電磁場電磁波教案6

1、第六章 電磁感應 主 要 內(nèi) 容電磁感應定律，自感與互感，能量與力。1. 電磁感應定律2. 自感與互感3. 磁場的能量4. 磁場力2022/9/1711. 電磁感應定律 由物理學知，穿過閉合線圈中的磁通發(fā)生變化時，線圈中產(chǎn)生的感應電動勢 e 為 式中電動勢 e 的正方向規(guī)定為與磁通方向構成右旋關系。 因此，上式表明當磁通隨著時間增加時，感應電動勢的實際方向與磁通方向構成左旋關系；反之，當磁通減少時，電動勢的實際方向與磁通方向構成右旋關系。 2022/9/172 已知回路中電動勢的方向與電流方向相同，因此，線圈中感應電流產(chǎn)生的感應磁通方向總是阻礙原有磁通的變化，所以感應磁通又稱為反磁通。 閉合線

2、圈中產(chǎn)生感應電流意味著導線中存在電場推動電荷運動，這種電場稱為感應電場，以E 表示。感應電場強度沿線圈回路的閉合線積分等于線圈中的感應電動勢，即 又知 ，得上式稱為電磁感應定律，它表明穿過線圈中的磁場變化時，導線中產(chǎn)生感應電場。它表明，時變磁場可以產(chǎn)生時變電場。 2022/9/173根據(jù)斯托克斯定理，由上式得 由于該式對于任一回路面積 S 均成立，因此，其被積函數(shù)一定為零，即此式稱為電磁感應定律的微分形式。它表明某點磁感應強度的時間變化率負值等于該點時變電場強度的旋度。 電磁感應定律是時變電磁場的基本定律之一，也是下一章將要介紹的描述時變電磁場著名的麥克斯韋方程組中方程之一。 2022/9/1

3、742. 自感與互感 已知線性媒質(zhì)的磁導率與磁感應強度的大小無關，因而位于線性媒質(zhì)中的單個閉合回路電流產(chǎn)生的磁感應強度與回路電流 I 成正比，所以穿過回路的磁通也與回路電流 I 成正比。與回路電流 I 交鏈的磁通稱為回路電流 I 的磁通鏈，以 表示，令 與 I 的比值為L，即 式中L 稱為回路的電感，單位為H （亨利）。由該定義可見，電感又可理解為與單位電流交鏈的磁通鏈。 在線性媒質(zhì)中，單個回路的電感僅與回路的形狀及尺寸有關，但與回路中電流無關。應注意，磁通鏈與磁通不同，磁通鏈是指與某電流交鏈的磁通。 2022/9/175 若交鏈 N 次，則磁通鏈增加N 倍；若部分交鏈，則必須給予適當?shù)恼劭邸?/p>

4、例如對于N 匝回路組成的環(huán)形線圈，由于穿過線圈的磁通 與線圈中的電流 I 交鏈 N 次，對于回路電流 I 相當于磁通增加 N 倍，因此與回路電流 I 交鏈的磁通鏈為 = N 。所以，由 N 匝回路組成的線圈的電感為 若有兩個回路存在，如圖示。與回路電流 I1交鏈的磁通鏈是由兩部分磁通形成的，其一是 I1本身產(chǎn)生的磁通形成的磁通鏈 11 ，另一是電流 I2 在回路 l1中產(chǎn)生的磁通形成的磁通鏈 12 。 dl10zyxdl2l2l1I2I1r2 - r1r2r12022/9/176同理，與回路電流 I2 交鏈的磁通鏈是由本身產(chǎn)生的磁通鏈 22 和電流 I1在回路l2中產(chǎn)生的磁通鏈 21 共同形成

5、的，即dl10zyxdl2l2l1I2I1r2 - r1r2r1 若周圍媒質(zhì)是線性的，則比值 ， ， 及 均為常數(shù)，令式中L11稱為回路 l1的自感，M12稱為回路 l2 對 l1 的互感。同理定義式中L22 稱為回路 l2的自感，M21稱為回路 l1對 l2的互感。 2022/9/177將上述參數(shù) L11，L22，M12 及 M21 代入前式，得 可以證明，在線性均勻媒質(zhì)中 因為可以導出任意兩個回路之間的互感公式為 考慮到 ，所以由上兩式可見，2022/9/178由此兩式還可見，若 dl1與 dl2處處保持垂直，則互感 ；若處處保持平行，則互感 M 值達到最大。 因此，在電子電路中，如果需要

6、增強兩個線圈之間的耦合，應彼此平行放置；若要避免兩個線圈相互耦合，則應相互垂直。 此外，應注意互感可正可負，其值正負取決于兩個線圈的電流方向，但自感始終應為正值。實際上，由上面結(jié)果可以推知，若互磁通與原磁通方向相同時，則使磁通鏈增加，互感應為正值；反之，若互磁通與原磁通方向相反時，則使磁通鏈減少，互感為負值。2022/9/179例一 計算無限長直導線與矩形線圈之間的互感。設線圈與導線平行，周圍媒質(zhì)為真空，如圖示。abdrrD0I1I2zS2解 建立圓柱坐標系，令 z 軸方向與電流 I1一致，則 I1 產(chǎn)生的磁感應強度為 與線圈電流 I2 交鏈的磁通鏈 21 為 若線框電流如圖所示的順時針方向，

7、則dS 與B1方向相同。那么2022/9/1710求得互感 M21 為 可見 M21 0 。這是因為當導線的電流向上，線圈電流為順時針方向時，I2 產(chǎn)生的磁通方向與互磁通 方向相同，因此使電流的磁通鏈增加，M21為正。反之，若線圈電流為逆時針方向時，則B1與dS 反向， M21 為負。但在任何線性媒質(zhì)中， M21 = M12 。例2 計算載有直流電流的同軸線單位長度內(nèi)的電感。 設同軸線內(nèi)導體的半徑為a，外導體內(nèi)半徑為b，外半徑為c，如圖示。bcaO2022/9/1711 在同軸線中取出單位長度，沿長度方向形成一個矩形回路，內(nèi)邊寬度為a，外邊寬度為（cb），如左下圖所示。 bcrcbaOdrII

8、e 現(xiàn)將同軸線中內(nèi)外導體中的電流合并到矩形回路中，內(nèi)導體中電流歸并為矩形回路的內(nèi)邊電流，外導體中電流歸并為矩形回路的外邊電流。 同軸線單位長度的電感定義為 式中I 為同軸線中的電流， 是單位長度內(nèi)與電流 I 交鏈的磁通鏈。由圖可見，與電流 I 交鏈的磁通鏈由三部分磁通形成：外導體中的磁通，內(nèi)外導體之間的磁通以及內(nèi)導體中的磁通。但由于外導體通常很簿，穿過其內(nèi)的磁通可以忽略。 aIO2022/9/1712已知內(nèi)外導體之間的磁感應強度 Bo 為 該磁場形成的磁通稱為外磁通，以 表示，則單位長度內(nèi)的外磁通為又知內(nèi)導體中的磁感應強度 Bi 為這部分磁場形成的磁通稱為內(nèi)磁通，以 表示。那么穿過寬度為dr的

9、單位長度截面的內(nèi)磁通 d 為該外磁通與電流 I 完全交鏈，故外磁通與磁通鏈 相等。 2022/9/1713但是這部分磁通僅與內(nèi)導體中自內(nèi)導體軸線位置 0 至 r 之間部分電流 I 交鏈，而不是與總電流 I 交鏈，因此，對于總電流 I 來說，這部分磁通折合成與總電流 I形成的磁通鏈應為bcrcbaOdrIIe由此求得內(nèi)導體中的磁場對總電流 I 提供的磁通鏈 i 為aIO2022/9/1714那么，與總電流 I 交鏈的總磁通鏈為（o + i） ，因此，同軸線的單位長度內(nèi)電感為式中第一項稱為外電感，第二項稱為內(nèi)電感。 后面討論時變電磁場時，同軸線的內(nèi)外導體可以當作理想導電體，因而內(nèi)外導電體中不可能存

10、在時變電磁場。因此，當同軸線工作于時變電磁場時，內(nèi)外導體中的磁通皆可忽略，只須考慮內(nèi)外導體之間的磁通，同軸線單位長度內(nèi)的電感等于外電感，即 2022/9/17153. 磁場的能量 已知穿過閉合回路的磁通發(fā)生變化時，在回路中產(chǎn)生感應電動勢，因而回路中產(chǎn)生感應電流。此時，產(chǎn)生電流所需的能量是由外部磁場提供的。 若在回路中加入外源，回路中產(chǎn)生電流。在電流建立過程中，回路中產(chǎn)生的反磁通企圖阻礙電流增長，為了克服反磁通產(chǎn)生的反電動勢，以維持電流達到一定數(shù)值，外源必須作功。若電流變化非常緩慢，可以不考慮輻射損失，則外源輸出的能量全部儲藏在回路電流周圍的磁場中。 上述能量轉(zhuǎn)換說明了磁場可在回路中產(chǎn)生電流，而

11、外源又可向磁場提供能量。由此可見，磁場具有能量。根據(jù)外源在建立磁場過程中作的功即可計算磁場能量。2022/9/1716 設單個回路的電流從零開始逐漸緩慢地增加到最終值 I，因而回路磁通也由零值逐漸緩慢地增加到最終值 。已知回路中產(chǎn)生的反電動勢等于回路磁通變化率的負值，即 。因此，為了克服這個反電動勢，外源必須在回路中產(chǎn)生的電壓 U = -e ，即若時刻 t 回路中的電流為 i(t) ，則此時刻回路中的瞬時功率為 在dt 時間內(nèi)外源作的功為 2022/9/1717 已知任一時刻單個回路的磁通鏈與回路電流的關系為 ，又知單個回路電流的磁通鏈即是穿過回路的磁通，因此將此結(jié)果代入上式，同時考慮到在線性

12、媒質(zhì)中，回路電感 L 與電流 i無關，求得 dt 時間內(nèi)外源作的功為 當回路電流增至最終值 I 時，外源作的總功 W 為這個總功在回路中建立的電流為 I ，而該電流在其周圍建立磁場。因電流增長很慢，輻射損失可以忽略，外源作的功完全轉(zhuǎn)變?yōu)橹車艌龅哪芰俊?022/9/1718 若以 Wm 表示磁場能量，則電感為 L，電流為I 的回路具有的磁場能量為此式又可改寫為由此可見，若已知回路電流及其磁場能量，那么利用上式計算電感十分方便。 考慮到回路電感 ，則電流為I 的單個回路周圍的磁場能量又可表示為式中 為與電流 I 交鏈的磁通鏈。 2022/9/1719 對 N 個回路，可令各個回路電流均以同一比例

13、由零值緩慢地增加到最終值。根據(jù)能量守恒原理，最終的總能量應與建立過程無關，因此這樣的假定是允許的。已知各回路磁通鏈與各個回路電流之間的關系是線性的，第j 個回路的磁通鏈 j 為 因此，當各回路電流以同一比例增長時，各回路磁通鏈也以同一比例增加。設第j個回路在某一時刻 t 的電流 ，式中Ij 為電流最終值， 為比例系數(shù)，其范圍為 。那么，在 dt 時間內(nèi)，外源在 N 個回路中作的功為2022/9/1720當各個回路電流均達到最終值時，外源作的總功 W 為由此求得具有最終值電流的 N 個回路產(chǎn)生的磁場能量為 即 這樣，若已知各個回路的電流及磁通鏈，由上式即可計算這些回路共同產(chǎn)生的磁場能量。 已知回

14、路磁通可用矢量磁位 A 表示為 ，因此第 j 個回路的磁通鏈也可用矢量磁位 A 表示為 2022/9/1721那么，N 個回路周圍的磁場能量又可矢量磁位表示為式中A 為周圍回路電流在第 j 個回路所在處產(chǎn)生的合成矢量磁位。 若電流連續(xù)地分布在體積 V 中，電流密度為 J ，已知 ，則上式變?yōu)轶w積分，此時磁場能量可以表示為式中V 為體分布的電流密度 J 所占據(jù)的體積。 若電流分布在表面 S 上，則產(chǎn)生的磁場能量為 式中S 為面分布的電流密度所在的面積。 2022/9/1722磁場能量的分布密度已知 ，代入上式，得 利用矢量恒等式 ，上式又可寫為式中 V 為電流所在的區(qū)域。顯然，若將積分區(qū)域擴大到

15、無限遠處，上式仍然成立。令 S 為半徑無限大的球面，則由高斯定理知，上式第一項的2022/9/1723 當電流分布在有限區(qū)域時，磁場強度與距離平方成反比，矢量磁位與距離一次方成反比，因此位于無限遠處的面積分 再考慮到 ，求得式中V 為磁場所占據(jù)的整個空間?？梢?，上式中的被積函數(shù)即是磁場能量的分布密度。 若以小寫字母 wm 表示磁場能量密度，則已知各向同性的線性媒質(zhì)， ，因此磁場能量密度又可表示為 可見，磁場能量與磁場強度平方成正比，磁場能量也不符合疊加原理。 2022/9/1724例 計算同軸線中單位長度內(nèi)的磁場能量。設同軸線中通過的恒定電流為 I ，內(nèi)導體的半徑為a ，外導體的厚度可以忽略，

16、其半徑為 b ，內(nèi)外導體之間為真空。 解 已知同軸線單位長度內(nèi)的電感為因此，單位長度內(nèi)同軸線中磁場能量為 我們也可以通過磁場密度計算同軸線的磁場能量。已知內(nèi)導體中的磁場強度為 2022/9/1725因此內(nèi)導體中單位長度內(nèi)的磁場能量為又知內(nèi)外導體之間的磁場強度 Ho 為所以內(nèi)外導體之間單位長度內(nèi)的磁場能量為 單位長度內(nèi)同軸線的磁場能量應為 ，此結(jié)果與前式完全相同。 已知 ，可見，通過磁場能量也可計算電感。2022/9/17264. 磁場力 首先，討論兩個任意形狀的電流回路之間的作用力。 dl1Ozyxdl2l2l1I2I1r2 - r1r2r1 已知磁場對于電流元 Idl 的作用力 ，那么，由回

17、路電流I1 產(chǎn)生的磁場 B1對于電流元 I2dl2 的作用力 dF21為又知電流 I1 產(chǎn)生的磁感應強度B1為因此， B1對于整個回路 l2 的作用力F21 為2022/9/1727 同理可以求出回路電流 I2 產(chǎn)生的磁場 B2 對于整個回路 l1 的作用力F12 為 上述兩式稱為安培定律。 根據(jù)牛頓定律得知，應該 。這個結(jié)論也可直接由上式獲得證明。 已知回路電流分布，利用上述安培定律可以計算回路之間的磁場力。但是如果回路形狀復雜，上述積分計算是很困難的，甚至無法求得嚴格的解析表達式。 為了計算磁場力，類似計算電場力一樣，也可采用虛位移方法，利用能量關系可以獲得計算磁場力的簡便方式。 下面直接

18、利用前述廣義力和廣義坐標的概念，導出計算磁場力的一般公式。2022/9/1728 設在電流 I1產(chǎn)生的磁場廣義力 F 的作用下，使得回路 l2的某一廣義坐標變化的增量為dl，同時磁場能量的增量為 dWm 。那么，兩個回路中的外源作的總功dW應該等于磁場廣義力作的功與磁場能量的增量之和，即下面分為兩種情況： 第一，若電流 I1 和 I2 不變，這種情況稱為常電流系統(tǒng)，則 那么，當兩個回路的磁通鏈發(fā)生變化時，外源作的功分別為 2022/9/1729由此可見，兩個回路中的外源作的總功 dW 為求得常電流系統(tǒng)中的廣義力F 為 即 第二，若各回路中的磁通鏈不變，即磁通未變，這種情況稱為常磁通系統(tǒng)。由于各個回路的磁通未變，因此，各個回路位移過程中不會產(chǎn)生新的電動勢，因而外源作的功為零，即那么，求得常磁通系統(tǒng)中廣義力為2022/9/1730 注意，已規(guī)定廣義力的方向為廣義坐標的增加方向。因此，如