2017年高三球的內(nèi)接與外接課件

1、球與多面體的內(nèi)切、外接定義1：若一個(gè)多面體的各面都與一個(gè)球的球面相切， 則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的外切多面體，這個(gè)球是這個(gè)多面體的內(nèi)切球.定義2：若一個(gè)多面體的各頂點(diǎn)都在一個(gè)球的球面上，則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的內(nèi)接多面體，這個(gè)球是這個(gè)多面體的外接球。.ra 解決正方體與球的組合問(wèn)題，常用工具是截面圖，即根據(jù)組合的形式找到兩個(gè)幾何體的軸截面，通過(guò)兩個(gè)截面圖的位置關(guān)系，確定好正方體的棱與球的半徑的關(guān)系，進(jìn)而將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題.球的內(nèi)接正（長(zhǎng)）方體的對(duì)角線等于球直徑。一、直接法ABCDD1C1A1OB1對(duì)角面設(shè)棱長(zhǎng)為1變式1：一個(gè)正方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，若該正方體的表面積為24，則該球

2、的體積為 .例1、若棱長(zhǎng)為3的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為 .變式2：一個(gè)長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)均在同一球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱長(zhǎng)分別為1,2,3 ，則此球的表面積為 .變式3：已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積為（ ）A. B. C. D. C甲圖乙圖丙圖例1 甲球內(nèi)切于正方體的各面，乙球內(nèi)切于該正方體的各條棱， 丙球外接于該正方體，則三球表面面積之比為( ) A. 1:2:3 B. C. D.球的外切正方體的棱長(zhǎng)等于球直徑。正方形的對(duì)角線等于球的直徑。球的內(nèi)接正方體的對(duì)角線等于球直徑。AACBPO二、構(gòu)造法例1、（2012遼寧16）已知正三棱

3、錐P-ABC，點(diǎn)P,A,B,C都在半徑為 的球面上，若PA,PB,PC兩兩互相垂直，則球心到截面ABC的距離為 。1、構(gòu)造正方體變式題、已知球O的面上四點(diǎn)A、B、C、D， 則球O的體積為 。構(gòu)造邊長(zhǎng)為根號(hào)3 的正方體即可。例5、 求棱長(zhǎng)為 a 的正四面體 P ABC 的外接球的表面積。求正多面體外接球的半徑求正方體外接球的半徑變式題：一個(gè)四面體的所有棱長(zhǎng)都為 ，四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積（ ）A. B. C. D. A2、構(gòu)造長(zhǎng)方體思路分析：此題欲計(jì)算所求值，應(yīng)首先把它們放在一個(gè)封閉的圖形內(nèi)進(jìn)行計(jì)算，所以應(yīng)構(gòu)造熟悉的幾何體并與球有密切的關(guān)系，便于將球的條件與之相聯(lián)2、構(gòu)造長(zhǎng)方體思路分

4、析：正四棱柱也是長(zhǎng)方體.由長(zhǎng)方體的體積16及高4可以求出長(zhǎng)方體的 底面邊長(zhǎng)為2，可得長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2，2，4，長(zhǎng)方體內(nèi)接于球，它的體對(duì)角線正好為球的直徑.例（福建高考題）若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為 ，則其外接球的表面積是 .思路分析： 此題用一般解法，需要作出棱錐的高，然后再設(shè)出球心，利用直角三角形計(jì)算球的半徑. 而作為填空題，三條側(cè)棱兩兩垂直，使我們很快聯(lián)想到長(zhǎng)方體的一個(gè)角，馬上構(gòu)造長(zhǎng)方體，由側(cè)棱長(zhǎng)均相等，所以可構(gòu)造正方體模型.2、構(gòu)造長(zhǎng)方體變式 點(diǎn)A、B、C、D在同一個(gè)球面上， ，則B、C兩點(diǎn)間的球面距離是_，變式、(2013鄭州質(zhì)檢)在三棱錐 中， ,則該三棱錐的

5、內(nèi)接球的表面積為 。 三、確定球心位置法 球與三棱錐四個(gè)面相切，球心到四個(gè)面的距離相等，都為球半徑這樣求球的半徑可轉(zhuǎn)化為球球心到三棱錐面的距離，故可采用等體積法解決，即四個(gè)小三棱錐的體積和為正三棱錐的體積. 三、確定球心位置法 三棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)在球面上，根據(jù)截面圖的特點(diǎn)，可以構(gòu)造直角三角形進(jìn)行求解.球與一些特殊的棱錐進(jìn)行組合，一定要抓住棱錐的幾何性質(zhì)，可綜合利用截面法、補(bǔ)形法等進(jìn)行求解.例如，四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐，可利用直角三角形斜邊中點(diǎn)幾何特征，巧定球心位置.球與旋轉(zhuǎn)體切接問(wèn)題 畫出球及其它旋轉(zhuǎn)體的公共軸截面，然后尋找兩幾何體元素之間的關(guān)系例 求球與它的外切圓柱、外切等邊圓錐的體積之

6、比思路分析：首先畫出球及它的外切圓柱、等邊圓錐，它們公共的軸截面，然后尋找?guī)缀误w與幾何體之間元素的關(guān)系四、構(gòu)造直角三角形例、正四面體的棱長(zhǎng)為a，則其內(nèi)切球和外接球的半徑是多少？ 解：如圖1所示，設(shè)點(diǎn)o是內(nèi)切球的球心，正四面體棱長(zhǎng)為a由圖形的對(duì)稱性知，點(diǎn)o也是外接球的球心設(shè)內(nèi)切球半徑為r，外接球半徑為R正四面體的表面積正四面體的體積 在 中， 即 ，得五、尋求軸截面圓半徑法 例1、正四棱錐S-ABCD的底面邊長(zhǎng)和各側(cè)棱長(zhǎng)都為 ，點(diǎn)S,A,B,C,D都在同一球面上，則此球的體積為 .解 設(shè)正四棱錐的底面中心為 ，外接球的球心為O，如圖3所示.由球的截面的性質(zhì)，可得又 ，球心O必在 所在的直線上.

7、的外接圓就是外接球的一個(gè)軸截面圓，外接圓的半徑就是外接球的半徑.在 中，由 是外接圓的半徑，也是外接球的半徑.故 解決與球的外切問(wèn)題主要是指球外切多面體與旋轉(zhuǎn)體，解答時(shí)首先要找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過(guò)作截面來(lái)解決. 如果外切的是多面體，則作截面時(shí)主要抓住多面體過(guò)球心的對(duì)角面來(lái)作； 把一個(gè)多面體的幾個(gè)頂點(diǎn)放在球面上即為球的內(nèi)接問(wèn)題 解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是抓住內(nèi)接的特點(diǎn)，即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離等于球的半徑發(fā)揮空間想象力，借助于數(shù)形結(jié)合進(jìn)行轉(zhuǎn)化，問(wèn)題即可得解 如果是一些特殊的幾何體，如正方體、正四面體等可以借助結(jié)論直接求解,此時(shí)結(jié)論的記憶必須準(zhǔn)確. 高考題往往與三視圖相結(jié)合。 例 在棱長(zhǎng)為1的正方體內(nèi)有兩個(gè)球相外切且又分別與正方體內(nèi)切（1）求兩球半徑之和；（2