楊輝三角與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)ppt.課件

1、一般地，對(duì)于n N*有二項(xiàng)定理:二項(xiàng)展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)指的是哪些？共有多少個(gè)？45 下面我們來研究二項(xiàng)式系數(shù)有些什么性質(zhì)？我們先通過觀察n為特殊值時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)有什么特點(diǎn)？計(jì)算(a+b)n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)并填入下表 n(a+b)n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)12345616152015611510105114641133112111對(duì)稱性詳解九章算法中記載的表?xiàng)?輝楊輝三角(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)61）請(qǐng)看系數(shù)有沒有明顯的規(guī)律？2）上下兩行有什么關(guān)系嗎？ 3）根據(jù)這兩條規(guī)律，大家能寫出下面的系數(shù)嗎?每行兩端都是1 Cn0= Cnn=1從第二行起，每行除1

2、以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上的兩個(gè)數(shù)的和(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6+ 展開式的二項(xiàng)式系數(shù)依次是： 從函數(shù)角度看， 可看成是以r為自變量的函數(shù) ,其定義域是： 當(dāng) 時(shí)，其圖象是右圖中的7個(gè)孤立點(diǎn)（1）對(duì)稱性 與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等這一性質(zhì)可直接由公式 得到圖象的對(duì)稱軸：（2）增減性與最大值 由于：所以 相對(duì)于 的增減情況由 決定 由： 可知，當(dāng) 時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸增大的，由對(duì)稱性可知它的后半部分是逐漸減小的，且中間項(xiàng)取得最大值。 因此，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù) 取得最大值； 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù) 、相等，且同

3、時(shí)取得最大值。（2）增減性與最大值 （3）各二項(xiàng)式系數(shù)的和 在二項(xiàng)式定理中，令 ，則： 這就是說， 的展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和等于： （1） 一般地， 展開式的二項(xiàng)式系數(shù) 有如下基本性質(zhì)： （2）（4） （3）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)， 最大 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)， = 且最大 （對(duì)稱性）第0行1第1行 1 1第2行 1 2 1第3行 1 3 3 1第4行 1 4 6 1第5行 1 5 1第6行 1 6 15 6 1第n-1行 11 第n行 11 第7行 1 7 21 21 7 11035+=3551520104“斜線和”= 125第5行 1 5 10 10 5 1第6行 1 6 15 20 15 6 1第7行

4、1 7 21 35 35 21 7 1第1行 1 1第0行1第2行 1 2 1第3行 1 3 3 1第4行 1 4 6 4 1138132134如圖，寫出斜線上各行數(shù)字的和，有什么規(guī)律？第8行 1 8 28 56 70 56 28 8 1 從第三個(gè)數(shù)起，任一數(shù)都等于前兩個(gè)數(shù)的和， 這就是著名的斐波那契數(shù)列 ，也稱為兔子數(shù)列。斐波那契數(shù)列斐波那契 （11701250） 意大利商人兼數(shù)學(xué)家,他的著作算盤書中,首先引入阿拉伯?dāng)?shù)字，將“十進(jìn)制”介紹給歐洲人認(rèn)識(shí)，對(duì)歐洲的數(shù)學(xué)發(fā)展有深遠(yuǎn)的影響。例1 證明：在(a+b)n展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和。在二項(xiàng)式定理中，令 ，則： 已知求:(1) ； (2) ； (3) ; (4)變式:若將“只有第10項(xiàng)”改為“第10項(xiàng)”呢？解類型：求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)方法:利用通項(xiàng)公式建立不等式組變式練習(xí)：在(3x -2y)20的展開式中，求：(1)二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng);(2)系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng).解:(2)設(shè)系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第r+1項(xiàng).則 即 3(r+1)2(20-r) 解得 2(21-r)3r