高等數(shù)學(xué)A第1章87(函數(shù)連續(xù)性)

1、中南大學(xué)開放式精品示范課堂高等數(shù)學(xué)建設(shè)組中南大學(xué)開放式精品示范課堂高等數(shù)學(xué)建設(shè)組高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)A A1.7 1.7 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性 1.7.1 連續(xù)函數(shù)的定義連續(xù)函數(shù)的定義 1.7.2 函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類 1.7.3 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算 1.7.4 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 1.7.5 函數(shù)的一致連續(xù)性函數(shù)的一致連續(xù)性 1.7.6 壓縮映射原理與迭代法壓縮映射原理與迭代法1.7 1.7 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性 1.7.1 連續(xù)函數(shù)的定義連續(xù)函數(shù)的定義 函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的定義函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的定義函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性函數(shù)在區(qū)間上的

2、連續(xù)性 間斷點(diǎn)的定義間斷點(diǎn)的定義 1.7.2 函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類 連續(xù)性討論習(xí)例連續(xù)性討論習(xí)例2-6間斷點(diǎn)的分類間斷點(diǎn)的分類1.7.3 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性 習(xí)例習(xí)例7-12 1.7.4 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 最值定理最值定理 介值定理介值定理 1.7.5 函數(shù)的一致連續(xù)性函數(shù)的一致連續(xù)性 有界定理有界定理 零點(diǎn)定理零點(diǎn)定理 應(yīng)用習(xí)例應(yīng)用習(xí)例14-20 1.7.6 壓縮映射原理與迭代法壓縮映射原理與迭代法 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性1.增量增量

3、, , 1221記記為為的的增增量量為為則則稱稱變變到到從從設(shè)設(shè)變變量量uuuuuu . 12uuu .)()()()( ),()( , ),( 0000000為為函函數(shù)數(shù)的的增增量量則則稱稱相相應(yīng)應(yīng)地地函函數(shù)數(shù)值值由由由由當(dāng)當(dāng)自自變變量量對對于于函函數(shù)數(shù)xfxfxfxxfyxxfxfxxxxxfy 一般地，一般地，.的的變變化化而而變變化化隨隨xy 一、連續(xù)函數(shù)的定義一、連續(xù)函數(shù)的定義 xy00 xxx 0)(xfy x y xy0 xx 00 xx y )(xfy 0lim0 yx0lim0 yx )(. 20處的連續(xù)性定義處的連續(xù)性定義在在函數(shù)函數(shù)xxfy 定義定義1. )( , 0li

4、m ),()(000處處連連續(xù)續(xù)在在則則稱稱若若定定義義在在設(shè)設(shè)xxfyyxUxfyx . )( ),()(lim ),()(0000處處連連續(xù)續(xù)在在則則稱稱若若定定義義在在設(shè)設(shè)xxfyxfxfxUxfyxx :定定義義 .)()(, 0, 000 xfxfxx恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng)可見，可見，f(x)在在x0處連續(xù)必須滿足三個(gè)條件：處連續(xù)必須滿足三個(gè)條件：有有定定義義)()1(0 xf存存在在)(lim)2(0 xfxx)()(lim)3(00 xfxfxx 3.左右連續(xù)定義左右連續(xù)定義 ;)(),()0(,()(0000處處左左連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)則則稱稱且且內(nèi)內(nèi)有有定定義義在在若若函函數(shù)數(shù)xx

5、fxfxfxaxf .)(),()0(,),)(0000處處右右連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)則則稱稱且且內(nèi)內(nèi)有有定定義義在在若若函函數(shù)數(shù)xxfxfxfbxxf 注意注意:(1)f(x)在在x0連續(xù)與它在該點(diǎn)左右連續(xù)的關(guān)系有如下結(jié)論連續(xù)與它在該點(diǎn)左右連續(xù)的關(guān)系有如下結(jié)論:)()0()0()()(lim00000 xfxfxfxfxfxx (2)對于區(qū)間的左端點(diǎn)只要右連續(xù)則稱為連續(xù)；對于區(qū)間的左端點(diǎn)只要右連續(xù)則稱為連續(xù)； 對于區(qū)間的右端點(diǎn)只要左連續(xù)則稱為連續(xù)對于區(qū)間的右端點(diǎn)只要左連續(xù)則稱為連續(xù).4.函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性 在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù)在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù), ,叫做在該區(qū)間

6、上叫做在該區(qū)間上的的連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù), ,或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù). .,)(,),(上上連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間函函數(shù)數(shù)則則稱稱處處左左連連續(xù)續(xù)在在右右端端點(diǎn)點(diǎn)處處右右連連續(xù)續(xù)并并且且在在左左端端點(diǎn)點(diǎn)內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)如如果果函函數(shù)數(shù)在在開開區(qū)區(qū)間間baxfbxaxba 對于區(qū)間端點(diǎn)上的連續(xù)性則按左右連續(xù)來確定對于區(qū)間端點(diǎn)上的連續(xù)性則按左右連續(xù)來確定!連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.), 0(ln. 1上連續(xù)上連續(xù)在在證明證明例例 xy證明證明: ), 0(0 x.lnlnlim00 xxxx 即即證證, 0 ,lnln 0 x

7、x要要使使,ln 0 xx只只要要, 0 exxe 即即, 0,000 exxexx 得得由由),1()1(000 exxxex,1,1min00 exex取取,lnln,00成成立立有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xxxx.lnlnlim00 xxxx 1.間斷點(diǎn)的定義間斷點(diǎn)的定義 若若f(x)至少滿足下列條件之一，則稱至少滿足下列條件之一，則稱f(x)在在x0處不連續(xù)處不連續(xù), x0為為f(x)的間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn).二、函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類二、函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類 無無意意義義)()1(0 xf不不存存在在)(lim)2(0 xfxx)()(lim)3(00 xfxfxx 2.連續(xù)性討論習(xí)例連續(xù)性討論習(xí)例 .0

8、,sgn)(. 2處處的的連連續(xù)續(xù)性性討討論論設(shè)設(shè)例例 xxxf.0,sin)(. 3處處的的連連續(xù)續(xù)性性討討論論設(shè)設(shè)例例 xxxxf.1,1 , 21 ,11)(. 42處處的的連連續(xù)續(xù)性性討討論論設(shè)設(shè)例例 xxxxxxf.0,1)(. 5處處的的連連續(xù)續(xù)性性討討論論設(shè)設(shè)例例 xxxf.0,1sin)(. 6處處的的連連續(xù)續(xù)性性討討論論設(shè)設(shè)例例 xxxf.0,sgn)(. 2處處的的連連續(xù)續(xù)性性討討論論設(shè)設(shè)例例 xxxf解解: ,0 , 00 , 1)( xxxf, 0)0( f又又, 1)(lim0 xfx),0()(lim0fxfx 但但.)(0,0)(的間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn)為為處不連續(xù)處不連

9、續(xù)在在xfxxxf ,0)(, 1)0(處處的的定定義義在在改改變變?nèi)羧袅盍?xxff.0)(處處連連續(xù)續(xù)了了在在則則 xxf這種間斷點(diǎn)稱為這種間斷點(diǎn)稱為可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn).0,sin)(. 3處處的的連連續(xù)續(xù)性性討討論論設(shè)設(shè)例例 xxxxf解：解： ,0sin)(處沒有意義處沒有意義在在 xxxxf.)(0的間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn)為為xfx , 1sinlim)(lim00 xxxfxx又又,0)(, 1)0(處處的的定定義義在在補(bǔ)補(bǔ)充充若若令令 xxff.0)(處處連連續(xù)續(xù)了了在在則則 xxf這種間斷點(diǎn)也稱為這種間斷點(diǎn)也稱為可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn).1,1 , 21 ,11)(. 42處處的的連連續(xù)

10、續(xù)性性討討論論設(shè)設(shè)例例 xxxxxxf解解:,2)1(有定義有定義 f11lim)01(21 xxfx11lim21 xxx, 2)1(lim1 xx11lim)01(21 xxfx11lim21 xxx, 2)1(lim1 xx,)(lim1不不存存在在xfx.)(1的間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn)為為故故xfx 函數(shù)圖形在間斷點(diǎn)函數(shù)圖形在間斷點(diǎn)x=1處發(fā)生跳躍，故稱處發(fā)生跳躍，故稱跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn).0,1)(. 5處處的的連連續(xù)續(xù)性性討討論論設(shè)設(shè)例例 xxxf解：解： ,01)(處處沒沒有有意意義義在在 xxxf.)(0的間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn)為為xfx ,1lim)(lim00 xxfxx又又這時(shí)稱這時(shí)稱x

11、=0為為f(x)的的無窮間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn).0,1sin)(. 6處處的的連連續(xù)續(xù)性性討討論論設(shè)設(shè)例例 xxxf解解: ,01sin)(處沒有意義處沒有意義在在 xxxf.)(0的間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn)為為xfx ,1sinlim)(lim00不存在不存在又又xxfxx ,111sin,0之之間間振振動動無無限限多多次次與與在在時(shí)時(shí)且且當(dāng)當(dāng) xx這時(shí)稱這時(shí)稱x=0為為f(x)的的振蕩間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn).3.間斷點(diǎn)的分類間斷點(diǎn)的分類 間斷點(diǎn)是根據(jù)左右極限是否存在進(jìn)行分類的間斷點(diǎn)是根據(jù)左右極限是否存在進(jìn)行分類的!,)(0的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)為為設(shè)設(shè)xfx;,)0()0()1(000為為第第一一類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)則則

12、稱稱都都存存在在與與若若xxfxf ; ,)0()0()2(000為為第第二二類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)則則稱稱至至少少有有一一個(gè)個(gè)不不存存在在與與若若xxfxf 可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)(左右極限存在且相等的間斷點(diǎn)左右極限存在且相等的間斷點(diǎn))跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)(左右極限存在但不相等的間斷點(diǎn)左右極限存在但不相等的間斷點(diǎn))無窮間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn)(極限為無窮大的間斷點(diǎn)極限為無窮大的間斷點(diǎn))振蕩間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)(極限不確定的間斷點(diǎn)極限不確定的間斷點(diǎn))各類間斷點(diǎn)示意圖各類間斷點(diǎn)示意圖可去型可去型第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)跳躍型跳躍型無窮型無窮型振蕩型振蕩型第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)oyx0 xoyx0 xoyx0 x1

13、.連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算 定理定理1 （連續(xù)函數(shù)的（連續(xù)函數(shù)的和差積商和差積商還是連續(xù)函數(shù)）還是連續(xù)函數(shù)）.)0)()()(),()(),()(,)(),(000處處也也連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)則則處處連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)若若函函數(shù)數(shù)xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 證明：證明： 則則),()(lim),()(lim0000 xgxgxfxfxxxx )(lim)(lim)()(lim000 xgxfxgxfxxxxxx )()(00 xgxf )(lim)(lim)()(lim000 xgxfxgxfxxxxxx )()(00 xgxf 三、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性三、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)

14、算與初等函數(shù)的連續(xù)性即，嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù)即，嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù). .).(lim)()(lim,)(,)(lim000 xfafxfaufaxxxxxxx 則則有有連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)若若證明證明: ,)(連續(xù)連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)auuf .)()(, 0, 0成立成立恒有恒有時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng) afufau定理定理2 （連續(xù)函數(shù)的（連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)連續(xù)反函數(shù)連續(xù)）定理定理3 （復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性）,)(lim0axxx 又又,0, 0, 00時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng)對對于于 xx.)(成立成立恒有恒有 auax將上兩步合起來將上兩步合起來:,0, 0

15、, 00時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng) xx)()()()(afxfafuf .成成立立 )()(lim0afxfxx ).(lim0 xfxx 當(dāng)函數(shù)連續(xù)時(shí)，極限符號與函數(shù)符號可以交換位置。當(dāng)函數(shù)連續(xù)時(shí)，極限符號與函數(shù)符號可以交換位置。定理定理4 （連續(xù)函數(shù)的（連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)函數(shù)復(fù)合函數(shù)是連續(xù)函數(shù)）2.初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性 (1)基本初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的基本初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的.三角函數(shù)的連續(xù)性三角函數(shù)的連續(xù)性: ),(sin內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在 xy ),(cos內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在 xy-由連續(xù)的定義可證由連續(xù)的定義可證. xxxycossintan xxxysincos

16、cot xxycos1sec xxysin1csc -由連續(xù)性的四則運(yùn)算可證由連續(xù)性的四則運(yùn)算可證.反三角函數(shù)的連續(xù)性反三角函數(shù)的連續(xù)性: 由反函數(shù)的連續(xù)性得到由反函數(shù)的連續(xù)性得到. 對數(shù)函數(shù)的連續(xù)性對數(shù)函數(shù)的連續(xù)性: 內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在), 0(ln xy-已證已證內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)也也在在), 0(lnlnlog axxya指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性: xxeyay ,-由反函數(shù)的連續(xù)性得到由反函數(shù)的連續(xù)性得到. 冪函數(shù)的連續(xù)性冪函數(shù)的連續(xù)性: xexyln -由復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性得到由復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性得到. (2)定理定理5 初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的.注意

17、注意:(1)弄清楚定義域弄清楚定義域, 定義區(qū)間定義區(qū)間, 連續(xù)區(qū)間的關(guān)系連續(xù)區(qū)間的關(guān)系; 并會求并會求 求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間.(2)記住初等函數(shù)的連續(xù)區(qū)間即為定義區(qū)間記住初等函數(shù)的連續(xù)區(qū)間即為定義區(qū)間; 而分段函而分段函 數(shù)需考慮分段點(diǎn)的情況數(shù)需考慮分段點(diǎn)的情況.(3)利用函數(shù)的連續(xù)性可求極限利用函數(shù)的連續(xù)性可求極限 . 00limxfxfxx3.習(xí)例習(xí)例?, sinsin . 7有有連連續(xù)續(xù)區(qū)區(qū)間間嗎嗎的的定定義義域域求求例例xxy . 0 , 10 ,sin . 82連連續(xù)續(xù)區(qū)區(qū)間間求求例例 xxxxxy.0, 0, 0,cos)( ,. 9處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù)取取何何值

18、值時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)例例 xxxaxxxfa).1, 0( )1(loglim.100 aaxxax計(jì)計(jì)算算例例.1)ln(lim.110 xexx 計(jì)算計(jì)算例例.1)1(lim.120 xxax 計(jì)算計(jì)算例例思考題思考題 若若)(xf在在0 x連連續(xù)續(xù)，則則| )(|xf、)(2xf在在0 x是是否否連連續(xù)續(xù)？又又若若| )(|xf、)(2xf在在0 x連連續(xù)續(xù)，)(xf在在0 x是是否否連連續(xù)續(xù)？ ?, sinsin . 7有有連連續(xù)續(xù)區(qū)區(qū)間間嗎嗎的的定定義義域域求求例例xxy 解：解： 0sin0sinxx, 0sin x), 2, 1, 0( kkx 為所求函數(shù)的定義域?yàn)樗蠛瘮?shù)的定義域.故沒有

19、連續(xù)區(qū)間故沒有連續(xù)區(qū)間. 0 , 10 ,sin . 82連連續(xù)續(xù)區(qū)區(qū)間間求求例例 xxxxxy解：解： ),()( 的的定定義義域域?yàn)闉閤f;,sin)(,0連續(xù)連續(xù)為初等函數(shù)為初等函數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxfx ;,1)(,02連連續(xù)續(xù)為為初初等等函函數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xxfx, 1)0( f而而, 1sinlim)(lim)00(00 xxxffxx, 1)1(lim)(lim)00(200 xxffxx.0,)(lim0為為間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)即即不不存存在在 xxfx)., 0)0 ,( 和和連續(xù)區(qū)間為連續(xù)區(qū)間為.0, 0, 0,cos)( ,. 9處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù)取取何何值值時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)例例 xx

20、xaxxxfa解解:xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ,)0(af ),0()00()00(fff 要使要使,1時(shí)時(shí)故當(dāng)且僅當(dāng)故當(dāng)且僅當(dāng) a.0)(處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù) xxf, 1 a).1, 0( )1(loglim.100 aaxxax計(jì)計(jì)算算例例xaxaxxxx100)1(loglim)1(loglim )1(limlog10 xxax .ln1logaea .1)ln(lim.110 xexx 計(jì)算計(jì)算例例解解: xexx)1ln(lim0 原式原式exexex10)1ln(lim xexexe)1ln(lim10 )1

21、(limln10 xexexe .1ln1eee 解解: .1)1(lim.120 xxax 計(jì)算計(jì)算例例解：解：,1)1(uxa 令令,1)1(uxa ),1ln()1ln( uxa 則則. 0,0 ux時(shí)時(shí)且且xuxxxax00lim1)1(lim )1ln()1ln(lim0uxaxux xxuuax)1ln()1ln(lim0 . a 若若)(xf在在0 x連連續(xù)續(xù)，則則| )(|xf、)(2xf在在0 x是是否否連連續(xù)續(xù)？又又若若| )(|xf、)(2xf在在0 x連連續(xù)續(xù)，)(xf在在0 x是是否否連連續(xù)續(xù)？ 故故| )(|xf、)(2xf在在0 x都都連連續(xù)續(xù). 但反之不成立但反

22、之不成立. 0, 10, 1)( xxxf如如在在00 x不不連連續(xù)續(xù) 但但| )(|xf、)(2xf在在00 x連連續(xù)續(xù) 解：解： )(xf在在0 x連連續(xù)續(xù)， )()(lim00 xfxfxx )()()()(0 00 xfxfxfxf 且且)()(lim00 xfxfxx )(lim)(lim)(lim0002xfxfxfxxxxxx )(02xf 思考題思考題定義定義2.)()()()()()()(,),( 0000值值小小上上的的最最大大在在區(qū)區(qū)間間是是函函數(shù)數(shù)則則稱稱都都有有使使得得對對于于任任一一如如果果有有上上有有定定義義的的函函數(shù)數(shù)對對于于在在區(qū)區(qū)間間Ixfxfxfxfxfx

23、fIxIxxfI 并不是每一個(gè)函數(shù)都有最值并不是每一個(gè)函數(shù)都有最值. . 1, 12 , 0 sin 最最小小值值上上有有最最大大值值在在閉閉區(qū)區(qū)間間 xy.)1 , 0( 內(nèi)沒有最值內(nèi)沒有最值在開區(qū)間在開區(qū)間而而xy 定理定理6 6( (最大值和最小值定理最大值和最小值定理) )在在閉閉區(qū)間上區(qū)間上連續(xù)連續(xù)的函數(shù)一定能取得它的最大值和最小值的函數(shù)一定能取得它的最大值和最小值. .四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) xffxffbaxbax,min,max此定理的證明要用實(shí)數(shù)理論此定理的證明要用實(shí)數(shù)理論, 從略從略. 圖示說明如下圖示說明如下ab2 1 xyo)(xfy 注意

24、注意: 定理?xiàng)l件為充分條件定理?xiàng)l件為充分條件, 條件缺一不可條件缺一不可, 否則可能沒有最值否則可能沒有最值. xyo2 )(xfy xyo)(xfy 211定理定理7 7( (有界性定理有界性定理) )在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界. .證明：證明： ,)(上上連連續(xù)續(xù)在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)baxf,bax ,)(Mxfm 有有,maxMmK 取取.)(Kxf 則有則有.,)(上有界上有界在在函數(shù)函數(shù)baxf由連續(xù)函數(shù)最大最小值定理由連續(xù)函數(shù)最大最小值定理 ,)(lim ,), )( .13存在存在且且上連續(xù)上連續(xù)在在設(shè)設(shè)例例xfaxfx.), )(

25、上有界上有界在在證明證明axf證明：證明：.)(limAxfx , 1 取取AAxfxf )()( ,), )( 上上連連續(xù)續(xù)在在又又 axf ., )( 上上連連續(xù)續(xù)在在則則Xaxf故故 f(x) 在在 a,X 上有最大值上有最大值 M 與最小值與最小值 m . ,1 ,max AmMK 取取 .)( ), Kxfax 都都有有則則對對一一切切 . 1)( , , 0 AxfXxX使使得得時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng).1)(AAAxf 定理定理8(8(零點(diǎn)定理零點(diǎn)定理) ) . 0)(),( , 0)()()2( , , )()1( fbabfafbaxf使使得得則則至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)且且上上連連續(xù)續(xù)在在

26、閉閉區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè).),(0)(內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)根內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)根在在即方程即方程baxf 幾何解釋幾何解釋: xoyab1 2 3 4 5 6 7 定義定義3 3此定理的證明要用實(shí)數(shù)理論此定理的證明要用實(shí)數(shù)理論, 從略從略. 定理定理9(9(介值定理介值定理) ) .)(),( ,)()()3( ),()()2( , , )()1( CfbabfafCbfafbaxf 使得使得則至少存在一點(diǎn)則至少存在一點(diǎn)之間的任意一個(gè)數(shù)之間的任意一個(gè)數(shù)與與為介于為介于且且上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間設(shè)設(shè)證明證明: ,)()( Cxfx 設(shè)設(shè)., )( 上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間則則bax ,)()(Caf

27、a ,)()(Cbfb . 0)()( ba 由零點(diǎn)定理得由零點(diǎn)定理得, 至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn)),(ba . 0)( 使使得得.)( Cf 即即推論推論: 閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) f(x) 必取得介于必取得介于最大值最大值 M 與最小值與最小值 m 之間的任何值之間的任何值.證明：證明： ,)(,)( 21Mxfmxf 設(shè)設(shè), ,)( 1221上上連連續(xù)續(xù)或或在在閉閉區(qū)區(qū)間間則則xxxxxf由介值定理由介值定理, ),( MCmC 對對任任何何實(shí)實(shí)數(shù)數(shù).)( ),( ),(1221Cfxxxx 使使得得或或都都有有 . 1 12 .14的正根的正根至少有一個(gè)小于至少有一個(gè)小于

28、驗(yàn)證驗(yàn)證例例 xx閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用習(xí)例閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用習(xí)例.)(),1 , 0(: , 1)(0,1 , 0 )( .15 fxfxf使使得得至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)證證明明且且上上連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)例例例例16. 設(shè)設(shè) f(x) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 0,a上連續(xù)上連續(xù), ,), 0(, 0)(0, 0)()0(上上任任一一點(diǎn)點(diǎn)為為時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)alxfaxaff ).()( )(0, lffa 使使得得證證明明至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)., )0, 0(sin .17bababxax 并且它不超過并且它不超過正根正根至少有一個(gè)至少有一個(gè)其中其中證明方程證明方程例例.)3

29、, 2( ,)2 , 1( 03162715 .19內(nèi)內(nèi)另另一一根根在在內(nèi)內(nèi)有有一一根根在在試試證證方方程程例例 xxx例例20. 設(shè)設(shè) f(x) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a,b上連續(xù)上連續(xù), , , 2121證證明明為為兩兩正正數(shù)數(shù)與與且且ttbxxa ).()()()( 212211Cfttxftxft 使使得得, baC 至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn)例例18. 設(shè)設(shè) f(x) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a,b上連續(xù)上連續(xù), ,21bxxxan ,1使使得得上上必必有有則則在在 nxx.)()()()(21nxfxfxffn . 1 12 .14的正根的正根至少有一個(gè)小于至少有一個(gè)小于驗(yàn)證驗(yàn)證例例 xx解：

30、解： , 12)( xxxf設(shè)設(shè).1 , 0 )(上上連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間則則xf, 01)0( f又又, 01)1( f, 01)1()0( ff即即由零點(diǎn)定理由零點(diǎn)定理, . 0)( ),1 , 0( f使得使得至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn) , 012 即即 . 1 12 的的正正根根至至少少有有一一個(gè)個(gè)小小于于即即方方程程 xx證明證明:,)()( xxfxF 設(shè)設(shè)則則 F(x) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 0,1上連續(xù)上連續(xù). , 0)0()0( fF又又. 01)1()1( fF由零點(diǎn)定理得由零點(diǎn)定理得, ),1 , 0( 至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn), 0)( F使使得得.)( f即即.)(),

31、1 , 0(: , 1)(0,1 , 0 )( .15 fxfxf使使得得至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)證證明明且且上上連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)例例例例16. 設(shè)設(shè) f(x) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 0,a上連續(xù)上連續(xù), ,), 0(, 0)(0, 0)()0(上上任任一一點(diǎn)點(diǎn)為為時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)alxfaxaff ).()( )(0, lffa 使使得得證證明明至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)證明證明:),()()( xflxfxF 設(shè)設(shè), 0 )( 上上連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間則則laxF , 0)()0()()0( lfflfF又又. 0)()()()( laflafaflaF), 0(), 0( ala 至至

32、少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn), 0)( F使使得得).()( flf 即即., )0, 0(sin .17bababxax 并且它不超過并且它不超過正根正根至少有一個(gè)至少有一個(gè)其中其中證明方程證明方程例例證明證明: ,sin)( bxaxxf 設(shè)設(shè), 0 )( 上上連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間則則baxf , 0)0( bf又又)sin()(baaabaf ,0)( )1(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) baf. sin 的根的根是方程是方程即即bxaxba ,0)( )2(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) baf, 0)( ), 0( fba使使得得至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn).sin ba 即即 ., 0( sin上上至至少少有有一一個(gè)個(gè)根根在在ba

33、bxax . 0)sin(1 baa,由零點(diǎn)定理得由零點(diǎn)定理得例例18. 設(shè)設(shè) f(x) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a,b上連續(xù)上連續(xù), ,21bxxxan ,1使使得得上上必必有有則則在在 nxx證明證明:, )(1上上連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間nxxxf.)( ,MxfmmM 且且與與最最小小值值最最大大值值,)( ,1Mxfm 從從而而,)(2Mxfm ,)(Mxfmn .)()()()(21nxfxfxffn .)()()( 21Mnxfxfxfmn 即即由介值定理得由介值定理得, 使得使得至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn) ,),( 11nnxxxx .)()()()(21nxfxfxffn .)()(

34、)(21nMxfxfxfnmn ,)( ,1Mxfm 從從而而,)(2Mxfm ,)(Mxfmn .)3 , 2( ,)2 , 1( 03162715 .19內(nèi)內(nèi)另另一一根根在在內(nèi)內(nèi)有有一一根根在在試試證證方方程程例例 xxx證明證明:)2)(1(16)3)(1(7)3)(2(5)( xxxxxxxf設(shè)設(shè).3 , 2 2 , 1 )( 連續(xù)和在閉區(qū)間則xf, 010)1( f, 07)2( f. 032)3( f. 0)( ),2 , 1( 11 f使使得得至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)所以結(jié)論成立所以結(jié)論成立. 0)( ),3 , 2( 22 f使使得得至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)例例20. 設(shè)設(shè) f

35、(x) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a,b上連續(xù)上連續(xù), , , 2121證證明明為為兩兩正正數(shù)數(shù)與與且且ttbxxa ).()()()( 212211Cfttxftxft 使使得得證明證明:方法方法1., baC 至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn), )(上上連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間baxf.)( ,MxfmmM 且且和和最最小小值值最最大大值值,)( ,1Mxfm 從從而而,)(1111Mtxftmt ,)(2Mxfm ,)(2222Mtxftmt ,)()()()(21221121Mttxftxftmtt .)()( 212211Mttxftxftm 即即由介值定理可知由介值定理可知, 使使得得至至少少存存

36、在在一一點(diǎn)點(diǎn) , baC ).()()()(212211Cfttxftxft 方法方法2.).()()()()( 212211xfttxftxftxF 設(shè)設(shè), )( 21上上連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間則則baxxxF )()()()()(12122111xfttxftxftxF ),()(122xfxft )()()()()(22122112xfttxftxftxF ),()(211xfxft . 0)()()()(2122121 xfxfttxFxF,0)()( )1(21時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xFxF),()( 12xfxf 則則1xC ,0)()( )2(21時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xFxF使使得得至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn) ,),( 21baxxC . 0)( CF).()()()( 212211Cfttxftxft 即即使得使得至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn) , 21baxxC ).()()()(212211Cfttxftxft 五、函數(shù)的一致連續(xù)性五、函數(shù)的一致連續(xù)性1.函數(shù)一致連續(xù)的定義函數(shù)一致連續(xù)的定義 定義定義4 21xfxf一致連續(xù)性表明一致連續(xù)性表明: 不論在區(qū)間不論在區(qū)間I的任何部分的任何部分, 只要自變量的兩個(gè)數(shù)只要自變量的兩個(gè)數(shù)值接近到一定程度就可使對應(yīng)的函數(shù)值達(dá)到所指定的接近程度值接近到一定程度就可使對應(yīng)的函數(shù)值