數(shù)學(xué)歸納法 微課-完整版獲獎(jiǎng)?wù)n件

1、第四講數(shù)學(xué)歸納法證明不等式4.1 數(shù)學(xué)歸納法 學(xué)習(xí)目標(biāo) 預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué) 典例精析 欄目鏈接1了解數(shù)學(xué)歸納法的原理及其使用范圍2會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單問題3掌握數(shù)學(xué)歸納法證明的兩個(gè)步驟和一個(gè)結(jié)論 學(xué)習(xí)目標(biāo) 預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué) 典例精析 欄目鏈接 學(xué)習(xí)目標(biāo) 預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué) 典例精析 欄目鏈接1數(shù)學(xué)歸納法是一個(gè)遞推的數(shù)學(xué)論證方法，論證的第一步是證明命題在_時(shí)成立，這是遞推的基礎(chǔ)；第二步是假設(shè)在_時(shí)命題成立，再證明_時(shí)命題也成立，這是遞推的依據(jù)實(shí)際上它使命題的正確性突破了有限，達(dá)到無限證明時(shí)，關(guān)鍵是k1步的推證，要有目標(biāo)意識(shí)2從試驗(yàn)、觀察出發(fā)，用不完全歸納法作出_，再用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行_，這是探索性問題的證法，數(shù)列中經(jīng)常

2、用到(試值猜想證明)nn0(n0N*)nk(kn0，kN*)nk1歸納猜想嚴(yán)格證明 學(xué)習(xí)目標(biāo) 預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué) 典例精析 欄目鏈接 學(xué)習(xí)目標(biāo) 預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué) 典例精析 欄目鏈接 學(xué)習(xí)目標(biāo) 預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué) 典例精析 欄目鏈接題型一 證明恒等問題 學(xué)習(xí)目標(biāo) 預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué) 典例精析 欄目鏈接 學(xué)習(xí)目標(biāo) 預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué) 典例精析 欄目鏈接變 式訓(xùn) 練 學(xué)習(xí)目標(biāo) 預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué) 典例精析 欄目鏈接所以當(dāng)nk1時(shí)，等式仍然成立由(1)、(2)可知，對(duì)于nN*，等式恒成立點(diǎn)評(píng)：用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式應(yīng)注意：明確初始值n0的取值并驗(yàn)證nn0時(shí)命題的真假(必不可少)明確從“假設(shè)nk時(shí)命題正確”到寫出“nk1時(shí)”命題形式是什么，并找出與“nk”時(shí)命

3、題形式的差別弄清左端應(yīng)增加的項(xiàng)，明確等式左端變形目標(biāo)，掌握恒等式變形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆項(xiàng)、配方等簡言之：兩個(gè)步驟、一個(gè)結(jié)論；遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉. 學(xué)習(xí)目標(biāo) 預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué) 典例精析 欄目鏈接題型二 證明整除問題例2 求證：an1(a1)2n1能被a2a1整除，nN*. 學(xué)習(xí)目標(biāo) 預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué) 典例精析 欄目鏈接由歸納假設(shè)，上式中的兩項(xiàng)均能被a2a1整除，故nk1時(shí)命題成立由(1)(2)知，對(duì)nN*，命題成立點(diǎn)評(píng)：證明整除性問題的關(guān)鍵是“湊項(xiàng)”，而采用增項(xiàng)、減項(xiàng)、拆項(xiàng)和因式分解等手段，湊出nk時(shí)的情形，從而利用歸納假設(shè)使問題獲證 學(xué)習(xí)目標(biāo) 預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué) 典例精析

4、欄目鏈接變 式訓(xùn) 練2用數(shù)學(xué)歸納法證明(3n1)7n1能被9整除(nN*)分析：證明一個(gè)與n有關(guān)的式子f(n)能被一個(gè)數(shù)a或一個(gè)代數(shù)式g(n)整除，主要是找到f(k1)與f(k)的關(guān)系，設(shè)法找到式子f1(k)，f2(k)，使得f(k1)f(k)f1(k)af2(k)，就可證得命題成立證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，原式(311)7127，能被9整除，命題成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1)時(shí)， 學(xué)習(xí)目標(biāo) 預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué) 典例精析 欄目鏈接變 式訓(xùn) 練(3k1)7k1能被9整除，則當(dāng)nk1時(shí)，3(k1)17k1121(k1)77k1(3k1)(18k27)7k1(3k1)7k19(2k3)7k，(3k1)7k1和9(2

5、k3)7k都能被9整除，(3k1)7k19(2k3)7k能被9整除，即3(k1)17k11能被9整除， 學(xué)習(xí)目標(biāo) 預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué) 典例精析 欄目鏈接即當(dāng)nk1時(shí)命題成立由(1)(2)可知，對(duì)任何nN*命題都成立分析：本題如果將nk1時(shí)，3(k1)17k11變?yōu)?(3k1)7k137k16，再去證明37k16能被9整除，困難就大一些，即為了能利用歸納假設(shè)，拼湊結(jié)構(gòu)式以利于出現(xiàn)題目所需要的形式，需要觀察式子的特點(diǎn)，不能盲目變形，要有目標(biāo) 學(xué)習(xí)目標(biāo) 預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué) 典例精析 欄目鏈接題型一 證明幾何或數(shù)列問題例3 平面內(nèi)有n個(gè)圓，任意兩個(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，任意三個(gè)圓不相交于同一點(diǎn)，求證：這n個(gè)圓將平面分成f(n)

6、n2n2(nN*)個(gè)部分分析：因?yàn)閒(n)為n個(gè)圓把平面分割成的區(qū)域數(shù)，那么再有一個(gè)圓和這n個(gè)圓相交，就有2n個(gè)交點(diǎn)，這些交點(diǎn)將增加的這個(gè)圓分成2n段弧，且每一段弧又將原來的平面區(qū)域一分為二，因此增加一個(gè)圓后，平面分成的區(qū)域數(shù)增加2n個(gè)，即f(n1)f(n)2n. 學(xué)習(xí)目標(biāo) 預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué) 典例精析 欄目鏈接有了上述關(guān)系，數(shù)學(xué)歸納法的第二步證明可迎刃而解證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，一個(gè)圓將平面分成兩個(gè)部分，且f(1)1122，所以n1時(shí)命題成立(2)假設(shè)nk(k1)時(shí)命題成立，即k個(gè)圓抒平面分成f(k)k2k2個(gè)部分則nk1時(shí)，在k1個(gè)圓中任取一個(gè)圓O，剩下的k個(gè)圓將平面分成f(k)個(gè)部分，而圓O與k個(gè)圓有2k個(gè)交點(diǎn)，這2k個(gè)點(diǎn)將圓O分成2k段弧， 學(xué)習(xí)目標(biāo) 預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué) 典例精析 欄目鏈接每段弧將原平面一分為二，故得f(k1)f(k)2kk2k22k(k1)2(k1)2.當(dāng)nk1時(shí)命題成立綜上(1)(2)可知，對(duì)一切nN*命題成立 學(xué)習(xí)目標(biāo) 預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué) 典例精析 欄目鏈接 學(xué)習(xí)目標(biāo) 預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué) 典例精析 欄目鏈接 學(xué)習(xí)目標(biāo) 預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué) 典例精析 欄目鏈接 學(xué)