必修3-第二章統(tǒng)計-2.3變量間的相關關系2

1、120102011學年度高一數(shù)學必修4（人教A版）濟寧育才中學高一數(shù)學組朱繼哲濟寧育才中學高一數(shù)學組朱繼哲21.1.函數(shù)是研究兩個變量之間的依存關函數(shù)是研究兩個變量之間的依存關系的一種數(shù)量形式系的一種數(shù)量形式. .對于兩個變量，如對于兩個變量，如果當一個變量的取值一定時，另一個果當一個變量的取值一定時，另一個變量的取值被惟一確定，則這兩個變變量的取值被惟一確定，則這兩個變量之間的關系就是一個函數(shù)關系量之間的關系就是一個函數(shù)關系. .32.2.在中學校園里，有這樣一種說法：在中學校園里，有這樣一種說法：“如果你的數(shù)學成績好，那么你的物理如果你的數(shù)學成績好，那么你的物理學習就不會有什么大問題學習就

2、不會有什么大問題.”.”按照這種按照這種說法，似乎學生的物理成績與數(shù)學成績說法，似乎學生的物理成績與數(shù)學成績之間存在著某種關系，我們把數(shù)學成績之間存在著某種關系，我們把數(shù)學成績和物理成績看成是兩個變量，那么這兩和物理成績看成是兩個變量，那么這兩個變量之間的關系是函數(shù)關系嗎？個變量之間的關系是函數(shù)關系嗎？43.3.我們不能通過一個人的數(shù)學成績是多少就我們不能通過一個人的數(shù)學成績是多少就準確地斷定其物理成績能達到多少，學習興準確地斷定其物理成績能達到多少，學習興趣、學習時間、教學水平等，也是影響物理趣、學習時間、教學水平等，也是影響物理成績的一些因素，但這兩個變量是有一定關成績的一些因素，但這兩個

3、變量是有一定關系的，它們之間是一種不確定性的關系系的，它們之間是一種不確定性的關系. .類類似于這樣的兩個變量之間的關系，有必要從似于這樣的兩個變量之間的關系，有必要從理論上作些探討，如果能通過數(shù)學成績對物理論上作些探討，如果能通過數(shù)學成績對物理成績進行合理估計，將有著非常重要的現(xiàn)理成績進行合理估計，將有著非常重要的現(xiàn)實意義實意義. .56思考思考1 1：考察下列問題中兩個變量之間考察下列問題中兩個變量之間的關系：的關系：（1 1）商品銷售收入與廣告支出經(jīng)費；）商品銷售收入與廣告支出經(jīng)費；（2 2）糧食產(chǎn)量與施肥量；）糧食產(chǎn)量與施肥量；（3 3）人體內(nèi)的脂肪含量與年齡）人體內(nèi)的脂肪含量與年齡.

4、 . 這些問題中兩個變量之間的關系是函這些問題中兩個變量之間的關系是函數(shù)關系嗎？數(shù)關系嗎？ 7思考思考2 2：“名師出高徒名師出高徒”可以解釋為教可以解釋為教師的水平越高，學生的水平就越高，那師的水平越高，學生的水平就越高，那么學生的學業(yè)成績與教師的教學水平之么學生的學業(yè)成績與教師的教學水平之間的關系是函數(shù)關系嗎？你能舉出類似間的關系是函數(shù)關系嗎？你能舉出類似的描述生活中兩個變量之間的這種關系的描述生活中兩個變量之間的這種關系的成語嗎？的成語嗎？8思考思考3 3：上述兩個變量之間的關系是一上述兩個變量之間的關系是一種非確定性關系，稱之為種非確定性關系，稱之為相關關系相關關系，那，那么相關關系的

5、含義如何？么相關關系的含義如何？ 自變量取值一定時，因變量的取值帶自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關系，有一定隨機性的兩個變量之間的關系，叫做相關關系叫做相關關系. .9思考思考4 4：對于一個變量，可以控制其數(shù)對于一個變量，可以控制其數(shù)量大小的變量稱為量大小的變量稱為可控變量可控變量，否則稱為，否則稱為隨機變量隨機變量，那么相關關系中的兩個變量，那么相關關系中的兩個變量有哪幾種類型？有哪幾種類型？ (1)(1)一個為可控變量，另一個為隨機變量；一個為可控變量，另一個為隨機變量；(2)(2)兩個都是隨機變量兩個都是隨機變量. .10【問題】【問題】在一次對人體脂肪含

6、量和年齡關系在一次對人體脂肪含量和年齡關系的研究中，研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù)：的研究中，研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù)： 其中各年齡對應的脂肪數(shù)據(jù)是這個年齡人其中各年齡對應的脂肪數(shù)據(jù)是這個年齡人群脂肪含量的樣本平均數(shù)群脂肪含量的樣本平均數(shù). .年齡年齡 2323272739394141454549495050脂肪脂肪 9.59.517.817.8 21.221.2 25.925.9 27.527.5 26.326.3 28.228.2年年齡齡5353545456565757585860606161脂脂肪肪29.29.6 630.30.2 231.31.4 430.30.8 833.33.5 53

7、5.35.2 234.34.6 611思考思考1 1：對某一個人來說，他的體內(nèi)脂肪含對某一個人來說，他的體內(nèi)脂肪含量不一定隨年齡增長而增加或減少，但是量不一定隨年齡增長而增加或減少，但是如果把很多個體放在一起，就可能表現(xiàn)出如果把很多個體放在一起，就可能表現(xiàn)出一定的規(guī)律性一定的規(guī)律性. .觀察上表中的數(shù)據(jù)，大體上觀察上表中的數(shù)據(jù)，大體上看，隨著年齡的增加，人體脂肪含量怎樣看，隨著年齡的增加，人體脂肪含量怎樣變化？變化？年齡年齡 2323272739394141454549495050脂肪脂肪 9.59.517.817.8 21.221.2 25.925.9 27.527.5 26.326.3 2

8、8.228.2年年齡齡5353545456565757585860606161脂脂肪肪29.29.6 630.30.2 231.31.4 430.30.8 833.33.5 535.35.2 234.34.6 612思考思考2 2：為了確定年齡和人體脂肪含量之間的更為了確定年齡和人體脂肪含量之間的更明確的關系，我們需要對數(shù)據(jù)進行分析，通過作明確的關系，我們需要對數(shù)據(jù)進行分析，通過作圖可以對兩個變量之間的關系有一個直觀的印象圖可以對兩個變量之間的關系有一個直觀的印象. .以以x x軸表示年齡，軸表示年齡，y y軸表示脂肪含量，軸表示脂肪含量，你能在直角你能在直角坐標系中描出樣本數(shù)據(jù)對應的圖形嗎？

9、坐標系中描出樣本數(shù)據(jù)對應的圖形嗎？ 年齡年齡 2323272739394141454549495050脂肪脂肪 9.59.517.817.8 21.221.2 25.925.9 27.527.5 26.326.3 28.228.2年年齡齡5353545456565757585860606161脂脂肪肪29.29.6 630.30.2 231.31.4 430.30.8 833.33.5 535.35.2 234.34.6 613思考思考3 3：上圖叫做上圖叫做散點圖散點圖，你能描述一，你能描述一下散點圖的含義嗎？下散點圖的含義嗎？ 在平面直角坐標系中，表示具有相關關系在平面直角坐標系中，表示具

10、有相關關系的兩個變量的一組數(shù)據(jù)圖形，稱為散點圖的兩個變量的一組數(shù)據(jù)圖形，稱為散點圖. . 14思考思考4 4：觀察散點圖的大致趨勢，人的觀察散點圖的大致趨勢，人的年齡的與人體脂肪含量具有什么相關關年齡的與人體脂肪含量具有什么相關關系？系？ 15思考思考5 5：在上面的散點圖中，這些點散布在在上面的散點圖中，這些點散布在從左下角到右上角的區(qū)域，對于兩個變量的從左下角到右上角的區(qū)域，對于兩個變量的這種相關關系，我們將它稱為這種相關關系，我們將它稱為正相關正相關. .一般一般地，如果兩個變量成正相關，那么這兩個變地，如果兩個變量成正相關，那么這兩個變量的變化趨勢如何？量的變化趨勢如何？ 16思考思考

11、6 6：如果兩個變量成負相關，從整如果兩個變量成負相關，從整體上看這兩個變量的變化趨勢如何？其體上看這兩個變量的變化趨勢如何？其散點圖有什么特點？散點圖有什么特點？ 一個變量隨另一個變量的變大而變小，一個變量隨另一個變量的變大而變小，散點圖中的點散布在從左上角到右下角散點圖中的點散布在從左上角到右下角的區(qū)域的區(qū)域. .思考思考7 7：你能列舉一些生活中的變量成你能列舉一些生活中的變量成正相關或負相關的實例嗎正相關或負相關的實例嗎? ? 17例例1 1 在下列兩個變量的關系中，哪些在下列兩個變量的關系中，哪些是相關關系？是相關關系？正方形邊長與面積之間的關系；正方形邊長與面積之間的關系；作文水平

12、與課外閱讀量之間的關系；作文水平與課外閱讀量之間的關系；人的身高與年齡之間的關系；人的身高與年齡之間的關系；降雪量與交通事故的發(fā)生率之間的降雪量與交通事故的發(fā)生率之間的關系關系. .18例例2 2 以下是某地搜集到的新房屋的銷售以下是某地搜集到的新房屋的銷售價格和房屋的面積的數(shù)據(jù)：價格和房屋的面積的數(shù)據(jù)：房屋面積房屋面積（平方米）（平方米） 616170701151151101108080135135105105銷售價格銷售價格（萬元）（萬元） 12.212.215.315.324.824.821.621.618.418.429.229.22222畫出數(shù)據(jù)對應的散點圖，并指出銷售畫出數(shù)據(jù)對應的

13、散點圖，并指出銷售價格與房屋面積這兩個變量是正相關價格與房屋面積這兩個變量是正相關還是負相關還是負相關. . 19201 1對于兩個變量之間的關系，有函數(shù)關系對于兩個變量之間的關系，有函數(shù)關系和相關關系兩種，其中函數(shù)關系是一種確定和相關關系兩種，其中函數(shù)關系是一種確定性關系，相關關系是一種非確定性關系性關系，相關關系是一種非確定性關系. .3.3.一般情況下兩個變量之間的相關關系成正一般情況下兩個變量之間的相關關系成正相關或負相關，類似于函數(shù)的單調(diào)性相關或負相關，類似于函數(shù)的單調(diào)性. .2 2散點圖能直觀反映兩個相關變量之間的散點圖能直觀反映兩個相關變量之間的大致變化趨勢，利用計算機作散點圖是

14、簡單大致變化趨勢，利用計算機作散點圖是簡單可行的辦法可行的辦法. . 21P P8585練習：練習：1 1，2.2. 221. 1. 兩個變量之間的相關關系的含義如兩個變量之間的相關關系的含義如何？成正相關和負相關的兩個相關變量何？成正相關和負相關的兩個相關變量的散點圖分別有什么特點？的散點圖分別有什么特點？自變量取值一定時，因變量的取值帶自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關系有一定隨機性的兩個變量之間的關系. .正相關的散點圖中的點散布在從左下正相關的散點圖中的點散布在從左下角到右上角的區(qū)域，負相關的散點圖角到右上角的區(qū)域，負相關的散點圖中的點散布在從左上角到右下角

15、的區(qū)中的點散布在從左上角到右下角的區(qū)域域 232.2.觀察人體的脂肪含量百分比和年齡的樣本觀察人體的脂肪含量百分比和年齡的樣本數(shù)據(jù)的散點圖，這兩個相關變量成正相關數(shù)據(jù)的散點圖，這兩個相關變量成正相關. .我們需要進一步考慮的問題是，當人的年齡我們需要進一步考慮的問題是，當人的年齡增加時，體內(nèi)脂肪含量到底是以什么方式增增加時，體內(nèi)脂肪含量到底是以什么方式增加呢？對此，我們從理論上作些研究加呢？對此，我們從理論上作些研究. .2425思考思考1 1：一組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)是樣本數(shù)一組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)是樣本數(shù)據(jù)的中心，那么散點圖中樣本點的中心據(jù)的中心，那么散點圖中樣本點的中心如何確定？它一定是散點圖中

16、的點嗎？如何確定？它一定是散點圖中的點嗎？ ( , )x y26思考思考2 2：在各種各樣的散點圖中，有些散點圖中在各種各樣的散點圖中，有些散點圖中的點是雜亂分布的，有些散點圖中的點的分布有的點是雜亂分布的，有些散點圖中的點的分布有一定的規(guī)律性，年齡和人體脂肪含量的樣本數(shù)據(jù)一定的規(guī)律性，年齡和人體脂肪含量的樣本數(shù)據(jù)的散點圖中的點的分布有什么特點？的散點圖中的點的分布有什么特點？ 這些點大致分布在一條直線附近這些點大致分布在一條直線附近. .27思考思考3 3：如果散點圖中的點的分布，從整體如果散點圖中的點的分布，從整體上看大致在一條直線附近，則稱這兩個變量上看大致在一條直線附近，則稱這兩個變量

17、之間具有之間具有線性相關關系線性相關關系，這條直線叫做，這條直線叫做回歸回歸直線直線. .對具有線性相關關系的兩個變量，其對具有線性相關關系的兩個變量，其回歸直線一定通過樣本點的中心嗎？回歸直線一定通過樣本點的中心嗎？28思考思考4 4：對一組具有線性相關關系的樣對一組具有線性相關關系的樣本數(shù)據(jù)，你認為其回歸直線是一條還是本數(shù)據(jù)，你認為其回歸直線是一條還是幾條？幾條？29思考思考5 5：在樣本數(shù)據(jù)的散點圖中，能否在樣本數(shù)據(jù)的散點圖中，能否用直尺準確畫出回歸直線？借助計算用直尺準確畫出回歸直線？借助計算機怎樣畫出回歸直線？機怎樣畫出回歸直線？30 在直角坐標系中，任何一條直線都有在直角坐標系中，

18、任何一條直線都有相應的方程，回歸直線的方程稱為相應的方程，回歸直線的方程稱為回歸回歸方程方程. .對一組具有線性相關關系的樣本對一組具有線性相關關系的樣本數(shù)據(jù)，如果能夠求出它的回歸方程，那數(shù)據(jù)，如果能夠求出它的回歸方程，那么我們就可以比較具體、清楚地了解兩么我們就可以比較具體、清楚地了解兩個相關變量的內(nèi)在聯(lián)系，并根據(jù)回歸方個相關變量的內(nèi)在聯(lián)系，并根據(jù)回歸方程對總體進行估計程對總體進行估計. . 31思考思考1 1：回歸直線與散點圖中各點的位回歸直線與散點圖中各點的位置應具有怎樣的關系？置應具有怎樣的關系？ 整體上最接近整體上最接近 32思考思考2 2：對于求回歸直線方程，你有哪對于求回歸直線方

19、程，你有哪些想法？些想法？ 33(x1， y1)(x2，y2)(xi，yi)(xn，yn)可以用可以用 或或 ， 其中其中 . . |iiyy-2()iiyy-iiybxa=+思考思考3 3：對一組具有線性相關關系的樣本數(shù)對一組具有線性相關關系的樣本數(shù)據(jù)：據(jù)：(x(x1 1，y y1 1) )，(x(x2 2，y y2 2) )，(x(xn n，y yn n) )，設其回歸方程為設其回歸方程為 可以用哪些數(shù)量可以用哪些數(shù)量關系來刻畫各樣本點與回歸直線的接近程關系來刻畫各樣本點與回歸直線的接近程度？度？ ybxa=+34思考思考4 4：為了從整體上反映為了從整體上反映n n個樣本數(shù)據(jù)個樣本數(shù)據(jù)與

20、回歸直線的接近程度，你認為選用哪與回歸直線的接近程度，你認為選用哪個數(shù)量關系來刻畫比較合適？個數(shù)量關系來刻畫比較合適？ 21()niiiQyy2221122()()()nnybxaybxaybxa(x1， y1)(x2，y2)(xi，yi)(xn，yn)35思考思考5 5：根據(jù)有關數(shù)學原理分析，當根據(jù)有關數(shù)學原理分析，當 時，總體偏差時，總體偏差 為最小，這樣為最小，這樣就得到了回歸方程，這種求回歸方程的就得到了回歸方程，這種求回歸方程的方法叫做方法叫做最小二乘法最小二乘法. .回歸方程回歸方程中，中，a a，b b的幾何意義分別是什么？的幾何意義分別是什么？1122211()(),()nni

21、iiiiinniiiixxyyx ynx ybaybxxxxnx21()niiiQyyybxa=+36思考思考6 6：利用計算器或計算機可求得年齡和利用計算器或計算機可求得年齡和人體脂肪含量的樣本數(shù)據(jù)的回歸方程為人體脂肪含量的樣本數(shù)據(jù)的回歸方程為 ，由此我們可以根據(jù)，由此我們可以根據(jù)一個人個年齡預測其體內(nèi)脂肪含量的百分一個人個年齡預測其體內(nèi)脂肪含量的百分比的比的回歸值回歸值. .若某人若某人3737歲，則其體內(nèi)脂肪含歲，則其體內(nèi)脂肪含量的百分比約為多少？量的百分比約為多少？0. 5770. 448yx=-20.9%20.9%37例例 有一個同學家開了一個小賣部，有一個同學家開了一個小賣部，他為了研究氣溫對熱飲銷售的影響，他為了研究氣溫對熱飲銷售的影響，經(jīng)過統(tǒng)計，得到一個賣出的飲料杯數(shù)經(jīng)過統(tǒng)計，得到一個賣出的飲料杯數(shù)與當天氣溫的對比表：與當天氣溫的對比表： 攝氏溫攝氏溫度度( (） -504712熱飲杯熱飲杯數(shù)數(shù) 1561501321281301519232731361161048993765438攝氏溫攝氏溫度度( (） -504712熱飲杯數(shù)熱飲杯數(shù) 15615013212813015192327313611610489937654（1 1）畫出散點圖；）畫出散點圖；（2 2）從散點圖中發(fā)現(xiàn)氣溫與熱飲杯數(shù)之）從散點圖中發(fā)現(xiàn)氣溫與熱飲杯數(shù)之