Ch3 量子力學(xué)導(dǎo)論

1、原子物理第三章 量子力學(xué)導(dǎo)論1歷史關(guān)鍵人物19世紀末20世紀初：電磁理論、量子理論、相對論人物：維恩（1893）、瑞利-金斯、普朗克（1900）、赫茲、愛因斯坦、德布羅意、康普頓(1923）、玻爾（1913）、海森堡、薛定諤、狄拉克、費曼、施溫格、朝永振一郎2N.玻爾、M.玻恩、 W.L.布拉格、L.V.德布羅意、A.H.康普頓、M.居里、P.A.M 狄喇克、A.愛因斯坦、W.K.海森堡、郞之萬、W.泡利、普朗克、薛定諤 等 第五次索爾維會議與會者合影(1927年)3事件：里程碑黑體輻射（維恩、普朗克，1911，1918）光電效應(yīng)（赫茲、愛因斯坦1905，1921）玻爾氫原子理論（1913，1

2、922）康普頓效應(yīng)（1923，1927）德布羅意-波粒二象性（1924，1929）不確定關(guān)系（海森堡1927，1932）波函數(shù)薛定諤方程（1926，1933）不相容原理（泡利 1925，1945）密度矩陣和量子統(tǒng)計等（朗道 1962）電子自旋、傳播子（狄拉克1933、費曼1965等）43.1 物質(zhì)的波粒二象性一、光的波粒二象性 1672年，牛頓，光的微粒說 1678年，惠更斯，光的波動說 19世紀末，光是一種電磁波 20世紀初，光量子 -光的波粒二象性 5德布羅意 (Louis Victor due de Broglie, 1892-1960) 德布羅意原來學(xué)習(xí)歷史，后來改學(xué)理論物理學(xué)。他善于

3、用歷史的觀點，用對比的方法分析問題。 1923年，德布羅意試圖把粒子性和波動性統(tǒng)一起來。1924年，在博士論文關(guān)于量子理論的研究中提出德布羅意波,同時提出用電子在晶體上作衍射實驗的想法。 愛因斯坦覺察到德布羅意物質(zhì)波思想的重大意義，譽之為“揭開一幅大幕的一角”。法國物理學(xué)家，1929年諾貝爾物理學(xué)獎獲得者，波動力學(xué)的創(chuàng)始人，量子力學(xué)的奠基人之一。德布羅意波 實物粒子的二象性6二、德布羅意假設(shè)一個質(zhì)量為m的實物粒子以速率v 運動時，即具有以能量E和動量P所描述的粒子性，也具有以頻率n和波長l所描述的波動性。這種波稱為德布羅意波，也叫物質(zhì)波。德布羅意公式如速度v=5.0102m/s飛行的子彈，質(zhì)量

4、為m=10-2Kg，對應(yīng)的德布羅意波長為：如電子m=9.110-31Kg，速度v=5.0107m/s, 對應(yīng)的德布羅意波長為：太小測不到！X射線波段7德布羅意物質(zhì)波思想起源1.X射線的研究:布拉格認為X射線是粒子勞厄提出X射線是波長極短的電磁波 X射線時而像波,時而像粒子的奇特性質(zhì)引起了許多人的關(guān)注,德布羅意認為:波和粒子必定總是結(jié)合在一起.2.接受相對論和光量子學(xué)說,特別是1923年4月compton效應(yīng)發(fā)現(xiàn)以后,使他對光子概念的認識更加深入、清晰。81923年9月24日，第二篇論文光量子、衍射和干涉1923年10月8日第三篇論文量子、氣體運動理論及費馬原理1924年完成了博士論文量子理論的

5、研究，11月25日通過答辯，1925年發(fā)表在物理雜志上，該論文對他一年來的工作提出了系統(tǒng)的有邏輯性的報告，完整地闡述了他的物質(zhì)波理論及應(yīng)用1923年9月10日，發(fā)表第一篇關(guān)于物質(zhì)波的論文輻射波和量子提出了實物粒子也具有波粒二象性物質(zhì)波概念的提出物質(zhì)波思想的影響：1、具有獨創(chuàng)性和非凡的技巧；2、提出用晶體對電子的衍射來驗；3、得到了愛因斯坦的高度評價；4、量子力學(xué)是物質(zhì)波思想的直接影響下的一個豐碩成果.9電子駐波例題1：從德布羅意波導(dǎo)出氫原子波爾理論中的角動量量子化條件。德布羅意把原子定態(tài)與駐波聯(lián)系起來，即把能量量子化與有限空間駐波的波長和頻率聯(lián)系起來。如電子繞原子一周，駐波應(yīng)銜接，所以圓周長應(yīng)

6、等于波長的整數(shù)倍。再根據(jù)德布羅意關(guān)系得出角動量量子化條件10三、德布羅意假設(shè)的實驗驗證 1927年，戴維遜和革末，電子衍射實驗，測量了電子波的波長，證實了德布羅意假設(shè)。1實驗裝置 11 2實驗結(jié)果(1)當(dāng)U不變時，I與的關(guān)系如圖不同的，I不同；在有的上將出現(xiàn)極值。(2)當(dāng)不變時，I與U的關(guān)系如圖當(dāng)U改變時，I亦變；而且隨了U周期性的變化123實驗解釋 晶體結(jié)構(gòu)：13當(dāng) 時加強-布拉格公式。 波程差：14實驗證明了電子確實具有波動性，也證明了德布羅意公式的正確性。并進一步證明：一切實物粒子(電子、中子、質(zhì)子等都具有波動性。 可見，當(dāng)、滿足此式時，測得電流的極大值。 對于通過電壓U加速的電子：當(dāng)U

7、不變時，改變，可使某一滿足上式，出現(xiàn)極大值 當(dāng)不變時，改變U，可使某一U滿足上式，出現(xiàn)極大值。15觀測到的量子圍欄（quantum corral） M.F.Crommie-1993 16湯姆遜實驗1927年，湯姆遜在實驗中，讓電子束通過薄金屬箔后射到照相底線上，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，與X射線通過金箔時一樣，也產(chǎn)生了清晰的電子衍射圖樣。1993年，Crommie等人用掃描隧道顯微鏡技術(shù)，把蒸發(fā)到銅（111）表面上的鐵原子排列成半徑為7.13nm的圓環(huán)形量子圍欄，用實驗觀測到了在圍欄內(nèi)形成的同心圓狀的駐波(“量子圍欄”)，直觀地證實了電子的波動性。電子通過狹縫的衍射實驗：1961年，約恩孫 (Jonsson)

8、制成長為50um，寬為0.3um ，縫間距為1.0um的多縫。用50V的加速電壓加速電子，使電子束分別通過單縫、雙縫等，均得到衍射圖樣。17中子衍射射線衍射X18X射線經(jīng)晶體的衍射圖電子射線經(jīng)晶體的衍射圖19由于電子波長比可見光波長小10-310-5數(shù)量級，從而可大大提高電子顯微鏡的分辨率。1932年，德國的魯斯卡研制成功電子顯微鏡。我國已制成80萬倍的電子顯微鏡，分辨率為14.4nm.n， 能分辨大個分子有著廣泛的應(yīng)用前景。四、應(yīng)用舉例1、電子顯微鏡2、掃描隧道顯微鏡1981年，德國的賓尼希和瑞士的羅雷爾制成了掃描隧道顯微鏡，他們兩人因此與魯斯卡共獲1986年的諾貝爾物理學(xué)獎金。其橫向分辨率

9、可得0.1nm，縱向分辨率可得0.001nm ，它在納米材料、生命科學(xué)和微電子學(xué)中起著不可估量的作用。20例1. 計算下列運動物質(zhì)的德布羅意波長(1) 質(zhì)量100g, v = 10ms1運動的小球。(2) 以 2.0 103ms 1速度運動的質(zhì)子。(3) 動能為 1.6 107 J 的電子21練習(xí)題:1.在B=1.2510-2T的勻強磁場中沿半徑為R=1.66cm的圓軌道運動的粒子的德布羅意波長=.2.運動速率等于300K時方均根速率的德布羅意波長是.氫原子質(zhì)量m=1.6710-27kg,玻爾茲曼常數(shù)k=1.3810-23JK-1223.已知第一玻爾軌道的半徑為a,當(dāng)氫原子中電子沿第n玻爾軌道

10、運動時,其相應(yīng)的德布羅意波長是.4.能量為15ev的光子,被處于基態(tài)的氫原子吸收,使氫原子電離發(fā)射一個光電子,此光電子的德布羅意波長為.23海森伯（W. K. Heisenberg，1901-1976） 德國理論物理學(xué)家。他于1925年為量子力學(xué)的創(chuàng)立作出了最早的貢獻，而于25歲時提出的不確定關(guān)系則與物質(zhì)波的概率解釋一起奠定了量子力學(xué)的基礎(chǔ)。為此，他于1932年獲得諾貝爾物理學(xué)獎金。不確定關(guān)系243.2 測不準原理25薛定諤設(shè)想對一個放射性原子核及一只貓在一個密封的盒中,再放一個偵察器,只要這個偵察器一探察到原子核衰變就立即放出毒氣,把貓殺死.根據(jù)哥本哈根闡釋,你不打開盒子,原子核的衰變處于半

11、衰變半不衰變的狀態(tài),而導(dǎo)致毒氣在放于不放之間,貓的性命也處于死與不死之間,直至有人打開盒子,貓才會從重疊狀態(tài)中變成生貓或者死貓.薛定諤貓26另一個實驗和盒中貓差不多,不過這次我們用兩只貓,這兩只貓各自被放上兩支火箭,火箭上什么所需都有,也有一樣的殘忍裝置,而這兩支火箭被一條管連住,管里面有一個放射性原子,在某一刻,管被切斷,放射性原子被隨機分到一支火箭上,除非有人打開火箭,否則放射性原子同時處于兩支火箭,所以兩只貓都是處于半生半死的狀態(tài),火箭背向飛行,一架去到大麥哲倫云,一架去到仙女座大星系,假設(shè)大麥哲倫外星人打開火箭，見到是一只死貓,在同一時刻,仙女座大星系的貓就立即從重疊狀態(tài)復(fù)蘇,它是一只

12、生貓.薛定諤強調(diào)不能接受盒內(nèi)的是一只又是生又是死的貓. 薛定諤貓27（uncertainty relation） 經(jīng)典粒子運動軌道的概念在多大程度上適用于微觀世界？ 海森伯（Heisenberg）于1927年根據(jù)對一些理想實驗的分析和德布洛意關(guān)系得出“不確定關(guān)系”： 粒子在同一方向的坐標和動量不能同時確定:：動量不確定范圍xp：坐標不確定范圍x測不準關(guān)系28粗略的表示：海森堡嚴格推出：一、測不準關(guān)系的表述和含義29二、測不準關(guān)系的簡單導(dǎo)出1、單峰衍射30海森堡嚴格推出：31能量和時間也是一對共軛物理量,有:簡略推導(dǎo)如下:32 不確定關(guān)系是微觀粒子固有屬性波粒二象性決定的，與儀器精度和測量方法的

13、缺陷無關(guān)。不確定關(guān)系是海森伯(heisenberg)1926年提出的。他根據(jù)一些假想實驗的分析，首先得出關(guān)系式 。后來玻恩按照波函數(shù)的統(tǒng)計解釋給出嚴格證明，使其表述更為確切，從而和狀態(tài)疊加原理一起，成為量子力學(xué)的兩個基本原理。 33科學(xué)史上的“宿命論”科學(xué)理論，特別是牛頓引力論的成功，使得法國科學(xué)家拉普拉斯侯爵在19世紀初論斷，宇宙是完全被決定的。他認為存在一組科學(xué)定律，只要我們完全知道宇宙在某一時刻的狀態(tài)，我們便能依此預(yù)言宇宙中將會發(fā)生的任一事件。例如，假定我們知道某一個時刻的太陽和行星的位置和速度，則可用牛頓定律計算出在任何其他時刻的太陽系的狀態(tài)。這種情形下的宿命論是顯而易見的，但拉普拉斯

14、進一步假定存在著某些定律，它們類似地制約其他每一件東西，包括人類的行為。 34測不準原理表明：同時嚴格 確定兩個共軛變量（例如， 位置和速度）的數(shù)值是不可 能的，它們的數(shù)值的準確度 有個下限。這是一條自然定律。它說明，在原子層次上，同時得到一個粒子的位置和速度的嚴格準確的測量在原則上是不可能的。 35 不要試圖更好的從邏輯上去理解量子力學(xué).因為其本身就是不可以用邏輯解釋的36例題1：一顆質(zhì)量為10g的子彈，具有200m/s的速度，動量的不確定量為0.01%，問在確定該子彈的位置時，有多大的不確定范圍？ 解：子彈的動量為子彈的動量的不確定量為由不確定關(guān)系，可以得到子彈位置的不確定范圍為這個不確定

15、范圍是微不足道的，可見不確定關(guān)系對宏觀物體來說，實際上是不起作用的。37例題2：一電子具有具有200m/s的速率，動量的不確定量為0.01%，問在確定該電子的位置時，有多大的不確定范圍？解：電子的動量為子彈的動量的不確定量為由不確定關(guān)系，可以得到子彈位置的不確定范圍為我們知道原子大小的數(shù)量級為10-10m，電子則更小。在這種情況下，電子位置的不確定范圍比電子本身的大小要大幾億倍以上。38例3.電子顯像管中電子加速電壓10kv,槍口直徑0.01cm,電子射出后橫向速度不確定量?原子線度10-10m,原子中電子速度不確定量?解: 顯像管中的電子經(jīng)10kv電壓加速原子中的電子 玻爾理論電子軌道運動速

16、度v 106m/s, 原子中談電子的運動速度、位置已無意義,也無確定的軌道,波動性顯著的電子只能以各處出現(xiàn)的幾率來描述其所處的狀態(tài).電子橫向速度的不確定量可忽略39例4.光子波長300nm,若測長精度/=10-6, 求光子位置的不確定量?解:40三、不確定關(guān)系的應(yīng)用：舉例 1、估算氫原子可能具有的最低能量電子束縛在半徑為r 的球內(nèi)，所以按不確定關(guān)系當(dāng)不計核的運動，氫原子的能量就是電子的能量：代入上式得：41基態(tài)能應(yīng)滿足：由此得出基態(tài)氫原子半徑：基態(tài)氫原子的能量：與波爾理論結(jié)果一致。本例還說明：量子體系有所謂的零點能。422、解釋譜線的自然寬度原子中某激發(fā)態(tài)的平均壽命為普朗克能量子假說不確定關(guān)系

17、譜線的自然寬度它能解釋譜線的自然寬度。433.3 波函數(shù)及其物理意義44如何理解物質(zhì)粒子的波動性？開始有二種典型理解：一個實物粒子看成一個波包。問題：波包會擴散；電子衍射，電子不可分。實物粒子看成疏密波。波包說夸大了波動性一面。 問題： 電子衍射表明，單個粒子也有波動性。疏密波說夸大了粒子性一面。45(2)入射弱電子流，長時間積累形成干涉條紋。(1)入射強電子流，一次性形成干涉條紋；124647一、波函數(shù) 概率密度1、平面簡諧波的波函數(shù)一個頻率為n ，波長為l 、沿x方向傳播的單色平面波的波函數(shù)為復(fù)數(shù)形式482、自由粒子的波函數(shù)一個自由粒子有動能E和動量p。對應(yīng)的德布羅意波具有頻率和波長：波函

18、數(shù)可以寫成493、波函數(shù)的統(tǒng)計解釋某一時刻出現(xiàn)在某點附近體積元dV中的粒子的概率，與波函數(shù)模的平方成正比。概率密度波函數(shù)(x,y,z,t)的統(tǒng)計解釋(哥本哈根解釋)：波函數(shù)模的平方代表某時刻t在空間某點(x,y,z)附近單位體積內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率，即| 2 代表概率密度。波函數(shù)的統(tǒng)計意義是波恩于1926年提出的。由于波恩在量子力學(xué)所作的基礎(chǔ)研究，特別是波函數(shù)的統(tǒng)計解釋，他與博特共享了1954年的諾貝爾物理學(xué)獎。k加速電場單縫105個2104個10個E50t時刻，xx+dx、yy+dy、zz+dz、的體元 內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的幾率： 表示t時刻、（x、y、z）處發(fā)現(xiàn)粒子的幾率密度。1.波恩的波函數(shù)幾率解釋

19、是量子力學(xué)基本原理之一2.經(jīng)典波振幅是可測量，而波函數(shù)是不可測量，可測是幾率3.單縫、雙縫干涉實驗在1961年前是假想實驗注：51 2歸一化條件由于粒子總在空間某處出現(xiàn)，故在整個空 間出現(xiàn)的總幾率應(yīng)當(dāng)為1：4、波函數(shù)的標準條件及歸一化1波函數(shù)必須單值、有限、連續(xù)。 單值：在任何一點，幾率只能有一個值。 有限：幾率不能無限大。 連續(xù)：幾率在某處不發(fā)生突變。523.4 薛定諤波動方程參考閱讀：哈密頓原理，拉格朗日方程53一、薛定諤波動方程的建立 經(jīng)典力學(xué)（質(zhì)點） 量子力學(xué)(微觀粒子) 特點 粒子性 波粒二象性 運動情況 沿軌道運動 無軌道 狀態(tài)描述 坐標(r)和動量(p) 波函數(shù) 由初態(tài)求末態(tài) 牛

20、頓方程 薛定諤方程 運動方程 ？54對x、y、z分別求二次偏導(dǎo)：一、薛定諤方程的建立1自由粒子的薛定諤方程對t求一次偏導(dǎo)：55自由粒子的薛定諤方程。 三者相加：拉普拉斯算符：自由粒子: 56則有： 處在以勢能表征的力場中的微觀粒子所滿足的運動方程，稱之為薛定諤方程2一般粒子的薛定諤方程57二、定態(tài)薛定諤方程能量不隨時間變化的狀態(tài)稱為定態(tài)。設(shè)作用在粒子上的力場不隨時間改變，即勢能 中不顯含時間t，將其代入方程：E為一常數(shù)波函數(shù)分離變量： 58 解出：定態(tài)波函數(shù)1定態(tài)中E不隨時間變化，粒子有確定的能量2定態(tài)中粒子的幾率密度不隨時間變化3 定態(tài)薛定諤方程59如果 是方程的解，那么它們的的線性組合 也

21、是方程的解， 為任意常數(shù)。即如果 是體系可能的狀態(tài)，那么它們的的線性組合 也是體系一個可能的狀態(tài) 4態(tài)迭加原理603具體的勢場 決定粒子狀態(tài)變化的情況，如果給出勢能函數(shù) 的具體形式，只要我們知道了微觀粒三、薛定諤方程的討論1薛定諤方程描述了微觀粒子的運動狀態(tài) 在勢場 中隨時間變化 的規(guī)律。2薛定諤方程是量子力學(xué)的基本方程，它不能從更基本的假設(shè)中推導(dǎo)出來。它的正確性只有通過與實驗結(jié)果相一致來得到證明。61 子初始時刻的狀態(tài) 。原則上說，只要通過薛定諤方程，就可以求出任意時刻的狀態(tài) 。4薛定諤方程中有虛數(shù)單位i，所以 一般是復(fù)數(shù)形式。 表示概率波， 是表示粒子在時刻t、在空間某處出現(xiàn)的概率。因而薛

22、定諤方程所描述的狀態(tài)隨時間變化的規(guī)律，是一種統(tǒng)計規(guī)律。625在薛定諤方程的建立中，應(yīng)用了 ，所 以是非相對論的結(jié)果；同時方程不適合一切 的粒子，這是方程的局限性。63例1：一個粒子在如圖所示的勢場中運動，它的勢能為 這種勢場稱為一維無限深勢阱。在一維無限深勢阱中粒子如何運動？它的波函數(shù)如何？能量如何？ 解：由于粒子做一維運動，所以有 由于勢能中不顯含時間，故用定態(tài)薛定諤方程求解。方程的解為定態(tài)解因此一維定態(tài)薛定諤方程為641方程的通解(1) 所以波函數(shù)為零，即粒子不可能跑到阱外去，(2) 時， ， 方程為 令 二階齊次微分方程，它的通解為式中A、B為兩常數(shù)。 652常數(shù)的確定及能量量子化根據(jù)波

23、函數(shù)的標準條件，波函數(shù)應(yīng)連續(xù)， ，( ？)當(dāng)時，表明幾率處處恒為0，即不存在粒子，這是不可能的。66波函數(shù)的歸一化： 能量是量子化的 3討論(1)能量不能任意取值，束縛在一維無限深勢阱中的粒子的能量是量子的。這是由薛定諤方程加上標準條件自然地導(dǎo)出的，不用再做量子化的假定。67(2)波函數(shù)的物理意義處在不同能級的粒子，在勢阱中的幾率分布不同。(3)實際意義：金屬內(nèi)的自由電子，可看成在勢阱中運動的粒子。 68 例2 勢壘貫穿 粒子受到的勢能為： 計算粒子在三個區(qū)出現(xiàn)的幾率。粒子具有的能量為E， 解：設(shè)粒子在I、II、III區(qū)的波函數(shù)分別為 ，它們滿足的薛定諤方程為： 令 69方程的解為：根據(jù)波函數(shù)

24、的連續(xù)條件和歸一化條件可以確定常數(shù)，結(jié)果如圖： 70可見，雖然， 粒子仍可以穿過II區(qū)進入III區(qū)，這種貫穿勢壘的效應(yīng)稱為隧道效應(yīng)。粒子從I區(qū)到III區(qū)的幾率為 71掃描隧道顯微鏡(Scanning Tunneling MicroscopySTM)STM原理 . 0.1nm, 0.01nm1986年，賓尼博士和羅雷爾與發(fā)明電子顯微鏡的魯斯卡獲諾貝爾物理學(xué)獎。 72733.6 氫原子的量子力學(xué)處理一、氫原子的薛定諤方程電子在原子核的庫侖場中運動： 定態(tài)薛定諤方程： 氫原子問題是球?qū)ΨQ問題，通常采用球坐標系： 氫原子在球坐標下的定態(tài)薛定諤方程： 74二、分離變量1 代入方程，并用 乘以兩邊： 是一

25、個與 無關(guān)的常數(shù)。 徑向方程：角方程：752 代入方程，并用 乘以兩邊： 是一個與 無關(guān)的常數(shù)。 76三、 三方程的解1 方程的解方程的解為：波函數(shù)單值： 波函數(shù)歸一化：772 方程的解關(guān)聯(lián)勒讓德方程。求解過程中發(fā)現(xiàn)，為了得到符合波函數(shù)標準條件的解，必須對 和 加以限制：方程的解為關(guān)聯(lián)勒讓德多項式： 783 方程的解關(guān)聯(lián)拉蓋爾方程，方程的解為關(guān)聯(lián)拉蓋爾多項式 玻爾半徑只要給出了 、 的一對具體的數(shù)值，就可以得到一個満足標準條件的解。 79四、H原子的波函數(shù)對應(yīng)一組量子數(shù) ，就能給出 波函數(shù)的一個具體形式，因此 確定了原子的狀態(tài)。80當(dāng) 時， 取任何值都能使R滿足標準條件的 解。所以正值的能量是連續(xù)的，相當(dāng)于自由電子 與H+離子結(jié)合為原子時釋放的能量。 3.6 .2 量子力學(xué)對氫原子運動狀態(tài)的描繪一、量子數(shù) 的物理意義1主量子數(shù) 與能量量子化當(dāng) 時， 能量是量子化的，自然得出。81 2角量子數(shù) 和角動量角子化 角動量是量子化的，自然得出。 舊量子論： 當(dāng)角動量很大時， ， , 二者一致， 所以玻爾理論給出了