奧數(shù)-圓-圓冪定理6師

1、第10講圓冪定理，圓中比例線段圓冪定理是初中平面幾何中重要定理之一，在有關計算和證明中應用非常多，尤其是在證明圓中線段比例式（或等積式）時，能有效地考查學生綜合運用相似形和圓的有關知識分析、解決問題的能力，因而成為全國各省市中考及數(shù)學競賽命題的一個熱點，切實加強這方面知識的復習與訓練，全面掌握這類問題的證明思路和方法，對每一個同學都非常重要.止匕外，證明圓中線段比例式（或等積式）的基本思路有利用平行線分線段成比例定理；（2）利用相似三角形給出證明；（3）利用圓冪定理給出證明；（4）利用面積或三角函數(shù)給出證明.一、基礎知識1、相交弦定理如果圓內(nèi)兩條弦AB和CD相交于點P,那么PAPB=PCPD（

2、如下圖1）；2、割線定理如果從圓外一點P向圓引割線PAB和PCD,那么PAPB=PCPD（如下圖2）；3、切割線定理如果從圓外一點P向圓引割線PAB和切線PC,那么PAPB=PC2（如下圖3）；上述三個定理統(tǒng)稱為圓冪定理.實際上，可以把切割線定理看作是割線定理的極限情形，于是上述三個結(jié)論可以合并為：如果交點為P的兩條直線與圓O相交于A、B與C、D,那么就有PA-PB=PC-PD,這里P、A、B共線及P、C、D共線；二、例題例1（）已知，如圖AB是。O的弦，P是AB上一點，AB=10cm,PA=4cm,OP=5cm,求：。O的半徑.設DO的半徑為Rom則PC-OC0P=R-5，PD=OlX）PR

3、+5由相交弦定理PC，PD-PAPB即：（R-5）伊+$產(chǎn)4X心解之，得：Rk7（負值已舍去k例2（）如圖，已知。O1和。O2相交于CD兩點，其外公切線AB分別切。O/。2于點AB,求證：直線CD平分線段AB.EA切90巾a.eaEDC是0的劇縫同理EB*=ED，ECnEA?=EBEAnEB.例3（）如圖，E是圓內(nèi)弦AB、CD的交點，直線EFCB,交AD的延長線于F,FG切圓于G,連結(jié)EG,求證：NFEG=NFGE.證明caEFZI=ZC1ZC-ZAjnW*=AEDFAAEFZ2=Z2=-=FEF=-=FEF2=AF-DFGF*=AF，DFGF*=AF，DFFDA是圓的割線例4()如圖，PA切

4、。O于A,PBC例4()如圖，PA切。O于A,PBC是。O的割線，M是PA的中點，MC交。O于N,PN的延長線交。O于D,連結(jié)BD,求證：PABD;的中點.求證【CMJLDEo證更r苴菇的中點.求證【CMJLDEo證更r苴菇AE、蝎EC1=CD3iCE=CD0cM上用例5()如圖，已知B是線段AC上任一點，在AC同側(cè)分別以AB、AC為直徑作兩個半圓AmB、AnC，若CD切半圓AmB于點d,EBAC,B為垂足，且交半圓AnC于E,M是DE的中點，求證:CMXDE.cd!=cb*caCD切半叫MnH于點口cd!=cb*caAC隹聿岫a的直徑=/AC=9D*=RtAAll_EB1ACBCECnRlA

5、BCERjuJFCAECACcd3cbtcaCMjgRE恥的中戲1nCMIDE例6()如圖，在力ABC中，ABAC,如果力ABC的內(nèi)切圓把BC邊上的中線AD三等分，求證:BC=2AC；證明；設AC、BC與O分別切于點E、F,AD與0O交于點G,H,則0G=CH=HA.AF切口。于FAHG是O的割蛇DGDH同理DGDHDG二GH=HA=AG=DHDG=AHnAF廬DECE,CF分別于E.FnCE=CFBC=2DC-0C=2AC例7()圖中，AB是。O的直徑，直線MN切。O于點C,ADMN于D,AD交。O于E,AB的延-0C=2AC證明：連結(jié)BC,因為AB是C的直轉(zhuǎn).所以ACR=工咫為加六切8于C

6、斯自/AHC=/ACD,AC證明：連結(jié)BC,因為AB是C的直轉(zhuǎn).所以ACR=工咫為加六切8于C斯自/AHC=/ACD,AC5用匚。.AC所以市丁UJ即AC1=AB-AD.又因為八EB=ADP=903所以百獷門巴所以鉆一耦郡AB*AD=AE兒巴由知TF=AE/IFf這里用AB*川口作中間度傳遞1*MADXBC于ADXBC于D,BEXEF于E,CFXEF于F,例8()如圖，力ABC中，NA的平分線AD交BC于D,。過點A,且和BC切于點D,和AB、AC分別相交于E、F,AD與EF相交于G,求證：BDEG=BEEA；分析：要證3口EG=BE-EAr-J375J?.J須1止K君EER觀察仁)式中四條線

7、沒豎向排列可得用白白(需作輔肋送。工)要證式成立，只須讓明上述兩。二角形相似、易侍上4=1、又由于二I二乙斗一22二Z3.Zl=工存r3=4一從而不1上/;下匚、可得乙4?=二口3瓦即相AiM-AD5E-.-例9()如圖，已知BC是圓中一條弦，EF切圓于A,求證：AD2=BECF；證明;連轉(zhuǎn)因為產(chǎn)是圓的曲線，所以bae=zicrT又/EA=ADC=90%所以小故8&7皿第=蕓一同理ZVICF5ABzW,口-ih義口AliBEAD所收于=近,愈=可，卸八口be=匚心這里用茶作中間笆傳遞).證明2：延長E(M)F(N)、BC交于P證明/.PMB=Z.PDA=AD_AD_PA麗二PB同理詞證A的V-

8、自用見得黑=密.由切割線定理闈出那,也即.4此1燈二股.a=0；漏一瓦,W.47)放ARV&KV#.例10(,2002年東城區(qū)中考)如圖，P是。O的直徑AB延長線上一點，割線PCD交。O于C、燈二股.a=0；漏一瓦,W.47)放ARV&KV#.例10(,2002年東城區(qū)中考)如圖，P是。O的直徑AB延長線上一點，割線PCD交。O于C、D兩點，弦DFLAB于H,CF交AB于點E,求證：PA-PB=PO-PE；用明連結(jié)由；ylH是已，口的巨鞋，林q/MHF11,：.=H二;赤一L-/2,.-.士陽口二.PCE,aPOu士中，.入門5八咫E,=.售，鄴叩.PCT3PA由切螞線定理的推巖,將H4，產(chǎn)耳

9、=丹J.叫:.J-11用:小心PE,例11()如圖，已知PA、PB是。O的切線，切點為A、B,PCD是割線，求證:ACBD=ADBCPCRS二四口、*pu15方一從而存量歆；=天乂由印段長定理,如=P區(qū)易濕要證LjfJrx-n-結(jié)論U例建()如圖，BC是圓的直徑，O是圓心，P是BC延長線上一點，PA切半圓于點A,ADXBC于點D,求證：PDPO=PCPB證明：(2)連結(jié)從小因為因切半圓千點乩所以LOAP=90.又44DP=和所以NP=ADP,又ZAPO=AAPD,所以APDs網(wǎng),所以=,必OPPA+即陪=P0PD.由切割線定理得P心工PJPR故PD戶。=PC*PB,證明因為內(nèi)口為3。的切線,所

10、以/DAO=/比而ADC=口兒4作外接圓的切線交BC的延長線于D,求證:CDAC2BDABi所磔皿需=T-FIX4廉門門CD又因為弓=而，。小43rw所以第=解這里腰意TTp_|UZ又因為年一=e所以窟=儒這里胺腎作中間量過作中間量過例14(，托勒密定理)求證：在圓的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB-CD+BC-AD=AC-BD拓軸里*2世紀希臘先學年.定現(xiàn)在網(wǎng)的內(nèi)撞四邊號AlienM/i*(7J卜HUADAC-HD.證明蝴圖I所示.柞NJL投一出戶,使Zi-J3拓軸里*2世紀希臘先學年.定現(xiàn)在網(wǎng)的內(nèi)撞四邊號AlienM/i*(7J卜HUADAC-HD.證明蝴圖I所示.柞NJL投一出戶,使Zi-J3

11、于是住AAHP用AA17J中.DB補充：(,96年全國初中數(shù)學聯(lián)賽)設凸四邊形ABCD的對角線AC和BD交于點M,過M作AD的平行線分別交AB、CD于E、F，交BC的延長線于點O,P是以O為圓心、以OM長為半徑的圓上一點，求證：NOPF=NOEP；證如圖，延長加與股相交FK,1/,白尸co療可欣=改=而.CiMAK而=而:GE直必.OEBQ4aUK1）K.BEAt（*而=證E由、得np門田再由OFM就A潴.L兄/網(wǎng)射=，即P,/.叨兒ZVH串二上E匕證法2：用梅涅勞斯定理證直線OCB分別對力DMF和力AEM三邊相交；則DBMOFCMBFODC1ABEOFC1二1；二1EBMODCOF-OEDB

12、FCEBACOM2MBDCABMCDBABFCMC由于EFAD,故MBEBDCACOF-OEOM2=1,故OP2=OM2=OE.OF四%I-/J/=54:斫以川“，6工4笫，因此，八月-HP1（7?,即AB*C7;-/C-HF同理乙4門尸60幫H，得,fit1*A力-AC*PI）上苜忡Aii-7）4淳、AD-A（*1J）!UJ.則力OFPs力OPE,則NOPF=NOEP三、練習題()如圖，PA為。O的切線，A為切點，PBC是過點O的割線，PA=10cm,PB=5cm,求。O的半徑.解,設G0的半役為KIPC=PB+0C-5+2rt由切割鏤定理，得：PBPC=PA?即：5X(5+2r)=W若,c

13、/_YxpTOC o 1-5 h z即00的半徑為*m.r解法二：設?？诘陌霃綖閞em.則0P-PB+0B=5+R,由圓嘉定理得：PA1=IOP1-/1圖2即：仍不n/r1.解之：TyM()過。O外一點P作。O的兩條切線PA、PB,連結(jié)OP與AB交于D,與。O交于C,過C作AP的垂線，垂足為E,若PA=10cm,PC=5cm,貝UCE=【解】延長PO交。O于F,設。O半徑為r,由切割線定理得CEPC.PA2=PCPF,即有r=7.5,又CEOA,則二；得CEOAPO=3cm()AB、AC分別是。O的切線與割線，若NC=45,NBDA=60,CD=6，求切線AB的長；【解】NACB=45,故NB

14、OD=90；又NBDC=15,故CD弧為30,連結(jié)BO并延長交OO于E,過C作CF垂直于BE于F易得OF=1R,因為ABCFDO,故2-=；AD=2、6,AB=.;26x3%6=6ADBO2()如圖A、B、C、D四點在同一個圓周上，且BC=CD=4,AE=6,線段BE和DE的長都是正整數(shù)，則BD的長等于；TOC o 1-5 h z【解】設EC=x,BE=y,ED=zAeDDCE.44x,力EDCsDAC,則=y=-；即7一=-；得x=2,負值舍去；CACD6+x4又AEEC=BEED,故yz=12；而在力BCD中，y+z4+4=8;E故滿足上述題意的y、z有：p.DY=3,z=4或丫=4/=3,故BD=7C()在平行四邊形ABCD中，過A、B、C三點的圓交AD于點E,且與CD相切，若AB=4,BE=5,則UDE=:【解】由AEBC,則ABCE為等腰梯形，故AC=BE=5,又DCAB,DC與圓相切故NBAC=NACD=NABC則AC=BC=AD=5,DC=AB=4DC2=ADDE,DE=3.2(,2003年全國)已知AB是。O的直徑，BC是。O的切線,OC平行于弦AD,過點D作DELAB于點E,連結(jié)AC與DE交于點P,