粘彈性功能梯度界面層裂紋問(wèn)題的廣義剪切松弛模量

1、第 粘彈性功能梯度界面層裂紋問(wèn)題的廣義剪切松弛模量0引言 功能梯度材料（FGM）作為一種新型的多相材料，在許多工程領(lǐng)域都有重要的應(yīng)用，而斷裂力學(xué)分析則是其中的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題。為了方便求解，人們往往將FGM的模量假定為某種函數(shù)，比如指數(shù)或冪函數(shù)形式，研究不同裂紋在不同載荷下的應(yīng)力場(chǎng)。近年來(lái)，學(xué)者們發(fā)展了一類分層模型有效地實(shí)現(xiàn)了FGM模量任意變化時(shí)的近似解析求解，該模型是將FGM分成若干子層并采用均勻材料或特定函數(shù)表示各子層中模量的梯度變化。在FGM界面方面，Li等根據(jù)界面兩側(cè)材料力學(xué)性能函數(shù)及各階導(dǎo)數(shù)是否連續(xù)對(duì)界面進(jìn)行了分類，并研究了FGM界面間斷性對(duì)裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響。 在高溫的環(huán)境下FGM

2、會(huì)體現(xiàn)蠕變和應(yīng)力松弛的特性，因此，研究FGM的粘彈性斷裂問(wèn)題具有重要的意義。由于粘彈性FGM的松弛模量隨空間和時(shí)間變化，這給問(wèn)題求解帶來(lái)了一定的困難。Herrmann和Schovanec對(duì)粘彈性非均勻材料的型裂紋擴(kuò)展問(wèn)題進(jìn)行了研究，其推導(dǎo)過(guò)程較為復(fù)雜。為了簡(jiǎn)化求解，Paulino等提出了FGM的粘彈性對(duì)應(yīng)原理，并對(duì)粘彈性FGM反平面和平面裂紋問(wèn)題進(jìn)行了研究。應(yīng)用該原理，李偉杰等和Pan等用有限元方法分別研究了粘彈性FGM單一和多重裂紋問(wèn)題，Cheng等采用分層模型研究了熱粘彈性FGM涂層裂紋問(wèn)題。 FGM的粘彈性對(duì)應(yīng)原理要求其松弛模量為時(shí)間-空間分離的形式。應(yīng)用該對(duì)應(yīng)原理推導(dǎo)裂紋問(wèn)題的理論解時(shí)

3、，一般情況下FGM的松弛模量采用和空間坐標(biāo)無(wú)關(guān)的時(shí)間因子，這對(duì)于粘彈性FGM板條比較適用。但對(duì)于介于兩均質(zhì)材料之間的FGM界面層模型，當(dāng)兩均質(zhì)材料松弛模量時(shí)間因子不同時(shí)，為了保證模型中材料模量在任意時(shí)刻連續(xù)，F(xiàn)GM松弛模量的時(shí)間因子應(yīng)在空間位置上呈現(xiàn)梯度變化，在可推導(dǎo)出控制方程解析解的前提下，這樣的時(shí)間因子一般難以確定。這里僅Paulino等給出了一種FGM的與空間坐標(biāo)相關(guān)的時(shí)間因子，并應(yīng)用在文獻(xiàn)19和20中。遺憾的是，該時(shí)間因子只能使兩均質(zhì)材料和FGM界面層的松弛模量在時(shí)間上以冪函數(shù)形式變化，這樣很大程度上限制了FGM的粘彈性對(duì)應(yīng)原理在實(shí)際中的應(yīng)用。為此，本文根據(jù)材料的連續(xù)性要求，進(jìn)一步分析

4、該對(duì)應(yīng)原理的適用條件，給出FGM界面層一種廣義剪切松弛模量函數(shù)。以模型的反平面裂紋問(wèn)題為例，通過(guò)積分變換推導(dǎo)奇異積分方程，并進(jìn)行數(shù)值求解。應(yīng)用FGM的粘彈性對(duì)應(yīng)原理得到應(yīng)力強(qiáng)度因子和裂紋張開(kāi)位移的粘彈性解，并討論所建模型中多個(gè)參數(shù)對(duì)它們的影響規(guī)律。 1粘彈性FGM界面層模型的廣義剪切松弛模量 模型如圖1所示，（1）和（3）分別表示上下兩均質(zhì)材料，中間FGM界面層內(nèi)設(shè)置平行于x軸，長(zhǎng)度為2a的裂紋，裂紋面處承受純剪切載荷，其中為時(shí)間的無(wú)量綱函數(shù)。 圖1功能梯度界面層裂紋 Fig.1Acrackinthefunctionallygradedinterfacialzone 各層材料的剪切松弛模量可寫(xiě)

5、成初始模量和時(shí)間因子相乘的形式： （1） 式中上標(biāo)v代表粘彈性材料，下標(biāo)13分別表示各層序號(hào)，表示空間矢量。 假設(shè)各層松弛模量時(shí)間因子分別為、和，根據(jù)FGM的粘彈性對(duì)應(yīng)原理適用條件，應(yīng)為空間因子和無(wú)量綱函數(shù)分離的形式： （2） 根據(jù)各層材料松弛模量的連續(xù)性要求，F(xiàn)GM兩側(cè)界面處時(shí)間因子應(yīng)連續(xù)變化，由式（2）得： （3） （4） 由式（3）和（4）得， （5） 式中l(wèi)表示兩均質(zhì)材料松弛模量時(shí)間因子比。顯然，為了應(yīng)用FGM的粘彈性對(duì)應(yīng)原理，兩時(shí)間因子和的比值應(yīng)為常數(shù)，即l和時(shí)間t無(wú)關(guān)，這也同時(shí)說(shuō)明了該對(duì)應(yīng)原理的局限性。 由式（3）（5）可知，可以根據(jù)l確定合適的，進(jìn)而由式（1）和（2）確定，其中的

6、形式可以任意選擇。值得注意的是，F(xiàn)GM界面層對(duì)應(yīng)的彈性材料模量應(yīng)使控制方程有解析解。 本文在計(jì)算時(shí)，假設(shè)為空間坐標(biāo)y的指數(shù)函數(shù)形式，并由式（5）構(gòu)造，則FGM界面層廣義剪切松弛模量為。已有文獻(xiàn)中與空間坐標(biāo)無(wú)關(guān)的時(shí)間因子可看成時(shí)的情形，而時(shí)間因子可看成，時(shí)的特例。 將上述函數(shù)形式化簡(jiǎn)，并由式（1）、（3）和（4）可得，各層材料剪切松弛模量分別為： （6） （7） （8） 其中，。 由式（6）（8）可知，各層材料的剪切松弛模量可以同時(shí)在時(shí)間上任意變化，這比已有文獻(xiàn)中的松弛模量函數(shù)有了很大的擴(kuò)展。因此，本文給出的廣義剪切松弛模量更具有一般性。 2反平面裂紋問(wèn)題的求解 2.1彈性解 以反平面裂紋問(wèn)題為

7、例，根據(jù)FGM的粘彈性對(duì)應(yīng)原理，首先計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子和裂紋張開(kāi)位移的彈性解。這時(shí)，各層對(duì)應(yīng)的彈性材料剪切模量分別為： （9） （10） （11） 其中上標(biāo)e表示彈性材料。 該裂紋問(wèn)題的邊界條件為： （12） （13） （14） （15） （16） 其中式（14）的上標(biāo)（1）和（2）分別表示FGM界面層內(nèi)裂紋的上下側(cè)材料。 在反平面剪切狀態(tài)下，平衡方程為： （17） 彈性材料的本構(gòu)方程為： ,（18） 將式（18）代入式（17）并作關(guān)于坐標(biāo)x的Fourier變換得： （19） 式中，F(xiàn)ourier變換定義為。 將式（9）（11）代入方程（19）可得其解析解： （20） 其中,，、和均為關(guān)于的未知

8、函數(shù)。 對(duì)式（20）作Fourier反變換并應(yīng)用本構(gòu)方程（18）得： （21） （22） 為了得到奇異積分方程，引入位錯(cuò)密度函數(shù)： （23） 對(duì)有連續(xù)性條件： ，（24） 由式（12）（16）以及式（21）（24）可以得到Cauchy奇異積分方程和位移單值條件方程： （25） 其中，為裂紋處材料的初始剪切模量，的具體形式見(jiàn)附錄。 彈性材料的型應(yīng)力強(qiáng)度因子定義為（以裂紋右尖端為例）： （26） 函數(shù)在處具有平方奇異性，因此可以將其表示為： （27） 將被標(biāo)準(zhǔn)化處理，并由式（26）可得： （28） 由式（23）和（27）可得，裂紋張開(kāi)位移為： （29） 根據(jù)Erdogan提出的配點(diǎn)法可以求得方程組

9、（25）的數(shù)值解，進(jìn)而得到和。 2.2粘彈性解 由FGM的粘彈性對(duì)應(yīng)原理，型應(yīng)力強(qiáng)度因子和裂紋張開(kāi)位移的粘彈性解分別為： （30） （31） 其中，和分別是和的Laplace變換，p是變換參量，表示Laplace反變換。 3結(jié)果與分析 計(jì)算時(shí)，設(shè)定、以及，下文圖3圖7中。函數(shù)和分別取為：和，其中和分別是材料（3）的初始和穩(wěn)態(tài)模量，和均為時(shí)間常數(shù)。另外，將應(yīng)力強(qiáng)度因子和裂紋張開(kāi)位移分別無(wú)量綱化：，。 3.1應(yīng)力強(qiáng)度因子 由圖2可知，對(duì)于裂紋靠近FGM界面層中間位置時(shí)（）的情形，在不同條件下，隨著l的增大，0時(shí)刻的應(yīng)力強(qiáng)度因子先迅速減小后趨于穩(wěn)定。當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響較明顯，其中越大，應(yīng)力強(qiáng)

10、度因子越小。 由圖3可知，裂紋位置對(duì)應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響顯著。其中l(wèi)較小時(shí)，裂紋位置越靠近FGM上端，應(yīng)力強(qiáng)度因子越小，而l較大時(shí)應(yīng)力強(qiáng)度因子的變化趨勢(shì)則相反。 圖2不同均質(zhì)材料初始模量比時(shí)應(yīng)力強(qiáng)度因子隨l的變化 Fig.2Variationsofstressintensityfactorswithlfordifferentinitialrelaxationmodulusratesofhomogeneousmaterials 圖3不同裂紋位置時(shí)應(yīng)力強(qiáng)度因子隨l的變化 Fig.3Variationsofstressintensityfactorswithlfordifferentcrackloca

11、tions 圖4應(yīng)力強(qiáng)度因子隨時(shí)間的變化 Fig.4Variationsofstressintensityfactorswith 由圖4可以看出，隨著時(shí)間的推移，不同l影響下應(yīng)力強(qiáng)度因子始終保持一定的差距，并且按加載函數(shù)（指數(shù)）形式減小。當(dāng)時(shí)，三種情況下的應(yīng)力強(qiáng)度因子均減小到0.6以下。 由以上各圖可知，在不同的以及裂紋位置影響下，l對(duì)應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響規(guī)律也不同。由式（7）可知，F(xiàn)GM等效非均勻性參數(shù)和成正比，即l是通過(guò)影響進(jìn)而影響應(yīng)力強(qiáng)度因子。注意到圖3中三條曲線在處近似交于一點(diǎn)，因?yàn)檫@時(shí)，三種情況下裂紋都可看成置于均質(zhì)無(wú)限長(zhǎng)的板條之中，僅位置有所不同，此時(shí)應(yīng)力強(qiáng)度因子差別很小。由以上分析

12、可知，在和裂紋位置一定的情況下，可以通過(guò)控制FGM兩側(cè)均質(zhì)材料的松弛模量時(shí)間因子比值來(lái)減小裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子，從而提高材料的抗斷裂能力。由圖5所示，初始時(shí)刻裂紋張開(kāi)位移沿x軸呈對(duì)稱分布，其中在處位移最大，l越小，裂紋張開(kāi)位移越大?？紤]到l是通過(guò)影響進(jìn)而影響裂紋張開(kāi)位移，因此，在模型中選擇合適的l值可以減小裂紋張開(kāi)位移，延長(zhǎng)材料的使用壽命。 圖5裂紋張開(kāi)位移隨坐標(biāo)x的變化 Fig.5Variationsofcrackopeningdisplacementswiththecoordinatex 圖6最大裂紋張開(kāi)位移隨l的變化 Fig.6Variationsofthemaxcrackopeningd

13、isplacementwithl 圖6顯示的是在初始時(shí)刻，最大裂紋張開(kāi)位移隨l的變化。對(duì)于不同的裂紋位置，隨著l的增大，裂紋張開(kāi)位移迅速減小后趨于穩(wěn)定，當(dāng)時(shí)變化很明顯。和圖3中應(yīng)力強(qiáng)度因子的變化曲線相似，裂紋張開(kāi)位移的三條曲線在處也近似交于一點(diǎn)。但是，這三條曲線差別很小，說(shuō)明裂紋位置對(duì)裂紋張開(kāi)位移的影響不大。 圖7最大裂紋張開(kāi)位移隨時(shí)間的變化 Fig.7Variationsofthemaxcrackopeningdisplacementwith 圖7所示的是在不同的影響下最大裂紋張開(kāi)位移隨時(shí)間的變化。材料的穩(wěn)態(tài)模量和初始模量比值越大，裂紋張開(kāi)位移越小。由于材料本身具有粘彈性，裂紋張開(kāi)位移首先是

14、增大趨勢(shì)，隨著時(shí)間的推移，裂紋張開(kāi)位移因?yàn)檩d荷的減小而迅速減小。 4結(jié)論 （1）本文研究了介于兩粘彈性均質(zhì)材料之間的粘彈性FGM界面層反平面裂紋問(wèn)題，通過(guò)引入兩均質(zhì)材料松弛模量時(shí)間因子比l，給出了FGM界面層一種廣義剪切松弛模量，這比已有文獻(xiàn)中的松弛模量更具有一般性。 （2）由Fourier變換推導(dǎo)了反平面裂紋問(wèn)題的奇異積分方程，通過(guò)數(shù)值計(jì)算首先得到應(yīng)力強(qiáng)度因子和裂紋張開(kāi)位移的彈性解，再根據(jù)FGM的粘彈性對(duì)應(yīng)原理和Laplace變換得到粘彈性解。 （3）分析了兩均質(zhì)材料松弛模量時(shí)間因子比l、裂紋位置等參數(shù)對(duì)應(yīng)力強(qiáng)度因子和裂紋張開(kāi)位移的影響。發(fā)現(xiàn)l通過(guò)影響FGM等效非均勻性參數(shù)而影響應(yīng)力強(qiáng)度因子

15、和裂紋張開(kāi)位移。裂紋位置對(duì)應(yīng)力強(qiáng)度因子有顯著影響，而對(duì)裂紋張開(kāi)位移影響不大。 （4）本文給出的廣義剪切松弛模量可應(yīng)用于不同類型的裂紋在平面或軸對(duì)稱等問(wèn)題中的求解，這對(duì)于FGM的粘彈性對(duì)應(yīng)原理在實(shí)際中的應(yīng)用具有一定的價(jià)值。 參考文獻(xiàn)1仲政,吳林志,陳偉球.功能梯度材料與結(jié)構(gòu)的若干力學(xué)問(wèn)題研究進(jìn)展J.力學(xué)進(jìn)展,2022,40(5):528-541.(ZhongZ,WuLZ,ChenWQ.ProgressinthestudyonmechanicsproblemsoffunctionallygradedmaterialsandstructuresJ.AdvancesinMechanics,2022,4

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