微積分_旋轉體體積PPT精選文檔

1、1第四節(jié) 微積分基本公式 一、變速直線運動中位置函數(shù)與速度函數(shù)之間的聯(lián)系 0)(1ts)(2ts)(ts上的定積分在度函數(shù)內物體經過的路程是速間隔在時間速度函數(shù)為設位置函數(shù)為,)(,),(),(2121tttvtttvts21)(ttdttv2上的增量間在區(qū)這段路程又是位置函數(shù)另一方面,)(,21ttts)()(12tsts)()()(1221tstsdttvtt 所以的原函數(shù)。函數(shù)是速度，即位置函數(shù)注意到)()()()( tvtstvts則數(shù)上的原函在區(qū)間是猜想：設,)()(baxfxFbaaFbFdxxf)()()(3導數(shù)二、積分上限函數(shù)及其上的定積分在考察上連續(xù)，在設,)(,)(xaxf

2、baxbaxfxadttf)(個函數(shù)，記作上的一是定義在對應值，所以，都得到定積分的一個上每一個對于,)(,badttfxbaxa)()()(bxadttfxxa 稱為積分上限的函數(shù)4限的函數(shù)上連續(xù)，則積分上在區(qū)間如果函數(shù)定理 ,)(1baxfxadttfx)()(上具有導數(shù)，且在,ba)()()()( bxaxfdttfdxdxxa 處的值。限數(shù)等于被積函數(shù)在其上即：積分對其上限的導5則是增量，且設證),(),(baxxxbax xxadttfxx)()(于是)()(xxxxxaxadttfdttf)()(xaxaxxxdttfdttfdttf)()()(xxxdttf )()(xxxfxf

3、)(（積分中值定理）之間）與在（xxx)(x)(xfy yxxxab0 x)(f6所以)()()(fxxxxx上連續(xù)，在因,)(baxf,之間與在且xxx,0 xx時當于是)(lim)()(lim00fxxxxxxx )()(limxffx )( lim0 xxx而)()()( bxaxfx 所以);()(, 0,afaxax可證取若);()(, 0,bfbxbx可證取若7故有)()()( bxaxfx 上的一個原函數(shù)。在就是上連續(xù)，則函數(shù)在區(qū)間如果函數(shù)定理,)()()(,)(2baxfdttfxbaxfxa 分。通過原函數(shù)來計算定積即可定積分）之間的聯(lián)系，了定積分與原函數(shù)（不。另一方面揭示原

4、連續(xù)在性：連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)的存這個定理一方面證明了函數(shù)函數(shù)都存在任何 8學基本定理）萊布尼茨公式（微積分三、牛頓，則的任一原函數(shù)是上連續(xù)，在區(qū)間如果函數(shù)定理 )()(,)(3xfxFbaxfbaaFbFdxxf)()(的一個原函數(shù)，是因證)()(xfxF 又xadttfx)()(所以)()(bxaCxxF( 的原函數(shù)，也是)(xfCdttfxa)(9CCdttfCaaFaa)()()()()()()(aFdttfCdttfbFbaba 于是)()()(aFbFdttfba 即有公式baaFbFdxxf)()()(積分基本公式。萊布尼茨公式，也叫微叫做牛頓 公式可簡記為babaxFdxxf)()

5、(101021dxx求例 解102dxx10331x3131212xdx求例 解31312arctan1xxdx) 1arctan(3arctan)4(3127,3123的一個原函數(shù)是因xx所以,11arctan2的一個原函數(shù)是因xx所以111213dxx計算例 ，的一個原函數(shù)是時，當解|ln10 xxx 2ln2ln1ln|ln11212xdxx 所以形的面積。與成的平面 圖軸所圍x上0, 在sinxy 計算正弦曲線 4例 2 0coscoscossin00 xxdxA解A0 xy xysin12變上限積分的求導公式( )( ) ( ( ) ( ) xadf t dtfxxdx( )( )

6、( ) ( ( )( )( ) uaF uf t dtuxdddF u xF uu xdxdudx1321cos20 limtxxedtx例5求型未定式。所以極限為，均為時，分子、分母的極限因解0000 xxtxtdtedtecos11cos22 又則令,cosxu )(coscos1cos11cos222xdteduddtedxddtedxdxuutxtxt （復合函數(shù)求導法）14222coscoscos( sin )( sin )sinuxuxxexexxe eexxxxexdtexxxxxxtx21limsinlim212sinlimlim222cos00cos021cos0 所以15定

7、積分的換元法dtttfdxxfbatbaxxbaxfba)( )()(,)()2()(,)() 1 ()(,)( ，則有其值域不越出上具有連續(xù)導數(shù)，且（或在；滿足條件：上連續(xù)，函數(shù)在區(qū)間設函數(shù)定理元公式。這個公式叫定積分的換16)()()()()(aFbFdxxfxfxFba 的一個原函數(shù)，則是設證)( )()( )()( )()(ttftxfdtdxdxdFttFt，有另一方面，令的一個原函數(shù)，是所以)( )()(ttft 因此有)()()( )(dtttf)()(FF)()(aFbFdtttff(x)dxba)( )( 所以17 1. ( ) , , ( ) , 2. tA Ba bf x

8、A B當?shù)闹涤驎r，只要在上連續(xù)，則定理仍成立。用換元法求定積分時，當積分變量換成新變量后，積分限也要換成新變量的積分限。注：)0(022adxxaa 1 計算例tdtadxtaxcos,sin則令解 2,0,0taxtx時當時當2022022costdtadxxaa 所以202)2cos1 (2dtta4)2sin21(22202axta18:使用換元公式也可以反過來babaxdxfdxxxf)()()( )()(),()()(badttfxt 205sincos2xdxx計算例 205205coscossincosxxdxdxx因解 ,sin,cosxdxdtxt則設0,2, 1,0txtx

9、時當時當61sincos105015205dttdttxdxx 所以19可這樣解：出新變量，如上例也此種方法可以不明顯寫205205coscossincosxxdxdxx 解61cos61206x。量時，積分限就不變更注：當不明顯寫出新變20aaaaadxxfaaxfdxxfdxxfaaxf0)(,)(2)(2)(,)(130 上連續(xù)且為奇函數(shù)，則在）若（上連續(xù)且為偶函數(shù)，則在）若（證明例aaaadxxfdxxfdxxf00)()()( 證，令中在txdxxfa0)(則得0000)()()()(aaaadxxfdttfdttfdxxf21dxxfxfdxxfdxxfdxxfaaaaa000)(

10、)()()()( 于是)(2)()()() 1 (xfxfxfxf 是偶函數(shù)，則若aaadxxfdxxf0)(2)( 所以0)()()()2(xfxfxf 為奇函數(shù)，則若aadxxf0)( 所以222200004 f(x)0,1,1 (sin )(cos ).;2 (sin )(sin ),2fx dxfx dxxfx dxfx dx例若在上連續(xù) 證明（）（ ）.cos1sin02dxxxx并由此計算2302022200(1) cossin sincossin(sin )(cos )cos(cos )(cos ):2txtdtxdxtfx dxftdtxft dtfx dxtx令，注意 令更簡

11、單24022(2) ( )(sin( )02( cos )02( cos ).f xxfx dxtxtft dxtft 分部積分不可， 因為不一定可導要證的結論等價于是奇函數(shù).原命題得證25第五節(jié) 廣義積分（無窮積分）一、無窮限的廣義積分,)(1abaxf 上連續(xù)，在區(qū)間設函數(shù)定義 如果極限babdxxf)(lim存在，。上的廣義積分，記作在無窮區(qū)間則稱此極限為函數(shù)adxxfaxf)(,)(即babadxxfdxxf)(lim)(26發(fā)散。不存在，則稱廣義積分收斂；如果上述極限這時也稱廣義積分aadxxfdxxf)()(發(fā)散。則稱廣義積分如果上述極限不存在，收斂，且記作存在，則稱廣義積分類似地

12、，如果極限bbaabbbaadxxfdxxfdxxfdxxfdxxf)()(lim)()()(lim 27為無窮積分）。窮限的廣義積分（也稱統(tǒng)稱為無上述收斂，且都收斂，則稱廣義積分和上連續(xù)，如果廣義積分在同樣，設babbaadxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfxf)(,)(,)()(lim)(lim)()()()()()(),()(000000 28211xdx 計算例解arctan0limarctanlim1lim002axxdxaaaaa2)2(20arctanlimarctanlim1lim002bxxdxbbbbb2211102022

13、xdxxdxxdxxy0ab211xy29時發(fā)散。時收斂，當當證明廣義積分例11)0(2ppaxdxap baxdxxdxpbabablnlimlim1 時當證時當1p1111111ppapxpxdxpaapp 廣義積分收斂。時，時，廣義積分發(fā)散；當所以，當11pp 。簡記作注：為了方便，ababxFxF)()(lim30244021222220220021123 :cossin21(cossin)2sincos11211cos421sin 21242 2nnnIdxxxIdxxxxxdxdxxxI例求證證明后面證明3122220122221001( )( )( )122( )()( )2nn

14、nIf x dxf x dxf x dxIftdtftndxnIf xf xf x利用了的周期性32201220021122013cos131tan20 2 tan2Idxdttxttxtxxt證明變量替換：當 在 ，變化時，不是連續(xù)的辦法：充分利用函數(shù)的奇偶性，再作變量替換。33221002000011(4 )1cos43cos14113cos3cos113cos3cos12 23cosIdx txdxxxdxdxxxdxdxxxtxdxx證明再用偶函數(shù)340222002123cos1212211231110lim2arctan2arctan222222adxxdtdttttta35定積分的

15、元素法定積分的元素法復習曲邊梯形的面積計算方法（演示）復習曲邊梯形的面積計算方法（演示）定積分的元素法分析（定積分的元素法分析（演示演示） 定積分的元素法（定積分的元素法（演示演示） 應用定積分的元素法解決問題時，關鍵在于確定積分元素應用定積分的元素法解決問題時，關鍵在于確定積分元素f(x)dx 和積分區(qū)間和積分區(qū)間a ,b。 一般地：若所量一般地：若所量U與變量的變化區(qū)間與變量的變化區(qū)間a , b有關，且關于有關，且關于a , b具有可加性，在具有可加性，在a , b中的任意一個小區(qū)間中的任意一個小區(qū)間x , x+dx上上找出部分量的近似值找出部分量的近似值dU=f(x)dx,得所求量的定積

16、分表達式得所求量的定積分表達式 這種方法叫做定積分的元素法。這種方法叫做定積分的元素法。 dU=f(x)dx稱稱為所求量為所求量U的元素。的元素。(,)baUf x dx36直角坐標系下的平面圖形的面積（演示）直角坐標系下的平面圖形的面積（演示）1、 由由x=a ， x= b ,y=0 及及 y= f (x) 所圍成的平面圖形的面積為所圍成的平面圖形的面積為 )( baAf x dxab2、由、由x=a ， x=b ,y=f (x) 及及 y=g (x) 所圍平面圖形的面積為所圍平面圖形的面積為 )( ()()baAf xg xabdx3、 由由y= c ， y= d ,x=0 及及 x= (

17、y) 所圍平面圖形的面積為所圍平面圖形的面積為 )( dcAycdyd 平面圖形的面積例題選舉平面圖形的面積例題選舉例例1 計算由計算由 及及 所圍成的圖形的面積。所圍成的圖形的面積。 2yx2yx例例2 計算由曲線計算由曲線 和和 所圍成的圖形的面積。所圍成的圖形的面積。 36yxx2yx例例3 計算由計算由 和和 所圍成的圖形的面積。所圍成的圖形的面積。 22yx4yx例例4 求橢圓求橢圓 的面積。的面積。22221xyab解解1220822(2 ) 2(4)18AAAxxdxxxdx 練習寫出下列給定曲線所圍成的圖形面積的定積分表達式。練習寫出下列給定曲線所圍成的圖形面積的定積分表達式。

18、,yx yx（1） ,0 xye yex（2） 22,3yxxx（3） 10 xx dAx1610 xeeAdx11233 2x xAdx323練習寫出下列給定曲線所圍成的圖形面積的定積分表達式。練習寫出下列給定曲線所圍成的圖形面積的定積分表達式。102Axx dx32123Axxdx 2212xxdx223,xxyy（4） 2,2yxyxyx（5） 83762 2222202Axxdx12221xdx一般地：如右圖中的陰影部分的面積為一般地：如右圖中的陰影部分的面積為 dcAfyg ydy練習寫出下列給定曲線所圍成的圖形面積的定積分表達式。練習寫出下列給定曲線所圍成的圖形面積的定積分表達式。

19、222,1yxyxy（6） 10()2yAydy或或 22(1)32122222241yx24 2yx法一：以法一：以 y 作積分變量作積分變量 3223122414 2Axdxx dx法二：以法二：以 x 作積分變量作積分變量 221,244yxxy 22202(2)(1)44yyAdy22,4421xxyy（7） 練習寫出下列給定曲線所圍成的圖形面積的定積分表達式。練習寫出下列給定曲線所圍成的圖形面積的定積分表達式。4 234 23例例 4 求由下列給定曲線所圍成的圖形面積。求由下列給定曲線所圍成的圖形面積。1044aAAydx0220220sinsin4sin1cos2424batt d

20、tabtdtatabdtab0224abax dxa解由圖形的對稱性可得解由圖形的對稱性可得22221xyabab1A旋轉體的概念旋轉體的概念平面圖形繞同一平面上某一定直線（旋轉軸）平面圖形繞同一平面上某一定直線（旋轉軸） 演示演示xyxy旋轉體的體積旋轉體的體積示例：圓錐、圓柱、圓臺、球等都是旋轉體（示例：圓錐、圓柱、圓臺、球等都是旋轉體（演示演示）。）。aby=f (x)dcx=g (y)旋轉體的體積計算公式旋轉體的體積計算公式1、旋轉軸為、旋轉軸為 x 軸（軸（演示演示） 由由x=a , x= b ，y=0, y=f (x) （a0)所圍成的曲邊所圍成的曲邊梯形繞梯形繞 x 軸旋轉一周而

21、成的旋轉體的體積為軸旋轉一周而成的旋轉體的體積為22( )bbxaaVf xdxdyx 由由y= c , y= d , x=0, x=g (y) （ c0)所圍成的曲邊所圍成的曲邊梯形繞梯形繞 y 軸旋轉一周而成的旋轉體的體積為軸旋轉一周而成的旋轉體的體積為22( )ddyccVg ydydxy2、旋轉軸為、旋轉軸為 y 軸（軸（演示演示）45oxyP(h,r)旋轉體的體積計算公式旋轉體的體積計算公式例例 1 連接坐標原點連接坐標原點 O 及點及點 P( h , r) 的直線，直線的直線，直線 x=h及及 x軸圍軸圍成一個直角三角形，將它繞成一個直角三角形，將它繞 x軸旋轉構成一個底半徑為軸旋

22、轉構成一個底半徑為 r，高為，高為 h的圓錐體，計算圓錐體的體積。的圓錐體，計算圓錐體的體積。x x+dx解解 如圖所示如圖所示 (0, )xh任取任取 (0, )xh，形成區(qū)間，形成區(qū)間 , x xdx體積元素為體積元素為 2dVy dx2rxdxh直線直線OP的方程為的方程為 ryxh所求體積為所求體積為 22013hrVxdxr hh46返回返回例例3 計算由曲線計算由曲線 y=x2 與與 x=y2 所圍成的平面圖形繞所圍成的平面圖形繞 y 軸旋轉軸旋轉一周而成的立體的體積。一周而成的立體的體積。解解 如圖所示如圖所示V2V112yVVV11221200 x dyx dy11400ydyy dy310練習：寫出下列旋轉體體積的定積分表達式練習：寫出下列旋轉體體積的定積分表達式 31,1,0yxxy160 xVx dx11600 xVdxx dx 32,1,0y