肇慶市2023學年高考數學五模試卷（含解析）

1、2023學年高考數學模擬測試卷請考生注意：1請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用05毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2答題前，認真閱讀答題紙上的注意事項，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知拋物線：，點為上一點，過點作軸于點，又知點，則的最小值為（ ）ABC3D52若，則下列關系式正確的個數是（ ） A1B2C3D43已知復數滿足，則（ ）ABCD4甲、乙兩名學生的六次數學測驗成績(百分制)的莖葉圖如圖所示.甲同學成績的中位數大

2、于乙同學成績的中位數；甲同學的平均分比乙同學的平均分高；甲同學的平均分比乙同學的平均分低；甲同學成績的方差小于乙同學成績的方差.以上說法正確的是（ ）ABCD5已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（ ）AB64CD326若函數在時取得極值，則（ ）ABCD7已知實數滿足約束條件，則的最小值是ABC1D48數列滿足：，為其前n項和，則（ ）A0B1C3D49已知雙曲線的右焦點為，過原點的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點，延長交右支于點，若，則雙曲線的離心率是（ ）ABCD10在三棱錐中，則三棱錐外接球的表面積是（ ）ABCD11函數的大致圖象是ABCD12已知為定義在上的奇函數，

3、且滿足當時，則（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知橢圓，若橢圓上存在點使得為等邊三角形（為原點），則橢圓的離心率為_14已知集合，若，則_15數列的前項和為，數列的前項和為，滿足，且.若任意，成立，則實數的取值范圍為_.16如圖在三棱柱中，點為線段上一動點，則的最小值為_.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）在直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數），以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求的普通方程和的直角坐標方程；（2）把曲線向下平移個單位，然后各點橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋兜玫角€（縱坐標不變）

4、，設點是曲線上的一個動點，求它到直線的距離的最小值.18（12分）已知中心在原點的橢圓的左焦點為，與軸正半軸交點為，且.（1）求橢圓的標準方程；（2）過點作斜率為、的兩條直線分別交于異于點的兩點、.證明：當時，直線過定點.19（12分）己知等差數列的公差，且，成等比數列.（1）求使不等式成立的最大自然數n；（2）記數列的前n項和為，求證：.20（12分）如圖，已知四棱錐，平面，底面為矩形，為的中點，.（1）求線段的長.（2）若為線段上一點，且，求二面角的余弦值.21（12分）選修4-2：矩陣與變換（本小題滿分10分）已知矩陣A (k0)的一個特征向量為，A的逆矩陣A1對應的變換將點(3，1)變

5、為點(1，1)求實數a，k的值22（10分）某生物硏究小組準備探究某地區(qū)蜻蜓的翼長分布規(guī)律，據統(tǒng)計該地區(qū)蜻蜓有兩種，且這兩種的個體數量大致相等，記種蜻蜓和種蜻蜓的翼長（單位：）分別為隨機變量，其中服從正態(tài)分布，服從正態(tài)分布.（）從該地區(qū)的蜻蜓中隨機捕捉一只，求這只蜻蜓的翼長在區(qū)間的概率；（）記該地區(qū)蜻蜓的翼長為隨機變量，若用正態(tài)分布來近似描述的分布，請你根據（）中的結果，求參數和的值（精確到0.1）；（）在（）的條件下，從該地區(qū)的蜻蜓中隨機捕捉3只，記這3只中翼長在區(qū)間的個數為，求的分布列及數學期望（分布列寫出計算表達式即可）.注:若，則，.2023學年模擬測試卷參考答案（含詳細解析）一、選擇

6、題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【答案解析】由,再運用三點共線時和最小，即可求解.【題目詳解】.故選：C【答案點睛】本題考查拋物線的定義，合理轉化是本題的關鍵，注意拋物線的性質的靈活運用，屬于中檔題2、D【答案解析】a，b可看成是與和交點的橫坐標，畫出圖象，數形結合處理.【題目詳解】令，作出圖象如圖，由，的圖象可知，正確；，有，正確；，有，正確；，有，正確.故選：D.【答案點睛】本題考查利用函數圖象比較大小，考查學生數形結合的思想，是一道中檔題.3、A【答案解析】根據復數的運算法則，可得，然后利用復數模的概念，可得結果.【題目

7、詳解】由題可知：由，所以所以故選：A【答案點睛】本題主要考查復數的運算，考驗計算，屬基礎題.4、A【答案解析】由莖葉圖中數據可求得中位數和平均數,即可判斷,再根據數據集中程度判斷.【題目詳解】由莖葉圖可得甲同學成績的中位數為,乙同學成績的中位數為,故錯誤；,則,故錯誤,正確；顯然甲同學的成績更集中,即波動性更小,所以方差更小,故正確,故選:A【答案點睛】本題考查由莖葉圖分析數據特征,考查由莖葉圖求中位數、平均數.5、A【答案解析】根據三視圖，還原空間幾何體，即可得該幾何體的體積.【題目詳解】由該幾何體的三視圖，還原空間幾何體如下圖所示：可知該幾何體是底面在左側的四棱錐，其底面是邊長為4的正方形

8、，高為4，故.故選：A【答案點睛】本題考查了三視圖的簡單應用，由三視圖還原空間幾何體，棱錐體積的求法，屬于基礎題.6、D【答案解析】對函數求導，根據函數在時取得極值，得到，即可求出結果.【題目詳解】因為，所以，又函數在時取得極值，所以，解得.故選D【答案點睛】本題主要考查導數的應用，根據函數的極值求參數的問題，屬于常考題型.7、B【答案解析】作出該不等式組表示的平面區(qū)域，如下圖中陰影部分所示，設，則，易知當直線經過點時，z取得最小值，由，解得，所以，所以，故選B8、D【答案解析】用去換中的n，得，相加即可找到數列的周期，再利用計算.【題目詳解】由已知，所以，+，得，從而，數列是以6為周期的周期

9、數列，且前6項分別為1，2，1，-1，-2，-1，所以，.故選：D.【答案點睛】本題考查周期數列的應用，在求時，先算出一個周期的和即，再將表示成即可，本題是一道中檔題.9、D【答案解析】設雙曲線的左焦點為，連接，設，則，和中，利用勾股定理計算得到答案.【題目詳解】設雙曲線的左焦點為，連接，設，則，根據對稱性知四邊形為矩形，中：，即，解得；中：，即，故，故.故選：.【答案點睛】本題考查了雙曲線離心率，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.10、B【答案解析】取的中點，連接、，推導出，設設球心為，和的中心分別為、，可得出平面，平面，利用勾股定理計算出球的半徑，再利用球體的表面積公式可得出結果.【題

10、目詳解】取的中點，連接、，由和都是正三角形，得，則，則，由勾股定理的逆定理，得.設球心為，和的中心分別為、.由球的性質可知：平面，平面，又，由勾股定理得.所以外接球半徑為.所以外接球的表面積為.故選：B.【答案點睛】本題考查三棱錐外接球表面積的計算，解題時要分析幾何體的結構，找出球心的位置，并以此計算出球的半徑長，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.11、A【答案解析】利用函數的對稱性及函數值的符號即可作出判斷.【題目詳解】由題意可知函數為奇函數，可排除B選項；當時，可排除D選項；當時，當時，即，可排除C選項，故選：A【答案點睛】本題考查了函數圖象的判斷，函數對稱性的應用，屬于中檔題12、C【

11、答案解析】由題設條件，可得函數的周期是，再結合函數是奇函數的性質將轉化為函數值，即可得到結論.【題目詳解】由題意，則函數的周期是，所以，又函數為上的奇函數，且當時，所以，.故選：C.【答案點睛】本題考查函數的周期性，由題設得函數的周期是解答本題的關鍵，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【答案解析】根據題意求出點N的坐標，將其代入橢圓的方程，求出參數m的值，再根據離心率的定義求值.【題目詳解】由題意得，將其代入橢圓方程得，所以.故答案為：.【答案點睛】本題考查了橢圓的標準方程及幾何性質，屬于中檔題.14、1【答案解析】分別代入集合中的元素，求出值，再結合集合中元素

12、的互異性進行取舍可解.【題目詳解】依題意，分別令，由集合的互異性，解得，則.故答案為：【答案點睛】本題考查集合元素的特性：確定性、互異性、無序性確定集合中元素，要注意檢驗集合中的元素是否滿足互異性15、【答案解析】當時，可得到，再用累乘法求出，再求出，根據定義求出，再借助單調性求解【題目詳解】解：當時，則，當時，（當且僅當時等號成立），故答案為：【答案點睛】本題主要考查已知求，累乘法，主要考查計算能力，屬于中檔題16、【答案解析】把 繞著進行旋轉，當四點共面時，運用勾股定理即可求得的最小值.【題目詳解】將以為軸旋轉至與面在一個平面，展開圖如圖所示，若，三點共線時最小為，為直角三角形，故答案為：

13、【答案點睛】本題考查了空間幾何體的翻折，平面內兩點之間線段最短，解直角三角形進行求解，考查了空間想象能力和計算能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）.【答案解析】（1）在直線的參數方程中消去參數可得出直線的普通方程，在曲線的極坐標方程兩邊同時乘以得，進而可化簡得出曲線的直角坐標方程；（2）根據變換得出的普通方程為，可設點的坐標為，利用點到直線的距離公式結合正弦函數的有界性可得出結果.【題目詳解】（1）由（為參數），得，化簡得，故直線的普通方程為.由，得，又，.所以的直角坐標方程為；（2）由（1）得曲線的直角坐標方程為，向下平移個單

14、位得到，縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋兜玫角€的方程為，所以曲線的參數方程為（為參數）.故點到直線的距離為，當時，最小為.【答案點睛】本題考查曲線的參數方程、極坐標方程與普通方程的相互轉化，同時也考查了利用橢圓的參數方程解決點到直線的距離最值的求解，考查計算能力，屬于中等題.18、（1）；（2）見解析.【答案解析】（1）在中，計算出的值，可得出的值，進而可得出的值，由此可得出橢圓的標準方程；（2）設點、，設直線的方程為，將該直線方程與橢圓方程聯(lián)立，列出韋達定理，根據已知條件得出，利用韋達定理和斜率公式化簡得出與所滿足的關系式，代入直線的方程，即可得出直線所過定點的坐標.【題目詳解】（1）在中，

15、因此，橢圓的標準方程為；（2）由題不妨設，設點，聯(lián)立，消去化簡得，且，代入，化簡得，化簡得，直線，因此，直線過定點.【答案點睛】本題考查橢圓方程的求解，同時也考查了橢圓中直線過定點的問題，考查計算能力，屬于中等題.19、（1）；（2）證明見解析【答案解析】（1）根據，成等比數列，有，結合公差，求得通項，再解不等式.（2）根據（1），用裂項相消法求和，然后研究其單調性即可.【題目詳解】（1）由題意，可知，即，.又，.，故滿足題意的最大自然數為.（2），. 從而當時，單調遞增，且，當時，單調遞增，且，所以，由，知不等式成立.【答案點睛】本題主要考查等差數列的基本運算和裂項相消法求和，還考查了運算求

16、解的能力，屬于中檔題.20、（1）的長為4（2）【答案解析】（1）分別以所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，根據向量垂直關系計算得到答案.（2）計算平面的法向量為，為平面的一個法向量，再計算向量夾角得到答案.【題目詳解】（1）分別以所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.設，則，所以.，因為，所以，即，解得，所以的長為4.（2）因為，所以，又，故.設為平面的法向量，則即取，解得，所以為平面的一個法向量.顯然，為平面的一個法向量，則，據圖可知，二面角的余弦值為.【答案點睛】本題考查了立體幾何中的線段長度，二面角，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.21、解：設特征向量為對應的特征值為，則 ，即 因為k0，所以a2 5分因為，所以A，即， 所以2k3，解得 k2綜上，a2，k2 20分【答案解析】試題分析：由 特征向量求矩陣A, 由逆矩陣求k考點：特征向量, 逆矩陣點評：本題主要考查了二階矩陣，以及特征值與特征向量的計算，考查逆矩陣22、（）；（），；（）詳見解析.【答案解析】（）由題知這只蜻蜓是種還是種的可能性是相