2019年高中數(shù)學(xué)極坐標(biāo)方程知識點(diǎn)總結(jié)題型匯總

1、極坐標(biāo)方程創(chuàng)作時(shí)間：2019.1【學(xué)習(xí)目標(biāo)】.能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置.理解在極坐標(biāo)系中和直角坐標(biāo)系中表示點(diǎn)的區(qū)別，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化.能在極坐標(biāo)系中給出簡單圖形（如過極點(diǎn)的直線、過極點(diǎn)或圓心在極點(diǎn)的圓）的方程. 【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、極坐標(biāo)系和點(diǎn)的極坐標(biāo).極坐標(biāo)系定義（1）在平面內(nèi)取一定點(diǎn) 0,由點(diǎn)O引出一條射線Ox,并確定一個(gè)長度單位和度量角度的正方向（通常取逆時(shí)針方向）一個(gè)極坐標(biāo)系，定點(diǎn) 0叫做極點(diǎn)，射線 Ox叫做極軸.要點(diǎn)詮釋:極點(diǎn)；極軸；長度單位；角度單位和它的正方向，構(gòu)成了極坐標(biāo)系的四要素，缺一不可.點(diǎn)的極坐標(biāo)在極坐標(biāo)系中，平面上任意一點(diǎn)P的位置可以由0P的長度P

2、和從Ox轉(zhuǎn)到op的角度日來確定，（p,日）叫做點(diǎn)p的極坐標(biāo)，p叫做點(diǎn)p的極徑，e叫做 極角.極點(diǎn)的極坐標(biāo)為（0,日），其中日可以取任何值.要點(diǎn)詮釋:e的始邊是極軸，它的終邊隨著 6的大小和正負(fù)（1）極軸是以極點(diǎn)為端點(diǎn)的一條射線，它與極軸所在的直線是有區(qū)別的；極角而取得各個(gè)位置；8的正方向通常取逆時(shí)針方向，e的值一般是以弧度為單位的數(shù)量；點(diǎn) M的極徑P表示點(diǎn)M與極點(diǎn)0的距離|0M|,因此P0;但必要時(shí)，允許 P0,極角8為00日2冗（或一無0, 00e0,則表示與極軸成8角的射線.4 .極坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式設(shè)極坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn) 吹巳國），2（%,%），則IRP21= JH2 + p； 2KP2

3、cos p2） .特例：當(dāng) 0，| P P2 I=I K P21 要點(diǎn)二、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化1、平面內(nèi)一點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化的條件極坐標(biāo)系中的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系中的原點(diǎn)重合；極坐標(biāo)系中的極軸與直角坐標(biāo)系中的x軸正半軸重合；兩種坐標(biāo)系中長度單位相同2、互化公式如圖，符合上述三條件的點(diǎn) P的極坐標(biāo)為（P,e）,直角坐標(biāo)為（x, y）,則極坐標(biāo)化直角坐標(biāo)：x = Pcos6, y = Psin日直角坐標(biāo)化極坐標(biāo)：P2 = x2 +y2,tan日=y（x =0）， x這就是在兩個(gè)坐標(biāo)系下，同一個(gè)點(diǎn)的兩種坐標(biāo)間的互化關(guān)系要點(diǎn)詮釋：由P2 =x2 +y2求P時(shí)，P不取負(fù)值；由tanH =且（x =0

4、）確定日時(shí)，根據(jù)點(diǎn)（x, y）所在的象限取正角.當(dāng)x，0時(shí)，9角 x才能由tanO =y按上述方法確定.當(dāng) x=0時(shí)，tan e沒有意義，這時(shí)又分三種情況：（1）當(dāng)x=0, y=0時(shí)，日可取任何值；（2）當(dāng)3 二x=0, y0時(shí)，可取日=一；（3）當(dāng)x=0, y0)和e= n+ot (P)0).特別地，我們規(guī)定 P為全體實(shí)數(shù)，那么該直線的極坐標(biāo)方程就為e=ot (PGR),或e=a+n (PR).(2)過點(diǎn)A (a, 0) (a0)且垂直于極軸的直線l的極坐標(biāo)方程.如圖所示，設(shè) M ( P,g)為直線l上的除A外的任意一點(diǎn).連接 OM則有 AOMfe直角三角形并且/ AOM= , |OA|=a

5、 , |OM|= P ,所以有 |OM |cosi -|OA|.即Pcos日=a ,化為直角坐標(biāo)方程為 x=a.(3)過點(diǎn)A.a, |且平行于極軸所在直線的直線極坐標(biāo)方程.如圖所示，設(shè)M為直線上任意一點(diǎn)，其極坐標(biāo)為 M (P,日),連接OM則有|OA|=a, |OM|= P , NAOM =-0 ,在直角二角 2(JI 八)形 AOW,我們有 |OM | cos -e =|OA|.2Pcos 1 - -6 l=a，即Psin日=a ,化為直角坐標(biāo)方程為y=a.2【典型例題】類型一、極坐標(biāo)系中的點(diǎn)的表示例1.寫出右圖中各點(diǎn)的極坐標(biāo)（p0, 00。0時(shí)，每一點(diǎn)都對應(yīng)唯一確定的一個(gè)極坐標(biāo).舉一反三:

6、【變式1】下列各點(diǎn)中與2,- i不表示極坐標(biāo)中同一個(gè)點(diǎn)的是（,611二13二c c 11-2,-6- 2,-6-2,【答案】C。由點(diǎn)的極坐標(biāo)定義可得?！咀兪?】 設(shè)點(diǎn)A 2,，直線l為過極點(diǎn)且垂直于極軸的直線，分別求點(diǎn)I 3 ）極點(diǎn)的對稱點(diǎn)的極坐標(biāo)（限定 P 0, 一冗 日Wn ）.【答案】如圖所示.關(guān)于極軸的對稱點(diǎn)為B 2, -I 3 J、，一,、乩2關(guān)于直線z的對稱點(diǎn)為C 2 n,3關(guān)于極點(diǎn)D的對稱點(diǎn)為D I 2,-【變式3】.在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)（p , 0 )與(-無-。）的位置關(guān)系為（.關(guān)于極軸所在直線對稱.關(guān)于極點(diǎn)對稱ji.關(guān)于直線0 = ( P G2R）對稱A與點(diǎn)M（P ,。）關(guān)于極

7、軸對稱的點(diǎn)有(P ,- 8 )或(-P ,無-831）,關(guān)于0 =一所在直線對稱的點(diǎn)有（-p ,- 0 ）或（p ,正-8 ）,關(guān)于極點(diǎn)對稱的點(diǎn)有（-p, 8）或（p,正+ 8）類型二、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化例2. （1）將下列點(diǎn)的極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)：（2, _土）；（M, _兀）。（2）將下列各點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極徑為正，極角在 0,2n）之間的極坐標(biāo)：（3,邪）;（-2,-273）【思路點(diǎn)撥】依據(jù)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化公式運(yùn)算?！窘馕觥?（1） x = 2 父 cos（ ） = 2父=1, y = 2sin（ ） = J3 ,所以極坐標(biāo)系中點(diǎn)（2,三）的直角坐標(biāo)為（1,-73）。3x = 乂

8、父 cos（ -n） = Mm（_1） = 4, y=2Msin（n） = 2M0=0 ,所以極坐標(biāo)系中點(diǎn)（4,n）的直角坐標(biāo)為（4,0）。（2）P = 32 .（/3）2 = 25/3, tan 8 =）=, x 3又點(diǎn)（3, J3）在第一象限，所以8=,6所以直角坐標(biāo)系中點(diǎn)（3, J3）的極坐標(biāo)為 （2戰(zhàn)勺。6P = 7（-2）2 +（-273）2 = 4 , tan 日=? = =而，又點(diǎn)（-2,-273）在第三象限，所以6 = o3所以直角坐標(biāo)系中點(diǎn)（一2, 2 J3）的極坐標(biāo)為（4,竺）。3【總結(jié)升華】把點(diǎn) M的極坐標(biāo)（P,8）化成直角坐標(biāo)（x, y）時(shí)，關(guān)鍵是依據(jù)關(guān)系式 x= Pc

9、osH, y = PsinO, P2 =x2 + y2 ,把極坐標(biāo)方程中的 P, 6用x, y表示。一 ：二. x2 y2把點(diǎn)M的直角坐標(biāo)（x,y）化成極坐標(biāo)（P,9）時(shí)，關(guān)鍵是依據(jù)關(guān)系式 y ,且注意由tanO =2求8時(shí)，還須 TOC o 1-5 h z tan f = -，x = 0 xx結(jié)合點(diǎn)（x, y）所在的象限來確定 日的值，一般取0W9 （亨）=73。.點(diǎn)（2,竺）的直角坐標(biāo)為（_1, _J3）2 二【變式3】（1）把點(diǎn)M的極坐標(biāo) 8 I化成直角坐標(biāo)；, 3（2）把點(diǎn)M的直角坐標(biāo)（1,-1）化成極坐標(biāo).2F4技2 二【答案】（1） x =8cos=-4, y=8sin 3:點(diǎn)M的

10、直角坐標(biāo)是 （T4可（2）應(yīng)用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化關(guān)系可得：1xv= 1（ =、.2.tan 日= =-1.x 1日=7元（點(diǎn)M在第四象限）.4:點(diǎn)M的極坐標(biāo)為 ,2, 7二J一. .一 兀、N(2,0) , P(2、.3, 一), 6【變式4】在極坐標(biāo)系中，已知三點(diǎn) M （2,-）,3（1）將M , N , P三點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)；（2）判斷M , N , P三點(diǎn)是否在同一直線上【答案】(1) M(1-73) , N(2,0) , P(3,V3)（2）kMN =kNP=J,所以三點(diǎn)共線類型三、圓的極坐標(biāo)方程一 、4 i 3n L、，“，一 1例3.求圓心在 a 2 處并且過極點(diǎn)的圓的極

11、坐標(biāo)方程.I, 2 J【思路點(diǎn)撥】如圖所示，設(shè)M （ P,日）為圓上除。B外的任意一點(diǎn)，連接OM MB則在RtABOM中，由|OM|=|OB| cos/MOB即可得 P、6的關(guān)系.本題亦可以先求直角坐標(biāo)系中的方程，再化為極坐標(biāo)方程.3【解析】如圖所不，設(shè)M（P,為圓上除O B外的任意一點(diǎn)，連OM MB則有OB=4 OM=P ,/MOB冗./BMO2從而 BOMJ直角三角形,所以有|OM|=|OB|cos / MOB一 m八3八即 P=4cos 屋一幾：=Ysin 6 .22)【總結(jié)升華】與求圓的直角坐標(biāo)方程相比，求它的極坐標(biāo)方程比球直角坐標(biāo)更加簡便，因?yàn)樵跇O坐標(biāo)系中圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)P、。所滿足的

12、條件更加容易表示， 代數(shù)變換也更加直接， 有時(shí)為了求極坐標(biāo)方程， 也可以先求出相應(yīng)的直角坐標(biāo)方程，再利用x = Pcose ,y = Psin日代換，也較為方便.舉一反三:【變式u在極坐標(biāo)系中，圓心在（J2,兀）且過極點(diǎn)的圓的方程為（(A) : =2,2 cos n (B)。= -2 . 2 cos 71(C) D =2、, 2 sin 1 (D)。= 2，. 2sin【變式2】在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn) （1,1）為圓心,2為半徑的圓在以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),以O(shè)x軸為極軸的極坐標(biāo)系中對應(yīng)的極坐標(biāo)方程為：=2 2sin(u -)4C. D =2 J2 cosc -1)=2、,2sin(i -

13、1)圓的直角坐標(biāo)方程為（x1）2+（y1）2 =2 ,化為極坐標(biāo)方程為（PcosH1）2+（Psin日一1）2=2, Pp-2V2cos(9 -) = 0, 4曲線P2J2cos（日一土）=0也過極點(diǎn)，4 P P2夜cos（日-H =0與 P2后cos（6 ：） =0等價(jià),:對應(yīng)的極坐標(biāo)方程為 D = 2 2 cos（r -）.【變式3】在極坐標(biāo)系中，半徑為 1的圓c的圓心坐標(biāo)為一 n、 ,一 一 _ C（3,）,求圓C的極坐標(biāo)方程;6【答案】法一：（1）設(shè)P（P,6）在圓上，則|PC|=1,|OP|= 7, |OC |=3, . POC =|u - |,62一.二由余弦定理得1 = ：-2

14、9 -2 3cos尸-一|6一一 一 .二,為圓的極坐標(biāo)方程。即：-6 ： cosQ -) 8 =06 TOC o 1-5 h z 一 、.3、3 3法二：（1）圓心C（3,一）的直角坐標(biāo)為（以3,3）,62 2,3 - 3 23 2則符合條件的圓方程為(x - )2 (y -)2=1 ,22一 .3 .3 o 一 .3 o:圓的極坐標(biāo)萬桂：(；cos - )(; sin - -) =122整理得 p2 (3褥pcose +3Psin0)+8=0,即：-2 -6 :cos。一 ) 8=0.6類型四、直線的極坐標(biāo)方程例4.(海淀區(qū)校級模擬)在極坐標(biāo)系中，直線1的方程為：sin ( + +到直線1

15、的距離是(A.也B.2一)4直線方程為.z , 一、 . 2Psin (日+ )=,展開化為:42(:sin 二 + P cos 1)=2 2可得直角坐標(biāo)方程為:x+y=1,則點(diǎn) A (2,)4.冗、化為 A ( 2cos (一),4,互2sin ()4所以點(diǎn)A到這條直線的距離卜 2- 1 2-1貝，故選B。2舉一反三：【變式11求適合下列條件的直線的極坐標(biāo)方程:11)過極點(diǎn)，傾斜角是(2)過點(diǎn)P(5,-),并且和極軸垂直。4(1)由圖知，所求的極坐標(biāo)方程為e (pw r)；3(2)法一：由圖知，所求直線的方程為Pcos日=5cos,即 Pcos。45.22法二：由圖知，所求直線的方程為52

16、.52x=,即 Pcos =n【變式2】求(1)過點(diǎn)A(2,一)平行于極軸的直線。4.一 二、3二一(2)過點(diǎn)A(3, 一)且和極軸成 角的直線。34【答案】(1)在直線l上任取一點(diǎn)M (P,8),因?yàn)锳(2,),所以|MH|=2 sin 44 /Psin = 2 o在直角三角形MO呻|MH|=|OM|sin日即Psin 8 = J2 ,所以過點(diǎn) A(2,二)平行于極軸的直線為 4(2)設(shè)M( P,8)為直線1上一點(diǎn)A(3,JIJIOA=3, /AOB = 5 二 7二12 12由已知/MBx =- ，所以/OAB=巴一三=電，所以/OAM =n44312p.3 二又.OMA ZMBx -=

17、4_6在？MOM,根據(jù)正弦定理得si吟一八磋 TOC o 1-5 h z 又siJJsiT J)6+g將sin(之一 展開化簡可得：(sin1- cos71)=3-3 - 3 12434422所以過a(3 -)且和極軸成角的直線為：P(sin 0 +cos6)= 十_3 3422類型五、極坐標(biāo)方程與直線坐標(biāo)方程互化例5.將下列各題進(jìn)行直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化。22 -,2y =4x(2) 6 = (3)Pcos =1(4)P cos23 = 432【解析】(1)將x = Pcos6, y = Psin6代入y2 =4*得($8)2 =4 Pcos日化簡得:sin2 1-4sin 二tan

18、 日=y tan =y = 33 化簡得：y = J3x(x 之 0)x3 x一 n 1. 1 CoS ?一99, Pcos2 =1 P=1。即 p + PcosQ = 2 所以 vx + y +x = 2。22化簡彳導(dǎo)y2 = -4(x -1) o(4)由 P2 cos2g = 4 即 P2(cos2 6一sin2 H) = 4 所以 x2 - y2 =4 【總結(jié)升華】(1)互化公式是有三個(gè)前提條件的，即極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合、極軸與直角坐標(biāo)系的橫軸的正半軸重合，兩種坐標(biāo)系的 長度單位相同.(2)由直角坐標(biāo)求極坐標(biāo)時(shí)，理論上不是唯一的，但這里約定只在00e0)所表示的曲線的圖形是()【答

19、案】Ca - a2 a如果沒有記住匕的圖形，不妨化其為直角坐標(biāo)方程：p =asin 9 , p = p asin 9 ,x +y =ay,x +(y- _ )=，圖形顯然是以(0,)為242圓心，a為半徑的圓.選C. 2【高清課堂：極坐標(biāo)方程406449例題3】【變式3】(1)把下列極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，并判斷圖形的形狀. P =2acosH(a A0)； P =9(sin 日+cosH)； P =4 ； 2PcosB_3PsinB = 5 .【答案】P = 2acos8兩邊同時(shí)乘 P得P2 =2aPcosB ,即 x 2+y2=2ax.整理得 x 2+y2 2ax=0,即(x a)2+

20、y2=a2.它是以(a, 0)為圓心，以a為半徑的圓.兩邊同時(shí)乘 P得P2 =9#(sinS +cos9),即x2+y2=9x+9y,又可化為9.281999.2 ,它是以I為圓心，以為半徑的圓.2222將p=4兩邊平方得 P2=16,即x2+y2=16.它是以原點(diǎn)為圓心，以 4為半徑的圓. 2Pcos -3 Psin 6 =5,即 2x - 3y=5,是一條直線.【高清課堂：極坐標(biāo)方程406449例題2】【變式4】將下列直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程. x2+(y 2)2=4; x2+y2=4x ; x+y=2 ; x=2 .【答案】x2+(y _2)2=4可化為x2+y2=4y .代入 x =

21、cos , y = Psin 8 得 P2 4 Psin 日=0 ,即 P = 4sin 日.代入 y = Psin H , x = pcos9 得 P2 =4 Pcos ,即 4 =4cos 9 . Pcos& + Psin 8=2. Pcos 日=2 .【變式5】已知圓的極坐標(biāo)方程是P2 2 P（cos 1. 3sin u） 一5 = 0,求直線日=0被圓截得的弦長【答案】圓的普通方程是：（x+1）2+（y+J3）2=9,與直線y = 0的交點(diǎn)為（J61,0） , （J6 1,0）,所以弦長為26.JT【變式6】已知直線的極坐標(biāo)方程為： sin 1 , 一7 一）到這條直線的距離.4【答案

22、】：sinQ可化為：?(sin c cos cos sin )=44即 Psin 6 + PcosQ =1 ,利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式x = Psin8得直線的直角坐標(biāo)方程為x+y = 1,即2.2凸 2x + y = P點(diǎn) A (2,x = 2cos7 二 ，一，一）化為直角坐標(biāo)為47 二x = 2sin 4=% 2，點(diǎn)_ _ , 2A的直角坐標(biāo)為（J2，2）,利用點(diǎn)P（x0, y0）到直線Ax + By + C =0的距離公式d=|AxBy。一C|,得點(diǎn)A (2,）到這條直線的距離為d = 1 ;2 （ , 2） 1|.12 12類型六、極坐標(biāo)方程的綜合應(yīng)用 例6 （蘭州模擬）在極坐

23、標(biāo)系中，已知圓 C的圓心C （加（I ）求圓C的極坐標(biāo)方程;（口）若 延0 , -E）,直線l的參數(shù)方程為44x=2+tcos Qy=2+tsinCL（t為參數(shù)），直線l交圓C于A、B兩點(diǎn)，求弦長|AB|的取值范圍.【思路點(diǎn)撥】（I）先利用圓心坐標(biāo)與半徑求得圓的直角坐標(biāo)方程,再利用P cos 8 = x p sin 9 =y（2=x2+y2,進(jìn)行代換即得圓 C的極坐標(biāo)a的三角函數(shù)求解.2=3,方程.（口）設(shè)A, B兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為t1, t2,則|AB|=|t1 -12|,化為關(guān)于【解析】(D C (五,)的直角坐標(biāo)為(1, 1),4:圓C的直角坐標(biāo)方程為(x 1) 2+ (y 1) 2=

24、3.化為極坐標(biāo)方程是 p2- 2P ( cos 0 +sin)0 1=0(口)將算2+tcos Q代入圓c的直角坐標(biāo)方程(x 1) 2+ (y 1)尸 2+tsinUy得(1+tcos & 2+ (1+tsin )a2=3,即 t2+2t (cos a +sin) a- 1=0.：t1+t2= - 2 (cos + +sin) 5 t1?t?= - 1.1AB|呻1 t2|=V (tl+t2) f- 4tlt2=2V2+sin2a .g0,二），2aG 0,二L）,422 收 |AB| 2M.即弦長|AB|的取值范圍是2近，2百）【總結(jié)升華】極坐標(biāo)問題利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系，即利用 pc

25、os8= x p sin 9 = y=x2+y2,進(jìn)行代換即可.舉一反三：【變式11在極坐標(biāo)系中，A（4, -） , B（1,） ,則 AOB勺面積是 TOC o 1-5 h z 9185 二，:，:【答案】AOB =,1896n4 1 sin 一 =1。6C1_1S AOB = ； | AO | | BO | sin . AOB【變式2】極坐標(biāo)方程分別是 P = cose和P =sinO的兩個(gè)圓的圓心距是（）A. 2 B . 72C . 1 D【答案】D法一：在極坐標(biāo)系中，兩圓的圓心坐標(biāo)分別為（-0）與（1 ）,由此求得圓心距為 2,2, 2211法二：將極坐標(biāo)方程化成直角坐標(biāo)方程x +y =x和x +y =y,匕們的圓心分別是 (一0) , (0 ),2,，2，, 2由此求得圓心距為2【變式3】（湖南二模）極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系xoy有相同的長度單位，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，已知曲線 Ci的極坐標(biāo)方程為