課題三線性方程組的迭代法

1、課題三線性方程組的迭代法對課題二所列目的和意義的線性方程組，試分別選用Jacobi對課題二所列目的和意義的線性方程組，試分別選用Jacobi迭代法，Gauss-Seidol迭代法和SOR方法計(jì)算其解。1、設(shè)線性方程組020602啞02060210060002IE*06超0301050606050703141噸1702.13080100000005000100020003030109070302170206*020503003420209020012超406300|0503HQ3505*6.06:02*8IH|H21|10 x*=(1,-1,0,1,2,0,3,1,-1,2)T2、設(shè)對稱正定陣系

2、數(shù)陣線方程組TOC o 1-5 h z104020002040000吟0,202超01030200：；:1401*0506106品0啞0106.03:3：_?3:0201224*01f11I510403IBH041101H.2.?00205IB011402”5：I00000003IBH0219|.71.5|8x*=(1,-1,0,2,1,-1,0,2)T3、三對角形線性方程組TOC o 1-5 h z000000000*I10，000!0o000o10，000!0o000o，0004000000，,3314.。.善04000052.004.000；.2；000400:，7!34：0000401

3、，11000004:,000000491.10X*=(2,1,-3,0,1,-2,3,0,1,-DT二、要求1、體會迭代法求解線性方程組，并能與消去法做以比較；2、分別對不同精度要求，女在=10-3,10-4,10-5由迭代次數(shù)體會該迭代法的收斂快慢；3、對方程組2,3使用SOR方法時(shí)，選取松弛因子3=0.8,0.9，1，1.1，1.2等，試看對算法收斂性的影響，并能找出你所選用的松弛因子的最佳者；4、給出各種算法的設(shè)計(jì)程序和計(jì)算結(jié)果。三、目的和意義1、通過上機(jī)計(jì)算體會迭代法求解線性方程組的特點(diǎn)，并能和消去法比較；2、運(yùn)用所學(xué)的迭代法算法，解決各類線性方程組，編出算法程序；3、體會上機(jī)計(jì)算時(shí)，

4、終止步驟llx(k+1)-x(k)|(予給的迭代次數(shù))，對迭代法斂散性的意義；4、體會初始解x(0),松弛因子的選取，對計(jì)算結(jié)果的影響。四、迭代計(jì)算1、雅可比迭代法在進(jìn)行雅可比迭代之前，我們應(yīng)該先判斷迭代是否能夠收斂，這里我們使用雅可比迭代法收斂的充分必要條件(即，迭代矩陣的譜半徑小于等于1)。1、判斷方程組一使用雅可比迭代法是否收斂在matlab軟件中編寫程序:D=diag(diag(A);L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1);B=D(L+U);t=eig(B)r=max(abs(t)可求出方程組一的雅可比迭代矩陣的特征值分別為：1.6604+3.8389i；1.6604-3

5、.8389i；-3.3952；-1.3286+1.5704i；-1.3286-1.5704i；-0.4754；-0.1912；0.9785；0.9568；1.4628顯然，其譜半徑大于1，則雅可比迭代法不收斂，故不可用雅可比迭代法進(jìn)行迭代求解?？捎孟シㄇ蠼猓帉憁atlab高斯列主元消去法的程序如下：functionX=Gauss_pivot(A,b)n=length(b);X=zeros(n,1);c=zeros(1,n);d1=0fori=1:n-1max=abs(A(i,i);m=i;forj=i+1:nifmax=emgfori=1:nsum=0;forj=1:nifi=jsum=s

6、um+A(i,j)*x1(j);endendx2(i)=(b(i)-sum)/A(i,i);endt=abs(x2-x1);r=max(t);x1=x2;k=k+1;ifkNdisp（迭代失敗，返回）;return;endkend調(diào)用雅克比求解線性方程組的程序，取初值x0=0；0；0；0；0；0；0；0；0；0,不同精度下求得解為：=10-3：則x2=2.0000；1.0000；-2.9997；-0.0006；1.0008；-2.0015；3.0010；-0.0016；1.0007；-1.0007，迭代次數(shù)k二10=10-4：貝Ux2=2.0000；1.0000；-2.9999；-0.0002

7、；1.0002；-2.0003；3.0002；-0.0003；1.0001；-1.0001,迭代次數(shù)k=12=10-5:則x2=2.0000；1.0000；-3.0000；0.0000；1.0000；-2.0000；3.0000；0.0000；1.0000；-1.0000,迭代次數(shù)k=15由方程組三雅克比的迭代過程可以看出，精度越高，所需迭代次數(shù)就越多，迭代速度也就越慢，但是其解也越來越接近與真值。當(dāng)=10-5時(shí)，x2=2.0000；1.0000；-3.0000；0.0000；1.0000；-2.0000；3.0000；0.0000；1.0000；-1.0000,這與真值基本是相同的。2、高斯

8、-賽德爾迭代法同樣,在進(jìn)行高斯-賽德爾迭代之前,我們應(yīng)該先判斷迭代是否能夠收斂,這里我們使用高斯-賽德爾迭代法收斂的充分必要條件(即,迭代矩陣的譜半徑小于等于1)。1、判斷方程組一使用高斯-賽德爾迭代法是否收斂在matlab軟件中編寫程序：D=diag(diag(A)；L=-tril(A,-1)；U=-triu(A,1)；B=(D-L)U；t=eig(B)r=max(abs(t)可求出方程組一的高斯-賽德爾迭代矩陣的特征值分別為：0；17.1222；-0.8196+4.1041i；-0.8196-4.1041i；0.9839；0.8639；-0.0220+0.1529i；-0.0220-0.1

9、529i；0.4784；0.0000顯然，其譜半徑為r=17.1222,大于1,則高斯-賽德爾迭代法不收斂，故不可用高斯-賽德爾迭代法進(jìn)行迭代求解。2、判斷方程組二使用高斯-賽德爾迭代法是否收斂與方程組一相似,求出方程組二的高斯-賽德爾迭代矩陣的特征值為：0；0.9947；0.5849+0.0782i；0.5849-0.0782i；0.3075+0.2159i；0.3075-0.2159i；0.0291；-0.0000其譜半徑r=0.9947,小于1,則方程組二使用高斯-賽德爾迭代法仍然收斂，故可用高斯-賽德爾迭代法求解。編寫matlab高斯-賽德爾迭代法程序如下：functionX=gsei

10、d(A,b,x0,delta,max1)N=length(b);fork=1:max1forj=1:Nifj=1X(1)=(b(1)-A(1,2:N)*x0(2:N)/A(1,1);elseifj=NX(N)=(b(N)-A(N,1:N-1)*(X(1:N-1)/A(N,N);elseX(j)=(b(j)-A(j,1:j-1)*X(1:j-1)-A(j,j+1:N)*x0(j+1:N)/A(j,j);endendt=abs(X-x0);r=max(t);x0=X;if(rdelta)breakendkend調(diào)用高斯-賽德爾求解線性方程組的程序，取初值x0=0;0;0;0;0;0;0;0;0;0

11、，不同精度下求得解為：=10-3：貝Ux2=1.3126；-1.3619；0.0775；1.8468；1.0320；-1.0685；0.0209；1.9882,迭代次數(shù)k=7=10-4：Ux2=1.1604；-1.1886；0.0377；1.9166；1.0133；-1.0342；0.0082；1.9953,迭代次數(shù)k=132=10-5：Ux2=1.0160；-1.0188；0.0038；1.9917；1.0013；-1.0034；0.0008；1.9995,迭代次數(shù)k=569由方程組二的高斯-賽德爾迭代過程可以看出,精度越高,所需迭代次數(shù)就越多，迭代速度也就越慢，但是其解也越來越接近與真值。

12、當(dāng)=10-5時(shí)，x2=1.0160；-1.0188；0.0038；1.9917；1.0013；-1.0034；0.0008；1.9995,這與真值x*=(1,-1,0,2,1,-1,0,2基本是相同的。3、判斷方程組三使用高斯-賽德爾迭代法是否收斂與方程組一、方程組二相似,求出方程組二的高斯-賽德爾迭代矩陣的特征值為：0；0.2302；0.1769；0.1072；0.0431；0.0051；-0.0000+0.0000i；-0.0000-0.0000i；0.0000；-0.0000其譜半徑為0.2302,小于1,則方程組三使用高斯-賽德爾迭代法收斂，故可用高斯-賽德爾迭代法求解。調(diào)用高斯-賽德

13、爾求解線性方程組的程序，取初值x0=0;0;0;0;0;0;0;0;0;0,不同精度下求得解為：=10-3：則x2=2.0016；0.999；-3.0021；-0.0028；0.9986；-2.0003；3.00010.0001；1.0000；-1.0000,迭代次數(shù)k=4=10-4：則x2=1.9999；0.9998；-3.0002；-0.0001；1.0000；-2.0000；3.00000.0000；1.0000；-1.0000,迭代次數(shù)k=6=10-5:貝Ux2=2.0000；1.0000；-3.0000；-0.0000；1.0000；-2.0000；3.00000.0000；1.00

14、00；-1.0000，迭代次數(shù)k=8當(dāng)=10-5時(shí)，x2=2.0000；1.0000；-3.0000；-0.0000；1.0000；-2.0000；3.00000.0000；1.0000；-1.0000,這與真值x*=(2,1,-3,0,1,-2,3,0,1,-1)是相同的。3、超松弛迭代法1、判斷方程組一使用超松弛迭代法是否收斂在matlab軟件中編寫程序：w=1.3D=diag(diag(A);L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1);B=(D-w*L)(1-w)*D+w*U);t=eig(B)r=max(abs(t)可求出方程組一的超松弛迭代矩陣的譜半徑為r=164.0633

15、,大于1,則超松弛迭代法不收斂，故不可用超松弛迭代法進(jìn)行迭代求解。2、判斷方程組二使用超松弛迭代法是否收斂與方程組一相似，取w=1.3求出方程組二的超松弛迭代矩陣的特征值為：0.9902；0.4505+0.3101i；0.4505-0.3101i；0.1697+0.4168i；0.1697-0.4168i；0.0452；-0.0972+0.1215i；-0.0972-0.1215i其譜半徑r=0.9902,小于1,則方程組二使用超松弛迭代法收斂，故可用超松弛迭代法求解。編寫超松弛迭代法的matlab程序如下：functionx,k=SOR(A,b,w,N,r)x0=zeros(1,length

16、(b);n,n=size(A);k=1;whilek=Nx(1)=(b(1)-A(1,2:n)*x0(2:n)/A(1,1);fori=2:nx(i)=(1-w)*x0(i)+w*(b(i)-A(i,1:i-1)*x(1:i-1)-A(i,i+1:n)*x0(i+1:n)/A(i,i);endifmax(abs(x-x0)=rbreak;endk=k+1;x0=x;endifk=N+1disp（超過最大迭代次數(shù)，求解失?。。?；end調(diào)用超松弛求解線性方程組的程序，取初值x0=0；0；0；0；0；0；0；0；0；0,取=10-5，分別取=0.8，0.9，1，1.1，1.2，1.3，1.4，1.5

17、，1.6，1.7，1.8，1.9，2時(shí)，可得到不同的解：=0.8:J則x=1.0208；-1.0245；0.0049；1.9892；1.0017；-1.0044；0.0011；1.9994，迭代次數(shù)k=10=0.9:則x=1.0182；-1.0214；0.0043；1.9906；1.0015；-1.0039；0.0009；1.9995迭代次數(shù)k=604=1:則x=1.0160；-1.0188；0.0038；1.9917；1.0013；-1.0034；0.0008；1.9995迭代次數(shù)k=570=1.1：J則x=1.0144；-1.0169；0.0034；1.9926；1.0012；-1.003

18、1；0.0007；1.9996迭代次數(shù)k=538=1.2：J則x=1.0129；-1.0151；0.0030；1.9933；1.0011；-1.0027；0.0007；1.9996迭代次數(shù)k=510=1.3：J則x=1.0116；-1.0136；0.0027；1.9940；1.0010；-1.0025；0.0006；1.9997迭代次數(shù)k=484=1.4：J則x=1.0106；-1.0124；0.0025；1.9945；1.0009；-1.0023；0.0005；1.9997迭代次數(shù)k=459=1.5：J則x=1.0097；-1.0113；0.0023；1.9950；1.0008；-1.002

19、1；0.0005；1.9997迭代次數(shù)k=437=1.6：J則x=1.0089；-1.0104；0.0021；1.9954；1.0007；-1.0019；0.0004；1.9997迭代次數(shù)k=416=1.7：J則x=1.0082；-1.0096；0.0019；1.9958；1.0007；-1.0018；0.0004；1.9998迭代次數(shù)k=396=1.8：J則x=1.0076；-1.0088；0.0018；1.9961；1.0006；-1.0016；0.0004；1.9998迭代次數(shù)k=378=1.9：J則x=1.0070；-1.0081；0.0016；1.9964；1.0006；-1.001

20、5；0.0003；1.9998迭代次數(shù)k=361=2：則超過最大迭代次數(shù)，求解失??！當(dāng)=1.9時(shí)，x=1.0070；-1.0081；0.0016；1.9964；1.0006；-1.0015；0.0003；1.9998,這與真值x*=(1,-1,0,2,1,-1,0,2)是基本相同的。而當(dāng)=2,則超過最大迭代次數(shù)，求解失?。?、判斷方程組三使用超松弛迭代法是否收斂與方程組一、方程二相似，取w=1.3求出方程組二的超松弛迭代矩陣的特征值為：-0.1055+0.2808i；-0.1055-0.2808i；-0.2957+0.0505i；-0.2957-0.0505i；-0.2635+0.1433i；

21、-0.2635-0.1433i；-0.1505+0.2595i；-0.1505-0.2595i；-0.2094+0.2148i；-0.2094-0.2148i其譜半徑r=0.3000，小于1,則方程組三使用超松弛迭代法收斂，故可用超松弛迭代法求解。調(diào)用超松弛求解線性方程組的程序，取初值x0=0;0;0;0;0;0;0;0;0;0，取=10-5，分別取=0.8，0.9，1，1.1，1.2時(shí)，可得到不同的解：=0.8：則x=2.0000；1.0000；-3.0000；-0.0001；0.9999；-2.0000；3.0000；-0.0000；1.0000；-1.0000，迭代次數(shù)k=12=0.9：

22、則x=2.0000；1.0000；-3.0000；-0.0000；1.0000；-2.0000；3.0000；-0.0000；1.0000；-1.0000迭代次數(shù)k=10=1：則x=2.0000；1.0000；-3.0000；-0.0000；1.0000；-2.0000；3.0000；0.0000；1.0000；-1.0000迭代次數(shù)k=9=1.1：則x=2.0000；1.0000；-3.0000；0.0000；1.0000；-2.0000；3.0000；-0.0000；1.0000；-1.0000迭代次數(shù)k=9=1.2：則x=2.0000；1.0000；-3.0000；0.0000；1.0000；-2.0000；3.0000；-0.0000；1.0000；-1.0000迭代次數(shù)k二11=1.3：則x=2.0000；1.0000；-3.0000；0.0000；1.0000；-2.0000；3.0000；-0.0000；1.0000；-1.0000迭代次數(shù)k=13當(dāng)=1.1時(shí)，x=2.0000；1.0000；-3.0000；0.0000；1.0000；-2.0000；3.000