第23講主應力及主切應力

1、金屬塑性變形理論Theory of metal plastic deformation 第二十三講第二十三講Lesson Twenty-Three張貴杰張貴杰Zhang GuijieTel-Mail： 河北理工大學金屬材料與加工工程系Department of Metal Material and Process EngineeringHebei Polytechnic University, Tangshan 0630092022-6-272第十章 應力狀態(tài)分析主要內容Main Contento 應力狀態(tài)基本概念應力狀態(tài)基本概念 o 斜面上任一點應力狀態(tài)分析斜面上

2、任一點應力狀態(tài)分析 o 求和約定和應力張量求和約定和應力張量 o 主應力及主切應力主應力及主切應力 o 球應力及偏差應力球應力及偏差應力 2022-6-27310.4 主應力及主切應力主應力及主切應力o10.4.1 主應力的概念主應力的概念o 通過坐標變換可以找到只有正應力的通過坐標變換可以找到只有正應力的坐標面，此坐標軸稱為主軸，此應力坐標面，此坐標軸稱為主軸，此應力稱為稱為主應力主應力，該坐標面為，該坐標面為主平面主平面。 2022-6-2742022-6-2752022-6-276主應力的求解主應力的求解o 如果取微分面如果取微分面ABC為主為主微分面，即該微分面上微分面，即該微分面上只

3、有主應力而沒有切應只有主應力而沒有切應力。這時，作用在此面力。這時，作用在此面上的全應力就是主應力。上的全應力就是主應力。用用 表示主應力，則它表示主應力，則它在各坐標軸上的投影為在各坐標軸上的投影為 nSmSlSnznynx2022-6-277o 代入到斜面應力方程中有代入到斜面應力方程中有nmlnSnmlmSnmllSzyzxznzzyyxynyzxyxxnx 000nmlnmlnmlzyzxzzyyxyzxyxx整理后可得整理后可得又有又有1222nml（*）（*）2022-6-278o 由上面四個方程可求出主應力由上面四個方程可求出主應力 及其方向余及其方向余弦弦l、m、n。顯然，前三

4、個方程構成一個齊。顯然，前三個方程構成一個齊次方程組，顯然不能有次方程組，顯然不能有l(wèi) = m = n = 0這樣的這樣的解。如要方程組有其他解時，必須取該方程解。如要方程組有其他解時，必須取該方程組的系數(shù)行列式為零，即組的系數(shù)行列式為零，即 0zyzxzzyyxyzxyxx2022-6-279o 展開此行列式，得展開此行列式，得2)(zyx3)(1zyxI )(222zxyzxyxzzyyx02222xyzzxyyzxzxyzxyzyx令令)(2222zxyzxyxzzyyxI22232xyzzxyyzxzxyzxyzyxI則有則有032213III2022-6-2710o 三次方程式稱為三

5、次方程式稱為應力狀態(tài)特征方程應力狀態(tài)特征方程。此方程。此方程的三個根就是三個主應力，而這三個主應力的三個根就是三個主應力，而這三個主應力均為實根。由因式分解可知均為實根。由因式分解可知 0321 032113322123213由代數(shù)學可知，具有相同的根的方程是全等方由代數(shù)學可知，具有相同的根的方程是全等方程，因此該式與應力狀態(tài)特征方程全等。有程，因此該式與應力狀態(tài)特征方程全等。有展開后得展開后得2022-6-2711應力張量不變量應力張量不變量zyxI13212222zxyzxyxzzyyxyzzxyyzxzxyzxyzyxI321 對同一點應力狀態(tài)，三個主應力的數(shù)值

6、是一定的，而對同一點應力狀態(tài)，三個主應力的數(shù)值是一定的，而與過該點的坐標系的選擇無關，不管應力分量怎樣隨坐與過該點的坐標系的選擇無關，不管應力分量怎樣隨坐標系改變。那么標系改變。那么I1、I2、I3 是不隨坐標系改變的，分別稱是不隨坐標系改變的，分別稱為為一次、二次和三次應力常量一次、二次和三次應力常量，或稱為，或稱為應力張量不變量應力張量不變量。2022-6-2712主應力的特點主應力的特點o 三個主應力所作用的主微分面是相互垂直的三個主應力所作用的主微分面是相互垂直的o 將主應力將主應力 1代入（代入（*）式中的任何兩個方程，）式中的任何兩個方程，并與（并與（*）式聯(lián)立，可以求解出主應力）

7、式聯(lián)立，可以求解出主應力 1的的方向余弦方向余弦l1、m1、n1，同理，可以求解出主，同理，可以求解出主應力應力 2及及 3的方向余弦的方向余弦l2、m2、n2及及l(fā)3、m3、n3 。o 每兩個主應力的方向余弦之間滿足以下關系每兩個主應力的方向余弦之間滿足以下關系0212121nnmml l0323232nnmmll0131313nnmmll2022-6-2713o 三個主應力均為實根三個主應力均為實根 o 主應力具有極值性質主應力具有極值性質o 三個主應力中的最大值賦給三個主應力中的最大值賦給 1，最小值賦給，最小值賦給 3，并按大小順序排列，并按大小順序排列 1 2 3，則過該，則過該點任

8、意微分斜面上的正應力中，點任意微分斜面上的正應力中， 1為最大值，為最大值， 3為最小值。為最小值。 2022-6-2714主坐標系主坐標系o 因為三個主應力兩兩相互垂直，若取坐標軸因為三個主應力兩兩相互垂直，若取坐標軸與主應力方向一致，則構成與主應力方向一致，則構成主坐標系主坐標系，其坐，其坐標軸稱為標軸稱為主軸主軸。 2 12(y)3(z)1(x) 32022-6-2715o 在主坐標系下斜面上的應力為在主坐標系下斜面上的應力為nnmlSmnmlSlnmlSnnn333222111000000nmlSSSnnn321321000000或或232221nmln正應力正應力321000000T

9、為主應力張量為主應力張量2022-6-271610.4.2 主切應力和最大切應力主切應力和最大切應力 o 主切應力主切應力o 任意微分斜面上的切應力也有極大值和最大值。任意微分斜面上的切應力也有極大值和最大值。極值切應力又稱為主切應力。極值切應力又稱為主切應力。 o 在主坐標系下，任意微分斜面上的切應力在主坐標系下，任意微分斜面上的切應力o 上式中消去上式中消去n，得到，得到 n與與l、m的函數(shù)關系的函數(shù)關系 2221322232222212lnnmmln 2 32322312322322223212 mlmln 2022-6-2717o 當微分面轉動時，切應力隨之變化。我們所求當微分面轉動時

10、，切應力隨之變化。我們所求的是，當?shù)氖牵攍、m、n為何值時，微分面上的切應為何值時，微分面上的切應力取極值。由二元函數(shù)力取極值。由二元函數(shù)f(x,y)求極值的方法可求求極值的方法可求得微分面上的切應力的極值。得微分面上的切應力的極值。 0 2 0 2 32323223123223132322312321mmlmmflmlllf2 32322312322322223212 ),(mlmlmlfn2022-6-2718對此方程組求解分不同情況對此方程組求解分不同情況o 當當 1 2 3時，時，1） ，此解指主微分面上切應力為零，此解指主微分面上切應力為零2） 時，時， 3） 時，時， 4） 時，

11、此種情況不可能成立。時，此種情況不可能成立。 5）若方程中消去若方程中消去m，則有，則有1 , 0nml0 , 0ml21 0 21nml0 , 0ml 21 21 0nml0 , 0ml 0 21 21 nml2022-6-2719l0m0n02022-6-2720o 當當 1 2 3時，時，則切應力在通過該點的任則切應力在通過該點的任何微分面上為零。何微分面上為零。o 主切應力主切應力 o 最大切應力最大切應力22112232232311323113max2022-6-2721l000m000n000切應力切應力000正應力正應力112121123222123112323222123121

12、212121主平面和主切平面上所作用的應力主平面和主切平面上所作用的應力 2022-6-2722練習o 已知變形體內某點的應力狀態(tài)已知變形體內某點的應力狀態(tài) 80027060027050T N/mm2 試求該點的主應力大小和主應力的方向余弦。試求該點的主應力大小和主應力的方向余弦。2022-6-2723o 解：解：80027060027050T （1 1） = 60MPa為一主應為一主應力。力。y面面y向向縮減應力張量的維數(shù)縮減應力張量的維數(shù)80272750T2022-6-2724080272750寫出該張量的特征方程寫出該張量的特征方程展開并求解展開并求解027)80)(50(20327113022327141301302MPa9 .95)2(MPa1 .34)3(2022-6-2725o 按大小順序排列后，得到按大小順序排列后，得到o 求求 1的方向余弦。將的方向余弦。將 1代入到（代入到（*）式中）式中MPa9 .951MPa1 .343MPa602080270275011nlnl與與 聯(lián)立求解，因聯(lián)立求解，因m = 0，所以有，所以有1222nml1588. 022nlnl解得：解得：862. 00507.