高中數(shù)學(xué)立體幾何知識點總結(jié)大全

1、高中數(shù)學(xué)立體幾何知識點總結(jié)大全一、空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖與直觀圖1空間幾何體的結(jié)構(gòu)1）多面體幾何體結(jié)構(gòu)特征備注棱柱底面互相平彳丁.側(cè)面都是平行四邊形.每相鄰兩個平行四邊形的公共邊互相平行.按側(cè)棱與底面是否垂直分類，可分為斜棱柱和直棱柱.側(cè)棱與底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱，側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱特別地，底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱.棱錐底面是多邊形.側(cè)面都是三角形.側(cè)面有一個公共頂點.三棱錐的所有面都是三角形，所以四個面都可以看作底.三棱錐又稱為四面體.棱臺上、下底面互相平行，且是相似圖形.各側(cè)棱的延長線交于一點.各側(cè)面為梯形.可用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐2）旋轉(zhuǎn)體幾何體結(jié)

2、構(gòu)特征備注圓柱圓柱有兩個大小相同的底面，這兩個面互相平行，且底面是圓面而不是圓.圓柱有無數(shù)條母線，且任意一條母線都與圓柱的軸平行，所以圓柱的任意兩條母線互相平行且相等.平行于底面的截面是與底面大小相同的圓面，過軸的截面（軸截面）是全等的矩形.圓柱可以由矩形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到.圓錐底面是圓面.有無數(shù)條母線，長度相等且交于頂點.平行于底面的截面是與底面大小不冋的圓面，過軸的截面（軸截面）是全等的等腰三角形.圓錐可以由直角三角形繞其直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到圓臺圓臺上、下底面是互相平行且不等的圓面.有無數(shù)條母線，等長且延長線交于一點.平行于底面的截面是與兩底面大小都不等的圓面，過軸的截面（軸截面

3、）是全等的等腰梯形.圓臺可以由直角梯形繞直角腰所在直線或等腰梯形繞上、下底中點連線所在直線旋轉(zhuǎn)得到，也可由平行于底面的平面截圓錐得到.球球心和截面圓心的連線垂直于截面.球心到截面的距離d與球的半徑R及截面圓的半徑r之間滿足關(guān)系式：d=JR2r2.球可以由半圓面或圓面繞直徑所在直線旋轉(zhuǎn)得到.2空間幾何體的三視圖（1）三視圖的概念光線從幾何體的前面向后面正投影，得到的投影圖叫做幾何體的正視圖;光線從幾何體的左面向右面正投影，得到的投影圖叫做幾何體的側(cè)視圖;光線從幾何體的上面向下面正投影，得到的投影圖叫做幾何體的俯視圖.幾何體的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖統(tǒng)稱為幾何體的三視圖.如圖.止視圖俯視圖冊視圏（2

4、）三視圖的畫法規(guī)則排列規(guī)則：一般地，側(cè)視圖在正視圖的右邊，俯視圖在正視圖的下邊如下圖:畫法規(guī)則i）正視圖與俯視圖的長度一致，即“長對正”；ii）側(cè)視圖和正視圖的高度一致，即“高平齊”；iii）俯視圖與側(cè)視圖的寬度一致，即“寬相等”.線條的規(guī)則i）能看見的輪廓線用實線表示；ii）不能看見的輪廓線用虛線表示.（3）常見幾何體的三視圖常見幾何體正視圖側(cè)視圖俯視圖長方體矩形矩形矩形正方體正方形正方形正方形圓柱矩形矩形圓圓錐等腰三角形等腰三角形圓圓臺等腰梯形等腰梯形兩個同心的圓球圓圓圓3空間幾何體的直觀圖（1）斜二測畫法及其規(guī)則對于平面多邊形，我們常用斜二測畫法畫它們的直觀圖.斜二測畫法是一種特殊的畫直

5、觀圖的方法，其畫法規(guī)則是：在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點O.畫直觀圖時，把它們畫成對應(yīng)的X軸和y，軸，兩軸相交于點0，且使Zx，Oy=45（或135）,它們確定的平面表示水平面.已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于X軸或y軸的線段.已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段，長度為原來的一半.（2）用斜二測畫法畫空間幾何體的直觀圖的步驟在已知圖形所在的空間中取水平平面，作互相垂直的軸0 x,0y,再作0z軸使Zx0z=90，且Zy0z=90.畫直觀圖時，把它們畫成對應(yīng)的軸0，X，0y，Ozz,使Zx，Ozy=45（或135）,

6、ZX0z=90,X0y所確定的平面表示水平平面.已知圖形中，平行于x軸、y軸或z軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x軸、y軸或z軸的線段，并使它們和所畫坐標(biāo)軸的位置關(guān)系與已知圖形中相應(yīng)線段和原坐標(biāo)軸的位置關(guān)系相同.已知圖形中平行于x軸或z軸的線段，在直觀圖中保持長度不變，平行于y軸的線段，長度變?yōu)樵瓉淼囊话?畫圖完成以后，擦去作為輔助線的坐標(biāo)軸，就得到了空間圖形的直觀圖.特別提醉直觀圖的面積與原圖面積之間的關(guān)系原圖形與直觀圖的面積比為S；2邁，即原圖面積是直觀圖面積的2邁倍,直觀圖面積是原圖面積的占詈倍.、空間幾何體的表面積與體積1旋轉(zhuǎn)體的表面積圓柱（底面半徑為r,母線長為1）圓錐（底面半徑為

7、r,母線長為1）圓臺（上、下底面半徑分別為r，r,母線長為1）側(cè)面展開圖311r丨廠J:2TtryIt尿I/A底面面積S=r2底S=r2底S=r2,S=r2上底下底側(cè)面面積S/n,2rl側(cè)S礦rlS=l,rr)側(cè)表面積S=2r(rl)表S=r,rl)表S=C2r2rIrl)表特別提醍多面體的表面積就是各個面的面積之和，也就是展開圖的面積.2柱體、錐體、臺體的體積公式幾何體體積柱體V柱體Sh（S為底面面積，h為咼）氣=廠2h（r為底面半徑，h為高）圓柱1匕=Sh（S為底面面積，h為咼）錐體3錐體1匕需二云r2h（r為底面半徑，h為咼）圓錐31V臺體3（S+E*皿（S、S分別為上、下底面面積，h為

8、咼），臺體V-圓臺3hC2+rr+r2（r、r分別為上、下底面半徑，h為高）3球的表面積和體積公式設(shè)球的半徑為R,它的體積與表面積都由半徑R唯一確定，是以R為自變量的函數(shù)，其表面積公式為4R2,4即球的表面積等于它的大圓面積的4倍；其體積公式為3R3.特別提醉球的切、接問題(常見結(jié)論)若正方體的棱長為a，則正方體的內(nèi)切球半徑是2a；正方體的外接球半徑是乎a；與正方體所有棱相切的球的半徑是#a1(2)若長方體的長、寬、高分別為a,b,h，則長方體的外接球半徑是a2b2h2-若正四面體的棱長為a，則正四面體的內(nèi)切球半徑是a；正四面體的外接球半徑是fa；與正四面體所有棱相切的球的半徑是手a.球與圓柱

9、的底面和側(cè)面均相切，則球的直徑等于圓柱的高，也等于圓柱底面圓的直徑.球與圓臺的底面與側(cè)面均相切，則球的直徑等于圓臺的高.三、空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系1.平面的基本性質(zhì)名稱圖形文字語言符號語言公理1宀/如果一條直線上的兩點在同一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)Ae1，Bel,且Aea，Beanlua公理2人：/過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面A，B，C三點不共線n有且只有一個平面a,使Aea,Bea，Cea公理2的推論推論1/經(jīng)過一條直線和直線外的一點，有且只有一個平面若點A電直線a,則A和a確定一個平面a推論27經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面abPn有且只有一個平面，使

10、aua,ba推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面aba有且只有一個平面，使aU，bua公理3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線P，a，且P，BaanB=l,P，1，且l是唯一的公理4l1l2l平行于同一直線的兩條直線平行1l,llall12122等角定理1）自然語言：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ).（2）符號語言：如圖（1）、（2）所示，在ZAOB與ZA，OB中，OAOA,OBOB,3空間兩直線位置關(guān)系的分類空間中兩條直線的位置關(guān)系有以下兩種分類方式：1）從有無公共點的角度分類：兩條直線有且僅有一個公共點：相交直線兩條直線無公

11、共點：平行直線異面直線2）從是否共面的角度分類：共面直線相交直線平行直線、不共面直線：異面直線4異面直線所成的角（1）異面直線所成角的定義如圖，已知兩異面直線a,b,經(jīng)過空間任一點0,分別作直線a/a,bb,相交直線a，,b所成的銳角（或直角）叫做異面直線a與b所成的角（或夾角）.2）異面直線所成角的范圍p異面直線所成的角必須是銳角或直角，異面直線所成角的范圍是（。，】.（3）兩條異面直線垂直的定義如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說這兩條直線互相垂直.兩條互相垂直的異面直線a,b,記作alb.5直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的分類（1）直線和平面位置關(guān)系的分類按公共點個數(shù)分類：直線和

12、平面相交一有且只有一個公共點，直線和平面平行一沒有公共點直線在平面內(nèi)一有無數(shù)個公共點按是否平行分類：直線與平面平行直線與平面不平行直線與平面相交直線在平面內(nèi)按直線是否在平面內(nèi)分類：直線在平面內(nèi)直線不在平面內(nèi)（直線在平面外直線和平面相交直線和平面平行（2）平面和平面位置關(guān)系的分類兩個平面之間的位置關(guān)系有且只有以下兩種1）兩個平面平行一一沒有公共點；2）兩個平面相交一一有一條公共直線.特別提醉唯一性定理過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行.過直線外一點有且只有一個平面與已知直線垂直.過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行.過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直.異面直線的判定方法經(jīng)過

13、平面內(nèi)一點的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線互為異面直線.四、直線、平面平行的判定及其性質(zhì)直線與平面平行的判定定理文字語言平面外的一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行.簡記為：線線平行O線面平行a圖形語言符號語言aa,bua,且abnaa作用證明直線與平面平行直線與平面平行的性質(zhì)定理文字語言一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的父線與該直線平行.簡記為：線面平行n線線平行圖形語言符號語言a,a,P,B=ballba作用作為證明線線平行的依據(jù).作為畫一條直線與已知直線平行的依據(jù).3.平面與平面平行的判定定理文字語言一個平面內(nèi)的兩條相父直線與另一個平面平行，則這兩個

14、平面平行.簡記為：線面平行n面面平行圖形語言/真/符號語言auB,buB,ab=P,aa,banaB作用1證明兩個平面平行4平面與平面平行的性質(zhì)定理文字語言如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行.簡記為：面面平行n線線平行圖形語言冷/符號語言a,aya,ybab作用A證明線線平行蔚別提醍平行問題的轉(zhuǎn)化關(guān)系性質(zhì)定理判定定理常用結(jié)論如果兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個平面.如果兩個平行平面中有一個平面垂直于一條直線，那么另一個平面也垂直于這條直線.夾在兩個平行平面間的平行線段長度相等.經(jīng)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行.兩條直線被三個平行平面所截，

15、截得的對應(yīng)線段成比例.如果兩個平面分別和第三個平面平行，那么這兩個平面互相平行.如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條直線，那么這兩個平面平行.如果兩個平面垂直于同一條直線，那么這兩個平面平行.五、直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)直線與平面垂直的定義如果直線l與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面a互相垂直.記作：l丄a.圖形表示如下：定義中的“任意一條直線”這一詞語與“所有直線”是同義語，與“無數(shù)條直線”不是同義語.直線與平面垂直的判定定理一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直.文字語言簡記為：線線垂直=線面垂直圖形語言1符號語言lda，l

16、丄b，aua，bua，ab=Pnl丄a作用判斷直線與平面匚垂直特刑提醉在應(yīng)用該定理判斷一條直線和一個平面垂直時，一定要注意是這條直線和平面內(nèi)的兩條相目交直線垂直，而不是任意的兩條直線.3直線與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言垂直于同一個平面的兩條直線平行.簡記為：線面垂直n線線平行圖形語言abxf/符號語言a，anabb丄aj作用證明兩直線平行；構(gòu)造平行線.4平面與平面垂直的定義兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.平面a與平面B垂直,記作a丄卩.圖形表示如下：5平面與平面垂直的判定定理文字語言一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直.簡記為：線面垂直n面面垂直圖

17、形語言丿丿符號語言l丄a,luna丄B作用判斷兩平面垂直6平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于父線的直線與另一個平面垂直.簡記為：面面垂直n線線平行圖形語言aa7符號語言，丄,/au，a丄la丄作用證明直線與平面垂直7直線與平面所成的角（1）定義：一條直線和一個平面相交，但不和這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線，斜線和平面的交點叫做斜足過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個平面上的射影平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角規(guī)定：一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角等于90；一條直線和平面平行，

18、或在平面內(nèi)，我們說它們所成的角等于0因此，直線與平面所成的角a的范圍是aR.8二面角二面角的定義：平面內(nèi)的一條直線把平面分成兩部分，這兩部分通常稱為半平面從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面.二面角的平面角的定義：在二面角的棱上任取一點，以該點為垂足，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線，則這兩條射線構(gòu)成的角叫做這個二面角的平面角.二面角的范圍：0,.特別提醒垂直問題的轉(zhuǎn)化關(guān)系平面兒何的定理丨線線垂直常用結(jié)論若兩條平行線中一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面.若一條直線垂直于一個平面，則這條直線垂直于這個平面內(nèi)任何一條直線.

19、過空間任一點有且只有一條直線與已知平面垂直.過空間任一點有且只有一個平面與已知直線垂直.兩平面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直.兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面.如果兩個平面互相垂直，那么過第一個平面內(nèi)的一點且垂直于第二個平面的直線在第一個平面內(nèi).六、空間向量與立體幾何1空間直角坐標(biāo)系方向，則稱這個坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系，如圖所示.2.空間一點M的坐標(biāo)定義以空間一點0為原點，具有相同的單位長度，給定正方向，建立兩兩垂直的數(shù)軸：X軸、y軸、z軸，建立了一個空間直角坐標(biāo)系0-xyz坐標(biāo)原點點o坐標(biāo)軸x軸、y軸、z軸坐標(biāo)平面通過每兩個坐標(biāo)軸的平面在空間直角坐標(biāo)系

20、中，讓右手拇指指向X軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正空間一點M的坐標(biāo)可以用有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)來表示，記作M(x，y,z)，其中x叫做點M的橫坐標(biāo),y叫做點M的縱坐標(biāo)，z叫做點M的豎坐標(biāo).建立了空間直角坐標(biāo)系后，空間中的點M與有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)可建立一一對應(yīng)的關(guān)系.3空間兩點間的距離公式、中點公式(1)距離公式設(shè)點A(x,y,z)，B(x,y,z)為空間兩點，111222則A,B兩點間的距離IABl=，:(x-x)2+(yy2)2+(z勺)2.設(shè)點P(x,y,z)，則點p(x,y,z)與坐標(biāo)原點o之間的距離為1op=枝2+y2+z2.2)中點公式設(shè)點P(x,y,

21、z)為P(x1,y1,z1)仆x2,y2,z2)的中點，則y=12-4共線向量定理對空間任意兩個向量a,b(bMO),ab的充要條件是存在實數(shù)入，使得a=hb.牢記兩個推論：對空間任意一點0,點P在直線AB上的充要條件是存在實數(shù)t,使OP(1-1)OA,tOB或OPxOA,yOB(其中x+y=1).如果l為經(jīng)過已知點A且平行于已知非零向量a的直線，那么對空間任意一點O,點P在直線！上的充要條件是存在實數(shù)t,使OPOA,ta，其中向量a叫做直線l的方向向量，該式稱為直線方程的向量表示式.共面向量定理_如果兩個向量a,b不共線，那么向量p與向量a,b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x,y),

22、使pxa,yb.牢記推論：空間一點P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(x,y),使APxAB,yAC；或?qū)臻g任意一點0,有OPOA,xAB,yAC.空間向量基本定理如果三個向量a,b,c不共面，那么對空間任一向量p,存在有序?qū)崝?shù)組x,y,z,使得p=xa+yb+zc其中，a,b,c叫做空間的一個基底，a,b,c都叫做基向量.特別提醉空間任意三個不共面的向量都可構(gòu)成基底.基底選定后，空間的所有向量均可由基底唯一表示.0不能作為基向量.空間向量的運算(1)空間向量的加法、減法、數(shù)乘及數(shù)量積運算都可類比平面向量.2)空間向量的坐標(biāo)運算設(shè)a(a,a,a),b=(b,b,b)，則123123a土b(a土b,a土b,a土b),112233,a(,a,a,a)(,gR),123abab+ab+ab,112233abob,aob=,a,b=,a,b=,a(,gR),112233a必boab=ab+ab+ab=0,I112233cosab+ab+ab直線的方向向量和平面的法向量直線的方向向量就是指和這條直線平行(或共線)的向量，記作/,顯然一條直線的方向向量可以有無數(shù)個.