兩條直線的交點(diǎn)-完整版PPT

1、1.4兩條直線的交點(diǎn)問題引航1.兩條直線有哪幾種位置關(guān)系？2.如何根據(jù)直線方程判斷兩條直線的位置關(guān)系？3.兩條直線的交點(diǎn)同時(shí)滿足兩條直線嗎？?jī)蓷l直線的交點(diǎn)兩條直線相交，交點(diǎn)一定同時(shí)在_，交點(diǎn)坐標(biāo)是這兩個(gè)方程組成的_的唯一解；反之，如果這兩個(gè)二元一次方程組成的_只有一個(gè)解，那么以這個(gè)解為_的點(diǎn)，必是兩條直線的_，因此求兩條直線的交點(diǎn)，就是求這兩個(gè)直線方程的_.這兩條直線上方程組方程組坐標(biāo)交點(diǎn)公共解1.判一判(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)兩條直線A1x+B1y+C1=0與A2x+B2y+C2=0的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組 的實(shí)數(shù)解.()(2)若方程組 無解，則兩直線沒有交點(diǎn)，兩直線平行.()(3)

2、直線x=2與y=3沒有交點(diǎn).()【解析】(1)正確.根據(jù)直線交點(diǎn)坐標(biāo)的含義，此說法是正確的.(2)正確.方程組無解，兩直線沒有交點(diǎn)，兩直線平行.故這種說法是正確的.(3)錯(cuò)誤.直線x=2與y=3交點(diǎn)為(2，3).故此說法是錯(cuò)誤的.答案：(1)(2)(3)2.做一做(請(qǐng)把正確的答案寫在橫線上)(1)直線y= x-3與x-4y+11=0的位置關(guān)系是_.(2)直線l1：3x+4y-2=0與直線l2：2x+y+2=0的交點(diǎn)坐標(biāo)為_.(3)直線y=x+2與直線y=-x+2a的交點(diǎn)在x軸上，則a=_.【解析】(1)兩直線的斜率相等，且不重合，故兩條直線平行.答案：平行(2)解方程組 得所以l1與l2的交點(diǎn)

3、坐標(biāo)為(-2，2).答案：(-2，2)(3)解方程組 得 由交點(diǎn)在x軸上，則a+1=0，解得a=-1.答案：-1【要點(diǎn)探究】知識(shí)點(diǎn) 兩直線的交點(diǎn)直線的位置關(guān)系與方程組解的個(gè)數(shù)的關(guān)系【微思考】若兩直線組成的二元一次方程組有解，則兩直線一定相交嗎？提示：不一定.若方程組有唯一解，則兩直線相交；若方程組有無窮多個(gè)解，則兩直線重合.【即時(shí)練】1.已知直線l1：3x+4y-5=0與l2：3x+5y-6=0相交，則它們的交點(diǎn)是_.【解析】 解 得 所以交點(diǎn)為 .答案：2.已知直線l1：y=2x+m+2，l2：y=-2x+4的交點(diǎn)在第二象限，則m的取值范圍是_.【解析】由 得因?yàn)閮芍本€的交點(diǎn)在第二象限，所以

4、 即 所以m2.答案：m2【題型示范】類型一 兩直線位置關(guān)系的判斷【典例1】(1)下列直線中，與直線2x-y+3=0相交的是()A.4x-2y-6=0 B.y=2x-1C.y=2x+5 D.y=-2x-3(2)判斷下列各對(duì)直線的位置關(guān)系.如果相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo).l1：x-y=0，l2：3x+3y-10=0.l1：3x-y+4=0，l2：6x-2y-1=0.l1：3x+4y-5=0，l2：6x+8y-10=0.【解題探究】1.題(1)中與直線2x-y+3=0相交滿足的條件是什么？2.題(2)中兩條直線平行、重合、垂直時(shí)應(yīng)滿足什么條件？【探究提示】1.斜率不等于2.2.兩直線平行應(yīng)滿足k1=k2且

5、b1b2(斜截式)或兩直線斜率不存在.兩直線重合應(yīng)滿足k1=k2且b1=b2(斜截式)或兩條直線斜率不存在.兩直線垂直應(yīng)滿足k1k2=-1或一條直線斜率不存在，另一條直線斜率為0.【自主解答】(1)選D.直線2x-y+3=0的斜率為2，只有D對(duì)應(yīng)直線斜率為-2，所以它們相交.(2)解方程組 得所以l1與l2相交，交點(diǎn)是 解方程組方程組無解，所以兩直線無公共點(diǎn)，l1l2.因?yàn)閮芍本€方程可以化成同一個(gè)方程，即l1與l2表示同一條直線，所以l1與l2重合.【方法技巧】1.判斷兩直線相交的三種常用思路(1)方程組的觀點(diǎn)：解兩直線方程組成的方程組，若只有一個(gè)解，則兩直線相交.(2)傾斜角的觀點(diǎn)：傾斜角不

6、同，則兩直線必相交.(3)斜率的觀點(diǎn)：如果兩直線的斜率都存在但不相等，則兩直線必相交；如果兩直線中一條斜率存在，而另一條斜率不存在，則這兩條直線也相交.2.兩直線斜率存在時(shí)位置關(guān)系的判斷方法若兩直線斜率存在，則把直線方程化成斜截式，根據(jù)直線的斜率和在y軸上的截距來判斷.(1)若兩直線斜率不相等，則兩直線相交.(2)若兩直線斜率相等，在y軸上的截距不等，則兩直線平行.(3)若兩直線斜率和在y軸上的截距都相等，則兩直線重合.【變式訓(xùn)練】直線mx+ny+8=0和2x+my-7=0的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-4，3)，則m=_，n=_.【解析】由 得答案：54【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知直線l1：(a-2)x+3y+a=0，

7、l2：ax+(a-2)y-1=0.當(dāng)l1l2時(shí)，求a的值及垂足的坐標(biāo).【解析】當(dāng)a2時(shí)，l1：y- ，l2：x .此時(shí)，l1l2且垂足坐標(biāo)為當(dāng)a2時(shí)，由l1l2知：k1k2 -1，所以a-3.所以l1：-5x+3y-30，l2：-3x-5y-10.由 解得所以l1與l2的垂足坐標(biāo)為 .綜上：a的值為2，垂足坐標(biāo)為 ；或a的值為-3，垂足坐標(biāo)為類型二 過兩直線交點(diǎn)的直線方程【典例2】(1)過兩條直線l1：x=-2與l2：2x+y=-3的交點(diǎn)P且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線l的方程為_.(2)求經(jīng)過2x+y+8=0和x+y+3=0的交點(diǎn)，且與直線2x+3y-10=0垂直的直線方程.【解題探究】1.題

8、(1)中已知直線上一點(diǎn)，如何求直線的方程？2.題(2)中過兩直線交點(diǎn)求與直線垂直的直線方程可選用哪種方程形式？【探究提示】1.設(shè)出直線的斜率，利用點(diǎn)斜式求解.2.根據(jù)斜率之積是-1求出斜率可選用點(diǎn)斜式方程.【自主解答】(1)方法一：由 得即交點(diǎn)P(-2，1).由題意知，所求直線的斜率存在且不為0.設(shè)直線l：y-1k(x+2).令x0，得y1+2k；令y0，得x-2- .由1+2k-2- ，得k-1或k- .故所求直線方程為x+y+10或x+2y0.方法二：設(shè)所求直線方程為x+2+(2x+y+3)0，即(1+2)x+y+2+30，()令x0，得令y0，得由題意得得- 或-1.代入()式得所求直線

9、方程為x+2y0或x+y+10.答案：x+2y0或x+y+10(2)解方程組 得交點(diǎn)(-5，2).因?yàn)橹本€2x+3y-100的斜率k- ，所以所求直線的斜率是 .因此所求直線方程為3x-2y+190.【延伸探究】將題（2）改成“與直線2x+3y-100平行”，求直線方程.【解析】解方程組 得交點(diǎn)(-5，2).因?yàn)橹本€2x+3y-100的斜率k- ，所以所求直線方程為y-2- (x+5).即2x+3y+40.【方法技巧】過交點(diǎn)的直線系方程的應(yīng)用(1)求直線方程：若兩相交直線的方程分別為l1：A1x+B1y+C1=0；l2：A2x+B2y+C2=0.則過其交點(diǎn)直線方程可設(shè)為：A1x+B1y+C1+

10、(A2x+B2y+C2)=0(不包含直線l2).(2)確定動(dòng)直線的定點(diǎn)：形如A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0的直線一定過定點(diǎn)，且定點(diǎn)為直線A1x+B1y+C1=0和直線A2x+B2y+C2=0的交點(diǎn).直線系A(chǔ)1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0不含直線l2，若想包括l2，則可以寫成A2x+B2y+C2+(A1x+B1y+C1)=0的形式.【變式訓(xùn)練】過直線2x-y+4=0與x-y+5=0的交點(diǎn)，且在y軸上截距為8的直線的方程是()A.2x+y-8=0 B.2x-y-8=0C.2x+y+8=0 D.2x-y+8=0【解題指南】求出兩直線的交點(diǎn)，又直線在y軸上截距已知

11、，進(jìn)而可確定直線上的兩點(diǎn)，進(jìn)而可求.【解析】選A.解 得 又直線在y軸上截距為8，即直線過點(diǎn)(0，8)，直線的斜率為k-2，故所求的直線方程為y-6-2(x-1)，即2x+y-80.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知直線方程為(2a+1)x+(3a-2)y-18a+5=0，求證：無論a為何實(shí)數(shù)值，直線必過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).【解析】原方程可化為x-2y+5+a(2x+3y-18)=0，它表示過直線x-2y+5=0與直線2x+3y-18=0交點(diǎn)的直線系(不包括直線2x+3y-18=0)，無論a取何值，它都過兩直線的交點(diǎn)，由解得所以直線必過定點(diǎn)(3，4).【拓展類型】?jī)芍本€交點(diǎn)的綜合應(yīng)用【備選例題】(1)直線

12、ax+2y+8=0，x+3y-4=0和5x+2y+6=0相交于一點(diǎn)，則a的值為_.(2)是否存在m，使得三條直線3x-y+2=0，2x+y+3=0，mx+y=0能夠構(gòu)成三角形？若存在，請(qǐng)求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.【解析】(1)解方程組 得所以直線x+3y-4=0和5x+2y+6=0的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-2，2)，代入直線方程ax+2y+8=0，得-2a+4+8=0，解得a=6.答案：6(2)存在.能夠使直線mx+y=0，3x-y+2=0，2x+y+3=0構(gòu)成三角形的m值有無數(shù)個(gè)，因此我們考慮其反面情況，即三條直線不能構(gòu)成三角形，有兩種可能：有兩條直線平行，或三條直線過同一點(diǎn).由于3x-

13、y+2=0與2x+y+3=0相交，且交點(diǎn)坐標(biāo)為(-1，-1)，因此，mx+y=0與3x-y+2=0平行時(shí)，m=-3；mx+y=0與2x+y+3=0平行時(shí)，m=2；mx+y=0過3x-y+2=0與2x+y+3=0的交點(diǎn)時(shí)，m=-1.綜上所述，三條直線不能構(gòu)成三角形時(shí)，m=-3或m=2或m=-1.滿足題意的m值為m|mR且m-3且m2且m-1.【方法技巧】線共點(diǎn)問題的求解方法(1)兩直線共點(diǎn)求參數(shù)范圍時(shí)，應(yīng)先求出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后結(jié)合已知條件列出關(guān)于參數(shù)的不等式或方程，最后求出參數(shù)的范圍或值.(2)已知三條直線相交于一點(diǎn)，求直線方程中的參數(shù)，只需求出其中兩條直線的交點(diǎn)代入第三條直線即可，利用方程思想求

14、參數(shù).(3)給出三條直線方程，方程中含有參數(shù)，且三條直線構(gòu)成三角形，求參數(shù)滿足的條件，可以先找構(gòu)不成三角形的條件，然后求其反面.【易錯(cuò)誤區(qū)】?jī)蓷l直線相交求參數(shù)中的誤區(qū)【典例】若三條直線l1：ax+y+1=0，l2：x+ay+1=0，l3：x+y+a=0能構(gòu)成三角形，則a應(yīng)滿足的條件是()A.a=1或a=-2 B.a1C.a1且a-2 D.a1且a-2【解析】選D.三條直線能構(gòu)成三角形，需三條直線兩兩相交且不共點(diǎn).由條件不易直接求參數(shù)，可從反面著手求解.(1)若三條直線重合，據(jù)三條直線的方程可知a=1.(2)若三條直線交于一點(diǎn)，由解得 將l2，l3的交點(diǎn)(-a-1，1)代入l1的方程解得a=1(

15、舍去）或a=-2.(3)若l1l2，由aa-11=0，得a=1，當(dāng)a=1時(shí)，l1與l2重合.(4)若l2l3，由11-a1=0，得a=1，當(dāng)a=1時(shí)，l2與l3重合.(5)若l1l3，由a1-11=0，得a=1，當(dāng)a=1時(shí)，l1與l3重合.綜上，當(dāng)a=1時(shí)，三條直線重合；當(dāng)a=-1時(shí)，l1l2；當(dāng)a=-2時(shí)，三條直線交于一點(diǎn)，所以要使三條直線能構(gòu)成三角形，需a1且a-2.【常見誤區(qū)】錯(cuò)解錯(cuò)因剖析選C在處由于考慮問題不全面，只考慮三條直線相交于一點(diǎn)和重合的情況而忽視了其他情況導(dǎo)致錯(cuò)選C.選B在處只考慮直線平行或重合的情況，卻忽視了三條直線相交于一點(diǎn)的情況而錯(cuò)選B.【防范措施】1.正難則反的轉(zhuǎn)化意識(shí)對(duì)于正面求解有困難的題目，求解時(shí)可考慮從問題的反面著手，迂回轉(zhuǎn)化求解，如本例中三條直線有三個(gè)不同的交點(diǎn)，需三條直線兩兩相交且