復變函數與積分變換市公開課獲獎課件

1、第2章 解析函數2.1 解析函數概念復變函數與積分變換第1頁第1頁1.復變函數導數復變函數與積分變換第2頁第2頁復變函數與積分變換第3頁第3頁復變函數與積分變換第4頁第4頁導數分析定義：復變函數與積分變換第5頁第5頁導數運算法則復變函數求導法則（下列出現函數均假設可導）： （1） 其中 為復常數；（2） 其中 為正整數；（3） ；（4） （5） ；復變函數與積分變換第6頁第6頁（6） ； （7） 是兩個互為反函數單值函數，且 .復變函數與積分變換第7頁第7頁2.解析概念復變函數與積分變換第8頁第8頁復變函數與積分變換第9頁第9頁注解1、“可微”有時也能夠稱為“單演”，而“解析”有時也稱為“單值

2、解析”、“全純”、“正則”等；注解2、一個函數在一個點可導，顯然它在這個點連續(xù)；注解2、解析性與可導性關系：在一個點可導性為一個局部概念，而解析性是一個整體概念；注解：復變函數與積分變換第10頁第10頁注解3、函數在一個點解析，是指在這個點某個鄰域內可導，因此在這個點可導，反之，在一個點可導不能得到在這個點解析；注解4、閉區(qū)域上解析函數是指在包括這個區(qū)域一個更大區(qū)域上解析；注解5、解析性區(qū)域；注解：復變函數與積分變換第11頁第11頁四則運算法則復變函數與積分變換第12頁第12頁復合函數求導法則復變函數與積分變換第13頁第13頁反函數求導法則復變函數與積分變換第14頁第14頁利用這些法則，我們能

3、夠計算常數、多項式以及有理函數導數，其結果和數學分析結論基本相同。注解：復變函數與積分變換第15頁第15頁2.2 函數解析充要條件復變函數與積分變換第16頁第16頁Cauchy-Riemann條件：復變函數與積分變換第17頁第17頁復變函數與積分變換第18頁第18頁定理3.1證實（必要性）：復變函數與積分變換第19頁第19頁定理3.1證實（充足性）：復變函數與積分變換第20頁第20頁復變函數解析條件復變函數與積分變換第21頁第21頁復變函數與積分變換第22頁第22頁注解:和數學分析中結論不同，此定理表明解析函數(可導函數)實部和虛部不是完全獨立，它們是柯西-黎曼方程一組解；柯西-黎曼條件是復變

4、函數解析必要條件而非充分條件（見反例）；解析函數導數有更簡練形式：復變函數與積分變換第23頁第23頁反例：u(x,y)、v(x,y)下列：復變函數與積分變換第24頁第24頁復變函數與積分變換第25頁第25頁復變函數與積分變換第26頁第26頁例1 討論下列函數可導性和解析性：復變函數與積分變換第27頁第27頁復變函數與積分變換第28頁第28頁復變函數與積分變換第29頁第29頁復變函數與積分變換第30頁第30頁復變函數與積分變換第31頁第31頁例2復變函數與積分變換第32頁第32頁復變函數與積分變換第33頁第33頁復變函數與積分變換第34頁第34頁復變函數與積分變換第35頁第35頁2.3 初等函數

5、 3、指數函數 4、多值函數導引：幅角函數復變函數與積分變換第36頁第36頁1.指數函數(1)指數函數定義復變函數與積分變換第37頁第37頁 我們首先把指數函數定義擴充到整個復平面。 要求復變數z=x+iy函數f(z)滿足下列條件：復變函數與積分變換第38頁第38頁 由解析性，我們利用柯西-黎曼條件，有 因此， 因此， 我們也重新得到歐拉公式：復變函數與積分變換第39頁第39頁(2)指數函數基本性質復變函數與積分變換第40頁第40頁復變函數與積分變換第41頁第41頁復變函數與積分變換第42頁第42頁復變函數與積分變換第43頁第43頁復變函數與積分變換第44頁第44頁yxz-平面uw-平面v復變

6、函數與積分變換第45頁第45頁2.三角函數與雙曲函數復變函數與積分變換第46頁第46頁 由于Euler公式，對任何實數x，我們有： 因此有因此，對任何復數z，定義余弦函數和正弦函數下列：復變函數與積分變換第47頁第47頁三角函數基本性質:則對任何復數z，Euler公式也成立：復變函數與積分變換第48頁第48頁關于復三角函數，有下面基本性質：1、cosz和sinz是單值函數；2、cosz是偶函數，sinz是奇函數:復變函數與積分變換第49頁第49頁 3、cosz和sinz是認為周期周期函數: 復變函數與積分變換第50頁第50頁 證實：復變函數與積分變換第51頁第51頁注解：由于負數能夠開平方，因

7、此由此不能得到比如z=2i時，有復變函數與積分變換第52頁第52頁6、cosz和sinz在整個復平面解析，并且有：證實：復變函數與積分變換第53頁第53頁7、cosz和sinz在復平面零點：cosz在復平面零點是， sinz在復平面零點是8、同理能夠定義其它三角函數：復變函數與積分變換第54頁第54頁9、反正切函數：由函數 所定義函數 w稱為z反正切函數，記作由于令 ，得到復變函數與積分變換第55頁第55頁從而因此反正切函數是多值解析函數，它支點是無窮遠點不是它支點。復變函數與積分變換第56頁第56頁3.對數函數 和實變量同樣，復變量對數函數也定義為指數函數反函數：復變函數與積分變換第57頁第

8、57頁注解、由于對數函數是指數函數反函數，而指數函數是周期為2 周期函數，因此對數函數必定是多值函數，事實上。復變函數與積分變換第58頁第58頁復變函數與積分變換第59頁第59頁對數函數主值： 相應與幅角函數主值，我們定義對數函數Lnz主值lnz為：則這時，有復變函數與積分變換第60頁第60頁三種對數函數聯系與區(qū)別：復變函數與積分變換第61頁第61頁對數函數基本性質復變函數與積分變換第62頁第62頁復變函數與積分變換第63頁第63頁復變函數與積分變換第64頁第64頁復變函數與積分變換第65頁第65頁復變函數與積分變換第66頁第66頁uvw-平面xz-平面y復變函數與積分變換第67頁第67頁對數

9、函數單值化： 相應與幅角函數單值化，我們也能夠將對數函數單值化：考慮復平面除去負實軸（包括0）而得區(qū)域D。顯然，在D內，對數函數能夠分解為無窮多個單值連續(xù)分支。復變函數與積分變換第68頁第68頁沿負實軸割線取值情況：上沿下沿復變函數與積分變換第69頁第69頁普通區(qū)域：復變函數與積分變換第70頁第70頁對數函數單值化： 由于對數函數每個單值連續(xù)分支都是解析，因此我們也將它連續(xù)分支稱為解析分支。我們也稱對數函數是一個無窮多值解析函數。我們稱原點和無窮遠點是對數函數無窮階支點（對數支點）；復變函數與積分變換第71頁第71頁特點：1、當z繞它們連續(xù)改變一周時，Lnz連續(xù)改變到其它值；2、無論如何沿同一

10、方向改變，永遠不會回到同一個值。復變函數與積分變換第72頁第72頁例1 復變函數與積分變換第73頁第73頁例2 復變函數與積分變換第74頁第74頁例3 復變函數與積分變換第75頁第75頁4.冪函數 利用對數函數，能夠定義冪函數：設a是任何復數，則定義za次冪函數為復變函數與積分變換第76頁第76頁當a為正實數，且z=0時，還要求由于因此，對同一個 不同數值個數等于不同數值因子 個數。復變函數與積分變換第77頁第77頁冪函數基本性質：復變函數與積分變換第78頁第78頁復變函數與積分變換第79頁第79頁復變函數與積分變換第80頁第80頁復變函數與積分變換第81頁第81頁復變函數與積分變換第82頁第

11、82頁 設在區(qū)域G內，我們能夠把Lnz分成無窮個解析分支。對于Lnz一個解析分支，相應地 有一個單值連續(xù)分支。依據復合函數求導法則， 這個單值連續(xù)分支在G內解析，并且其中 應當理解為對它求導數那個分支，lnz應當理解為對數函數相應分支。復變函數與積分變換第83頁第83頁 相應于Lnz在G內任一解析分支：當a是整數時， 在G內有n個解析分支；當a是無理數或虛數時，冪函數在G內是同一解析函數；當 時， 在G內有無窮多個解析分支，是一個無窮值多值函數。復變函數與積分變換第84頁第84頁 比如當n是不小于1整數時，稱為根式函數，它是 反函數。當時，有這是一個n值函數。復變函數與積分變換第85頁第85頁

12、在復平面上以負實軸（包含0）為割線而得區(qū)域D內，它有n個不同解析分支：它們也能夠記作這些分支在負實軸上沿與下沿所取值，與相應連續(xù)分支在該處所取值一致。復變函數與積分變換第86頁第86頁冪函數映射性質:復變函數與積分變換第87頁第87頁關于冪函數當a為正實數時映射性質，有下面結論：設 是一個實數，并且在z平面上取正實數軸（包括原點）作為割線，得到一個區(qū)域D*?？紤]D*內角形，并取 在D*內一個解析分支復變函數與積分變換第88頁第88頁當z描出A內一條射線時讓 從0增長到 （不包括0及 ），那么射線l掃過角形A，而相應射線 掃過角形（不包括0），w在w平面描出一條射線復變函數與積分變換第89頁第8

13、9頁因此把夾角為 角形雙射成一個夾角為 角形，同時，這個函數把A中以原點為心圓弧映射成中以原點為心圓弧。復變函數與積分變換第90頁第90頁類似地，我們有，當n(1)是正整數時，n個分支分別把區(qū)域D*雙射成w平面n個角形復變函數與積分變換第91頁第91頁例1、作出一個含i區(qū)域，使得函數在這個區(qū)域內能夠分解成解析分支；求一個分支在點i個值。解：我們知道也許支點為0、1、2與無窮，詳細分析見下圖復變函數與積分變換第92頁第92頁結論：0、1、2與無窮都是1階支點。復變函數與積分變換第93頁第93頁能夠用正實數軸作為割線，在所得區(qū)域上，函數能夠分解成單值解析分支。同時，我們注意到因此也能夠用0，1與 作割線。復變函數與積分變換第94頁第94頁我們求函數下述解析分支在z=i值。在z=1處，取在w兩個解析分支為：復變函數與積分變換第95頁第95頁以下圖，因此復變函數與積分變換第96頁第96頁例2、驗證函數在區(qū)域D=C-0,1內能夠分解成解析分支；求出這個分支函數在(0,1)上沿取正實值一個分支在z=-1處值及函數在（0，1）下沿值。解：我們知道復變函數與積分變換第97