必修一上函數(shù)性質(zhì)單調(diào)性奇偶性題型

1、第第 頁共13頁f(a)+f(b)-f(a)+f(b)f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)【例23】若f(x)是R上的減函數(shù)，且f(x)的圖象經(jīng)過點A(0,3)和點B(3,-1)，則不等式If(x+1)-II0時，0f(x)0:(3)求證：f(x)在R上是減函數(shù)；(4)若f(x)-f(2x)1，求x的范圍。【例25】設(shè)f(x)是定義在(0,+8)上的單調(diào)增函數(shù)，滿足f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1求：(1)f(1)；(2)當(dāng)f(x)+f(x8)2時x的取值范圍.x【例26】已知f(x)是定義在R+上的增函數(shù)，且f(-)=f(x)-f(y).y求證：f(1)=0，f(xy)=f(

2、x)+f(y)；(2)若f=1，解不等式f(x)f(亠)1，f(x)是定義在有限集合A=1,2,3,n上的單調(diào)遞增函數(shù)，且對任何x,yeA，有孌=f(x)f(y)那么，()f(y)A.n=2B.n=3C.n=4D.n三5題型四：函數(shù)的最值【例28】求函數(shù)f(x)=x，x0的最小值.x【例29】求函數(shù)y=Px+1+x1的最小值.【例30】求函數(shù)y=、：x+1Px1的最值.二、函數(shù)的奇偶性1奇函數(shù)定義如果對于函數(shù)定義域內(nèi)任意一個x，都有f(x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫奇函數(shù).偶函數(shù)定義如果對于函數(shù)定義域內(nèi)任意一個x，都有f(x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫偶函數(shù).函數(shù)的奇偶性定義如果一

3、個函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，則稱這個函數(shù)在其定義域內(nèi)具有奇偶性.注：(1)函數(shù)可分為奇函數(shù)、偶函數(shù)、既奇又偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù).奇函數(shù)、偶函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱.定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要不充分條件.判斷函數(shù)奇偶性的步驟先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱；在定義域關(guān)于原點對稱的條件下，再根據(jù)f(x)與f(x)的關(guān)系做出判斷,為了便于判斷，有時需要將函數(shù)進行化簡.判斷函數(shù)奇偶性的方法奇偶性定義是判斷函數(shù)奇偶性的主要方法.為了便于判斷，有時將函數(shù)解析式化簡后利用奇偶性定義的等價形式：f(x)+f(x)=0o函數(shù)為奇函數(shù)；=1o函數(shù)為奇函數(shù)(f(x)工0)；f(x)f(x)=0

4、o函數(shù)為偶函數(shù);f(x)兀X)=1o函數(shù)為偶函數(shù)(f(x)工0).f(x)根據(jù)函數(shù)圖像的對稱性判斷奇偶性：圖像關(guān)于原點對稱的函數(shù)是奇函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對稱的函數(shù)是偶函數(shù).利用基本函數(shù)的奇偶性結(jié)論判斷(具體內(nèi)容見后面附錄二).由任意一個定義域關(guān)于原點對稱的函數(shù)f(x)，均可構(gòu)造出一個奇函數(shù)g(x)=f(x)f(x)2、一個偶函數(shù)h(x)=f(x)+f(x)；2.利用以下結(jié)論判斷奇偶性：奇函數(shù)土奇函數(shù)二奇函數(shù)，偶函數(shù)土偶函數(shù)二偶函數(shù)，奇函數(shù)X奇函數(shù)二偶函數(shù)，奇函數(shù)X偶函數(shù)二奇，偶函數(shù)X偶函數(shù)=偶函數(shù)等.5.有關(guān)函數(shù)奇偶性的結(jié)論奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間內(nèi)具有相同的單調(diào)性(如果具有單調(diào)性)偶函數(shù)在關(guān)

5、于原點對稱的區(qū)間內(nèi)具有相反的單調(diào)性(如果具有單調(diào)性)若奇函數(shù)f(x)在x=0處有定義，則f(0)=0.(4)若f(x)=0,且f(x)定義域關(guān)于原點對稱，則函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù).題型一：判斷函數(shù)奇偶性判斷函數(shù)奇偶性可以直接用定義，而在某些情況下判斷f(x)土f(-x)是否為0是判斷函數(shù)奇偶性的一個重要技巧，比較便于判斷.【例1】判斷下列函數(shù)的奇偶性:y=丄；xy=x4+x2+2;y=x3+x:y=x3-1.【例2】判斷下列函數(shù)的奇偶性:【例3【例3】判斷下列根式函數(shù)的奇偶性并說明理由:f(x)=x4；(2)f(x)=x5；(3)f(x)=x+;f(x)=丄xx2(1)f(x)=(

6、x-1)：1一x(2)f(x)=、,：x一1+/1-x;f(x)八+巴X2+1+X+1【例4】判別下列函數(shù)的奇偶性:(1)f(x)=x2+51xI；(2)f(x)=1x一11+1x+11:(3)f(x)=x2-x3.【例5】判斷函數(shù)f(x)二的奇偶性.X2+1+X+1由函數(shù)奇偶性的定義，有下面的結(jié)論：在公共定義域內(nèi)兩個偶函數(shù)之和(積)為偶函數(shù)；兩個奇函數(shù)之和為奇函數(shù)；兩個奇函數(shù)之積為偶函數(shù);一個奇函數(shù)和偶函數(shù)之積為奇函數(shù).【例6】若函數(shù)f(x)=(x3+x)g(x)是偶函數(shù)，且f(x)不恒為零，判斷函數(shù)g(x)的奇偶性.【例7】函數(shù)y=f(x)與y=g(x)有相同的定義域，對定義域中任何x,有

7、f(x)+f(-x)=0,g(x)g(-x)=1，則F(xF(x)=2f(x)g(x)1+f(x)是(B.偶函數(shù)D.B.偶函數(shù)D.非奇非偶函數(shù)C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)題型二：求解析式與函數(shù)值利用函數(shù)奇偶性可求函數(shù)解析式.【例8】設(shè)f(x)是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)xg0,+8)時，f(x)=x(1+3x)，那么當(dāng)xg(一8,0)時，f(x)=【例9】已知偶函數(shù)f(x)的定義域為R，當(dāng)x0時，f(x)=x2+3x-1，求f(x)的解析式.設(shè)xVO,則一x0【例10】已知函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x0時f(x)=x(1-x).求函數(shù)f(x)的解析式.【例11】已知函數(shù)f(x)=(m2-1)x2+(

8、m-1)x+n+2，當(dāng)m,n為何值時，f(x)是奇函數(shù)？【例12】已知f(x)是偶函數(shù)，x0時，f(x)=-2x2+4x，求x0時f(x)的解析式.【例13】已知f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，當(dāng)x1時f(x)的表達式.ax21【例15】已知函數(shù)f(x)=一(a,b,ceZ)是奇函數(shù)，且f(1)=2,f3,求a,b,c的值.bx+c對于函數(shù)奇偶性有如下結(jié)論：定義域關(guān)于原點對稱的任意一個函數(shù)f(x)都可表示成一個偶函數(shù)和一個奇函數(shù)之和.即f(x)=*F(x)+G(x)其中F(x)=f(x)+f(-x),G(x)=f(x)-f(-x)利用這一結(jié)論，可以簡捷的解決一些問題.X2+X,【例16】定義在R

9、上的函數(shù)f(x)二，可表示成一個偶函數(shù)g(x)和一個奇函數(shù)h(x)之和，求g(x)，h(x).X2+1【例17】已知f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)并且f(x)+g(x)=x+1，則求f(x)與g(x)的表達式.【例18】已知f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且f(x)-g(x)=，求f(x)、g(x).x+1利用函數(shù)奇偶性求函數(shù)值【例19】已知f(x)=x2+ax3+bx+8且f(-2)=10,.求f.【例20】若f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則f(0)=;(2)若f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f=2，且對一切實數(shù)x都有f(x+4)=f(x)，則f(25)=；設(shè)函數(shù)y=f(x)(xgR且

10、x豐0)對任意非零實數(shù)x,x滿足f(x-x)=f(x)+f(x)，則函數(shù)y=f(x)是121212(指明函數(shù)的奇偶性)【例21】已知函數(shù)f(x)=-2x3-x若x、x、xgR且x+x0，x+x0，x+x0則f(x)+f(x)+f(x)123122331123()A.大于零B.小于零C.等于零D.大于零或小于零【例22】設(shè)函數(shù)f(x)=x3+1x1+2x2+x的最大值為M，最小值為m，則M與m滿足().2x2+1xIA.M+m=2B.M+m=4Mm=2D.Mm=4【例23】函數(shù)f(x)在R上有定義，且滿足f(x)是偶函數(shù)；f(0)=2005:g(x)=f(x-1)是奇函數(shù)；求f(2005)的值.

11、題型三：奇偶性與對稱性的其他應(yīng)用1.奇偶性與單調(diào)性【例24】已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，而且在(0,+8)上是減函數(shù)，判斷f(x)在(-8,0)上是增函數(shù)還是減函數(shù)并證明你的判斷.對奇函數(shù)有沒有相應(yīng)的結(jié)論.【例25】已設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且在區(qū)間(-8,0)上是減函數(shù)，實數(shù)a滿足不等式f(3a2+a3)f(3a2-2a)，求實數(shù)a的取值范圍.【例26】已知y=f(x)為(s,+8)上的奇函數(shù)，且在(0,+8)上是增函數(shù).求證：y=f(x)在(-8,0)上也是增函數(shù)；【例27】已知函數(shù)f(x)，當(dāng)x,ygR時恒有f(x+y)=f(x)+f(y).求證：函數(shù)f(x)是奇函數(shù)；若f(3)=a，試用a表示f(24).如果xgR+時f(x)0，且f(1)=0.5.試判斷f(x)的單調(diào)性，并求它在區(qū)間2,6上的最大值與最小值.【例28】設(shè)函數(shù)y=f(x)(xgR且x豐0)對任意非零實數(shù)x,x，恒有f(xx)=f(x)+f(x)，121212求證：f(1)=f(1)=0:求證：y=f(x)是偶函數(shù)；已知y=f(x)為(0，+8)