三角恒等變形講義

1、 三角恒等變換專題講義 李霞 知識點 1:兩角和與差的正弦、余弦和正切公式 1.兩角和與差的余弦公式 cos（：-I1）=cos=cos:sin 二 sin: cos（-）=cos 二 cosP-sin 二 sin: 注：1.公式中兩邊的符號正好相反（一正一負） 2. 式子右邊同名三角函數(shù)相乘再加減，且余弦在前正弦在后 3. 會逆用及其變形 2.兩角和與差的正弦 sin（一：-：）=sin:cos:-cos:sin: sin（:工-I，）=sin:cos:cos:sin: 注：1.公式中兩邊的符號相同 2.式子右邊異名三角函數(shù)相乘再加減 3.會逆用及其變形 3.兩角和與差的正切公式 tan二t

2、an: tan（a+3）=一 a, 1 tan-：tan- tan二Tan: 1 tan-tan: 注：1.兩角和時，上加下減 2 .兩角差時，上減下加 3 .會逆用及其變形 考點 1:求值問題 【例】求下列各式的值 (1) cos75 (2) cos75cos15 sin255sin15 tan（-破）= (3) sin47二sin47Cos30cos17 (4) 1+tan75 1tan75 (5) tan20+tan40+糜tan20tan40 考點 2:化簡問題 【例】化簡下列各式 (1)-sinx+1cosx22 (2)sinx1cosx22 知識點 2:兩倍角的正弦、余弦和正切公式

3、 1 .兩倍角的正弦公式 Sin2a=2sinacosa 2 .兩倍角的余弦公式 Cos2aROS2a-sin2a=2cos2a1=12sin2a 3 .兩倍角的正切公式 2tan: tan2a=2 1-tan: 注：對以上三個公式會逆用及其變形 考點：求值問題 orcosa=2,亦(0,Ji),貝sin2a= 知識點3:簡單的三角恒變形 1 .半角公式 a cos二 2 1cos： 3,積化和差 1 二一sin(汽)I)-sin(:-)2 1 =_sin(二：,-1)-sin(:)2一a (3)tan一2 2.和差化積 (1) sin二；sin sin 1-cos- (2) sin二一sin

4、 (3) cos- sin工 cos二cos 2 Ra十P 2cos 2 Ra+F ，-=2cos C+PC-P cos sin2 a-cos一 22 3a+Pa-Pcos:-cos-2sinsin 22 例1已知：sin 【例 2】計算求值 sin10 3 cos1 (1)sin= 2 -cos： (1)sin二cos: cos二sin- 1， (3) cosotcosP=cos(a+P)+cos(a一P) 2 1， (4) sin：sin:=cos(:二，p)cos(：.I)2 4.輔助角公式 輔助角公式：asinx+bcosx=A/a1b2sin(x+8)(其中日角所在的象限由 a,b

5、的 符號確定，0角的值由tane=b確定)在求最值、化簡時起著重要作用a 考點 1：化簡求值問題 (1)開幕化簡 /-2 【例【例 2】化簡：1-sin440 1:12 【例【例2】已知0Pan且cos(口一一)=一一,sin(一P)=，求的值 【例【例 3】e 是第三象限角，化簡 1sin： ,1-sin; 1-sin： 3 【例 1】右 gW(n,n),化簡 2 1-cos11cos1 1cos-1-cos- (2)降幕化簡 2 【例【例 1】求函數(shù)y=2cosx+sin2x的取小值冗 丁(鼻,二) 【例【例 4】化簡 【例【例 2】函數(shù)y=2C0S12x-L1最小正周期為 ,4 2292

6、3 cos(-l1-1) R的單調(diào)遞增區(qū)間為 (3)切化弦 【例【例 1】求】求 sin50(1+/3tan10)的值 （4）巧變角（已知角與特殊角的變換、已知角與目標角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換.如a=（。+P）-P=（。-P）十P, ot+B 2a=（c（+P）+（久一P）,2a=（P十a(chǎn)）一（Pa）,a+P=22, 2 1】已知tan（u十口）=_5 ji ,求tan(a+-)的值【例【例 2】(tan10 73) cos10 sin50 【例【例 a 和 3,滿足 sin(a-3)=3,sina=4,求 sin3 的值 55 (5)輔助角 3 【例【例 1】已知函數(shù)

7、f(x)=2cosxsin(x+)- 32 (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及取得最大值時x的取值集合 (2)求函數(shù)f(x)圖像的對稱軸方程 【例【例 2】已知函數(shù)f(x)=2acos2x+bsinxcosx-3,且f(0)=,f()=-o2242 (1)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間 (2)函數(shù)f(x)的圖像經(jīng)過怎樣的平移才能使所得圖像對應的函數(shù)成為奇函數(shù) f- 【例【例 3】已知函數(shù) y=1cos2x+-3-sinx-cosx+1(xCR) 2 2 (1)當函數(shù) y 取得最大值時，求自變量 x的集合 (2)該函數(shù)的圖像可由 y=sinx(xCR)的圖像經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到 【例【例 3】

8、已知：銳角 1 【例【例 4】已知：tan(+)= tan 二1 (3)=，求 tan(a+3)的值 62 11 【例【例 4】已知函數(shù)f(x)=cos(+x)cos(x),g(x)=-sin2x-。3324 (1)求f(x)的最小正周期； (2)求函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的集合。 (6)關于 sina cose(與 sinotcosa(或 sin2a)的關系的推廣應用 (由于(sinacosa)2=sin2a+cos2a2sinacosa=12sinacosot故知道 (sincos),必可推出 sinscosw(或 sin2) 3Q.Q. 【例

9、】【例】已知sinHcose=，求sin日cos日。 3 (7)利用公式：sin2a+cos2ct=1 及“托底”方法求值 【例【例 1】已知：tg 口=-3,求 sin 口 cosa-cos%的值 【例【例 2】已知： tga=3,求s3cosa的值2sin=ccos: 考點 2:證明問題 證三角恒等式時，先觀察左右兩邊： 是否同名函數(shù)？如果不是同名函數(shù)，一般保留正弦和余弦，把其它的變?yōu)檎液陀嘞遥ó惷?是否同角函數(shù)？如果不同角，就要考慮利用倍角、半角公式，（異角化同 角）； 次數(shù)是否相同？如果兩邊不同次，就要注意是否有必要“升次”或“降次”； 是繁還是簡？一般從較繁的一邊往較簡的一

10、邊變 （化繁為簡） ， 如果兩邊都繁，則變兩邊（左右歸一）， 有時還需要用三角函數(shù)值來替換數(shù)字，根據(jù)角來對三角函數(shù)加以配湊和拆項 （1）異名化同名 【例【例 1】求證: 1-sin：1csc：,3 =cot; 1-cos：1sec： 【例【例 2】求證 1-2sin二：cosj1-tan工 2.2一,，一 cos:-sin二1tan- 【例【例 3】求證: 1secxtanx1sinx 1secxTanxcosx 【例【例4】 求證：tanA+cotA= 2 sinA 2sin4： .3_ sin2; (2)異角化同角 【例【例 1】求證：tg5X+tg3a=4cos2acos4atg5：-tg3： 【例【例 2】求證：tanx-tan-=2sinx 22cosxcos2x (3)降次 6.6. 1-sin二-cos3 1-sin4cos%2 【例【例 2】求證 /4.4 1-cos二-sin=/c.22 66=1-3sin:cos： 1-c