第12講bode最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)

1、第12講程向紅最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)伯特圖求參數(shù)典型環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖1第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法Frequency-response analysis頻域分析法頻率特性及其表示法典型環(huán)節(jié)的頻率特性穩(wěn)定裕度和判據(jù)頻率特性指標(biāo) 應(yīng)用頻率特性研究線性系統(tǒng)的經(jīng)典方法稱為頻域分析法。 25.1.2 頻率特性的表示法 (1)對數(shù)坐標(biāo)圖 (Bode diagram or logarithmic plot)(2)極坐標(biāo)圖 (Polar plot)(3)對數(shù)幅相圖 (Log-magnitude versus phase plot)對數(shù)頻率特性曲線)(log20jGdB)(L對數(shù)幅頻特性相頻特性()縱坐標(biāo)均

2、按線性分度橫坐標(biāo)是角速率)()(jG10倍頻程，用dec lg按分度 http:/ http:/ plot)，=幅相頻率特性曲線，=幅相曲線 )(jG可用幅值)(jG和相角)(的向量表示。變化時，向量)(jG的幅值和相位也隨之作相應(yīng)的變化，其端點(diǎn)在復(fù)平面上移動的軌跡稱為極坐標(biāo)圖。 當(dāng)輸入信號的頻率0奈奎斯特(N.Nyquist)在1932年基于極坐標(biāo)圖闡述了反饋系統(tǒng)穩(wěn)定性 奈奎斯特曲線，簡稱奈氏圖 45.2典型環(huán)節(jié)頻率特性曲線的繪制5.2.1 增益KKLlog20)( 0)(幅頻特性和相頻特性曲線 請看下頁55.2.2 積分與微分因子1jjjG1)()(log201log20)(dBjL90)

3、()(log20log20)(dBjLjjG)( 90)(nj )/1 (nj )( )(log20)(1log20)(dBnjLn n90)()(log20)(log20)(dBnjLn n 90)(這些幅頻特性曲線將通過點(diǎn)1,0dB類推相差一個符號65.2.3 一階因子1)1 (Tj一階因子1)1 (Tj)( )(1 log2011log20)(2dBTTjL)()(Tarctg在低頻時，即TT1, 1)(01log20)(1 log20)(2dBTL低頻時的對數(shù)幅值曲線是一條0分貝的直線TT1, 1)(log20)(1 log20)(2dBTTL圖5-10表示了一階因子的精確對數(shù)幅頻特性

4、曲線及漸近線，以及精確(Exact curve)的相角曲線。在高頻時，即高頻時的對數(shù)幅頻特性曲線是一條斜率為-20分貝/十倍頻程的直線請看下頁對數(shù)幅頻特性相頻特性75.2.4 二階因子 12)/()/(21 nnjj2)()(211nnjj22222)2()1 (log20)()(211log20)(nnnnjjL在低頻時，即當(dāng)nndBnnlog40log2022低頻漸近線為一條0分貝的水平線-20log1=0dB在高頻時，即當(dāng)高頻時的對數(shù)幅頻特性曲線是一條斜率為-40分貝/十倍頻程的直線由于在n時dBn01log40log40所以高頻漸近線與低頻漸近線在n處相交。這個頻率就是上述二階因子的轉(zhuǎn)

5、角頻率。82222)2()1 (1)(nnjG令2222)2()1 ()(nng012)2(2)2)(1 (2)(222nnnngdtd)1 (4)21 ()(2222222nng(5-22)(5-23)(5-25)707. 02201212rM諧振頻率諧振頻率諧振峰值 諧振峰值 當(dāng)707. 0時，幅值曲線不可能有峰值出現(xiàn)，即不會有諧振 221nrrM與關(guān)系曲線 請看0.70.8051015圖5-15rM與關(guān)系曲線 rM/dB10開環(huán)系統(tǒng)的伯德圖步驟如下 寫出開環(huán)頻率特性表達(dá)式，將所含各因子的轉(zhuǎn)折頻率由大到小依次標(biāo)在頻率軸上 繪制開環(huán)對數(shù)幅頻曲線的漸近線。

6、 低頻段的斜率為decdB/20 漸近線由若干條分段直線所組成 在1處，KLlg20)( 每遇到一個轉(zhuǎn)折頻率，就改變一次分段直線的斜率 111Tj因子的轉(zhuǎn)折頻率11T，當(dāng)11T時， 分段直線斜率的變化量為decdB/20 21Tj因子的轉(zhuǎn)折頻率21T，當(dāng)21T分段直線斜率的變化量為decdB/20 時，11高頻漸近線，其斜率為decdBmn/)(20n為極點(diǎn)數(shù)，m為零點(diǎn)數(shù) 作出以分段直線表示的漸近線后，如果需要，再按典型因子的誤差曲線對相應(yīng)的分段直線進(jìn)行修正 作相頻特性曲線。根據(jù)表達(dá)式，在低頻中頻和高頻區(qū)域中各選擇若干個頻率進(jìn)行計算，然后連成曲線 125.2.5最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng)Mi

7、nimum phase systems and non-minimum phase systems 最小相位傳遞函數(shù)非最小相位傳遞函數(shù)在右半s平面內(nèi)既無極點(diǎn)也無零點(diǎn)的傳遞函數(shù)在右半s平面內(nèi)有極點(diǎn)和（或）零點(diǎn)的傳遞函數(shù)最小相位系統(tǒng)非最小相位系統(tǒng)具有最小相位傳遞函數(shù)的系統(tǒng)具有非最小相位傳遞函數(shù)的系統(tǒng)請看例子13對于最小相位系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)由單一的幅值曲線唯一確定。對于非最小相位系統(tǒng)則不是這種情況。 1111)(TjTjjG1120,11)(TTTjTjjGjT111T 11TjT1圖5-18最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)的零-極點(diǎn)分布圖14Bode DiagramFrequency (rad/sec

8、)Phase (deg)Magnitude (dB)-20-15-10-5010-210-1100101102-180-135-90-450非最小相位系統(tǒng) 最小相位系統(tǒng) 圖5-19的相角特性 相同的幅值特性111TjTj111TjTj和15在具有相同幅值特性的系統(tǒng)中，最小相位傳遞函數(shù)（系統(tǒng)）的相角范圍，在所有這類系統(tǒng)中是最小的。任何非最小相位傳遞函數(shù)的相角范圍，都大于最小相位傳遞函數(shù)的相角范圍 最小相位系統(tǒng)，幅值特性和相角特性之間具有唯一的對應(yīng)關(guān)系。這意味著，如果系統(tǒng)的幅值曲線在從零到無窮大的全部頻率范圍上給定，則相角曲線被唯一確定這個結(jié)論對于非最小相位系統(tǒng)不成立。 反之亦然16最小相位系統(tǒng)，

9、相角在時變?yōu)閐ecdBmn/)(90n為極點(diǎn)數(shù)，m為零點(diǎn)數(shù)。時的斜率都等于decdBmn/)(20因此，為了確定系統(tǒng)是不是最小相位的既需要檢查對數(shù)幅值曲線高頻漸近線的斜率，又需檢查在如果當(dāng)對數(shù)幅值曲線的斜率為decdBmn/)(20并且相角等于decdBmn/)(90那么該系統(tǒng)就是最小相位系統(tǒng)。判斷最小相位系統(tǒng)的另一種方法兩個系統(tǒng)的對數(shù)幅值曲線在時相角時175.2.6 傳遞延遲(Transport lag) See p190通常在熱力、液壓和氣動系統(tǒng)中存在傳遞延遲傳遞延時是一種非最小相位特性。如果不采取對消措施，高頻時將造成嚴(yán)重的相位滯后 延遲環(huán)節(jié)的輸入和輸出的時域表達(dá)式為)()( 1)(tr

10、ttcsesRsCsG)()()(jejG)(1sincos)(jjG傳遞延遲的對數(shù)幅值等于0分貝(deg)3 .57)()(rad其幅值總是等于1傳遞延遲的相角為1810-1100101-600-500-400-300-200-1000圖5-20傳遞延遲的相角特性曲線 195.2.7 系統(tǒng)類型與對數(shù)幅值之間的關(guān)系考慮單位反饋控制系統(tǒng)。靜態(tài)位置、速度和加速度誤差常數(shù)分別描述了0型、1型和2型系統(tǒng)的低頻特性。當(dāng) 趨近于零時，回路增益越高，有限的靜態(tài)誤差常值就越大。對于給定的系統(tǒng)，只有靜態(tài)誤差常數(shù)是有限值，才有意義。系統(tǒng)的類型確定了低頻時對數(shù)幅值曲線的斜率。因此，對于給定的輸入信號，控制系統(tǒng)是否存

11、在穩(wěn)態(tài)誤差，以及穩(wěn)態(tài)誤差的大小，都可以從觀察對數(shù)幅值曲線的低頻區(qū)特性予以確定。 20靜態(tài)位置誤差常數(shù)的確定+ +- -R(s)E(s)C(s)(sG圖5-21單位反饋控制系統(tǒng)假設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 ) 1() 1)(1() 1() 1)(1()(2121sTsTsTssTsTsTKsGnm) 1() 1)(1()() 1() 1)(1()(2121jTjTjTjjTjTjTKjGnm)(jG在低頻段等于pK，即pKjG)(lim02110-1100101-40-30-20-10010203020logK-20dB/dec-40dB/dec圖5-22 某一0型系統(tǒng)對數(shù)幅值曲線) 12 . 0)

12、(1(15)(sssGcf3_dB=-30.4575749 cf1_dB=23.5218252cf2_dB=9.542425122圖5-23為一個1型系統(tǒng)對數(shù)幅值曲線的例子。decdB/20的起始線段/或其延長線，與1的直線的交點(diǎn)具有的幅值為vKlog20靜態(tài)速度誤差常數(shù)的確定在1型系統(tǒng)中1,)(jKjGv斜率為證明vvKjKlog20log2011斜率為decdB/20其延長線與0分貝線的交點(diǎn)的頻率在數(shù)值上等于vK設(shè)交點(diǎn)上的頻率為111jKv1vK的起始線段/或證明23100101102-40-30-20-100102030-20dB/dec-40dB/dec123224100101102-

13、40-30-20-100102030-20dB/dec-40dB/dec1232圖5-23 某個1型系統(tǒng)對數(shù)幅值曲線) 1()(TssKsG轉(zhuǎn)角頻率為2 斜率為decdB/40與/或其延長線與0分貝線的交點(diǎn)為3 的直線T12 ，TK23 ，KKv1由此得到23212331在伯德圖上2331loglogloglog3點(diǎn)恰好是2點(diǎn)與1點(diǎn)的中點(diǎn) 25靜態(tài)加速度誤差常數(shù)的確定斜率為decdB/40的起始線段/或其1的直線的交點(diǎn)具有的幅值為aKlog20 )( 對數(shù)坐標(biāo)dBdecdB/40decdB/60decdB/2010aaK圖5-24 某2型系統(tǒng)對數(shù)幅值曲線延長線，與1,)()(2jKjGaaaK

14、jKlog20)(log2012證明26)( 對數(shù)坐標(biāo)dBdecdB/40decdB/60decdB/2010aaK圖5-24 某2型系統(tǒng)對數(shù)幅值曲線斜率為decdB/40的起始線段/或其延長線與0分貝線的交點(diǎn)的頻率為a在數(shù)值上等于aK的平方根 證明01log20)(log202aajKaaK275.3極坐標(biāo)圖(Polar plot)，幅相頻率特性曲線，奈奎斯特曲線)(jG可用幅值)(jG和相角)(的向量表示。當(dāng)輸入信號的頻率由零變化到無窮大時，向量)(jG的幅值和相位也隨之作相應(yīng)的變化，其端點(diǎn)在復(fù)平面上移動的軌跡稱為極坐標(biāo)圖。在極坐標(biāo)圖上，正/負(fù)相角是從正實(shí)軸開始，以逆時針/順時針旋轉(zhuǎn)來定義

15、的 28-3-2-10123-5-4-3-2-1012Real AxisImag Axis圖5-25 極坐標(biāo)圖)(ImjG)(RejG)(jG)(123ImRe0但它不能清楚地表明開環(huán)傳遞函數(shù)中每個因子對系統(tǒng)的具體影響 采用極坐標(biāo)圖的優(yōu)點(diǎn)是它能在一幅圖上表示出系統(tǒng)在整個頻率范圍內(nèi)的頻率響應(yīng)特性。295.3.1積分與微分因子11)(jjjG所以jjG1)(的極坐標(biāo)圖是負(fù)虛軸。jjG)(的極坐標(biāo)圖是正虛軸。Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis-3-2-10123-5-4.5-4-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.50圖5-26 積分因子極坐標(biāo)圖9019

16、0jjG)(030Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis-3-2-1012300.511.522.533.544.55圖5-27 微分因子極坐標(biāo)圖0315.3.2一階因子TjjG11)(01)0( jG 4521)1(TjGNyquist DiagramReal AxisImaginary Axis-1.5-1-0.500.511.5-3-2.5-2-1.5-1-0.50圖5-28 一階因子jjG11)(極坐標(biāo)圖TarctgT2)(1101800)( jGT1)(jG32Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis-3-2-

17、1012300.511.522.533.544.55圖5-29 一階因子jjG1)(極坐標(biāo)圖335.3.3二階因子0,)()(211)(2nnjjjG01)0( jG1800)( jG)(jG的高頻部分與負(fù)實(shí)軸相切。極坐標(biāo)圖的精確形狀與阻尼比有關(guān)，但對于欠阻尼和過阻尼的情況，極坐標(biāo)圖的形狀大致相同。Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis-3-2-10123-6-5-4-3-2-10n0圖5-30 二階因子極坐標(biāo)圖34對于欠阻尼n時21)(jjGn相角90)(jG的軌跡與虛軸交點(diǎn)處的頻率，就是無阻尼自然頻率n極坐標(biāo)圖上，距原點(diǎn)最遠(yuǎn)的頻率點(diǎn)，相應(yīng)于諧振頻率r這

18、時)(jG可以用諧振頻率r處的向量幅值，與0處向量幅值之比來確定。當(dāng)Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis-3-2-10123-6-5-4-3-2-10n0的峰值35過阻尼情況增加到遠(yuǎn)大于1時，)(jG的軌跡趣近于半圓。這是因為對于強(qiáng)阻尼系統(tǒng)，特征方程的根為實(shí)根，并且其中一個根遠(yuǎn)小于另一個根。對于足夠大的值，比較大的一個根對系統(tǒng)影響很小，因此系統(tǒng)的特征與一階系統(tǒng)相似。 當(dāng)36Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis-3-2-10123-6-5-4-3-2-101 . 037Nyquist DiagramReal Axis

19、Imaginary Axis-3-2-10123-6-5-4-3-2-102 . 01 . 038Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis-3-2-10123-6-5-4-3-2-102 . 01 . 03 . 039Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis-3-2-10123-6-5-4-3-2-102 . 01 . 03 . 04 . 040Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis-3-2-10123-6-5-4-3-2-102 . 01 . 03 . 04 . 0241對于2)()

20、(21)(nnjjjG )2()1 (22nnj極坐標(biāo)圖的低頻部分為：01)0( jG極坐標(biāo)圖的高頻部分為：180)( jGNyquist DiagramReal AxisImaginary Axis-3-2-101230123456圖5-31 二階因子2)()(21nnjj極坐標(biāo)圖42Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis-3-2-101230123456圖5-31 二階因子2)()(21nnjj極坐標(biāo)圖43例5-2 考慮下列二階傳遞函數(shù)：) 1(1)(TsssG試畫出這個傳遞函數(shù)的極坐標(biāo)圖。解：)1 (1)(TjjjGTarctgTTjjjG90)(1

21、1)1 (1)(2極坐標(biāo)圖的低頻部分為：90)0( jG 極坐標(biāo)圖的高頻部分為：1800)( jG44Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis-3-2-10123-6-5-4-3-2-10圖5-32 )1 (1Tjj極坐標(biāo)圖455.3.4 傳遞延遲465.3.5 極坐標(biāo)圖的一般形狀475.4對數(shù)幅-相圖(Nichols Chart)尼柯爾斯圖Nichols ChartOpen-Loop Phase (deg)Open-Loop Gain (dB)-180-135-90-450-50-40-30-20-1001020圖5-34 二階因子對數(shù)幅-相圖485.5奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)(Nyquist Stability Criterion)C(s)R(s)G(s)H(s)圖3-35 閉環(huán)系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)