彈性力學張量精品課件

1、彈性力學張量第1頁，共82頁，2022年，5月20日，9點36分，星期三1.1 指標記法1.1.1 求和約定、啞指標第一章 張量代數(shù)第2頁，共82頁，2022年，5月20日，9點36分，星期三1.1 基本概念 1.標量：只有大小、沒有方向性的物理量，與坐標系選擇無關。用字母表示，如溫度T、時間t、密度 等。標量無下標。2.矢量：有大小，又有方向性的物理量。 如矢徑 （或黑體）、位移 、力 等。矢量可用一個方向來確定。 x3x2x1r其中 、 、 為坐標的基矢量（單位向量、基矢），r1、r2、r3為r在坐標軸的投影（分量），都有一個下標。 第3頁，共82頁，2022年，5月20日，9點36分，星

2、期三記法：（1）實體記法：（或黑體字母）r（2）分解式記法：同時寫出矢量的分量和相應分解分量的基。（3）分量記法：將矢量用其全部分量的集合來表示r（ r1、r2、r3 )（4）矩陣記法：第4頁，共82頁，2022年，5月20日，9點36分，星期三3,張量：有大小，并具有多重方向性的量（可描述更復雜的物理量）。 如應力 、應變。 有些量不能只利用一個方向來確定。如應力：它與兩個方向有關在 方向（ 為作用面的法矢），應力矢為 ；而在 方向，應力矢為這說明應力矢本身有方向，而且還與其作用面方向有關，必須用兩個方向才能描述應力矢。第5頁，共82頁，2022年，5月20日，9點36分，星期三11 eex

3、xs 31 eexzt21 eexyt 常用的應力單元體也是如此： 每一個應力分量也必須用兩個方向才能描述，第一個方向為應力作用面的方向，第一個方向為應力作用的方向。每個分量用一個標量（具有兩個下標）與兩個并在一起基矢量（并矢）表示，稱為二階張量。 于是引入二階基： 第6頁，共82頁，2022年，5月20日，9點36分，星期三故矢量可稱為一階張量，標量為零階張量。標量由1個分量組成，矢量由3個分量組成，二階張量由9個分量組成；三階張量由27個分量組成，n階張量由3n個分量組成。 從數(shù)學上說，可引入 階基， 階基中有 個基矢。與 階基相關連的量稱為 階張量。 時為標量； 時為矢量； 時為二階張量

4、（簡稱張量）。第7頁，共82頁，2022年，5月20日，9點36分，星期三1.2 張量表示 1.2.1.下標記號法張量的最簡潔的一種表示方法 點的坐標(x,y,z) （矢徑）點的位移(u,v,w) 點的速度應力（張量）： 第8頁，共82頁，2022年，5月20日，9點36分，星期三應力張量可表示為（i=1,2,3; j=1,2,3） 第9頁，共82頁，2022年，5月20日，9點36分，星期三應變張量： 應變張量可表示為（i=1,2,3; j=1,2,3）第10頁，共82頁，2022年，5月20日，9點36分，星期三微分符號： 第11頁，共82頁，2022年，5月20日，9點36分，星期三約定

5、： 英文字母下標表示三維指標，取值1，2，3. 在該約定下，上述簡寫表達式后的說明 或 在以后的寫法中將被略去。 n階張量可表示為 第12頁，共82頁，2022年，5月20日，9點36分，星期三求和約定 （ Einstein求和約定）矢量點積的實例 設 為兩矢量，其分量分別記為 ，則：啞標：在表達式的某項中，若某指標重復出現(xiàn)兩次，則表示要把該項指標在取值范圍內遍歷求和。該重復指標稱為“啞標”或“偽標”。 第13頁，共82頁，2022年，5月20日，9點36分，星期三顯然，指標 i, j, k 與求和無關，可用任意字母代替。為簡化表達式，引入Einstein求和約定：每逢某個指標在一項中重復一次

6、，就表示對該指標求和，指標取遍正數(shù)1，2，n。這樣重復的指標稱為啞標。于是* 1、啞標的符號可以任意改變（僅表示求和） 第14頁，共82頁，2022年，5月20日，9點36分，星期三是違約的，求和時要保留求和號*2、啞標只能成對出現(xiàn),否則要加上求和號或特別指出 *3、同項中出現(xiàn)兩對（或多對）不同啞標表示多重求和 雙重求和展開式（9項）第15頁，共82頁，2022年，5月20日，9點36分，星期三三重求和（27項）n 表示空間的維數(shù)，以后無特別說明，我們總取n=3。例題：第16頁，共82頁，2022年，5月20日，9點36分，星期三含偏導數(shù)項的下標記號表示法： *若重復出現(xiàn)的標號不求和，應特別聲

7、明 第17頁，共82頁，2022年，5月20日，9點36分，星期三1.2.3 自由指標例如指標 i 在方程的各項中只出現(xiàn)一次，稱之為自由指標。一個自由指標每次可取整數(shù)1,2, 3, , n，與啞標一樣，無 特別說明總取n=3。于是，上式表示3個方程的縮寫：一個表達式中如果出現(xiàn)非重復的標號或一個方程每項中出現(xiàn)非重復的的指標，稱為自由指標。對于自由指標可以從最小數(shù)取到最大數(shù)。 第18頁，共82頁，2022年，5月20日，9點36分，星期三*1、自由指標僅表示為輪流取值，因此也可以換標，但必須整個表達式換標 ； 出現(xiàn)雙重指標但不求和時，在指標下方加劃線 以示區(qū)別，或用文字說明（如i不求和）。規(guī)定：這

8、里 i 相當于一個自由指標，而 i 只是在數(shù)值上等于 i，并不與 i 求和。 *2若重復出現(xiàn)的標號不求和的表示：第19頁，共82頁，2022年，5月20日，9點36分，星期三又如，方程用指標法表示，可寫成i 不參與求和，只在數(shù)值上等于 i *3由 不能得出 .第20頁，共82頁，2022年，5月20日，9點36分，星期三i 為自由指標，j 為啞標表示如下3個方程： 例題：第21頁，共82頁，2022年，5月20日，9點36分，星期三表示如下3個方程： i 為自由指標，j 為啞標等價為 第22頁，共82頁，2022年，5月20日，9點36分，星期三i ，j為自由指標，k 為啞標表示9個方程：第2

9、3頁，共82頁，2022年，5月20日，9點36分，星期三1.3 Kronecker 符號在卡氏直角坐標系下，Kronecker 符號定義為：其中 i，j 為自由指標，取遍1，2，3；因此， 可確定一單位矩陣：（kronecher delta） 第24頁，共82頁，2022年，5月20日，9點36分，星期三符號的性質： 對稱性 可進行換標或運算 笛卡爾坐標系的基向量的點積 第25頁，共82頁，2022年，5月20日，9點36分，星期三若是相互垂直的單位矢量，則，但而，故第26頁，共82頁，2022年，5月20日，9點36分，星期三注意：是一個數(shù)值，即的作用：1）換指標；2）選擇求和。例1：思路

10、：把要被替換的指標 i 變成啞標，啞標能用任意字母，因此可用變換后的字母 k 表示第27頁，共82頁，2022年，5月20日，9點36分，星期三例2：例3：個數(shù)，項的和。求特別地，如果 ij 符號的兩個指標中有一個指標和同項中其它因子的指標相重，則可以把該因子的那個重指標替換成ij的另一個指標，而 ij 自動消失。ij 也稱為換標符號。 第28頁，共82頁，2022年，5月20日，9點36分，星期三符號的應用 矢量與代數(shù)運算 兩個任意向量點積 微分運算 第29頁，共82頁，2022年，5月20日，9點36分，星期三第30頁，共82頁，2022年，5月20日，9點36分，星期三1.4 置換符號（

11、Permutatisn Symbol） 一、定義：1123123第31頁，共82頁，2022年，5月20日，9點36分，星期三例如： eijk ( i,j,k =1,2,3) 共有27個元素 123（不為0的共六項，三項為正1，三項為負1）。第32頁，共82頁，2022年，5月20日，9點36分，星期三可見：也稱為三維空間的排列符號。表明，標號改變奇次位置時改變正、負號；標號改變偶數(shù)次位置時不改變符號。排列符號的應用： 排列符號的作用可以簡化公式書寫 1 三階行列式 ：（共六項，三項為正，三項為負）。 二、第33頁，共82頁，2022年，5月20日，9點36分，星期三2. 基向量的叉積：右手系

12、 任意基向量的叉積可寫為 3向量叉積的展開式： 而 則 第34頁，共82頁，2022年，5月20日，9點36分，星期三三、常見的恒等式( i )( ii )( iii )( iv )之關系 第35頁，共82頁，2022年，5月20日，9點36分，星期三證明：令即得（ i ），將（ i ）作相應的指標替換，展開化簡，將得其余三式。指標任意排列，經過行列調整總可用右邊表示，兩個置換符號分別反映行、列調換及指標重復時的正、負及零( i )第36頁，共82頁，2022年，5月20日，9點36分，星期三另證：由矢量恒等式 反復運用 式，有 設 另一方面 (a)(b)第37頁，共82頁，2022年，5月2

13、0日，9點36分，星期三(a)(b)代入有（矢量恒等則矢量的各分量應相等）由于對任意的 上式均成立： 若將上式中的下標s換為j有 第38頁，共82頁，2022年，5月20日，9點36分，星期三若將上式中的下標 t換為k, 有 第39頁，共82頁，2022年，5月20日，9點36分，星期三二維置換符號其中從三維退化得到有下列恒等式第40頁，共82頁，2022年，5月20日，9點36分，星期三關鍵公式：第41頁，共82頁，2022年，5月20日，9點36分，星期三二維關鍵公式：第42頁，共82頁，2022年，5月20日，9點36分，星期三1.5 指標記法的運算1.5.1 代入設(1)(2)把（2）

14、 代入（1）mn or else3個方程，右邊為9項之和第43頁，共82頁，2022年，5月20日，9點36分，星期三1.5 指標記法的運算1.4.2 乘積設則不符合求和約定第44頁，共82頁，2022年，5月20日，9點36分，星期三1.5 指標記法的運算1.4.3 因式分解考慮第一步用表示有換指標的作用所以即第45頁，共82頁，2022年，5月20日，9點36分，星期三1.5 指標記法的運算1.5.4 縮并使兩個指標相等并對它們求和的運算稱為縮并。如各向同性材料應力應變關系縮并啞標與求和無關，可用任意字母代替為平均應力應變之間的關系第46頁，共82頁，2022年，5月20日，9點36分，星

15、期三1.5 指標記法的運算1.4.5 例題 熟悉指標記法和普通記法的轉換求和約定同樣適用于微分方程。不可壓縮牛頓流體的連續(xù)性方程：其普通記法或第47頁，共82頁，2022年，5月20日，9點36分，星期三1.5 指標記法的運算1.4.5 例題 熟悉指標記法和普通記法的轉換不可壓縮牛頓流體的Navier-Stokes方程：寫出其普通記法第48頁，共82頁，2022年，5月20日，9點36分，星期三1.5 指標記法的運算1.4.5 例題 熟悉指標記法和普通記法的轉換彈性力學平衡方程方程：寫出其指標記法第49頁，共82頁，2022年，5月20日，9點36分，星期三1.5 張量的定義1.5.1 坐標系

16、的變換關系（笛卡兒右手直角坐標系）坐標的旋轉變換oxyABcD引例:(平面直角坐標系)第50頁，共82頁，2022年，5月20日，9點36分，星期三新舊基矢量夾角的方向余弦：舊坐標系：單位基矢量：新坐標系：單位基矢量：x3x2x1x3x2x1第51頁，共82頁，2022年，5月20日，9點36分，星期三1.5.1 坐標系的變換關系 舊新x3x2x1x3x2x1第52頁，共82頁，2022年，5月20日，9點36分，星期三圖解（二維）：在解析式中記：第53頁，共82頁，2022年，5月20日，9點36分，星期三1.5.1 坐標系的變換關系從坐標變換的角度研究標量、矢量和張量（對 i 求和，為自由

17、指標）張量的性質: 張量不是對稱張量 1)因為 ，而 ，所以 x3x2x1x3x2x1第54頁，共82頁，2022年，5月20日，9點36分，星期三張量是正交張量 張量的轉置記為 第一式兩邊乘以 第二式兩邊乘以 ,有于是 即 或第55頁，共82頁，2022年，5月20日，9點36分，星期三1.5.2 標量（純量 Scalar）在坐標變換時其值保持不變，即滿足如數(shù)學中的純數(shù)，物理中的質量、密度、溫度等。時間是否標量？第56頁，共82頁，2022年，5月20日，9點36分，星期三1.5.3 矢量（Vector）設 a 為任意矢量，其在新、舊坐標系下的分量分別為即（對 i 求和）（對 i 求和）滿足

18、以下變換關系的三個量 定義一個矢量第57頁，共82頁，2022年，5月20日，9點36分，星期三1.5.3 矢量（Vector）啞標換成 k 比較上式兩邊，得即該變換是正交的第58頁，共82頁，2022年，5月20日，9點36分，星期三1.5.4 張量（Tensor）對于直角坐標系，有九個量按照關系變換成中的九個量則此九個量定義一個二階張量。將矢量定義加以推廣：（增加指標和相應的變換系數(shù)）第59頁，共82頁，2022年，5月20日，9點36分，星期三第60頁，共82頁，2022年，5月20日，9點36分，星期三第61頁，共82頁，2022年，5月20日，9點36分，星期三第62頁，共82頁，2

19、022年，5月20日，9點36分，星期三1.6 張量的分量 設ei為卡氏直角坐標系xi軸的單位基矢量，a為任一矢量，其分量為ai，于是 第63頁，共82頁，2022年，5月20日，9點36分，星期三對于一個二階張量T，它可以將a變換成另一個矢量b，即 稱為二階張量T的分量 令第64頁，共82頁，2022年，5月20日，9點36分，星期三可理解為矢量Tej在ei上的分量，即 第65頁，共82頁，2022年，5月20日，9點36分，星期三因此，有下面三種等價的表達式： 第66頁，共82頁，2022年，5月20日，9點36分，星期三其中稱為在基矢量組e1, e2, e3下二階張量 T 的矩陣。注意：

20、矢量 a、b 及張量T本身與坐標系無關，但其分量 ai, bi, Tij 通過基矢量組e1, e2, e3與坐標系相關。 第67頁，共82頁，2022年，5月20日，9點36分，星期三1.7.1 張量的加法和減法 設T、S均為二階張量，將它們的和、差用下式表示： 仍為二階張量。第68頁，共82頁，2022年，5月20日，9點36分，星期三若a為一矢量，則 其分量為： 其矩陣形式為： 第69頁，共82頁，2022年，5月20日，9點36分，星期三1.7.2 張量和標量的乘積 設T為二階張量， 為一標量，它們的乘積記為 ，則 仍為二階張量。第70頁，共82頁，2022年，5月20日，9點36分，星期三因為根據坐標變換，有 可見， 為二階張量。 第71頁，共82頁，2022年，5月20日，9點36分，星期三1.