az=nza其零點位于z=0，極點位于z=a，收斂域為|z|a。再求雙邊z變換：cOcOX(z)=

14、£x(n)z=Zanu(n)bnu(n1)z"QOn_nin_n=£az-£bzn=0njociaO0=£anz"+1£bnzn=0n=qo若|z|a且|z|<b,則該級數收斂，可得到：X(z)=+1+-=-+二zazbzazb其零點位于z=0及z=(a+b)/2，極點位于z=a及z=b，收斂域為b>|z|a。注：z變換X(z)在收斂域內是解析的，因此收斂域內不應該包含任何極點。通常，收斂域以極點為邊界。對于多個極點的情況，右邊序列的收斂域是從X(z)最外面(最大值)有限極點向外延伸至zT°0(可能包括

15、°0)；左邊序列的收斂域是從X(z)最里面(最小值)非零極點向內延伸至z=0(可能包括z=0)。備注章節(jié)教學目的教學重點教學難點教學方法第八章z變換、離散時間系統(tǒng)的z域分析4-5節(jié)掌握z變換基本性質以及逆變換的求法z變換基本性質以及逆變換的求法逆變換的求法WS日期教學內容8.4逆z變換若X(z)=Lx(n),則X(z)的逆變換記作x(n)=LX(z)2Jn1、.-C是包圍X(z)z所有極點之逆時針閉合積分路線，通常選擇明略。LX(z),它由以下圍線積分給出:1n_1.X(z)zdzz平面收斂域內以原點為中心的圓。證求逆變換的計算方法有三種。(一)留數法(圍線積分法)C內所包含X(z)

16、zn的各極點留數借助于復變函數的留數定理，可以把逆變換的積分表示為圍線之和。即：x(n)=上電X(z)zndz=£X(z)z口在C內極點的留數2二j七m或簡寫為:n1x(n)='ResX(z)z式中，Res表示極點的留數,mzm為X(z)zn_1的極點。若Zm為一階極點，則若Zm為S階極點，則ReqX(z)znJm=(z-zm)X(z)znLResX(z)znJzmmz-zm)SX(z)z"z%例8-2已知X(z)=/3：、5、,1丁2，求x(n)=ZX(z)。(z-1)(z-2)解：因為X(z)zn4(3z-5)zn(z-1)(z-2)(1)當n芝0時，圍線內只有

17、z=1這個極點。所以n4x(n)=Re$(X(z)z"(3z-5)znz2=2zT(2)當n<0時，z=0,z=1均為圍線內的極點。所以x(n)=£ResX(z)zn=圍線內所有極點本題中圍線內有兩個極點z=0,z=1，圍線外有一個極點z=2。根據留數的性質:£ResX(z)zN圍線內所有極點=-ZReqX(z)zn。圍線外所有極點因此可以求得:(3z-5)zn枷一昭亦/七廠一z1-2n綜合(1)(2)可以得到:x(n)=2u(n)-2nu(-n-1)這道題說明，在應用留數法求逆變換時，應當注意收斂域內圍線所包圍的極點情況，特別應關注對不同的n值，在z=0處

18、的極點可能具有不同的階次。另外，收斂域的不同也會得到不同的結果，如書上P56,例8-2。(二)長除法(藉級數展開法)因為x(n)的z變換定義為z的藉級數0X(z)=x(n)zJN(z),D(z)。若收斂域為|z卜Rx1,則若收斂域為|z|<Rx2,則N(z),D(z)所以，只要在給定的收斂域內把X(z)展開成藉級數，級數的系數就是序列x(n)。一般情況下，X(z)是有理數，令分子、分母多項式分別為1.N(z),D(z)按z的降藉(或z的升藉)次序排列，進行長除法;按z的升藉(或z的降藉)次序排列，進行長除法。例8-3求X(z)=,|z>1的逆變換x(n)。z1解：根據收斂域可將X(

19、z)展開成按z的降藉排列的形式:X(z)2zz2-1進行長除法可得：X(z)=1z'zz*1C所以：x(n)-一1(-1)u(n)例8-4求收斂域分別為|zA1,|z|<1兩種情況下,12z-1的逆變換x(n)。解：對于|z|>1,X(z)相應的序列x(n)是因果序列X(z)=/1-2zJz'(右邊序列)，這時X(z)寫成按z的降藉排列:進行長除法可得：X(z)=14z412zJX(z)=/1二2zzQO7z=L(3n-1)zn=0得到：x(n)=(3n1)u(n)對于|z|<1,X(z)相應的序列x(n)是左邊序列，這時X(z)寫成按z的升藉排列:2z1X(

20、z)=乙4一z-2z41二-A進行長除法可得：X(z)=2z5z"L"=七(3n-1)zn-x(3n1)z得到：x(n)=(3n1)u(-n-1)(三)部分分式展開法這里，部分分式展開法類似于拉氏變換中的部分分式展開法，不再細述，需要說明的是,z變換的基本形式是W一，所以在使用z變換部分分式展開法時,z-zm通常是將X(z)用部分分式法展開,然后z每個分式乘以z，這樣對于一階極點，X(z)便可以展開成z的形式。z-zm例8-5已知X(z)=2z-2z,|z>1,求x(n)。-1.5z0.5解:X(z)AiA2zz21.5z0.5z-0.5z1式中:A1=X(z)(z0

21、.5)=一1-zz!5AX(z)A2(z-1)=2zz.因此X(z)2z由于收斂域|z|A1,所以z-1z-0.5x(n)是因果序列(右邊序列)，因此x(n)=(2-0.5n)u(n)例8-6已知X(z)=z+2z+1,|z|>1,求x(n)。z(z-1)(z-0.5)解:X(z)z32z21268=+2_2zz(z-1)(z-0.5)z13zz1z-0.5所以X(z)=26z：13zz0.5容易求得:x(n)=2、(n-1)6(n)8-13(0.5)nu(n)部分逆變換列于表8-2,3,4(P60)。8.5z變換的基本性質(_)線性表現在疊加性與均勻性，若：Zx(n)=X(z),(Rx

22、1：|z|：Rx2)Zy(n)=Y(z),(Ry1：|z|：Ry)則:Zax(n)+by(n)=aX(z)+bY(z),(R<|zR2)其中，R=maXRx1,Ry1),R2=min(Rx2,Ry2)。相加后序列收斂域一般為兩個收斂域的重疊部分,然而，如果在這些線性組合中某些零點與極點相抵消，則收斂域可能擴大。例8-7求序列anu(n)a'u(nT)的Z變換。解：設x(n)=anu(n),y(n)=anu(n一1)已知：X(z)=Z(|z|a|)z-a而：Y(z)=£y(n)z"=，anz"=z(|z>|a|)所以：一一Lanu(n)-anu(

23、n-1)=X(z)-Y(z)=1收斂域變大，擴展到整個z平面。例8-8求序列cos(n切0)u(n)和sin(0)u(n)的Z變換。解：已知cos(nco0)u(n)=(ejnQ)+enWh)u(n)2Zejn0u(n)=|z|1z-ej0zZejn0u(n)j0|z|1z-e因此:Zcos(n0)u(n)1(zz_z(z-cos，0)z-eT'rz2-2zcoscc>0+1|z|1zsin0Zsin(n'0)u(n)=z2-2zcos.°11(二)位移性位移性表示序列位移后的Z變化與原序列Z變換的關系。實際中可能遇到序列的左移(超前)或右移(延退)兩種情況，所

24、取的變換形式又可能有單邊與雙邊變換，他們的位移性基本相同，又各具特點，分以下情況討論。(1)雙邊Z變換設序列x(n)的雙邊Z變換為Zx(n)=X(z),則Zx(n-m)=zX(z)證明：根據定義OoOZx(n_m)='、x(n_m)z=zMx(k)z=zX(z)n=-：k=.：同理可得到：Zx(nm)=zmX(z)由以上特性可以看出，序列位移只會使Z變換在z=0或z=*處的零極點發(fā)生變化。如果x(n)為雙邊序列，則X(z)收斂域為環(huán)形區(qū)域，在這種情況下序列位移并不會使Z變換收斂域發(fā)生變化。(2)單邊Z變換若x(n)是雙邊序列，其單邊Z變換為Zx(n)u(n)=X(z)。則m-4Zx(n

25、m)u(n)=zmX(z)二：x(k)z*k=0證明：根據單邊Z變換的定義，可得OdO0Zx(nm)u(n)=x(nm)z工=zm'x(nm)znm)n-0噂mJ=zm'x(k)z*=zm'x(k)zx(k)k=mk=0km_1=zmX(z)-、x(k)z“kJ0同樣可以證明右移序列：.1Zx(n-m)u(n)=z.X(z)-2x(k)z“k-_m對于因果序列，由于£x(k)z空為零，于是對于右移序列有k-_mZx(n-m)u(n)=zX(z)而左移序列的Z變換不變。例8-9已知y(n)0.9y(n1)=0.05u(n)，邊界條件y(1)=0，用Z變換法求系統(tǒng)

26、響應y(n)。解：對方程式兩端分別取Z變換，注意使用到位移定理。10.05zY(z)-0.9zY(z)=z12丫=0.05z(z0.9)(z1)為求逆變換，令Y(z)0.05zA1.A233"Iz(z-0.9)(z-1)(z-0.9)(z-1)容易求得：A0.05z|八“A=-0.45zT|z&90.05zA2=0.5z0.9zmY(z)0.45z工0.5zz(z-0.9)(z-1)y(n)=0.45X(0.9)n+0.5u(n)(三)時間反轉特性若Lx(n)=X(z),則Zx(n)hXG"1)證明：QOOOZx(n)=2x(n)z*=Nx(n)(z)=X(z)ni

27、n=-od(四)序列線性加權(z域微分)若已知Zx(n)=X(z),則:dZnx(n)"zdzX(z)證明：對Z變換式兩邊求導因此有:dX史；x(n)z，：x(n)9zndzdzdznoOJv.，、-znx(n)zn=Q=-zJLnx(n)dd2d2dzzdzX=zdz2dX(Z)ZdzXdZnX(n"ZdzX利用上式可以得到:2dZnx(n)-z一Znx(n)-zdz同樣道理可以得到:符號-,mdIdi-zi=zdzdzdd-zzdz|dzZnmx(n)="z£：X(z)-zX(zHl；>共求導m次。dz例8-10求斜變序列nu(n)的Z變換。解

28、:Znu(n)=z§Zu(n)=z?dzdztz-lj(z-1)(五)序列指數加權(z域尺度變換)若已知Zx(n)=X(z)(Rxiz|<Rx2),a為非零實數,則:Zanx(n)=Xz(Rxia<-<Rx2)a-n證明:Zanx(n)=£anx(n)z*=£x(n/j同樣可以得到:ZaJx(n)HX(az)(Rxiaz|<：R、?)Z(-1)nx(n)=X(-z)(Rxi，：|z|：Rx2)初值定理若x(n)是因果序列，已知Zx(n)=X(z)=£x(n)z*,則:n=0x(0)=|im_X(z)z證明：因為QOX(z)=Lx(

29、n)z=x(0)x(1)zx(2)zn=0當zt8,上式中除了第一項外，都趨于零。所以結論得證。終值定理oO若x(n)是因果序列，已知Zx(n)=X(z)=£x(n)z*,貝U：n=0x(二)=limx(n)=lim(z-1)X(z)n-z】1證明：因為Zx(n1)-x(n)=zX(z)-zx(0)-X(z)=(z-1)X(z)-zx(0)取極限得到:-x(n)zJlm(z1)X(z)=x(0)lmx(n1=x(0)x(1)-x(0)x(2)-x(1)x(3)-x(2)=x(二)所以limx(n)=lim(z-1)X(z)n)二z1可以看出，終值定理只有當nT*時x(n)收斂才可應用

30、。也就是說，要求X(z)的極點必須處在單位圓內(在單位圓上只能位于z=+1點且是一階極點)。例如X(z)=，則x(0)=既乂=1，而x(°o)不存在，因為有極點z=1。以上兩個定理的應用類似于拉氏變換，如果已知序列x(n)的Z變換X(z)，在不求逆變換的情況下，可以利用這兩個定理方便的求出序列的初值和終值。(六) 時域卷積定理已知兩序列x(n),h(n)，其z變換為Zx(n)=X(z)國：|z|<：Rx2)Zh(n)=H(z)(Rh1：|z|tW則：Zx(n)*h(n)=X(z)H(z)或寫作：x(n)*h(n)=Z-1X(z)H(z)一般情況下，其收斂域是兩收斂域的重疊部分，

31、即max(Rx1,Rh1)<|z|<min(Rx2,Rh2)。若位于某一z變換的極點被另一z變換的零點抵消，則收斂域將會擴大。證明：Q0Zx(n)*h(n)='x(n)*h(n)z上n二二：oOoO='、''、'x(m)h(n-m)zsn=.：m=：)='、x(m)二：h(-m)z"(n)zm=-：n=-：:oO='、,x(m)zH(z)m=-匚=X(z)H(z)可見兩序列在時域中的卷積等效于在z域中兩序列z變換的乘積。例8-11求下列兩單邊指數序列的卷積：x(n)=anu(n),h(n)=bnu(n)。解：因為X(

32、z)=z(|z|a|);H(z)=z(|z|b|)z一az一bY(z)=X(z)H(z)二(z_a)(z-b)顯然，其收斂域為兩收斂域的重疊部分。用部分分式法求逆變換Y(z)1aza-b】z-abziz-by(n)=x(n)*h(n-(an+-bn41)u(n)a-b例8-12求下列兩序列的卷積：x(n)=u(n),h(n)=anu(n)-anu(n-1)。解：已知zzzz1X(z)(|z|1);H(z)z(|z|a|)z-1z-az-az-aY(z)=X(z)H(z)="1=z(|z|a|)z-1z-az-ay(n)=anu(n)顯然，零極點相消了，若|a|<1,則收斂域比兩

33、收斂域重疊部分要大。序列相乘(z域卷積定理)已知兩序列x(n),h(n)，其z變換為Lx(n)=X(z)(Rx1：|z"：Rx2)Lh(n)=H(z)(Rh1：|z|：Rh2)則：1z'_L中仰腭藥幺外；(誑w或寫作:C2Lx(n)h(n)=2"CX(v)Hjvdv式中，C1,C2分別為XIH(v)或X(v),H-i收斂域重疊部分內逆時針旋轉的圍線。vvz變換一些主要這里對收斂域和積分圍線的選取限制較嚴，從而限制了它的應用。這里不再細講。性質列于表8-5(P73)。章節(jié)第八章z變換、部時間系統(tǒng)的z域分析6-8節(jié)日期教學目的使用z變換分析系統(tǒng)教學重點z變換解差分方程；

34、離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數教學難點z尖換解差分方程教學方法講授教學內容8.6z變換與拉普拉斯變換的關系三種變換域方法之間有著密切的聯系，在一定條件下可以相互轉化。第四章討論過拉氏變換與傅氏變換的關系，現在研究z變換與拉氏變換的關系。(一)z平面與s平面的映射關系z變換定義的時候有z與s的關系：ST1z=e或s=lnzT式中，T是序列的時間間隔。為了說明sz的映射關系，將s表示成直角坐標形式，而把z表示成極坐標的形式，即：s_jjz=re因此有：reju=e(Lj口于是得到：r=e，T=e"su-T=2ns上式表明s平面上任一點s0映射為z平面上一點z=e°。特殊情況卜，sz平面有如

35、卜應設關系:s平面上的虛軸(b=0,s=j與)映射到z平面是單位圓，其右半平面(>0)映射到z平面是單位圓的圓外，而左半平面(：:0)是單位圓的圓內。s平面上的實軸(仍=0,s=<!)映射到z平面是正實軸，平行于實軸的直線(仍為常數)映射k到z平面是始于原點的輻射線，通過j一(k=±1,±3,)而平行于實軸的直線映射到z平面是負實軸。2sz平面映射關系如表8-6(P75)。(1) 由于e偈是以s為周期的周期函數，因此在s平面上沿虛軸移動對應于z平面上沿單位圓周期性旋轉，每平移"則沿單位圓轉一圈。所以sz映射并不是單值的。P76圖8-11說明了上述映射關

36、系。掌握上述映射關系，容易利用s域中零極點分布與系統(tǒng)性能的類似方法研究離散時間系統(tǒng)函數z平面特性與系統(tǒng)時域特性、頻響特性以及穩(wěn)定性的關系。(二)z變換與拉氏變換表達式之對應此部分內容討論能否借助X(s)寫出X(z)。以下分析中，必須注意對于連續(xù)時間信號的突變點函數值與對應序列樣值的區(qū)別。若連續(xù)時間信號？(t)由N項指數信號相加組合而成，即：NNX(t)=W?(t)=WAePitu(t)i4i其拉氏變換為：若序列x(nT)是對X(t)的抽樣信號,NALX(t)='A舊s-Pi由N指數序列相加組合而成，即:x(nT)-、xJnT)=LAepnTu(nT)i-1i4其z變換為：Zx(nT)=

37、£A：11-ezx(nT)的樣值等于X(t)在t=nT各點之抽樣值。然而在t=0(n=0)點違反了這一規(guī)律，原因是在此點波形發(fā)生跳變。具體講，對于任意i值有：'0,(t<0)?(t)=<JAL(t=0)2AiePit(t>0)0,(n：0)xj(nT)=A(n=0)AiePinT(n0)可以看出，按抽樣規(guī)律建立二者聯系時必須在0點補足A/2,即：:)?(t)u(t)|頃n#0xi(nT)U(n)=h(t)u(t)|t+A/2n=0例8-13已知x(t)=eu(t),X(s)=，求抽樣序列e'nTu(nT)的z變換。sa解：只有一個一階極點s=-a,因

38、此1X(z)=1-ze0例8-14已知x(t)=sin(與°t)u(t),X(s)=，求抽樣序列sin(仁°nT)u(nT)的z變換。s.°解：顯然，極點位于s=±jco。，X(s)可展成部分分式X(s)T+土-一4X(z)2.2_zsin(0T)X(z)1-z%j0T1-z%0TlzWosJT)/這種對應規(guī)律在借助模擬濾波器原理設計數字濾波器是會很有用。P79表8-7列出了常用連續(xù)信號的拉氏變換與抽樣序列z變換的對應關系。8.7利用z變換解差分方程這種方法的原理是基于z變換的線性和位移性，把差分方程轉化為代數方程，從而使求解過程簡化。線性時不變離散系統(tǒng)

39、的差分方程一般形式是NM2.aky(n-k)='brx(n-r)k=0r=0將等式兩邊取單邊z變換，并利用z變換的位移公式可以得到：N匚M-4'、'akz"Y(z)'y(l)zbrz"X(z)、x(m)zk=0l-kr-0m-r若系統(tǒng)為零輸入響應，則N'、aky(n-k)=0k0NJ'、akz"Y(z)、y(l)z=0kz0l-水于是，NA-'、Bz"'y(l)zY(z)=心n二k=0對應的響應序列是上式的逆變換，即：1y(n)=Z=Y(z)顯然這是零輸入響應，該響應由系統(tǒng)的起始狀態(tài)y(l)

40、(-N14-1)而產生的。若系統(tǒng)為零起始狀態(tài)，即y(1)=0(N苴1苴1),貝U：NMJ、,'akz"Y(z)='brZX(z)，：x(m)zk=0r=0m若激勵信號為因果序列，上式可變成：NMakZ*Y(z)='brz'X(z)k=0r-0于是，M'bz”Y(z)=X(z)；=X(z)H(z)-kakzk=0M'、brz"這里，H(z)=稱為系統(tǒng)函數，是由系統(tǒng)的特性所決定的。此時對應的序列為:kakzkz0y(n)=Z”X(z)H(z)這里得到的是系統(tǒng)的零狀態(tài)響應，它完全是由激勵產生的。綜合以上兩種情況可以看出，離散系統(tǒng)的總

41、響應等于零輸入響應與零狀態(tài)響應的和。例8-15離散系統(tǒng)為y(n)by(nT)=x(n)，若激勵x(n)=anu(n)。(1)起始值y(1)=0，求響應y(n)。(2)起始值y(1)=2，求響應y(n)。解：(1)對差分方程兩邊取單邊z變換：Y(z)-bz、(z)-by(-1)=X(z)由于y(1)=0,所以Y(z)-bzY(z)=X(z)Y(z)=X(氣1-bz已知X(z)=z(|z|Na|),于是由于該系統(tǒng)處于零狀態(tài),(2)此時于是azY(z)=(z_a)(z_b)a-bz_ay(n)=1(an1bn1)u(n)a-b所以系統(tǒng)的完全響應就是零狀態(tài)響應。丫Xby-1-bz1-bz1bzIz-b

42、2bz+(za)(zb)zbazbz2bzI十a2z-az2z2y(n)1(an1-bn1)2bn1(n_0)a-b8.8離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(一)單位樣值響應與系統(tǒng)函數上節(jié)已給出系統(tǒng)函數的形式為它表示系統(tǒng)的零狀態(tài)響應與激勵的M'bz°rd3Y(z)H(z)nX(z)、aakzkd3z變換的比值。將上式分子與分母多項式經因式分解可寫為:M【(1-zz)H(z)=GN1H(1-Pkz)kd其中zr,Pk是H(z)的零極點，它們由差分方程的系數ak,br決定。利用系統(tǒng)函數可以求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(除了使用卷積方法外)單位樣值響應的卷積表示：O系統(tǒng)的零狀態(tài)響應可以用激勵與由時域卷積定理

43、其中y(n)=x(n)*h(n)Y(z)=X(z)H(z)y(n)=ZX(z)H(z)O0H(z)=Zh(n)=Lh(n)z例8-16求下列差分方程描述系統(tǒng)的系統(tǒng)函數和單位樣值響應：y(n)ay(n1)=bx(n)解：將差分方程兩邊取z變換:4Y(z)-azY(z)-ay(-1)=bX(z)Y(z)(1-az)=bX(z)ay(-1)如果系統(tǒng)處于零狀態(tài)，即y(-1)=0，貝U：H5)Y(z)bbzn(Z)二二T二X(z)1azzah(n)=banu(n)(二)系統(tǒng)函數的零極點分布對系統(tǒng)特性的影響(1)由系統(tǒng)函數的零極點分布確定單位樣值響應與拉氏變換在連續(xù)系統(tǒng)中的作用類似，在離散系統(tǒng)中，z變換函數X(z)的形式反映了時