相似三角形性質(zhì)判定知識(shí)點(diǎn)總結(jié)經(jīng)典題型總結(jié)

1、相似三角形性質(zhì)及判斷知識(shí)點(diǎn)總結(jié)經(jīng)典題型總結(jié)相似三角形性質(zhì)及判斷知識(shí)點(diǎn)總結(jié)經(jīng)典題型總結(jié)相似三角形性質(zhì)及判斷知識(shí)點(diǎn)總結(jié)經(jīng)典題型總結(jié)中考要求相似三角形的性質(zhì)及判斷板塊考試要求A級(jí)要求B級(jí)要求C級(jí)要求相似三角形認(rèn)識(shí)相像三角形掌握相似三角形的見解，判斷及性質(zhì)，以及掌會(huì)運(yùn)用相似三角形有關(guān)的握有關(guān)的模型知識(shí)解決有關(guān)問題知識(shí)點(diǎn)睛一、相似的有關(guān)見解1相似形擁有同樣形狀的圖形叫做相似形相似形僅是形狀同樣，大小不用然同樣相似圖形之間的相互變換稱為相似變換2相似圖形的特色兩個(gè)相似圖形的對應(yīng)邊成比率，對應(yīng)角相等3相似比兩個(gè)相似圖形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比率二、相似三角形的見解1相似三角形的定義對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比率的

2、三角形叫做相似三角形如圖，ABC與ABC相似，記作ABCABC，符號(hào)讀作“相似于”2相似比相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比全等三角形的相似比是形”不用然是“全等形”1“全等三角形”必定是“相似形”，“相似三、相似三角形的性質(zhì)1相似三角形的對應(yīng)角相等如圖，ABC與ABC相似，則有AA，BB，CC2相似三角形的對應(yīng)邊成比率ABC與ABC相似，則有ABBCACABBCk（k為相似比）AC3相似三角形的對應(yīng)邊上的中線，高線和對應(yīng)角的均分線成比率，都等于相似比如圖1，ABC與ABC相似，AM是ABC中BC邊上的中線，AM是ABC中BC邊上的中線，則有ABBCACkAM（k為相似比）ABBCACAM圖1如圖

3、2，ABC與ABC相似，AH是ABC中BC邊上的高線，AH是ABC中BC邊上的高線，則有ABBCACkAH（k為相似比）ABBCACAH圖2如圖3，ABC與ABC相似，AD是ABC中BAC的角均分線，AD是ABC中BAC的角平分線，則有ABBCACkAD（k為相似比）ABBCACAD圖34相似三角形周長的比等于相似比如圖4，ABC與ABC相似，則有ABBCACk（k為相似比）應(yīng)用比率的等比性質(zhì)有ABBCACABBCACABBCACkABBCACABBCAC圖45相似三角形面積的比等于相似比的平方如圖5，ABC與ABC相似，AH是ABC中BC邊上的高線，AH是ABC中BC邊上的高線，SABC1B

4、CAHBCAH則有ABBCACAH（k為相似比）從而可得22kABBCACAHSABC1kBCAHBCAH2圖5四、相似三角形的判斷1平行于三角形一邊的直線和其余兩邊（或兩邊的延伸線）訂交，所組成的三角形與原三角形相似2假如一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似可簡單說成：兩角對應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似3假如一個(gè)三角形的兩邊和另一個(gè)三角形的兩邊對應(yīng)成比率，而且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似4假如一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的你對應(yīng)成比率，那么這兩個(gè)三角形相似可簡單地說成：三邊對應(yīng)成比率，兩個(gè)三角形相似5假如一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜

5、邊和一條直角邊對應(yīng)成比率，那么這兩個(gè)直角三角形相似6直角三角形被斜邊上的高分紅的兩個(gè)直角三角形相似（常用但要證明）7假如一個(gè)等腰三角形和另一個(gè)等腰三角形的頂角相等或一對底角相等，那么這兩個(gè)等腰三角形相似；假如它們的腰和底對應(yīng)成比率，那么這兩個(gè)等腰三角形也相似五、相似證明中的比率式或等積式、比率中項(xiàng)式、倒數(shù)式、復(fù)合式證明比率式或等積式的主要方法有“三點(diǎn)定形法”1橫向定型法欲證ABBC，橫向察看，比率式中的分子的兩條線段是AB和BC，三個(gè)字母A，B，C恰為ABC的頂BEBFBE和BF，三個(gè)字母B，E，F(xiàn)恰為BEF的三個(gè)極點(diǎn)所以只要證ABCEBF點(diǎn)；分母的兩條線段是2縱向定型法欲證ABDE，縱向察看

6、，比率式左側(cè)的比AB和BC中的三個(gè)字母A，B，C恰為ABC的極點(diǎn)；右側(cè)的BCEF比兩條線段是DE和EF中的三個(gè)字母D，E，F(xiàn)恰為DEF的三個(gè)極點(diǎn)所以只要證ABCDEF3中間比法因?yàn)檫\(yùn)用三點(diǎn)定形法經(jīng)常會(huì)遇到三點(diǎn)共線或四點(diǎn)中沒有同樣點(diǎn)的狀況，此時(shí)可考慮運(yùn)用等線，等比或等積進(jìn)行變換后，再考慮運(yùn)用三點(diǎn)定形法找尋相似三角形這種方法就是等量代換法在證明比率式時(shí)，常用到中間比比率中項(xiàng)式的證明，平常波及到與公共邊有關(guān)的相似問題。這種問題的典型模型是射影定理模型，模型的特征和結(jié)論要嫻熟掌握和透辟理解倒數(shù)式的證明，經(jīng)常需要先進(jìn)行變形，將等式的一邊化為1，另一邊化為幾個(gè)比值和的形式，此后比較值進(jìn)行等量代換，從而證明

7、之復(fù)合式的證明比較復(fù)雜平常需要進(jìn)行等線代換（對線段進(jìn)行等量代換），等比代換，等積代換，將復(fù)合式轉(zhuǎn)變?yōu)榛镜谋嚷适交虻确e式，此后進(jìn)行證明六、相似證明中常有協(xié)助線的作法在相似的證明中，常有的協(xié)助線的作法是做平行線結(jié)構(gòu)成比率線段或相似三角形，要證明的結(jié)論常有的等量代換包含等線代換、等比代換、等積代換等同時(shí)再聯(lián)合等量代換獲得如圖：AD均分BAC交BC于D，求證：BDABDCAC證法一：過C作CEAD，交BA的延伸線于1E，2312，3EACAEEADCE，BDBABADCBEAC談?wù)摚鹤銎叫芯€結(jié)構(gòu)成比率線段，利用了“A”型圖的基本模型證法二；過B作AC的平行線，交AD的延伸線于E12E，ABBEBEA

8、C，BDBEABDCACAC談?wù)摚鹤銎叫芯€結(jié)構(gòu)成比率線段，利用了“X”型圖的基本模型七、相似證明中的面積法面積法主假如將面積的比，和線段的比進(jìn)行相互轉(zhuǎn)變來解決問題常用的面積法基本模型以下：SABC1BCAHBC如圖：2SACD1CDAHCD2如圖：SABC1BCAHAHAO2SBCD1BCDGDGOD2如圖：SABDSABDSAEDABADABADSACESAEDSACEAEACAEAC八、相似證明中的基本模型例題精講一、與三角形有關(guān)的相似問題【例1】如圖，在ABC中，ACAB，點(diǎn)D在AC邊上，若在增添一個(gè)條件就能使ABCACB，則這個(gè)條件能夠是【堅(jiān)固】如圖，D、E是ABC的邊AC、AB上的點(diǎn)

9、，且ADACAEAB，求證：ADEB.【堅(jiān)固】如圖，在ABC中，ADBC于D，CEAB于E，ABC的面積是BDE面積的4倍，AC6，求DE的長.【例2】如圖，ABC中，ABC60，點(diǎn)P是ABC內(nèi)一點(diǎn)，使得APBBPCCPA，PA8，PC6，則PB【堅(jiān)固】如圖，已知三個(gè)邊長相等的正方形相鄰并排，求EBFEBG【例3】如圖，已知ABC中，AE:EB1:3，BC:CD2:1，AD與CE訂交于F，則AFEF的值為（）FCFDA.5B.1C.322【堅(jiān)固】在ABC中，BDCE，DE的延伸線交BC的延伸線于P，求證：ADBPAECP.【堅(jiān)固】如圖，M、N為ABC邊BC上的兩點(diǎn)，且知足BMMNNC，一條平行

10、于AC的直線分別交AB、AM和AN的延伸線于點(diǎn)求證：EF3DE.D、E和F.【例4】如圖，已知AB/EF/CD，若ABa，CDb，EFc，求證：111.cab【堅(jiān)固】如圖，ABBD，CDBD，垂足分別為B、D，AC和BD訂交于點(diǎn)E，EFBD，垂足為F.證明：111.ABCDEF【堅(jiān)固】如圖，已知AB/EF/CD，找出SABD、SBED、SBCD之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.【例5】如圖，在四邊形ABCD中，及AC的延伸線分別訂交于點(diǎn)AC與BD訂交于點(diǎn)O，直線l平行于BD，且與AB、DC、M、N、R、S和P.求證：PMPNPRPSBC、AD【堅(jiān)固】已知，如圖，四邊形ABCD，兩組對邊延伸后交于E、

11、F，對角線BDEF，AC的延伸線交EF于G求證：EGGF【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)與判斷【難度】5星【題型】解答【重點(diǎn)詞】【例6】如圖，ABC中，BCa，若D1，E1分別是AB，AC的中點(diǎn)，則D1E11a；2若D2、E2分別是D1B、E1C的中點(diǎn)，則D2E21aa3a；224若D3、E3分是D2B、E2C的中點(diǎn)，137D3E34aaa；28若Dn、En分是Dn-1B、En-1C的中點(diǎn)，DnEn_.【例7】如，ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，P作各的平行，把ABC分紅三個(gè)三角形和三個(gè)平行四形若三個(gè)三角形的面S1，S2，S3分1，ABC的面是12【例8】如，梯形ABCD的兩條角與兩底所成的兩個(gè)三角形的面分p2，q

12、2，梯形的面是（）A2p2q2Bpq2Cp2q2pq22p2q2DPqp2q2【堅(jiān)固】如，梯形ABCD中，ADBC，兩條角AC、BD訂交于O，若SAOD:SCOB1:9，那么SBOC:SDOC二、與平行四邊形有關(guān)的相似問題【例9】如，已知平行四形ABCD中，點(diǎn)B的直次與AC、AD及CD的延訂交于點(diǎn)E、F、G，若BE5，EF2，F(xiàn)G的是【堅(jiān)固】如，已知DEAB，OA2OCOE，求：ADBC.【例10】如圖，YABCD的對角線訂交于點(diǎn)O，在AB的延伸線上任取一點(diǎn)E，連結(jié)OE交BC于點(diǎn)F，若ABa，ADc，BEb,求BF的值【堅(jiān)固】如圖：矩形ABCD的面積是36，在AB，AD邊上分別取點(diǎn)E，F(xiàn)，使得

13、AE3EB，DF2AF，且DE與CF的交點(diǎn)為點(diǎn)O，求FOD的面積。三、與梯形有關(guān)的相似問題【例11】已知：如圖，在梯形ABCD中，AB/CD，M是AB的中點(diǎn)，分別連結(jié)AC、BD、MD、MC，且ACMD交于點(diǎn)E，DB與MC交于F.1）求證：EF/CD（2）若ABa,CDb，求EF的長.【堅(jiān)固】如圖，在梯形ABCD中，ADBC，ADa，BCb，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，AF交BE于P，CE交DF于Q，求PQ的長【例12】如圖，已知梯形ABCD中，AD/BC，A90，ABa,ADb,BC2b(ab),DEDC,DE交AB于點(diǎn)E，連結(jié)EC.（1）判斷DCE與ADE，DCE與BCE能否分別必定相似，

14、若相似，請加以證明.（2）假如不用然相似，請指出a、b知足什么關(guān)系時(shí)，它們就能相似.四、與內(nèi)接矩形有關(guān)的相似問題【例13】ABC中，正方形EFGH的兩個(gè)極點(diǎn)E、F在BC上，另兩個(gè)極點(diǎn)G、H分別在AC、AB上，BC15,BC邊上的高AD10,求SWEFGH.【堅(jiān)固】如圖，已知上，F(xiàn)，G在ABC中，AC3，BC4，AB上，求正方形的邊長C90，四邊形DEGF為正方形，此中D，E在邊AC，BC【例14】如圖，已知SSADFCDEABC中，四邊形DEGF為正方形，1，SBEG3，求ABC的面積D，E在線段AC，BC上，F(xiàn)，G在AB上，假如【堅(jiān)固】如圖，在ABC中，AB5，BC3，AC4，動(dòng)點(diǎn)E(與點(diǎn)A

15、，C不重合)在AC邊上，EFAB交BC于F點(diǎn)EABF的面積相等時(shí)，求當(dāng)ECF的面積與四邊形CE的長當(dāng)ECF的周長與四邊形EABF的周長相等時(shí)，求CE的長試問在AB上能否存在點(diǎn)P，使得EFP為等腰直角三角形？若不存在，請簡要說明原因；若存在，懇求出EF的長課后作業(yè)1.直線DE與ABC的AB邊訂交于點(diǎn)D，與AC邊訂交于點(diǎn)E，以下條件：DEBC；AEDB；AEACADAB；AEED中，能使ADE與ABC相似的條件有（）ACBCA1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)2.如圖，在ABC的邊AB上取一點(diǎn)D，在AC取一點(diǎn)E，使ADAE，直線DE和BC的延伸線訂交于P，求證：BPBDCPCE3.已知：P為ABC的中位線MN上隨意一點(diǎn)，BP、CP的延伸線分別交對邊AC、AB于D、E，求證：ADAEDCEB14.如圖，已知在矩形ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，EFEC交