工程測量常用數(shù)學(xué)知識和計(jì)算公式總結(jié)范本

1、Fb匕.縱軸為X軸且表示南北方向，向北為正，N f X向南為負(fù)。橫軸為丫軸且表示東西方向，向東為正, 向西為負(fù)。象限分布為順時(shí)針。為了避免測區(qū)內(nèi)的坐標(biāo)出現(xiàn)負(fù)值，可將坐 標(biāo)原點(diǎn)選擇在測區(qū)的西南角上(可將測區(qū) 坐標(biāo)原點(diǎn)加一個(gè)大數(shù))O六位數(shù)(如:566666.00 ):(施工坐標(biāo)、測圖坐標(biāo)) AOB為施工坐標(biāo)系，XOI為測圖坐標(biāo)系。 設(shè)II為建筑基線上的f 主點(diǎn)，它在施 工坐標(biāo)系中為AII,BII ,在測圖坐標(biāo)系中 的坐標(biāo)為XII,YII ,XO,YO為施工坐標(biāo)原 點(diǎn)在測圖坐標(biāo)系中的坐標(biāo)提為X軸與A軸 之間的夾角。將II點(diǎn)的施工坐標(biāo)換算成 測圖坐標(biāo),其計(jì)算式為(見下圖)XII =XO+A II co

2、sa-B II sinaYII =Y0+A II sina-B II cosa將測圖坐標(biāo)換算成為施工坐標(biāo)，其計(jì)算式為:AII=(XII-X0 ) cosa+ (YII-YO ) sina BII=(XII-X0 ) sina+ (YII-YO ) cosa矗E瓦惹鈕)當(dāng)制歸苧亶驅(qū)VU!S+L人=£人/sot+lX=£XVWtP/(3A-L人)=VWS 暮困罵三 nmi_c在平面內(nèi),已知A點(diǎn),B點(diǎn)坐標(biāo),亮點(diǎn)見得距離公式 仃.:恕冬點(diǎn)；:騷，則:角度=COS-1(y2-y1)/(x2-x1)A(三角函數(shù))| AB |= Jxl-x2)2 +(yl + y2)2b = 7a2 +

3、C2設(shè):A點(diǎn)(y1,y1)B點(diǎn)(x2,y2)I口 _、幾何基礎(chǔ)知識1、換算角度的表示通常有角度值和弧度制兩種。1 圓周=360° 1°=60z r =60 360°=2tt弧度180。=tt 弧度1 ° = & 弧度1 弧度=(孩)=206265"loU兀 TTTi學(xué)基礎(chǔ)知識二、三角形(1 )三角形內(nèi)角和等于180。(2)三角形面積等于;x(底X高)三角形的面積遍aA(3)在直角三角形中，斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和。= / + 歹C =+ 歹b J二2 _ # J(-功(c + 功 a= _ 歹-J(:_ /)(,_/)(4 )已

4、知:正長和角度，求斜長。斜長=正長除以cosa=正長增量(斜長)cos3、在圓中，圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)如圖弧長ACB = R a 式中:R-半徑a-弧度AM = y?sin 2一 一 .aAB= 2 AM = 2y?sm 2aaMC=R-刀cos 力=4(1 cos -)增量(坐標(biāo)正算)X2 = Xl + D12cosaY2 = Yl + D12sina(二)三角函數(shù)基礎(chǔ)知識與測量直角坐標(biāo)系如圖為測量直接坐標(biāo)系，數(shù)學(xué)上的三角和解析幾何中的有關(guān)公式，可以直接應(yīng)用 到測量計(jì)算中來。1、三角函數(shù)的定義，角a的三角函數(shù)正弦(sina )余弦(cosa )正切(tana)余切(cota )正割

5、(seca )余割(coseca )分別定義如下:A ksmf *斜邊 IA2鄰邊 zxl2 cot a=,對邊Ay 12鄰邊 Axl2cos a =斜邊 IA2斜邊sec <7 =鄰邊 zxl2nn鄰邊 Axl2coseca斜邊nn對邊Ay 12角a的反三角函數(shù)分別用以下符號表示:arcsina (反正弦)arccosa (反余弦)arctana(反正切)arccota (反余切)2、坐標(biāo)正算。如圖已知x1 , y1 a D12求 x2 , y2。Ax12=D12cosaAy12=D12sinax2=x1 + Ax12y2=y1 +Ay123、坐標(biāo)反算。如圖已知x1 , y1 ；x2,

6、 y2求D12和aD 12=J(x2xl)+(y2+yl) =xl22+Ayl22Ayl2a=arctanAxl2坐標(biāo)反算時(shí)，角度a的象限確定見下圖和表，角度a是從X軸 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到直線01.02.03.04形成的夾角。Ax+.+Ay+.a090°90° 180°180°270°270°360°例題:如圖所示，MN為場地兩控制點(diǎn)，欲建立以AB , CD為主車由線的施工方格網(wǎng).(建筑工程測量)P124-125頁 解:測設(shè)步驟如下:(1 )在施工總平面上布設(shè)方位格控制網(wǎng)，計(jì)算出各點(diǎn)坐標(biāo)(注意，控制點(diǎn) 坐標(biāo)與方格網(wǎng)的坐標(biāo)必須是同一

7、建筑坐標(biāo)系，用X,Y表示)。各點(diǎn)坐標(biāo)如 下xm=533.200 xn=574.830 xo=700.00xa=700.00ym=275.420 yn=556.750 yo=450.00 ya=250.00xb=700.00xc=800.00xd=600.00yb=650.000yc=450.000yd=450.000CASiO冬4850P型計(jì)算器數(shù)值轉(zhuǎn)換成角度步驟按| SHIFT |+tan-1 | 輸數(shù)值 | SHIFT | =>DMS2l 1ocosSHIFT | | ANS | EXE (=角度)坐標(biāo)基線(2 )計(jì)算測設(shè)數(shù)據(jù)。確定以N點(diǎn)位極角的計(jì)算式為a 二 arctan AXN&

8、#176; = arctanl. 172553 二 49。32'28” AYNoSN0 二 Vax2no +Ay2NO = 164.509m(N oAXnm-.p 二 arctan二 arctanO. 147976 = 8。25'2AYnmO = a + P = 49。32'28 + 8。25'2 = 57。57'30O LO C-'-J8001sco3TOOcAhl:ll:loA1911L-1-11主軸線交點(diǎn)法測方格網(wǎng)(3)實(shí)測1) 在N點(diǎn)安置經(jīng)緯儀，后視M點(diǎn)，以正鏡，倒鏡順時(shí)針測057°57z 30角，定出NO方向 線，從N點(diǎn)起量1

9、64.509m定出。點(diǎn)，這時(shí)主軸線交點(diǎn)就測出來了。2) 移儀器于。點(diǎn)，后視N點(diǎn)，逆時(shí)針測a=49°32z 28 (順時(shí)針測a1 310°27, 32正倒鏡 取中，定出OB方向線，從O點(diǎn)起量200m,定出B點(diǎn)，正倒鏡180°,定出OA方向線，從。點(diǎn) 起量200m定出A點(diǎn)，這樣方格網(wǎng)基線即測完。轉(zhuǎn)90°定出OC方向，從o點(diǎn)起量100m,頂出C 點(diǎn)。再倒鏡180°,定出OD方向，從。點(diǎn)起量100m,定出D點(diǎn)，縱橫兩條主軸線測設(shè)完畢， 縱橫軸線直角誤差不贏超過5 o_、點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系的表示方法平面直角坐標(biāo)系是由兩條互相垂直的坐標(biāo)軸所組成的。兩條軸線

10、的交點(diǎn)稱坐標(biāo)原點(diǎn)，與原點(diǎn)相交的兩坐標(biāo)軸值為零.如下圖所示，在平面上任意一點(diǎn)至丫軸的垂直距離叫做該點(diǎn)的縱坐標(biāo)用X表示。至X 軸的垂直距離叫做該點(diǎn)的橫坐標(biāo)，用丫表示。地面上任意一點(diǎn)的平面位置，在圖紙上通常用A ( x , y )表示。圖中A點(diǎn)坐標(biāo) X=150m , y=170m ,可寫成(150 , 170) o二、坐標(biāo)增量兩點(diǎn)的坐標(biāo)之差叫坐標(biāo)增量，縱坐標(biāo)差叫縱坐標(biāo)增 量,用 x表示。橫坐標(biāo)之差叫橫坐標(biāo)增量，用 y表示。在圖中，若A點(diǎn)坐標(biāo)為A ( xa , ya ),B點(diǎn)坐標(biāo)為B ( xb , yb )，則A點(diǎn)對B點(diǎn)的增量為A x=xa-xbA y=ya-yb三、計(jì)算兩點(diǎn)間的距離+ Ar2X1 1

11、1A (xa, ya)Ax /Vi AyyB (xa； ya) 11iii_abo b a二角關(guān)系坐標(biāo)增量從右圖中看出，用為 x與Ay互相垂直，就組成以八 x和A y為直角邊的直角三角形，AB距離L是三角形 的斜邊，所以AB兩點(diǎn)距離.1111*?s胡#<«川WW86 H C。寸C.W+C。寸S*寸書 H 舄 + Hs 槌LHJ最EEo 寸 zogno KCXILZogwco9znqAeAn> v Eo 寸co.寸甲09CXICO孚Oo9z9*qxexnxv 。"_!槌sgIME"Av "X 、( olzcxilzea、09CXICO孚 Ex

12、) 。(0gwco9z%>、。9|<9*殳)( $ )四、直線與坐標(biāo)軸的夾角在圖中，如果過B點(diǎn)作兩條坐標(biāo)軸不限，從圖形中可以得出這樣的三角關(guān)系:AB兩點(diǎn)斜線對橫軸的夾角aAx少 -ctga -sma =Ayz/rpA yZx ctga -sm a -A x41)Ax84 .340-=1.66220Ay50 .740tga =ABtg P(tga =AxA.r cos a =Aykysin /3 =z/xcos a =Lzr_ 50.740艾一 98.427= 0.51551a = 58。58'6"Q = 31°1'54”二角關(guān)系坐標(biāo)增量以上是由已

13、知兩點(diǎn)坐標(biāo)來計(jì)算距離和角度，利用 公式也可以用已知距離和角度來計(jì)算坐標(biāo)增量即:Ax = Lsina Zy = L*cosax = Lcosa Zy = LsinagH 印咨 ABa汕SMLH98.427m>Ba汕悉烯 mBg帶»*58。58、6、SA汕以B 汕sft 卿 Axn 2、Ayn 2鷺Sm*sm58o58、6、no.85688COS*COS58。58、60.5452 A xnLs-n*98.427 X 0.85688n83.340mA XHLCOS*98.427 X 0.255kH50.740mn>*feBKB五、求兩條直線的夾角已知ABC三點(diǎn)，求以C點(diǎn)位極角的

14、a=?，線段AC=?,BC=?三點(diǎn)坐標(biāo)分別為:xa=337.200 ya=312.100xb=310.700 yb=325.400 xc=272.300 yc=157.300 解:k畫圖1 )根據(jù)已知點(diǎn)坐標(biāo)，吧點(diǎn)位大致標(biāo)在坐標(biāo)平面上(點(diǎn)位的上下左右關(guān)系是，縱軸大者在上，橫軸大者在右)2 )過C點(diǎn)(極角作縱橫坐標(biāo)補(bǔ)線，這時(shí)兩條直線間的角度關(guān)系就明朗化了。2 ,計(jì)算坐標(biāo)增量(1 ) A點(diǎn)對C點(diǎn)的增量Axac=xa-xc=337.200-272.300=64.900mA yac=ya-yc=312.100-157.300=154.800m(2 ) B點(diǎn)對C點(diǎn)的增量A xbc=xb-xc=310.70

15、0-272.300=38.400mA ybc=ya-yc=325.400-157.300=168.100m3、計(jì)算對坐標(biāo)軸(橫軸)的夾角1 ) AC斜線對橫軸的夾角4、求線段長八 txac 67.900_ ._tgQ = 0.41925yac 154.8000 = 22。44'45"2 ) BC斜線對橫軸的夾角Bn We 38.400 cccc, tgB = 0.22844Kybe 168.100Q =12。52'3"3)兩條線AC、BC的夾角a = e - p = 22。44'45” 12。52'3" = 9。52'42A

16、C= Ja&c+A"次=V64.9002 +154.8002 = 167.854/7?BC= 3 或 bc+或 be = a/38.4002 +168.1002 = 172.430/求聯(lián)直蛹魁ABA'. : IL7ya=774.700yb=657.680yc=734.000E:ACCJO§-YanAyac 40.700 八“八八 tga = = 0.74000Axac 55.000a = 36。30'5"2 BCt 邸=至如=76320 =1.59000Axbc 48.0004)、已知ABC三點(diǎn)，求以C點(diǎn)為極角的” ?三點(diǎn)坐標(biāo)為: xa=6

17、33.000 xb=626.000 xc=578.000解:1、畫圖根據(jù)三點(diǎn)坐標(biāo),吧點(diǎn)坐標(biāo)在坐標(biāo)平面上。過極角作坐標(biāo) 軸補(bǔ)線。如圖:2、計(jì)算坐標(biāo)增量1 ) A點(diǎn)對C點(diǎn)的增量Axac=xa-xc=633.000-578.000=55.000Ayac=ya-yc=774.700-734.000=40.7002 ) B點(diǎn)對C點(diǎn)的增量Axbc=xb-xc=626.000-578.000=48.000Aybc=yb-yc=657.680-734.000=-76.3203)計(jì)算兩條線直線對坐標(biāo)軸的夾角e坐標(biāo)的解析計(jì)算”a三點(diǎn)坐標(biāo)為:xa=439.120ya=932.450xb=362.640yb=854.

18、300xc=417.300yc=877.200解:1、回匿I過極角作坐標(biāo)縱橫軸補(bǔ)線，吧點(diǎn)標(biāo)在坐標(biāo)平面上2、計(jì)算坐標(biāo)增量1 ) A點(diǎn)對C點(diǎn)的增量Axac=xa-xc=439.120-417.300=21.820(例5 )已知ABC三點(diǎn)，求以C點(diǎn)位極角 的 0=?AC=?BC=?=0.39493Axac 21.820 tga =Ayac 55.250a = 21°33'2”2 BCpn Aybc 22.900 . tgB = = 0.41895Axbc 54.6602 =22。43'52” 30 = a + fi + 90° = 21。33'2"

19、; + 22。43'52" + 90。= 134。16'54”mm應(yīng)用注意如下幾個(gè)問題-小結(jié)首先要建立以縱，橫坐樹曾量為直角邊而組成直角三角形的概念;否則了其 它計(jì)算江無從卞手。計(jì)算直線與坐標(biāo)軸的夾角都是銳角，計(jì)算三角函數(shù)時(shí)，直線與丫軸的夾角對應(yīng) 邊為#直線與X軸夾角對應(yīng)邊為勺。換算過程注意不要弄錯(cuò)。計(jì)算兩條直線夾角(稱極角)時(shí)，要先分別算出兩個(gè)銳角，然后再相加(如 例4 )或相減(如例3 )算出夾角。在坐標(biāo)平面上標(biāo)點(diǎn)(畫圖)時(shí)，要注意點(diǎn)位上下左右關(guān)系，防止相對位置標(biāo) 錯(cuò)，誤將兩角相加變相減(或相減變相加)造成錯(cuò)誤。兩控制點(diǎn)鐘任意一點(diǎn)都可以做為極角(觀站點(diǎn)),其計(jì)算結(jié)

20、果是一樣的，但 認(rèn)定一點(diǎn)后，現(xiàn)場施測時(shí)必須用這一點(diǎn)作為測站。否則因極點(diǎn)不同，原計(jì)算 數(shù)據(jù)部能使用必須使用同一坐標(biāo)值，建筑坐標(biāo)或測量坐標(biāo)；施工坐標(biāo)或測圖坐標(biāo)；小坐標(biāo)或大坐標(biāo)兩者不能混用導(dǎo)佳節(jié)(332監(jiān))XAn50p9。 XBU505.4 二 cM-監(jiān)節(jié) XCU520OO35 呆汁監(jiān)節(jié) XDU525W46YAH42L296Y?77.l4Ycn4q9.685YDK75.503q ) (渲岳、ei+wc、=Dr( ) 蔓馨s源囹rmMeSHIFTpol (52。835 5。9。寧 419 685 42L 296) EXE WEMr H 19, 99998865>mCDH4 620183071 a

21、例1 )將B點(diǎn)大坐標(biāo)換成小坐標(biāo)祥k=500. 900 y=421.296x=520. 835 y=419.685k=505.41:y=4TT. 11D念k=525. 346)y=475. 503解:設(shè)A點(diǎn)小坐標(biāo)(原點(diǎn))xa=0.000 , ya=0.0001、B點(diǎn)對A點(diǎn)的增量AxBA=505.411-500.900=4.511AyBA=477.114-421.296=55.8182、轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)(二 ? 0=? ) BA對縱軸夾角及距離SHIFTpol(4.511,55.818)EXEr=55.999984330=85.37961296 3、加角度差a (后視與測站點(diǎn)對X軸角度差)3 =85.

22、37961296+4.620183071 =89.99979603=90.0004、轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)(B點(diǎn)小坐標(biāo))X=?,Y=?SHIFT rec ( 55.99998433,90.000 )Xb 小=0.000yb 小=55.999彗捋5. 3461 D 爵A、=Dr(渲薯、B )fiwA XDAn525.346&0p900n24.446A yDAn475.503KN 296H54 2072，拂潛苛滯收節(jié)(rn 2 * 2 ) DAa蕓焉曲濘 SH-FTPO- ( 24.446、54.2。7 ) EXE T59.46432346MH5 呂 9OCZI節(jié)捋pB35 1S-夥cn町-4 捋

23、01 Bwcrn濟(jì)爵而圓常5呂云111- 114*65.7258320 n65.725832+4.62283。7寸7。.346。274，拂潛苛W流監(jiān)節(jié)(D、=Dr、底節(jié))X" 2、yn 2 SH_FTrec ( 59.46432346、7P34600027 ) EXE Xd、/2OOOO Yd、.55.999k=525. 346Dy=475.503k=500. 900x=520. 835y=419. 685k=505.411 y=477. 114B念y=421.2961s c點(diǎn)對A點(diǎn)(原點(diǎn)、測站點(diǎn))增量A xCA=520.835-500.900=19.935A yCA=419.685

24、-421.296=-1.6112、轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)(二?”?) CA對縱軸距離及 夾角SHIFTpol ( 19.935 , -1.611 ) EXEr=19.99998868 e=-4.620183071 3、加角度差a ( CA對x軸(縱軸)夾角 3 =-4.620183071+4.620183071 =0.0004、轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)(C點(diǎn)小坐標(biāo))x= ? , y= ?SHIFTrec ( 19.99998865 , 0.000 ) EXEXc/J=19.999 Yc 小=0.000YA=421.296YC=419.685yb=55.999施工圖坐標(biāo)換成大地坐標(biāo) 如上圖:已知A點(diǎn)(原點(diǎn)，測站點(diǎn))，。點(diǎn)(后視點(diǎn))坐標(biāo)(大坐標(biāo))已知B點(diǎn),D點(diǎn)小坐標(biāo),要求把B點(diǎn),D點(diǎn)小坐標(biāo)換 算成大坐標(biāo)。yd=55.999A點(diǎn)大坐標(biāo) XA=500.900 C點(diǎn)大坐標(biāo) XC=520.83