ARMA模型法生成粉紅噪聲的研究

1、ARMA模型法生成粉紅噪聲的研究呂鵬, 周強(qiáng), 譚雅麗（陜西科技大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院，陜西西安，710021）摘 要：針對現(xiàn)有粉紅噪聲的生成方法所存在的計(jì)算過程復(fù)雜，與理想粉紅噪聲相比偏差較大等問題，本文提出了一種利用自回歸滑動平均(ARMA)模型法生成粉紅噪聲的新方法。首先，構(gòu)造一個待定系數(shù)的ARMA模型，并通過Z變換和功率譜估計(jì)的公式進(jìn)行推導(dǎo)；其次，利用已知的粉紅噪聲模擬濾波器的傳遞函數(shù)H(s)和雙線性Z變換法推導(dǎo)出IIR數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)H(z)，進(jìn)而得到粉紅噪聲的ARMA模型；最后，利用MATLAB對生成的粉紅噪聲進(jìn)行功率譜估計(jì)并與理想的粉紅噪聲進(jìn)行對比。由MATLAB仿真結(jié)果可知

2、，利用該方法生成的粉紅噪聲與理想的粉紅噪聲擬合度更高，完全符合粉紅噪聲的各項(xiàng)性能要求。關(guān)鍵詞：粉紅噪聲；自回歸滑動平均(ARMA)模型；功率譜估計(jì)；雙線性Z變換法中圖分類號：TB53；TN911.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：AA Study of the ARMA Model to Generate Pink NoiseLv Peng, Zhou Qiang, Tan Yali(School of Electrical and Information Engineering, Shaanxi University of Science and Technology, Xian Shaanxi 710021

3、, China)Abstract: In view of some problems such as the complex calculating process, large deviation compared with ideal pink noise on the existing generation methods of pink noise, this paper puts forward a new generating method of pink noise using Auto-regressive moving average (ARMA) model; First,

4、 constructing an ARMA model of undetermined coefficients, and deriving the formula by Z transform and power spectrum estimation; Second, using the known pink noise analog filter transfer function H(s) and the principle of bilinear Z transformation method to derive IIR digital filter transfer functio

5、n H(z), and then the ARMA model of pink noise can be obtained; Finally, using MATLAB to do its power spectrum estimation and comparing with the ideal pink noise. As the MATLAB simulation results shown, this method has a higher fitting degree with ideal pink noise and complies with the performance re

6、quirements of pink noise.Key words: Pink noise; Auto-regressive moving average (ARMA) model; Power spectrum estimation; Bilinear Z transformation method引 言 隨著研究的深入人們發(fā)現(xiàn)，噪聲并不全都是無用的干擾信號，有些噪聲因其自身的特殊性質(zhì)，可以被有效利用?；痦?xiàng)目：陜西省教育廳科研專項(xiàng)基金（2010JK420）資助項(xiàng)目；陜西科技大學(xué)校博士科研啟動基金（BJ1005）資助項(xiàng)目；陜西科技大學(xué)校級學(xué)術(shù)骨干培養(yǎng)計(jì)劃（2010）資助項(xiàng)目。除了被用來作為

7、基本源信號的白噪聲，粉紅噪聲以其特殊特性，引起越來越多的關(guān)注。粉紅噪聲又被稱為頻率反比 (1/f) 噪聲或分形噪聲，是由兩種導(dǎo)體的接觸點(diǎn)電導(dǎo)的隨機(jī)漲落引起的，凡是有導(dǎo)體接觸不理想的器件都存在這種噪聲1，因而它廣泛存在于生物電子信號、語音信號、電子器件噪聲等系統(tǒng)當(dāng)中2。粉紅噪聲具有以下性質(zhì)： 粉紅噪聲的功率譜密度與頻率成反比，在對數(shù)坐標(biāo)中輸出為一條水平直線；在線性坐標(biāo)中，每升高1oct就衰減3dB3。 粉紅噪聲的頻帶比較寬，并且在等比例帶寬內(nèi)的能量是相等的4，致使人耳對其難以辨別。從粉紅噪聲的以上性質(zhì)可以看出，它具有十分廣闊的應(yīng)用領(lǐng)域。例如，粉紅噪聲既可以作為測試聲場頻率特性的標(biāo)準(zhǔn)信號源，又能進(jìn)

8、行音響均衡器的調(diào)整以實(shí)現(xiàn)功放檢測的功能5，甚至可以用來掩蔽人們的說話聲6；粉紅噪聲能夠用于疾病的早期診斷7和聽力輔助儀器的開發(fā)8。此外，通過對睡眠周期的研究9發(fā)現(xiàn)，利用粉紅噪聲還可以改善睡眠質(zhì)量10,11,營造一個輕松愉悅的睡眠環(huán)境。1 現(xiàn)有的粉紅噪聲生成方法由于粉紅噪聲具有良好的應(yīng)用前景，粉紅噪聲的生成方法，尤其是高質(zhì)量的粉紅噪聲的生成方法的研究就顯得極為重要。目前，常用的粉紅噪聲的生成方法主要有四種：Paul Kellet的加權(quán)和濾波器法、Robert Bristow -Johnson的零極點(diǎn)濾波器法、Voss算法和傳遞函數(shù)逼近法。根據(jù)以上方法的仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)：Paul Kellet

9、的加權(quán)和濾波器法是目前性能最佳的方法，但是計(jì)算量大，計(jì)算過程十分復(fù)雜12；Robert Bristow- Johnson的零極點(diǎn)濾波器法的計(jì)算量較大，計(jì)算過程復(fù)雜，擬合效果差，也不是一種有效的生成方法；Voss算法雖然計(jì)算量少，過程簡單，但是實(shí)現(xiàn)性能極差，與理想粉紅噪聲存在極大的偏差13,14；傳遞函數(shù)逼近法雖然可以通過調(diào)整傳遞函數(shù)的參數(shù)逼近理想的粉紅噪聲，但是濾波器的階數(shù)設(shè)定具有一定的隨意性，因而其擬合誤差不容忽視15。根據(jù)以上各種方法的不足之處，本文提出了一種利用ARMA模型分析法，通過構(gòu)建粉紅噪聲的ARMA模型，并利用粉紅噪聲的相關(guān)性質(zhì)和雙線性Z變換法的變換原理進(jìn)行推導(dǎo)，設(shè)計(jì)出一個7階的

10、IIR數(shù)字濾波器，進(jìn)而生成粉紅噪聲的新方法，該方法可以很好地彌補(bǔ)以上方法的不足。2 粉紅噪聲ARMA模型生成法2.1噪聲的參數(shù)模型分析法噪聲的參數(shù)模型分析法就是根據(jù)平穩(wěn)隨機(jī)噪聲的先驗(yàn)知識由參數(shù)估計(jì)建立一個精確的噪聲模型16。其參數(shù)模型如圖1所示：圖1 噪聲的參數(shù)模型目前已知的參數(shù)模型包括自回歸(AR)模型、滑動平均(MA)模型、自回歸滑動平均(ARMA)模型等方法。自回歸(AR)模型是一個全極點(diǎn)的模型，易得到功率譜中的峰值；滑動平均(MA)模型是一個全零點(diǎn)的模型，容易得到功率譜中的谷值；自回歸滑動平均(ARMA)模型是一個既有極點(diǎn)，又有零點(diǎn)的模型，可以精確獲得噪聲功率譜中的峰值和谷值，能夠比較

11、全面地反映噪聲的功率譜性質(zhì)，所以本文采用ARMA模型對粉紅噪聲進(jìn)行擬合估計(jì)。2.2 粉紅噪聲的ARMA模型根據(jù)ARMA模型的結(jié)構(gòu)，可以得到白噪聲序列和粉紅噪聲序列之間的關(guān)系如下：（1）對（1）式兩邊分別取Z變換，并假定，可得： （2） 假定輸入白噪聲序列的功率譜密度（方差）為，那么輸出序列的功率譜密度為：（3）由，公式（3）還可變換為： （4）將（2）式代入（4）式，可得： （5） 根據(jù)公式（5），可以由粉紅噪聲的ARMA模型得到其功率譜。2.3 粉紅噪聲的生成 根據(jù)粉紅噪聲的定義，其傳遞函數(shù)表達(dá)形式為 （6） 因公式（8）應(yīng)受到公式（9）的約束，那么，在域中，粉紅噪聲的功率譜密度為： （7）

12、 其中，是一個任意的常數(shù)。為了方便推導(dǎo)，假定常數(shù)。根據(jù)雙線性Z變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的變換原理，可以確定平面和平面之間的單值映射關(guān)系為： （8） 將式（8）代入式（7）中，可得： （9） 顯然，式（5）和式（9）是等價的，因而可得： （10） 將式（10）左邊的平方項(xiàng)展開，并根據(jù)對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等的原則，我們可以確定系數(shù)和分別滿足如下關(guān)系： 對于系數(shù)，當(dāng)時，；當(dāng)時， （11） 對于系數(shù)，當(dāng)時，；當(dāng)時，（12）由于IIR數(shù)字濾波器的階次越高，所生成信號的擬合性能就越好，但是階次太高將會造成計(jì)算量大，經(jīng)過對階次20以內(nèi)的擬合精度和計(jì)算量進(jìn)行仔細(xì)比較，本文最終選擇，即設(shè)計(jì)一個7階IIR數(shù)字濾波器，

13、可以得到滿意的效果。由式（11）和（12）通過計(jì)算可得：因此，所設(shè)計(jì)粉紅噪聲的數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)的表達(dá)式為：（13）由此可得，粉紅噪聲序列的時域ARMA表達(dá)式為：（14）2.4 粉紅噪聲的仿真結(jié)果根據(jù)2.3中式（13）和（14）所得的結(jié)果，可以得到采樣點(diǎn)數(shù)為600的粉紅噪聲序列的時域波形圖和傳遞函數(shù)的頻率響應(yīng)圖17。分別如圖2和3 所示：圖2 粉紅噪聲序列的時域波形圖圖3 粉紅噪聲傳遞函數(shù)的頻率響應(yīng)圖由圖2可以看出，與白噪聲相比，雖然粉紅噪聲序列具有一定的慣性，隨機(jī)過程變化較白色噪聲緩慢，但慣性不太大，總的來看粉紅噪聲應(yīng)屬于一種弱有色噪聲；由圖3可以看出，傳遞函數(shù)的幅頻響應(yīng)是從0rad處開始

14、急速下降，下降過程由急而緩，并出現(xiàn)一些波動，但從總體來看，幅度值最終趨于穩(wěn)定，這與粉紅噪聲在線性坐標(biāo)中所表現(xiàn)的性質(zhì)類似，而其相頻響應(yīng)呈現(xiàn)以1.5rad為對稱軸對稱分布的形式。由圖2和3可知，粉紅噪聲時間序列及傳遞函數(shù)的頻率響應(yīng)含有的信息量十分有限，無法對粉紅噪聲進(jìn)行全面分析，只有進(jìn)一步使用功率譜估計(jì)的方法來分析粉紅噪聲的性質(zhì)。3 粉紅噪聲的功率譜估計(jì) 根據(jù)公式（5）關(guān)于功率譜估計(jì)的具體形式，并且選取的白噪聲信號作為激勵信號源，通過MATLAB進(jìn)行編程仿真后，可以得到其功率譜估計(jì)的結(jié)果。具體結(jié)果如圖4中的（a）和（b）所示，其中，圖4（a）是線性坐標(biāo)下的均勻功率譜，單位為W/Hz；圖4（b）是對

15、數(shù)坐標(biāo)下的對數(shù)功率譜，單位為dB。(a) 均勻功率譜坐標(biāo)的譜圖(b) 對數(shù)功率譜坐標(biāo)的譜圖圖4 粉紅噪聲的功率譜估計(jì)圖 從圖4(a)的仿真曲線可以看出，功率譜密度與頻率之間近似滿足成反比的關(guān)系。隨著頻率的增加，功率譜密度急劇下降，當(dāng)頻率超過2.5rad時，功率譜密度已經(jīng)接近于零。從圖4(b)的仿真曲線可以看出，隨著頻率的增加，雖然功率譜線出現(xiàn)了一些波動，但是功率譜密度基本上是以一條傾斜的直線下降，直線的斜率近似為-3dB/oct。 由圖4（a）和（b）可以說明，利用ARMA模型法生成的粉紅噪聲的功率譜估計(jì)的結(jié)果基本符合理想粉紅噪聲的性質(zhì)，可以更好地逼近理想的粉紅噪聲。但是，由仿真曲線還可以看出

16、，該粉紅噪聲數(shù)字濾波器的幅度平坦度比較低，需要采用相關(guān)的算法對該數(shù)字濾波器的幅度平坦度進(jìn)行優(yōu)化18，從而進(jìn)一步提高所生成的粉紅噪聲的質(zhì)量。4 結(jié)論本文通過一系列的公式推導(dǎo)和驗(yàn)證，建立了一個生成粉紅噪聲的ARMA模型，并且通過MATLAB仿真的方法，得到所生成粉紅噪聲以及功率譜估計(jì)的結(jié)果，然后根據(jù)仿真結(jié)果對生成的粉紅噪聲的性能進(jìn)行了研究。結(jié)果顯示：ARMA模型法生成的粉紅噪聲基本符合功率譜密度與頻率成反比以及在線性坐標(biāo)中功率譜密度以每倍頻程-3dB斜率下降的性質(zhì)。另外，該方法生成的粉紅噪聲與理想的粉紅噪聲之間具有更高的擬合度，極易推廣應(yīng)用且計(jì)算過程非常簡單，因此，本文所提出的方法要比以往的方法更

17、加優(yōu)越，可以生成性能更好的粉紅噪聲。參考文獻(xiàn)：1 王愛萍，王惠南.基于小波分析的1/f噪聲降噪J.數(shù)據(jù)采集與處理，2006，21(2)：217-221.2 何凱，王樹勛，戴逸松. 基于Shannon熵的1/f類分形信號去噪方法J.吉林大學(xué)學(xué)報(信息科學(xué)版)，2003，21(1)：21-26.3 黃松華，馬靜，邱小軍.數(shù)字粉紅噪聲生成研究J.電聲技術(shù)，2006，(11)：56-58.4 謝勇.如何用Cool Edit Pro作聲場頻率特性試EB/OL. ，2006-02-04/2010-12-25.5 祁家堃.音響設(shè)備開發(fā)使用中應(yīng)進(jìn)退取舍J電聲技術(shù)，2008，32 (3)：34-36.6 Sae

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