高等數(shù)第9章 線性方程組ppt課件

1、第九章第九章 線性方程組線性方程組9.1 線性方程組的消元法線性方程組的消元法9.2 非齊次線性方程組非齊次線性方程組9.3 齊次線性方程組齊次線性方程組9.4 運(yùn)用與實(shí)際運(yùn)用與實(shí)際9.5 拓展與提高拓展與提高 一 知識(shí)構(gòu)造框圖 第九章第九章 線性方程組線性方程組二二 教學(xué)的根本要求和重點(diǎn)、難點(diǎn)教學(xué)的根本要求和重點(diǎn)、難點(diǎn)第九章第九章 線性方程組線性方程組 1. 根本要求根本要求 (1)線性方程組的消元法。(2)用矩陣的初等行變換斷定關(guān)于線性方程組解 的情況和求齊次線性方程組普通解的方法。(3)線性方程組的經(jīng)濟(jì)運(yùn)用。第九章第九章 線性方程組線性方程組 2. 重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)與難點(diǎn) (1) (1)重

2、點(diǎn)重點(diǎn) 消元法、矩陣的初等行變換、線性方程組消元法、矩陣的初等行變換、線性方程組解的斷定、齊次線性方程組的普通解。解的斷定、齊次線性方程組的普通解。 (2) 難點(diǎn) 線性方程組解的斷定、求齊次線性方程組的普通解。9.1 線性方程組的消元法線性方程組的消元法第九章第九章 線性方程組線性方程組線性方程組的普通方式為線性方程組的普通方式為 11 11221121 1222221 122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxa xb ，9.1 線性方程組的消元法線性方程組的消元法系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣 mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211增廣矩陣增廣矩陣 m

3、mnmmnnbaaabaaabaaaA212222211112119.1 線性方程組的消元法線性方程組的消元法例例1 解線性方程組解線性方程組，25342333513121321321321xxxxxxxxx解：第一步：交換第一解：第一步：交換第一個(gè)方程和第二個(gè)方程的個(gè)方程和第二個(gè)方程的位置，得位置，得 ，25342131213335321321321xxxxxxxxx9.1 線性方程組的消元法線性方程組的消元法第二步：上式第一個(gè)方程乘第二步：上式第一個(gè)方程乘-1/2和和-2分別加到第二個(gè)和分別加到第二個(gè)和第三個(gè)方程，得第三個(gè)方程，得 1232323533311122224xxxxxxx ，第

4、三步：上式第二個(gè)方程第三步：上式第二個(gè)方程兩邊乘以兩邊乘以 -2，得，得，42133353232321xxxxxxx9.1 線性方程組的消元法線性方程組的消元法第四步：上式第二個(gè)方程乘以2加到第三個(gè)方程，得 123233533312xxxxxx，2,3,4321xxx方程組的解為 階梯形方程組階梯形方程組 9.1 線性方程組的消元法線性方程組的消元法 把方程組化為階梯形方程組，需求反復(fù)運(yùn)用以下三種變換： 1交換兩個(gè)方程的位置；2用一個(gè)非零數(shù)乘某個(gè)方程；3用一個(gè)非零數(shù)乘某個(gè)方程加在另一個(gè)方程上。 將任一個(gè)方程組進(jìn)展上述變換所得到的新方程組與原方程組是同解方程組。上述三種變換稱為線性方程組的初等變

5、換。9.1 線性方程組的消元法線性方程組的消元法例例1的求解過程用矩陣的初等行變換表示如下：的求解過程用矩陣的初等行變換表示如下： 4120033125211213312523311121212135)2()(343135),(34353121215533( 2)21331330111011102140012B 階梯形矩陣B對(duì)應(yīng)的階梯形方程組是：，213333232351xxxxxx2,3,4321xxx9.1 線性方程組的消元法線性方程組的消元法 另外，假設(shè)將矩陣另外，假設(shè)將矩陣B用初等行變換化為行用初等行變換化為行簡化階梯形矩陣簡化階梯形矩陣100401030012那么矩陣的最后一列元素就

6、是方程組的解。那么矩陣的最后一列元素就是方程組的解。 9.2 非齊次線性方程組非齊次線性方程組第九章第九章 線性方程組線性方程組9.2.1 解的斷定解的斷定 普通地，含有n個(gè)未知量、m個(gè)方程的線性方程組為11 11221121 1222221 122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxb ，9.2 非齊次線性方程組非齊次線性方程組其增廣矩陣為其增廣矩陣為mmnmmnnbaaabaaabaaaA212222211112119.2 非齊次線性方程組非齊次線性方程組經(jīng)過初等行變換后可以化成以下的方式：經(jīng)過初等行變換后可以化成以下的方式：0000000000010

7、00100011122121111rrrnrrnrnrccaacaacaanr9.2 非齊次線性方程組非齊次線性方程組當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)cr+1=0，上式變成，上式變成000000100010001122121111rrnrrnrnrcaacaacaa9.2 非齊次線性方程組非齊次線性方程組當(dāng)當(dāng)rn時(shí)，這個(gè)線性方程組可相應(yīng)地化為時(shí)，這個(gè)線性方程組可相應(yīng)地化為rnrnrrrrnnrrnnrrcxaxaxcxaxaxcxaxax112211221111119.2 非齊次線性方程組非齊次線性方程組)()()(11211222111111nrnrrrrrnnrrnnrrxaxacxxaxacxxaxacx所以所

8、以 恣意取定的一組值，都可求得這個(gè)線性方程組的相應(yīng)的一個(gè)解。此時(shí)，該線性方程組有無窮多解。 nrrxxx,219.2 非齊次線性方程組非齊次線性方程組當(dāng)當(dāng)r=n時(shí)，這個(gè)線性方程組可相應(yīng)地化為時(shí)，這個(gè)線性方程組可相應(yīng)地化為1122nnxcxcxc，此時(shí)，該線性方程組有獨(dú)一確定的一個(gè)解。此時(shí)，該線性方程組有獨(dú)一確定的一個(gè)解。 9.2 非齊次線性方程組非齊次線性方程組當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)cr+10，線性方程組相應(yīng)地化為，線性方程組相應(yīng)地化為，1112211221111110rrnrnrrrrnnrrnnrrccxaxaxcxaxaxcxaxax最后一個(gè)方程不成立，即原方程組無解。最后一個(gè)方程不成立，即原方程組無

9、解。 9.2 非齊次線性方程組非齊次線性方程組 定理定理9.1 設(shè)有設(shè)有m個(gè)方程、個(gè)方程、n個(gè)未知量的線性個(gè)未知量的線性方程組，其系數(shù)矩陣方程組，其系數(shù)矩陣A的秩為的秩為r(A)，增廣矩陣，增廣矩陣 的秩為的秩為 ，那么有如下結(jié)論：，那么有如下結(jié)論： A)(Ar(1)(1)線性方程組有解的充分必要條件是線性方程組有解的充分必要條件是 )()(ArAr(2)(2)假設(shè)假設(shè) ，線性方程組有且只需獨(dú)一解；，線性方程組有且只需獨(dú)一解；nArAr)()(3)(3)假設(shè)假設(shè) ，那么線性方程組有無窮多解；，那么線性方程組有無窮多解；( )( )r Ar An(4)(4)假設(shè)假設(shè) ，那么線性方程組沒有解。，那

10、么線性方程組沒有解。)()(ArAr9.2 非齊次線性方程組非齊次線性方程組9.2.2 求解舉例求解舉例例例2 斷定以下線性方程組能否有解？斷定以下線性方程組能否有解？，831234321332321321321321xxxxxxxxxxxx9.2 非齊次線性方程組非齊次線性方程組解：解： 21630401170227101332183111213413213321)1()3()2(A31003100227101332145150011438002271013321)()()1()3()7(1513819.2 非齊次線性方程組非齊次線性方程組( 1)123130172200130000 ( )

11、( )3r Ar A原方程組有解原方程組有解 9.2 非齊次線性方程組非齊次線性方程組 例例3 k為何值時(shí)為何值時(shí),線性方程組無解、有獨(dú)一線性方程組無解、有獨(dú)一解或有無窮多解解或有無窮多解 。 1554212321321321xxxxxkxxkxx60556301211215542111121312)5(kkkkkkArrrr解：解： 9.2 非齊次線性方程組非齊次線性方程組 900453012112235kkkkrr45( )( )kr Ar A 時(shí)，原方程組無解。451( )( )3kkr Ar An 且時(shí)，原方程組有惟一解。1( )( )2kr Ar An時(shí)，原方程組有無窮多解。9.3

12、齊次線性方程組齊次線性方程組第九章第九章 線性方程組線性方程組9.3.1 解的情況解的情況 定義定義9.2 常數(shù)項(xiàng)都等于零的線性方程組稱常數(shù)項(xiàng)都等于零的線性方程組稱為齊次線性方程組。其普通方式為為齊次線性方程組。其普通方式為，000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa9.3 齊次線性方程組齊次線性方程組 定理9.2 設(shè)齊次線性方程組系數(shù)矩陣A的秩r(A)=r。(1)(1)假設(shè)假設(shè)r=nr=n，那么齊次方程組只需零解，那么齊次方程組只需零解; ;(2)假設(shè)假設(shè)rn，那么齊次方程組有無窮多個(gè)非零解。，那么齊次方程組有無窮多個(gè)非零解。9.3 齊次

13、線性方程組齊次線性方程組定理定理9.3 齊次線性方程組齊次線性方程組，000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa有非零解的充分必要條件是它的系數(shù)行列式有非零解的充分必要條件是它的系數(shù)行列式| 0A 9.3 齊次線性方程組齊次線性方程組例例4 當(dāng)當(dāng)m取什么值時(shí)，線性方程組有非零解。取什么值時(shí)，線性方程組有非零解。 1231123212332323336xxxmxxxxmxxxxmx解：原方程組可化成解：原方程組可化成 ，0)6(3303)1 (2032)1 (321321321xmxxxxmxxxxm9.3 齊次線性方程組齊次線性方程組根據(jù)定

14、理根據(jù)定理9.3，它有非零解的充分必要條件是，它有非零解的充分必要條件是0633312321mmm(1)(9)0m mm9,1,0mmm時(shí)方程組有非零解。時(shí)方程組有非零解。 9.3 齊次線性方程組齊次線性方程組 例 5 求方程組的普通解。 037033004324324214324321xxxxxxxxxxxxx解：解： 1370135011104321137030311110432113)1(rrA9.3 齊次線性方程組齊次線性方程組1232134222( 5)710121012011101110024001200480048rrrrrrr 132343( 1)410000101001200

15、00rrrrrr 9.3 齊次線性方程組齊次線性方程組對(duì)應(yīng)的同解方程組是對(duì)應(yīng)的同解方程組是 020043421xxxxx得到原方程組的普通解是得到原方程組的普通解是 4342120 xxxxxx4為自在未知量。為自在未知量。. 9.4 運(yùn)用與實(shí)際運(yùn)用與實(shí)際9.4.1 運(yùn)用運(yùn)用 第九章第九章 線性方程組線性方程組價(jià)值型投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型價(jià)值型投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型 表中xi表示第i個(gè)消費(fèi)部門的總產(chǎn)值；xij表示第j部門在消費(fèi)過程中耗費(fèi)第i部門的產(chǎn)品數(shù)量；yi表示第i部門最終產(chǎn)品量；dj,vj,mj分別表示第j部門的固定資產(chǎn)折舊、勞動(dòng)報(bào)酬、純收入數(shù)值；zj表示第j部門新發(fā)明的價(jià)值。9.4 運(yùn)用與實(shí)際運(yùn)用與

16、實(shí)際9.4 運(yùn)用與實(shí)際運(yùn)用與實(shí)際 每一個(gè)消費(fèi)部門分配給各部門作為消費(fèi)的投入產(chǎn)品數(shù)量與作為最終產(chǎn)品運(yùn)用的產(chǎn)品數(shù)量之和等于該部門的總產(chǎn)品數(shù)量。 1111211221222212nnnnnnnnxxxxyxxxxyxxxxy 稱為分配平衡方程組。 9.4 運(yùn)用與實(shí)際運(yùn)用與實(shí)際 在某一消費(fèi)部門中，各部門對(duì)它投入的產(chǎn)品數(shù)量與該部門的固定資產(chǎn)折舊、新發(fā)明價(jià)值之和等于它的總產(chǎn)品數(shù)量。即 111211112122222212nnnnnnnnnxxxxdzxxxxdzxxxxdz 稱為耗費(fèi)平衡方程組。 9.4 運(yùn)用與實(shí)際運(yùn)用與實(shí)際 定義定義9.3 第第j部門消費(fèi)單位產(chǎn)品直接耗費(fèi)部門消費(fèi)單位產(chǎn)品直接耗費(fèi)第第i部門

17、的產(chǎn)品量，稱為第部門的產(chǎn)品量，稱為第j部門對(duì)第部門對(duì)第i部門的部門的直接耗費(fèi)系數(shù)，記作直接耗費(fèi)系數(shù)，記作aij，即，即 ),2, 1,(njixxajijij各部門之間的直接耗費(fèi)系數(shù)構(gòu)成的n階矩陣111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa稱為直接耗費(fèi)系數(shù)矩陣。 9.4 運(yùn)用與實(shí)際運(yùn)用與實(shí)際直接耗費(fèi)系數(shù)矩陣直接耗費(fèi)系數(shù)矩陣A具有如下的性質(zhì)：具有如下的性質(zhì)：性質(zhì)性質(zhì)9.1 一切元素是非負(fù)的，且一切元素是非負(fù)的，且 01( ,1, 2,)ijaijn。性質(zhì)性質(zhì)9.2 各列元素的絕對(duì)值之和均小于各列元素的絕對(duì)值之和均小于1。9.4 運(yùn)用與實(shí)際運(yùn)用與實(shí)際 第j部門消費(fèi)產(chǎn)品時(shí)經(jīng)過其它各部門間

18、接耗費(fèi)第i部門的產(chǎn)品稱為第j部門對(duì)第i部門的間接耗費(fèi)。直接耗費(fèi)與間接耗費(fèi)之和稱為完全耗費(fèi)。 9.4 運(yùn)用與實(shí)際運(yùn)用與實(shí)際 定義定義9.4 第第j部門消費(fèi)單位產(chǎn)品時(shí)對(duì)第部門消費(fèi)單位產(chǎn)品時(shí)對(duì)第i部部門完全耗費(fèi)的產(chǎn)品量稱為第門完全耗費(fèi)的產(chǎn)品量稱為第j部門對(duì)第部門對(duì)第i部門的部門的完全耗費(fèi)系數(shù)，記作完全耗費(fèi)系數(shù)，記作bij，即，即 1( ,1,2, )nijijirrjrbab aijn 其中 表示間接耗費(fèi)的總和。nrrjirab19.4 運(yùn)用與實(shí)際運(yùn)用與實(shí)際各部門之間的完全耗費(fèi)系數(shù)構(gòu)成的矩陣各部門之間的完全耗費(fèi)系數(shù)構(gòu)成的矩陣nnnnnnbbbbbbbbbB212222111211稱為完全耗費(fèi)系數(shù)矩陣

19、。稱為完全耗費(fèi)系數(shù)矩陣。 直接耗費(fèi)系數(shù)矩陣與完全耗費(fèi)系數(shù)矩陣之直接耗費(fèi)系數(shù)矩陣與完全耗費(fèi)系數(shù)矩陣之間有如下關(guān)系，即間有如下關(guān)系，即1()BEAE9.4 運(yùn)用與實(shí)際運(yùn)用與實(shí)際 例6 知某一經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的投入產(chǎn)出表如下: 求(1) 總產(chǎn)品x1，x2，x3；(2) 固定資產(chǎn)折舊d1，d2，d3；(3) 直接耗費(fèi)系數(shù)矩陣A 。(4) 完全耗費(fèi)系數(shù)矩陣B。9.4 運(yùn)用與實(shí)際運(yùn)用與實(shí)際解：(1) 根據(jù)分配平衡方程組,可得 603812010754002015754515150333323132232221211312111YxxxxYxxxxYxxxx 所以各部門的總產(chǎn)品分別是 60,75,75321xxx9

20、.4 運(yùn)用與實(shí)際運(yùn)用與實(shí)際 (2) 根據(jù)耗費(fèi)平衡方程組 333332313322232221221113121111mVdxxxxmVdxxxxmVdxxxx3102012015605102502015751015251015075333323133322322212221131211111mVxxxxdmVxxxxdmVxxxxd即各部門的固定資產(chǎn)折舊分別是 3,5,10321ddd9.4 運(yùn)用與實(shí)際運(yùn)用與實(shí)際(3)直接耗費(fèi)系數(shù)矩陣為 321111333231232221131211000000 xxxxxxxxxxxxA17517516001515001520000100120000.20

21、.250.20.266700.133300.29.4 運(yùn)用與實(shí)際運(yùn)用與實(shí)際(4) (4) 由于由于 10000.20.2510.20.250100.20.266700.20.733300010.133300.20.133300.8EA 用矩陣的初等行用矩陣的初等行變換可求得變換可求得 31. 105. 018. 009. 045. 13 . 035. 03 . 011. 1)(1AI所以完全消所以完全消耗系數(shù)矩陣耗系數(shù)矩陣 31. 005. 018. 009. 045. 03 . 035. 03 . 011. 0)(1IAIB9.4 運(yùn)用與實(shí)際運(yùn)用與實(shí)際 以分配平衡方程組為例引見有關(guān)平衡方程組

22、的求解問題。 分配平衡方程組可化成如下的普通線性方程組，nnnnnnnnnnyxaxaxayxaxaxayxaxaxa)1 ()1 ()1 (221122222121112121111.知 xj，可以求出 yi。 2.假設(shè)知 yi，可以得到一個(gè)含有n個(gè)未知量xj和n個(gè)方程的線性方程組。9.4 運(yùn)用與實(shí)際運(yùn)用與實(shí)際 例例7 設(shè)某工廠有三個(gè)車間，在某一消費(fèi)周設(shè)某工廠有三個(gè)車間，在某一消費(fèi)周期內(nèi)，各車間之間的直接耗費(fèi)系數(shù)如表所示，已期內(nèi)，各車間之間的直接耗費(fèi)系數(shù)如表所示，已知這三個(gè)車間的總產(chǎn)值分別是知這三個(gè)車間的總產(chǎn)值分別是400、250、300。求求(1)各車間的最終產(chǎn)品；各車間的最終產(chǎn)品；(2)

23、各車間之間的流量。各車間之間的流量。9.4 運(yùn)用與實(shí)際運(yùn)用與實(shí)際解：由于解：由于 300,250,400321xxx2453025300)1 (3132121111xaxaxay903020080)1 (3232221212xaxaxay1752402540)1 (3332321313xaxaxay123245,90,175yyy9.4 運(yùn)用與實(shí)際運(yùn)用與實(shí)際(2)根據(jù)直接耗費(fèi)系數(shù)的計(jì)算公式，可得 )3,2, 1,(jixaxjijij300,250,400321xxx可得流量為 303001 . 0,252501 . 0,10040025. 0131211xxx303001 . 0,50250

24、2 . 0,804002 . 0232221xxx603002 . 0,252501 . 0,404001 . 0333231xxx9.4 運(yùn)用與實(shí)際運(yùn)用與實(shí)際9.4.2 用用Mathematica解線性方程組解線性方程組 解線性方程組的方法是，利用模板直接輸入增廣矩陣，然后將其化成簡化階梯形矩陣，得到線性方程組的解。 例例8 解線性方程組解線性方程組 1231231223722837xxxxxxxx 9.4 運(yùn)用與實(shí)際運(yùn)用與實(shí)際解：利用模板直接輸入增廣矩陣解：利用模板直接輸入增廣矩陣 In 1 :A123-72 -12 -81307 In 2 :RowReduceA/MatrixForm O

25、ut 21 0 010 1 020 0 1-41231,2,4xxx 9.5 拓展與提高拓展與提高1. n維向量級(jí)其相關(guān)性維向量級(jí)其相關(guān)性 定義定義9.5 n個(gè)數(shù)個(gè)數(shù) 組成的有組成的有序數(shù)組序數(shù)組 稱為稱為n維向量，數(shù)維向量，數(shù) 叫做叫做n維向量的維向量的 分量。分量。 naaa,21),(21naaanaaa,219.5 拓展與提高拓展與提高 定義定義9.6 設(shè)有設(shè)有m個(gè)個(gè)n維向量維向量 ，假設(shè)有一個(gè)向量假設(shè)有一個(gè)向量 可以寫成如下的方式：可以寫成如下的方式： 其中其中 是常數(shù)，那么稱是常數(shù)，那么稱 是是 的線性組合，或稱的線性組合，或稱 可用可用 線性表示。線性表示。m,21mmkkk22

26、11),2,1(mikim,21m,219.5 拓展與提高拓展與提高線性方程組11 11221121 1222221 122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxa xb mmnnnnmmbbbaaaaaaaaa2121222122121111,nnxxx22119.5 拓展與提高拓展與提高 定義定義9.7 設(shè)設(shè) 是是m個(gè)個(gè)n維向量，維向量，假設(shè)存在假設(shè)存在m個(gè)不全為零的數(shù)個(gè)不全為零的數(shù) ，使得，使得那么稱那么稱 這這m個(gè)向量線性相關(guān)；否那么就個(gè)向量線性相關(guān)；否那么就稱這稱這m個(gè)向量線性無關(guān)。個(gè)向量線性無關(guān)。m,21mkkk,2102211mmkkkm,219.

27、5 拓展與提高拓展與提高 定理定理9.3 設(shè)設(shè) 是一組是一組n維向量，維向量，這這m個(gè)向量線性相關(guān)的充分必要條件是其中至少個(gè)向量線性相關(guān)的充分必要條件是其中至少有一個(gè)向量可以用其他向量線性表示。有一個(gè)向量可以用其他向量線性表示。m,219.5 拓展與提高拓展與提高 定義定義9.8 設(shè)有一個(gè)設(shè)有一個(gè)n維向量的集合維向量的集合(其中能夠其中能夠有有限個(gè)向量，也能夠含有無窮多個(gè)向量有有限個(gè)向量，也能夠含有無窮多個(gè)向量)，如在，如在這一向量集合中存在一組向量這一向量集合中存在一組向量 適宜適宜如下條件：如下條件：(1) 線性無關(guān)；線性無關(guān)；(2)在原在原向量集合中恣意取出一個(gè)向量向量集合中恣意取出一個(gè)

28、向量 加進(jìn)去，那么加進(jìn)去，那么 線性相關(guān)。那么稱之為向量集合的線性相關(guān)。那么稱之為向量集合的一個(gè)極大線性無關(guān)向量組，簡稱極大無關(guān)組。一個(gè)極大線性無關(guān)向量組，簡稱極大無關(guān)組。m,21m,21m,219.5 拓展與提高拓展與提高定義定義9.9 設(shè)齊次線性方程組設(shè)齊次線性方程組11 1122121 122221 122000nnnnmmmnna xa xa xa xa xa xa xaxax 假設(shè)0000 ,21212222111211nmnmmnnxxxxaaaaaaaaaA那么可寫成矩陣方式 0Ax9.5 拓展與提高拓展與提高 定理定理9.4 設(shè)設(shè) 是齊次線性方程組的解向是齊次線性方程組的解向量

29、，那么量，那么 也是方程組的解向量。也是方程組的解向量。12,21 定理定理9.5 設(shè)設(shè) 是齊次線性方程組的解向量，是齊次線性方程組的解向量，k是恣意常數(shù)，那么是恣意常數(shù)，那么 也是方程組的解向量。也是方程組的解向量。 k 推論推論 設(shè)設(shè) 是齊次線性方程組是齊次線性方程組的解向量，那么對(duì)恣意的的解向量，那么對(duì)恣意的m個(gè)數(shù)個(gè)數(shù) ，那，那么么 也是的解向量。也是的解向量。 m,21mmkkk2211mkkk,219.5 拓展與提高拓展與提高2. 關(guān)于線性方程組解的構(gòu)造關(guān)于線性方程組解的構(gòu)造(1)(1)齊次線性方程組解的構(gòu)造齊次線性方程組解的構(gòu)造0000 ,21212222111211nmnmmnnxxxxaaaaaaaaaA設(shè) 為下式的一組線性無關(guān)的解向量，s,21假設(shè)恣意一個(gè)解均可表為 的線性組合，那么稱之為的一個(gè)根底解系。 s,219.5 拓展與提高拓展與提高齊次線性方程組根底解系的求法如下：齊次線性方程組根底解系的求法如下： 對(duì)系數(shù)陣A作初等行變換，可得 00000000001000100011212111