含根式函數(shù)值域的求法

1、含根式函數(shù)值域的求法含根式函數(shù)值域的求法含根式函數(shù)值域的求法創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十天含根式函數(shù)值域的幾何求法之勘阻及廣創(chuàng)作創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十天函數(shù)值域和最除夕夜值、最小值問題是高中數(shù)學(xué)中重要的問題,其求解的方法很多,罕有的解法有：察見解、配方法、均值不等式法、反函數(shù)法、換元法、鑒識式法、單調(diào)函數(shù)法、圖解法等.其中,利用數(shù)形結(jié)合來求函數(shù)的值域,特別是含根式函數(shù)的值域,擁有其共同的收效,它能夠把滿足題意的幾何圖形畫出來,生動形象的直觀圖,提示和啟示我們的解題思路,有時,圖形式直接供應(yīng)了我們追求的謎底,因此,幾何法既能夠使題意更加明確,又能夠使運(yùn)算獲得簡化.例1求函數(shù)y2x1x3的最

2、小值.解：由x30得：x3.u2x1(u5)v21(u5)(u5,v0)令vx3(v0),消去x得：2v21(u5)又在直線vuy上,如圖1,則點(diǎn)u,v在2的拋物線段上,易知,當(dāng)直線與拋物線相切時,y取最除夕夜值,取y最小值.v21(u5)2聯(lián)立方程組vuy,消去u整理得：2v2vy50,由=0,圖1即：(1)242(y5)0創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十天創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十天41解得：y8.41原函數(shù)的最小值為8.評注：本題能夠利用代數(shù)換元法,將含根式函數(shù)的值域問題轉(zhuǎn)變成二次型函數(shù)在某區(qū)間上的值域問題,其解題過程中運(yùn)算量其實(shí)不除夕夜,而且不難接受理解.因此,本題利用構(gòu)造直線與拋物線進(jìn)

3、行求解,并沒有真切表現(xiàn)出幾何解法的優(yōu)越性.例2求函數(shù)y1x3x1的值域.解析：本題不能夠用換元法進(jìn)行求解,因此,我們也來檢驗(yàn)考試?yán)脦缀谓夥?1x0解：由3x0解得：3x1.u1x(0u2)令v3x(0v2),消去x得：u2v24(0u2,0v2)則點(diǎn)u,v在u2v24的園弧上,又在直線vuy1上,圖2如圖2,顯然OAy1OB又OA2,OB221y221即為原函數(shù)所求的值域.例3求函數(shù)yx24x26x10的最小值.解析：當(dāng)我們把yx24x26x10化為：y(x0)2(02)2(x3)2(01)2時,簡單聯(lián)想到兩點(diǎn)間距離.解：設(shè)P（x,0）,A（0,2）,B（3,1）,則問題轉(zhuǎn)變創(chuàng)作時間：二零二

4、一年六月三十天創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十天為在x軸上找一點(diǎn)P,使得P到A、B兩點(diǎn)的距離之和最小.如圖3,易求得點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A/的坐標(biāo)為（0,2）,則：APBPA/PBPA/B即為最小.yminA/B(03)2(21)223.評注：本題可用鑒識式法以及構(gòu)造復(fù)數(shù)由模的重要不等式進(jìn)行求解,可是鑒識式法計(jì)算量很除夕夜,不簡單求解,而復(fù)數(shù)法實(shí)質(zhì)上就是上述解法的另一種形式,可見,利用數(shù)形結(jié)合求解含根式函數(shù)的值域,不只簡化認(rèn)識題過程,而且在思想上提高了認(rèn)識,對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)建力擁有重要的意義.例4求函數(shù)y1610 xx24014xx2的值域.解：由y1610 xx24014xx2得：y9(x5)29

5、(x2)522x(x2).我們能夠看到上式的右邊表示過函數(shù)u9(x5)2上自變量x相差2的任意兩點(diǎn)的直線的斜率,如圖u4,kCDy2kABB,C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為4,22,6,22圖4kCD2,kAB2y22即：22y22.2原函數(shù)的值域?yàn)?2,22.創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十天創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十天例5求函數(shù)yx43x26x13x4x21的最除夕夜值.解：由已知函數(shù)得：y(x22)2(x3)2(x21)2(x0)2上式可看作拋物線uv2上的點(diǎn)P到點(diǎn)A（3,2）,B（0,1）距離之差的最除夕夜值,如圖5.由PAPBAB可知：當(dāng)點(diǎn)P在AB的延長線上的P/處時,y取最除夕夜值A(chǔ)B.ymax

6、(30)2(21)210.圖5例6求函數(shù)y2x24(x2)27的值域.ux(0u4)解：令v4(x2)2(0v2),消去x整理得：(u2)2v24,y2u2v722(2)22u2v722(2)2則,2u2v7其中22(2)2是半園A：(u2)2v24（0v2）上點(diǎn)到直線l：2u2v70的距離,如圖6,從圓心A作ACl于C交半園ACE2u2v7BD于E,BDl22(2)2于D,則CEAC211222,2222圖62(2)CEy2(2)BD1142y15即為所求函數(shù)的值域.y12x2例7求函數(shù)x2的最除夕夜值.創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十天創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十天解析：把原函數(shù)化為的斜率公式.y12x20 x(2)時,我們就簡單聯(lián)想到兩點(diǎn)解：由.12x2022x20解得：2x2.ux(2u2)12x222令v(0v1),消去x整理得：2u2v21,y12x212x20 x2x(2).則12x202u2v2(2u2)上點(diǎn)P其中x(2)可看作是橢圓弧122與點(diǎn)Q（2,0）連線的斜率k,如圖7易知：當(dāng)直線過點(diǎn)Q且與橢圓弧相切時,其斜率取最除夕夜值.2u2v21聯(lián)立方