拉氏變換與模擬濾波器設計

1、拉氏變換與模擬濾波器設計北京科技大學陽建宏2022-6-24北京科技大學 機械工程學院2/ 62背景介紹背景介紹信號處理信號處理：將信號做必要的變換以獲得所需信息的過程：將信號做必要的變換以獲得所需信息的過程信號分析信號分析：研究信號的構成與特征：研究信號的構成與特征時域時域頻域頻域傅里葉變換傅里葉變換提取關心的頻率成分提取關心的頻率成分濾波處理濾波處理北京科技大學 機械工程學院3/ 62背景介紹背景介紹為什么要濾波？為什么要濾波？ 在傳感器獲得的信號中，常混有許多其他頻率的干擾在傳感器獲得的信號中，?；煊性S多其他頻率的干擾 有用的信號被淹沒在干擾噪聲中有用的信號被淹沒在干擾噪聲中為突出有用信

2、號，抑制噪聲干擾，要對傳感器獲得的信號進行濾波為突出有用信號，抑制噪聲干擾，要對傳感器獲得的信號進行濾波頻率成分多，噪聲干擾北京科技大學 機械工程學院4/ 62背景介紹背景介紹濾波的實質(zhì)：濾波的實質(zhì)： 對信號進行頻率選擇，完成濾波功能的裝置稱為對信號進行頻率選擇，完成濾波功能的裝置稱為濾波器濾波器 當信號通過濾波器時，信號中某些頻率成分得以通過，當信號通過濾波器時，信號中某些頻率成分得以通過， 其他頻率成分的信號受到衰減或抑制其他頻率成分的信號受到衰減或抑制 信號通過濾波器的過程，就稱為對信號進行濾波。信號通過濾波器的過程，就稱為對信號進行濾波。濾波后濾波后北京科技大學 機械工程學院5/ 62

3、背景介紹背景介紹濾波器的分類：濾波器的分類：分析對象分析對象具體實現(xiàn)具體實現(xiàn)應用場合應用場合 模擬濾波器模擬濾波器連續(xù)信號連續(xù)信號由模擬器件組成由模擬器件組成電子電路電子電路 數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器離散信號離散信號算法編程算法編程工程信號處理工程信號處理Questions： 模擬濾波器與數(shù)字濾波器的關系？模擬濾波器與數(shù)字濾波器的關系？ 如何進行濾波器的設計？如何進行濾波器的設計？ 如何評價濾波器的性能？如何評價濾波器的性能？北京科技大學 機械工程學院6/ 62背景介紹背景介紹簡單的模擬濾波器簡單的模擬濾波器RC濾波器濾波器： 電路簡單電路簡單 抗干擾性強抗干擾性強 有較好的低頻性能有較好的低頻性

4、能 選用標準的阻容元件選用標準的阻容元件設濾波器的輸入電壓為設濾波器的輸入電壓為ex，輸出電壓為，輸出電壓為ey，電路的微分方程為：，電路的微分方程為：(克希荷夫電壓定律)求微分方程的時域解，可獲得系統(tǒng)的運動規(guī)律。求微分方程的時域解，可獲得系統(tǒng)的運動規(guī)律。北京科技大學 機械工程學院7/ 62背景介紹背景介紹一階微分方程的求解方法：一階微分方程的求解方法： 常規(guī)數(shù)學積分法：常規(guī)數(shù)學積分法：對復雜的方程不易求解，參數(shù)設定困難對復雜的方程不易求解，參數(shù)設定困難 拉普拉斯變換：拉普拉斯變換： 將時域的微分運算，簡化為代數(shù)運算將時域的微分運算，簡化為代數(shù)運算改進核心思想求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)H

5、(s)來分析系統(tǒng)的幅頻、相頻特性來分析系統(tǒng)的幅頻、相頻特性北京科技大學 機械工程學院8/ 62主要內(nèi)容主要內(nèi)容12 23 3拉氏變換拉氏變換Z變換模擬濾波器4 4數(shù)字濾波器北京科技大學 機械工程學院9/ 62 信號信號 f(t）傅里葉變換存在需滿足狄利克雷條件，但像階躍函）傅里葉變換存在需滿足狄利克雷條件，但像階躍函數(shù)、三角函數(shù)等實際中應用廣泛的信號不滿足數(shù)、三角函數(shù)等實際中應用廣泛的信號不滿足絕對可積條件絕對可積條件，經(jīng)典意義上的傅里葉變換不存在。經(jīng)典意義上的傅里葉變換不存在。絕對可積：絕對可積： 為了為了克服傅里葉變換在系統(tǒng)分析中存在的限制克服傅里葉變換在系統(tǒng)分析中存在的限制，引出了拉普，

6、引出了拉普拉斯變換，簡稱拉斯變換，簡稱拉氏變換拉氏變換。拉氏變換的引入拉氏變換的引入dttf)(能量有限階躍函數(shù)不收斂，能量無限北京科技大學 機械工程學院10/ 62拉氏變換拉氏變換對傅里葉變換進行改造：對傅里葉變換進行改造： 將函數(shù)將函數(shù) f(t) 乘以一個衰減指數(shù)函數(shù)乘以一個衰減指數(shù)函數(shù) ，使得函，使得函數(shù)函數(shù)收斂，滿足絕對可積條件，則可以進行傅里葉變換數(shù)函數(shù)收斂，滿足絕對可積條件，則可以進行傅里葉變換: :) 0(te() ( )( )( )ttj tjtF f t ef t eedtf t edtFj滿足條件的信號傅里葉因子sj令)()()(tfLdtetfsFst)()(21)(1s

7、FLdsesFjtfjjst雙邊拉氏變換對雙邊拉氏變換對北京科技大學 機械工程學院11/ 62拉氏變換基本性質(zhì)拉氏變換基本性質(zhì)線性定理：線性定理：)()(, )()(2211sFtfLsFtfL?)()(21tbftafL則)()(21sbFsaF延遲定理：延遲定理：)()(sFtfL?f f( (t t) )t t)()(00sFettfLst?t tf f( (t-tt-t0 0) )t t0 0衰減定理：衰減定理： )()(sFtfL?)()(sFtfeLt?該定理說明了該定理說明了f(t)在時間域的指數(shù)衰減，其拉氏變換在變換域就成為坐標平移在時間域的指數(shù)衰減，其拉氏變換在變換域就成為坐

8、標平移該定理說明了時間域的平移變換在復數(shù)域有相對應的衰減變換。該定理說明了時間域的平移變換在復數(shù)域有相對應的衰減變換。北京科技大學 機械工程學院12/ 62拉氏變換基本性質(zhì)拉氏變換基本性質(zhì)時域?qū)?shù)性質(zhì)：時域?qū)?shù)性質(zhì)：?),()(sFtfL)0()()(fssFdttdfL頻域?qū)?shù)性質(zhì)：頻域?qū)?shù)性質(zhì)：)()(sFtfL?dssdFttfL)()(?初值定理：初值定理：),()(sFtfL?且f()存在，則)()(lim0sFsfs即時域函數(shù)的終值，也可以由變換域求得。即時域函數(shù)的終值，也可以由變換域求得。北京科技大學 機械工程學院13/ 62拉氏變換拉氏變換傅里葉變換傅里葉變換拉氏變換拉氏變換分

9、析對象 計算公式基本信號元域時域變量 t 為實數(shù)頻域變量 為實數(shù)時域變量t為實數(shù)頻域變量s為復數(shù)j teste)(tftetf)()( )j tX jf t edt( )tj tf t eedtsj拉氏變換拉氏變換S平面j傅里葉變換傅里葉變換0F變換是變換是L變換的特例變換的特例L變換是變換是F變換的擴展變換的擴展北京科技大學 機械工程學院14/ 62拉氏變換的應用拉氏變換的應用-系統(tǒng)函數(shù)分析系統(tǒng)函數(shù)分析 拉氏變換作為傅氏變換的推廣，將信號的拉氏變換作為傅氏變換的推廣，將信號的頻域頻域分析擴展為分析擴展為復頻域復頻域分析，分析，擴大了信號變換的范圍。擴大了信號變換的范圍。 連續(xù)信號的復頻域分析

10、方法也從頻域分析方法擴展而來。連續(xù)信號的復頻域分析方法也從頻域分析方法擴展而來。)()()(thtfty()()()Y jF jH j頻域?qū)τ诰€性時不變系統(tǒng)：對于線性時不變系統(tǒng)：輸入信號為輸入信號為f(t), 系統(tǒng)的沖激響應為系統(tǒng)的沖激響應為h(t)，則輸出信號為：，則輸出信號為：)()()(thtfty)()()(sHsFsY系統(tǒng)函數(shù)()()()()jY jH jH jeF j復頻域系統(tǒng)函數(shù))()()(sFsYsH北京科技大學 機械工程學院15/ 62簡單的模擬濾波器簡單的模擬濾波器RC濾波器濾波器：令令 =RC，稱為時間常數(shù)，對上式取，稱為時間常數(shù)，對上式取拉氏變換拉氏變換，有，有：其幅頻

11、、相頻特性公式為其幅頻、相頻特性公式為: 分析可知分析可知: 當當f 很小時，很小時，A(f)=1，信號不受衰減地通過；，信號不受衰減地通過； 當當f 很大時，很大時，A(f)=0，信號完全被阻擋，不能通過，信號完全被阻擋，不能通過。 sj拉氏變換的應用拉氏變換的應用-系統(tǒng)函數(shù)分析系統(tǒng)函數(shù)分析北京科技大學 機械工程學院16/ 62拉氏變換拉氏變換連續(xù)系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)拉氏變換獲得系統(tǒng)函數(shù)獲得系統(tǒng)函數(shù) sH離散系統(tǒng)如何獲得系統(tǒng)函數(shù)？離散系統(tǒng)如何獲得系統(tǒng)函數(shù)？北京科技大學 機械工程學院17/ 62主要內(nèi)容主要內(nèi)容12 23 3拉氏變換Z Z變換變換模擬濾波器4 4數(shù)字濾波器北京科技大學 機械工程學院18

12、/ 62Z變換的引入變換的引入 Z Z變換的作用：變換的作用：nz z變換是變換是離散信號離散信號分析和處理，離散系統(tǒng)設計和實現(xiàn)中分析和處理，離散系統(tǒng)設計和實現(xiàn)中一種重要的數(shù)學工具一種重要的數(shù)學工具, ,它在離散系統(tǒng)中的地位與作用，它在離散系統(tǒng)中的地位與作用，相當于連續(xù)系統(tǒng)中的拉氏變換。相當于連續(xù)系統(tǒng)中的拉氏變換。n應用應用z z變換可以把離散系統(tǒng)的數(shù)學模型即變換可以把離散系統(tǒng)的數(shù)學模型即差分方程轉(zhuǎn)換差分方程轉(zhuǎn)換為簡單的代數(shù)方程為簡單的代數(shù)方程，使求解過程簡化。，使求解過程簡化。 Z Z變換兩種定義：變換兩種定義：n定義定義1:1:對模擬信號進行沖激抽樣經(jīng)拉氏變換引出對模擬信號進行沖激抽樣經(jīng)拉

13、氏變換引出, ,常用于常用于自動控制采樣系統(tǒng)的分析。自動控制采樣系統(tǒng)的分析。n定義定義2:2:直接給出數(shù)學定義；常用于數(shù)字信號處理中。直接給出數(shù)學定義；常用于數(shù)字信號處理中。北京科技大學 機械工程學院19/ 62Z變換變換Step1:Step1:若對一若對一模擬信號模擬信號x(t)作沖激抽樣作沖激抽樣，得到其沖激抽樣信號，得到其沖激抽樣信號: :Step2Step2：對上式兩邊進行對上式兩邊進行（雙邊）拉氏變換（雙邊）拉氏變換：Step3Step3：將積分與求和的將積分與求和的運算次序?qū)φ{(diào)運算次序?qū)φ{(diào)，利用沖激函數(shù)抽樣性，得：，利用沖激函數(shù)抽樣性，得：( )( )( )( ) (sTnxtx

14、ttx ttnT）令令北京科技大學 機械工程學院20/ 62Z變換變換Step4Step4：對上式對上式引入復變量引入復變量 , ,得到一個得到一個z z的函數(shù)的函數(shù)X(z)Z Z變換變換: : 離散時間域離散時間域n n 復數(shù)域復數(shù)域z z 的映射，是復變量的映射，是復變量Z Z-1 -1 的冪級數(shù)，即羅朗級數(shù)的冪級數(shù)，即羅朗級數(shù)nnznxzX)()(上式為雙邊上式為雙邊z z變換，單邊變換，單邊z z變換則可定義為：變換則可定義為：0)()(nnznxzX考慮起始條件，更易收斂，實際中應用較多考慮起始條件，更易收斂，實際中應用較多北京科技大學 機械工程學院21/ 62Z變換收斂域變換收斂域

15、 由由Z Z變換的定義式可以看出，變換的定義式可以看出，Z Z變換實際上是復函數(shù)變換實際上是復函數(shù)X(zX(z) )在在Z Z平面上，平面上，以序列以序列x(nx(n) )為系數(shù)為系數(shù)展開的羅朗級數(shù)。展開的羅朗級數(shù)。由級數(shù)的理論可知，收斂的充要條件是滿足條件：由級數(shù)的理論可知，收斂的充要條件是滿足條件：可以證明，收斂域是可以證明，收斂域是z z平面上的一個環(huán)狀區(qū)域平面上的一個環(huán)狀區(qū)域: :0)()(nnznxzX北京科技大學 機械工程學院22/ 62Z變換性質(zhì)變換性質(zhì)線性線性時移性時移性xxRzRzXnx | )()(，Z若：若：xxnRzRzXznnx | )()(00，Z則：則：若：若：y

16、yxxRzRzYnyRzRzXnx | )()( | )()(，ZZ則：則：RzRzbYzaXnbynax | )()()()(，Z北京科技大學 機械工程學院23/ 62Z變換性質(zhì)變換性質(zhì)序列指數(shù)加權序列指數(shù)加權(z(z域尺度變換域尺度變換) )xxRzRzXnx | )()(，Z若：若：xxnRazRaazXnxa| | | )()(，Z那么序列那么序列x(n)x(n)乘以指數(shù)序列乘以指數(shù)序列a a（a a是常實數(shù)或常復數(shù)）后，就有是常實數(shù)或常復數(shù)）后，就有序列線性加權（序列線性加權（z z域微分）域微分）xxRzRzXnx | )()(，ZxxRzRzXdzdznnx | )()(，Z若：

17、若：則：則：北京科技大學 機械工程學院24/ 62Z變換與拉氏變換變換與拉氏變換在在Z Z變換過程中，變換過程中，因此，有因此，有Z Z平面用極坐標表示平面用極坐標表示jrez s s平面用直角坐標表示平面用直角坐標表示sj()jjTTj Treeee得到：得到：TerT實部虛部Z平面jS平面jS平面實部虛部Z平面jS平面？北京科技大學 機械工程學院25/ 62變換變換Z Z拉氏變換拉氏變換三種變換的關系三種變換的關系-按計算流程按計算流程)(tx連續(xù)信號連續(xù)信號 傅氏變換傅氏變換絕對可積信號絕對可積信號tetx)(抽樣信號抽樣信號）nTttx()( )f tto( )f nno( )f nn

18、o拉氏變換拉氏變換離散信號離散信號)(nx北京科技大學 機械工程學院26/ 62三種變換的關系三種變換的關系-按變量關系按變量關系北京科技大學 機械工程學院27/ 62主要內(nèi)容主要內(nèi)容 12 23 3拉氏變換Z變換模擬濾波器模擬濾波器4 4數(shù)字濾波器北京科技大學 機械工程學院28/ 62基本概念基本概念l 濾波：濾波：提取所需要的信號提取所需要的信號, ,抑制不需要的信號。所用裝抑制不需要的信號。所用裝置稱為濾波器。信號通過濾波器的過程，就稱為對信號進置稱為濾波器。信號通過濾波器的過程，就稱為對信號進行濾波。行濾波。l 傳統(tǒng)濾波傳統(tǒng)濾波：信號和噪聲各占不同頻帶。：信號和噪聲各占不同頻帶。對信號

19、進行頻率選擇。當信號通過濾波器時，信號中某些頻率成分得對信號進行頻率選擇。當信號通過濾波器時，信號中某些頻率成分得以通過，其他頻率成分的信號受到衰減或抑制。以通過，其他頻率成分的信號受到衰減或抑制。l 現(xiàn)代濾波：現(xiàn)代濾波：信號和噪聲的頻譜相互重疊信號和噪聲的頻譜相互重疊. .在統(tǒng)計指標最優(yōu)條件下，利用信號統(tǒng)計特征進行時域估計；在統(tǒng)計指標最優(yōu)條件下，利用信號統(tǒng)計特征進行時域估計； WienerWiener濾波、濾波、kalmankalman濾波、線性預測、自適應濾波等。濾波、線性預測、自適應濾波等。北京科技大學 機械工程學院29/ 62傳統(tǒng)濾波器理想濾波器實際濾波器模擬濾波器數(shù)字濾波器巴巴特特沃

20、沃斯斯切切比比雪雪夫夫橢橢圓圓濾濾波波FIRIIR按信號類型分按信號類型分連續(xù)模擬信號連續(xù)模擬信號離散數(shù)字信號離散數(shù)字信號（不可實現(xiàn)）（不可實現(xiàn)）維維納納濾濾波波卡卡爾爾曼曼濾濾波波線線性性預預測測自自適適應應濾濾波波（信噪頻帶分離）信噪頻帶分離）（信噪頻帶重疊）（信噪頻帶重疊）現(xiàn)代濾波器在統(tǒng)計指標最優(yōu)條件下，利用在統(tǒng)計指標最優(yōu)條件下，利用信號統(tǒng)計特征進行時域估計信號統(tǒng)計特征進行時域估計總體框架總體框架北京科技大學 機械工程學院30/ 62理想濾波器要求：理想濾波器要求：l通帶內(nèi)通帶內(nèi)信號的幅值和相位都信號的幅值和相位都不失真不失真，阻帶內(nèi)阻帶內(nèi)的頻率成分都的頻率成分都衰衰減為零減為零的濾波器

21、，其通帶和阻帶之間有的濾波器，其通帶和阻帶之間有明顯的分界線明顯的分界線。l理想濾波器理想濾波器在通帶內(nèi)的在通帶內(nèi)的幅頻特性應為常數(shù)幅頻特性應為常數(shù)，相頻特性的斜率相頻特性的斜率為常值為常值；在；在通帶外的幅頻特性應為零通帶外的幅頻特性應為零。理想濾波器理想濾波器0)(t相頻特性：相頻特性：幅頻特性：幅頻特性：?, 0, 1)(00jH北京科技大學 機械工程學院31/ 62物理上物理上不可實現(xiàn)！不可實現(xiàn)！理想濾波器是從一個頻帶到另一個頻帶之間的突變。理想濾波器是從一個頻帶到另一個頻帶之間的突變。l時域上講，沒有器件能夠在一瞬間完成開關過程，都會時域上講，沒有器件能夠在一瞬間完成開關過程，都會存

22、在時延和振蕩；存在時延和振蕩；l頻域上講，矩形脈沖需要無窮帶寬，實際中也沒有條件頻域上講，矩形脈沖需要無窮帶寬，實際中也沒有條件提供這么大帶寬。提供這么大帶寬。理想濾波器理想濾波器北京科技大學 機械工程學院32/ 62理想濾波器要物理可實現(xiàn)：理想濾波器要物理可實現(xiàn)：應從一個到另一個帶之間應從一個到另一個帶之間設置一個過渡帶設置一個過渡帶，且在通帶和止，且在通帶和止帶內(nèi)也不應嚴格要求為帶內(nèi)也不應嚴格要求為1 1或或0 0，應給以較小容限。，應給以較小容限。過渡帶越窄越好過渡帶越窄越好，即對通帶外的頻率成分衰減得越快、越，即對通帶外的頻率成分衰減得越快、越多越好。多越好。 實際濾波器頻域特性實際濾

23、波器頻域特性實際濾波器實際濾波器因此，在設計實際濾波器時，總因此，在設計實際濾波器時，總是通過各種方法使其盡量逼近理是通過各種方法使其盡量逼近理想濾波器。想濾波器。北京科技大學 機械工程學院33/ 6212ps通帶內(nèi)允許誤差：通帶內(nèi)允許誤差：阻帶衰減：阻帶衰減：通帶截止頻率：通帶截止頻率：p1s2 )(lg20dBjH 衰減：衰減：阻帶截止頻率：阻帶截止頻率：性能指標性能指標實際濾波器實際濾波器北京科技大學 機械工程學院34/ 62描述實際濾波器的主要參數(shù)：l紋波幅度紋波幅度：越小越好l截止頻率截止頻率l帶寬帶寬：決定濾波器分離信號相鄰頻率成分的能力l品質(zhì)因數(shù)品質(zhì)因數(shù)：Q值越大，表明濾波器頻率

24、分辨力越高l倍頻程選擇性倍頻程選擇性：W值越大，衰減越快，則濾波器的選擇性越好l濾波器因數(shù)：濾波器因數(shù)：越接近于1，濾波器選擇性越好實際濾波器實際濾波器北京科技大學 機械工程學院35/ 62紋波幅度紋波幅度d dn在一定頻率范圍內(nèi)，實際濾波器的在一定頻率范圍內(nèi)，實際濾波器的幅頻特性幅頻特性可能呈波可能呈波紋變化，其波動幅度紋變化，其波動幅度d d與幅頻特性的平均值與幅頻特性的平均值A A0 0相比，相比，越小越好越小越好，一般應遠小于，一般應遠小于-3dB-3dB。截止頻率截止頻率n幅頻特性值等于幅頻特性值等于 所對應的頻率稱所對應的頻率稱為為濾波器的截濾波器的截止頻止頻率率。n 對應于對應于

25、-3dB-3dB點，即相對衰減點，即相對衰減3dB3dB。若以信號的幅值平方表示若以信號的幅值平方表示信號功率信號功率，則所對應的點正好是半功率點。則所對應的點正好是半功率點。2121cf實際濾波器的參數(shù)實際濾波器的參數(shù)北京科技大學 機械工程學院36/ 62帶寬帶寬B Bn上下兩截止頻率之間的頻率范圍稱為上下兩截止頻率之間的頻率范圍稱為濾波器濾波器帶寬帶寬，或，或-3dB-3dB帶寬，單位為帶寬，單位為HzHz。n帶寬決定著濾波器分離信號中相鄰頻率成分帶寬決定著濾波器分離信號中相鄰頻率成分的能力的能力頻率分辨力頻率分辨力。B實際濾波器的參數(shù)實際濾波器的參數(shù)品質(zhì)因數(shù)品質(zhì)因數(shù)Q Qn對于帶通濾波器

26、，通常把中心頻對于帶通濾波器，通常把中心頻率率 和帶寬和帶寬 B B之比稱為濾波器的品之比稱為濾波器的品質(zhì)因數(shù)質(zhì)因數(shù)Q Q。n例如一個中心頻率為例如一個中心頻率為500Hz500Hz的濾波器，帶寬的濾波器，帶寬為為10Hz10Hz，則稱其，則稱其Q Q值為值為5050。nQ Q值越大，表明濾波器頻率分辨力越高。值越大，表明濾波器頻率分辨力越高。c2c1fff0BffQcc21北京科技大學 機械工程學院37/ 62倍頻程選擇性倍頻程選擇性W Wn所謂倍頻程選擇性，是指在上截止頻率所謂倍頻程選擇性，是指在上截止頻率f fc2c2與與 2f2fc2c2之之間，或者在下截止頻率間，或者在下截止頻率f

27、fc1c1與與f fc1c1/2/2之間幅頻特性的衰之間幅頻特性的衰減值，即頻率變化減值，即頻率變化一個倍頻程時的衰減量一個倍頻程時的衰減量。n過渡帶的幅頻曲線傾斜程度表明了幅頻特性衰減的快過渡帶的幅頻曲線傾斜程度表明了幅頻特性衰減的快慢，它慢，它決定著濾波器對帶寬外頻率成分的衰阻能力決定著濾波器對帶寬外頻率成分的衰阻能力。通常用倍頻程選擇性來表征。通常用倍頻程選擇性來表征。nW W值越大，即衰減越快，則濾波器的選擇性越好。值越大，即衰減越快，則濾波器的選擇性越好?；蚧?11()220lg()ccfAWA f22(2)20lg()ccAfWA f實際濾波器的參數(shù)實際濾波器的參數(shù)北京科技大學 機

28、械工程學院38/ 62濾波器因數(shù)（或矩形系數(shù)）濾波器因數(shù)（或矩形系數(shù)） n濾波器因數(shù)是濾波器選擇性的另一種表示方式濾波器因數(shù)是濾波器選擇性的另一種表示方式 ，它，它是利用濾波器幅頻特性的是利用濾波器幅頻特性的 -60dB-60dB帶寬與帶寬與-3dB-3dB帶寬的比帶寬的比值來衡量濾波器選擇性，即值來衡量濾波器選擇性，即 n理想濾波器理想濾波器=1=1，常用濾波器，常用濾波器 =15=15，顯然，顯然， 越越接近于接近于1 1，濾波器選擇性越好，濾波器選擇性越好。實際濾波器的參數(shù)實際濾波器的參數(shù)北京科技大學 機械工程學院39/ 62傳統(tǒng)濾波器理想濾波器實際濾波器模擬濾波器數(shù)字濾波器巴巴特特沃沃

29、斯斯切切比比雪雪夫夫橢橢圓圓濾濾波波FIRIIR按信號類型分按信號類型分連續(xù)模擬信號連續(xù)模擬信號離散數(shù)字信號離散數(shù)字信號（不可實現(xiàn)）（不可實現(xiàn)）維維納納濾濾波波卡卡爾爾曼曼濾濾波波線線性性預預測測自自適適應應濾濾波波（信噪頻帶分離）信噪頻帶分離）（信噪頻帶不分離）（信噪頻帶不分離）現(xiàn)代濾波器在統(tǒng)計指標最優(yōu)條件下，利用在統(tǒng)計指標最優(yōu)條件下，利用信號統(tǒng)計特征進行時域估計信號統(tǒng)計特征進行時域估計總體框架總體框架北京科技大學 機械工程學院40/ 62傳輸特性時域上傳輸特性時域上用單位脈沖響應用單位脈沖響應 表示；表示；頻域上頻域上用系統(tǒng)函數(shù)用系統(tǒng)函數(shù) 或頻率響應或頻率響應 表示。表示。)()()(sH

30、jHth)()(X)(sXjtx)()()()()()()()()()()(sXsHsYjXjHjYdthxt*htxty系統(tǒng)框圖系統(tǒng)框圖)(th)(sH)( jH拉式變換dtethsstjs)()(H)j(H)()()()()(2sHsHjHjHjHjs因此，由因此，由 即可得出濾波器的系統(tǒng)函數(shù)即可得出濾波器的系統(tǒng)函數(shù)2)( jH) s (H模擬濾波器模擬濾波器模擬濾波器表示方法：模擬濾波器表示方法：北京科技大學 機械工程學院41/ 62巴特沃斯(Butterworth)濾波器切比雪夫(Chebyshev)濾波器橢圓(Cauer)濾波器模擬濾波器常用類型模擬濾波器常用類型北京科技大學 機械工

31、程學院42/ 62221()1aNcHj幅度平方函數(shù)幅度平方函數(shù)：N N 濾波器的階數(shù)濾波器的階數(shù) 濾波器濾波器截止頻率截止頻率巴特沃斯濾波巴特沃斯濾波：通頻帶的頻率響應曲線最平滑。：通頻帶的頻率響應曲線最平滑。n最先由英國工程師最先由英國工程師Stephen ButterworthStephen Butterworth在在19301930年提出。年提出。Butterworth-最平響應特性濾波器最平響應特性濾波器c北京科技大學 機械工程學院43/ 62階數(shù)階數(shù)N N越大，越接近理想特性越大，越接近理想特性221()1aNcHj幅度平方函數(shù)：幅度平方函數(shù)： 過渡帶及阻帶內(nèi)，快速單調(diào)減??；過渡帶

32、及阻帶內(nèi)，快速單調(diào)減?。?通帶內(nèi)幅度特性平坦，單調(diào)減??；通帶內(nèi)幅度特性平坦，單調(diào)減??； 單調(diào)性：單調(diào)性：Butterworth-最平響應特性濾波器最平響應特性濾波器北京科技大學 機械工程學院44/ 62 巴特沃茲濾波器在通帶內(nèi)幅度特性是單調(diào)下降的，如果階次巴特沃茲濾波器在通帶內(nèi)幅度特性是單調(diào)下降的，如果階次一定，則在靠近截止頻率一定，則在靠近截止頻率c處，幅度下降處，幅度下降3dB3dB。為了。為了使通帶內(nèi)使通帶內(nèi)的衰減足夠小，的衰減足夠小，需要的巴特沃茲濾波器階次需要的巴特沃茲濾波器階次N N很高，采用切比很高，采用切比雪夫多項式逼近雪夫多項式逼近|Ha(j)|2, ,可以降低濾波器階次?？?/p>

33、以降低濾波器階次。切比雪夫濾波器的提出切比雪夫濾波器的提出Chebychev-通帶等波紋濾波器通帶等波紋濾波器右圖中右圖中N=8N=8，在靠，在靠近近c處處同階次的同階次的巴特沃茲濾波器巴特沃茲濾波器衰減大于切比雪夫衰減大于切比雪夫濾波器濾波器北京科技大學 機械工程學院45/ 62切比雪夫濾波：切比雪夫濾波：N為奇數(shù)：N為偶數(shù)：單調(diào)特性等波紋特性1|),(harccos(hcos1|),arccos(cos()(TNcccccNNChebychev-通帶等波紋濾波器通帶等波紋濾波器c c濾波器截止頻率濾波器截止頻率N N 階數(shù)階數(shù) 與通帶波紋有關的參量與通帶波紋有關的參量 ， 越大，波紋越大越

34、大，波紋越大10時遞增），當（1)(21)(coshxeexxx北京科技大學 機械工程學院46/ 62012300.20.40.60.81MagnitudeType 1 Chebyshev FilterN = 2N = 3N = 8階數(shù)階數(shù)N N越大，越接近理想特性。越大，越接近理想特性。 過渡帶及阻帶內(nèi)，快速單調(diào)減小；過渡帶及阻帶內(nèi)，快速單調(diào)減?。?通帶內(nèi)具有等波紋，即誤差分布均勻；通帶內(nèi)具有等波紋，即誤差分布均勻；切比雪夫濾波切比雪夫濾波：Chebychev-通帶等波紋濾波器通帶等波紋濾波器北京科技大學 機械工程學院47/ 62o切比雪夫濾波器在通帶內(nèi)有起伏，但通帶衰減小于切比雪夫濾波器在

35、通帶內(nèi)有起伏，但通帶衰減小于3dB3dB， 值越小，通帶起伏越小，截止頻率點衰減的分貝值越小，通帶起伏越小，截止頻率點衰減的分貝值也越小。故與巴特沃斯濾波器進行比較，切比雪夫濾值也越小。故與巴特沃斯濾波器進行比較，切比雪夫濾波器的波器的通帶有波紋，過渡帶較陡直通帶有波紋，過渡帶較陡直，更接近理想情況。，更接近理想情況。 如右圖（如右圖（N=8N=8）o缺點：進入阻帶后缺點：進入阻帶后衰減特性變化緩慢。衰減特性變化緩慢。橢圓濾波器橢圓濾波器幅值響應在通帶幅值響應在通帶和阻帶內(nèi)都等波紋和阻帶內(nèi)都等波紋Chebychev-通帶等波紋濾波器通帶等波紋濾波器北京科技大學 機械工程學院48/ 62橢圓濾波

36、器橢圓濾波器：幅值響應在通帶和阻帶內(nèi)都是等波紋的。幅值響應在通帶和阻帶內(nèi)都是等波紋的。對于給定的階數(shù)和波紋要求，橢圓濾波器能獲得較其它濾波對于給定的階數(shù)和波紋要求，橢圓濾波器能獲得較其它濾波器為器為窄的過渡帶寬窄的過渡帶寬，就這點而言，橢圓濾波器是最優(yōu)的。，就這點而言，橢圓濾波器是最優(yōu)的。幅度平方函數(shù)幅度平方函數(shù)：R RN N（，L L）為雅可比橢圓函數(shù)；）為雅可比橢圓函數(shù)；L L是一個表示波紋性質(zhì)的參量。是一個表示波紋性質(zhì)的參量。 橢圓濾波器橢圓濾波器RN（，L）為雅可比橢圓函數(shù)；實際設計中該函數(shù)需要查表計算查表計算。L：表示波紋性質(zhì)的參量。 北京科技大學 機械工程學院49/ 62同等濾波效

37、果要求橢圓濾波器的階次最低，切比雪夫次同等濾波效果要求橢圓濾波器的階次最低，切比雪夫次之，巴特沃茲最高，參數(shù)的靈敏度則恰恰相反。之，巴特沃茲最高，參數(shù)的靈敏度則恰恰相反。幅度平方函數(shù)幅度平方函數(shù)特點特點幅頻圖幅頻圖巴特沃斯巴特沃斯通帶阻帶內(nèi)單調(diào)通帶阻帶內(nèi)單調(diào)下降，衰減約下降，衰減約3dB3dB切比雪夫切比雪夫通帶有波紋，過通帶有波紋，過渡帶較陡直，衰渡帶較陡直，衰減小減小橢圓橢圓通帶阻帶都有波通帶阻帶都有波紋，過渡帶最陡紋，過渡帶最陡直直221()1aNcHj對比對比北京科技大學 機械工程學院50/ 62對比對比對同樣階數(shù)的濾波器，從對同樣階數(shù)的濾波器，從 Butterworth Chebys

38、hev Elliptic，其幅頻特性逼近得越來越好，但階躍響應的起伏、，其幅頻特性逼近得越來越好，但階躍響應的起伏、超量和振蕩也越厲害。系統(tǒng)的復雜程度也越來越高，相應地，超量和振蕩也越厲害。系統(tǒng)的復雜程度也越來越高，相應地，實現(xiàn)系統(tǒng)所付出的代價也越來越大。實現(xiàn)系統(tǒng)所付出的代價也越來越大。5階階Butterworth濾波器與濾波器與5階階Elliptic濾波器的比較濾波器的比較北京科技大學 機械工程學院51/ 62確定技術指標（即濾波器的頻率特性要求）選擇濾波器類型：巴特沃斯、切比雪夫、橢圓確定性能參數(shù)：得濾波器頻率特性12psNc模擬濾波器的設計步驟模擬濾波器的設計步驟北京科技大學 機械工程學

39、院52/ 62模擬濾波器的設計步驟模擬濾波器的設計步驟例：給定模擬濾波器技術指標，如下圖例：給定模擬濾波器技術指標，如下圖 通帶允許起伏：通帶允許起伏：-1dB，02104rad/s 阻帶衰減：阻帶衰減： -15dB，22104rad/s 求用巴特沃斯濾波器實現(xiàn)時所需階數(shù)求用巴特沃斯濾波器實現(xiàn)時所需階數(shù)N、截止角頻率、截止角頻率 c和和Ha(s)表示式。表示式。解：解：(1)求階數(shù)N和截止頻率 c ，寫出|Ha(j)|在 p和 s兩點的方程2015242012410102211)(1010211)(NcsaNcpajHjH443. 31021022lg2110110lg441011015N取整

40、得N=4，代入式（1）求得 crad/s10304. 12rad/s11010224810154c由式（1）解得式（1）北京科技大學 機械工程學院53/ 62模擬濾波器的設計步驟模擬濾波器的設計步驟解：解：(2)求濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)，由巴特沃斯多項式表查得N=4的BN(s)即 Ha(s)的分母多項式，令 代入Ha(s)得到濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。ssc19152103541910506. 410437. 110292. 21014. 210506. 4)(sssssHa例：給定模擬濾波器技術指標例：給定模擬濾波器技術指標 通帶允許起伏：通帶允許起伏：-1dB，02104rad/s 阻帶

41、衰減：阻帶衰減： -15dB，22104rad/s 求用巴特沃斯濾波器實現(xiàn)時所需階數(shù)求用巴特沃斯濾波器實現(xiàn)時所需階數(shù)N、截止角頻率、截止角頻率 c和和Ha(s)表示式。表示式。北京科技大學 機械工程學院54/ 62模擬濾波器模擬濾波器o按功能分：n低通濾波器，高通濾波器，帶通濾波器，帶阻濾波器o低通濾波器n從0f2頻率之間，幅頻特性平直，它可以使信號中低于f2的頻率成分幾乎不受衰減地通過，而高于f2的頻率成分受到極大地衰減。o高通濾波器n與低通濾波相反，從頻率f1，其幅頻特性平直。它使信號中高于f1的頻率成分幾乎不受衰減地通過，而低于f1的頻率成分將受到極大地衰減。北京科技大學 機械工程學院55/ 62模擬