線性代數(shù)12方陣的行列式課件

1、Chapter 1(2)方陣的行列式Chapter 1(2)方陣的行列式教學(xué)要求：1. 了解行列式的定義和性質(zhì);2. 掌握三階、四階行列式的計(jì)算法， 會(huì)計(jì)算簡(jiǎn)單的n階行列式;3. 了解排列與對(duì)換;4. 會(huì)用Gramer法則解線性方程組.教學(xué)要求：1. 了解行列式的定義和性質(zhì);2. 掌握三階、四階線性代數(shù)12方陣的行列式課件定義1. 二階行列式定義為主對(duì)角線副對(duì)角線對(duì)角線法則二階行列式的計(jì)算定義1. 二階行列式定義為主對(duì)角線副對(duì)角線對(duì)角線法則二階行列定義2. 三階行列式定義為三階行列式的計(jì)算-對(duì)角線法則注意 紅線上三元素的乘積冠以正號(hào)，藍(lán)線上三元素的乘積冠以負(fù)號(hào)定義2. 三階行列式定義為三階行列

2、式的計(jì)算-對(duì)角線法則注說(shuō)明1. 對(duì)角線法則只適用于二階與三階行列式 2. 三階行列式包括3!項(xiàng),每一項(xiàng)都是位于不同行,不同列的三個(gè)元素的乘積,其中三項(xiàng)為正,三項(xiàng)為負(fù).考察三階行列式如下：說(shuō)明1. 對(duì)角線法則只適用于二階與三階行列式 2. 線性代數(shù)12方陣的行列式課件定義3. 代數(shù)余子式剩下的元素按原來(lái)的排法構(gòu)成一個(gè)新的行列式定義3. 代數(shù)余子式剩下的元素按原來(lái)的排法構(gòu)成一個(gè)新的行列式定義4. 是一個(gè)算式，且定義4. 是一個(gè)算式，且注意：行列式是一些乘積的代數(shù)和，每一項(xiàng)乘積都是由行 列式中位于不同行不同列的元素構(gòu)成的.(3) 定義4中行列式按第一行展開(kāi)，同樣也可按第一列 展開(kāi)，甚至按行列式中任意

3、行或列展開(kāi). 由此可計(jì)算一些行列式.Example1.注意：行列式是一些乘積的代數(shù)和，每一項(xiàng)乘積都是由行(3) 定Proof.（數(shù)學(xué)歸納法）Proof.（數(shù)學(xué)歸納法）不是對(duì)角行列式，不是對(duì)角行列式，性質(zhì)1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.行列式 稱(chēng)為行列式 的轉(zhuǎn)置行列式. 記性質(zhì)2 互換行列式的兩行（列）,行列式變號(hào).說(shuō)明 行列式中行與列具有同等的地位,因此行列 式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的對(duì)列也同樣成立.性質(zhì)1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.行列式 稱(chēng)為例如推論 如果行列式有兩行(列)完全相同,則行列式為零.證明互換相同的兩行，有 性質(zhì)3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù) ，等于用數(shù) 乘此行

4、列式.例如推論 如果行列式有兩行(列)完全相同,則行列式為零.證明推論行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外面性質(zhì)行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零證明注意與矩陣數(shù)乘運(yùn)算的區(qū)別,推論行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符性質(zhì)5若行列式D的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和.則D等于下列兩個(gè)行列式之和：例如性質(zhì)5若行列式D的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和.則D等于性質(zhì)把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列(行)對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式不變例如性質(zhì)把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一性質(zhì)7. 行列式按行（列）展開(kāi)法則下

5、面證明:證性質(zhì)7. 行列式按行（列）展開(kāi)法則下面證明:證線性代數(shù)12方陣的行列式課件相同同理相同同理性質(zhì)8. Laplace定理(2) Laplace定理性質(zhì)8. Laplace定理(2) Laplace定理線性代數(shù)12方陣的行列式課件為方便起見(jiàn)，引用以下符號(hào)：其一、利用行列式的性質(zhì)，或通過(guò)將行列式化為三角行列式來(lái)計(jì)算行列式的值.為方便起見(jiàn)，引用以下符號(hào)：其一、利用行列式的性質(zhì)，或通過(guò)將行Solution.Solution.ex3.已知204,527,255三數(shù)都能被17整除， 不計(jì)算行列式的值，證明三階行列式也能被17整除. Solution.ex3.已知204,527,255三數(shù)都能被17

6、整除，也能被Solution.Solution.線性代數(shù)12方陣的行列式課件Solution.Solution.Solution.其二、當(dāng)行列式各行(列)元素之和相同時(shí)，應(yīng)先把各列(行)加到第1列(行)，提取公因式后再考慮.Solution.其二、當(dāng)行列式各行(列)元素之和相同時(shí)，應(yīng)Solution.Solution.故原方程的解為故原方程的解為思考其三、根據(jù)行列式的特點(diǎn)，利用行列式的性質(zhì)，將行列式的某一行(列)化出盡量多的0元素，然后由定義按該行(列)展開(kāi).思考其三、根據(jù)行列式的特點(diǎn)，利用行列式的性質(zhì)，將行Solution.Solution.Solution.Solution.線性代數(shù)12方

7、陣的行列式課件線性代數(shù)12方陣的行列式課件其四、當(dāng)各階行列式具有同一結(jié)構(gòu)形式時(shí)，可利用數(shù)學(xué)歸納法計(jì)算或證明行列式的值.其四、當(dāng)各階行列式具有同一結(jié)構(gòu)形式時(shí)，可利用數(shù)Solution.（數(shù)學(xué)歸納法）Solution.（數(shù)學(xué)歸納法）線性代數(shù)12方陣的行列式課件這個(gè)行列式稱(chēng)為Vandermonde（范德蒙）行列式，可見(jiàn)Vandermonde（范德蒙）行列式為零的充要條件是注意不是Vandermonde行列式這個(gè)行列式稱(chēng)為Vandermonde（范德蒙）行列式，可見(jiàn)V解法1其五、先用展開(kāi)或拆項(xiàng)等方法，將原行列式表成低階同型行列式的線性關(guān)系，再由遞推法得出結(jié)果.解法1其五、先用展開(kāi)或拆項(xiàng)等方法，將原行列

8、式表成低階線性代數(shù)12方陣的行列式課件解法2解法2其六.當(dāng)行列式為三線非0行列式時(shí)，將其轉(zhuǎn)化為三角行列式來(lái)計(jì)算. 其六.當(dāng)行列式為三線非0行列式時(shí)，將其轉(zhuǎn)化為三角其七、加邊法，即在行列式值不變的情況下，加上一行一列. 用于主對(duì)角線上元素不同，其余元素相同(或各行其余元素成比例)的行列式.Solution.其七、加邊法，即在行列式值不變的情況下，加上一Solutio線性代數(shù)12方陣的行列式課件線性代數(shù)12方陣的行列式課件Solution.Solution.定義1.如2431是一個(gè)4級(jí)排列. 定義2.在一個(gè)排列中,如果一對(duì)數(shù)的前后位置與大小順序相反,即前面的數(shù)大于后面的數(shù),那么它們就稱(chēng)為一個(gè)逆序,

9、一個(gè)排列中逆序的總數(shù)就稱(chēng)為這個(gè)排列的逆序數(shù).定義1.如2431是一個(gè)4級(jí)排列. 定義2.在一個(gè)排列中,如例如 排列32514 中， 3 2 5 1 4逆序逆序逆序3 2 5 1 4逆序數(shù)為31故此排列的逆序數(shù)為3+1+0+1+0=5.例如 排列32514 中， 3 2 5 1定義3.逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱(chēng)為偶排列;逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱(chēng)為奇排列.定義4.在一個(gè)排列中某兩個(gè)數(shù)的位置調(diào)換，而其余的數(shù)不動(dòng)，從而構(gòu)成一個(gè)新的排列，這種調(diào)換叫做對(duì)換. 將相鄰兩個(gè)數(shù)字對(duì)換，叫做相鄰對(duì)換. 結(jié)論1.對(duì)換改變排列的奇偶性.定義3.逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱(chēng)為偶排列;逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱(chēng)為結(jié)論2. 關(guān)于n階行列式的另一定

10、義結(jié)論2. 關(guān)于n階行列式的另一定義ex14.已知Solution.含 的項(xiàng)有兩項(xiàng),即在中對(duì)應(yīng)于ex14.已知Solution.含 的項(xiàng)有兩項(xiàng),即在線性代數(shù)12方陣的行列式課件1. 線性方程組當(dāng)方程個(gè)數(shù)與未知數(shù)個(gè)數(shù)相同時(shí),線性方程組的形式為:則稱(chēng)此方程組為非 齊次線性方程組;此時(shí)稱(chēng)方程組為齊次線性方程組.1. 線性方程組當(dāng)方程個(gè)數(shù)與未知數(shù)個(gè)數(shù)相同時(shí),線性方程組的形2. Gramer法則如果線性方程組的系數(shù)行列式不等于零，即2. Gramer法則如果線性方程組的系數(shù)行列式不等于零，即那么線性方程組 有解，并且解是唯一的，解可以表為其中 是把系數(shù)行列式 中第 j 列的元素用方程組右端的常數(shù)項(xiàng)代替后所得到的 n 階行列式，即那么線性方程組 有解，并且解是唯一的，解其中 證明在把 個(gè)方程依次相加，得證明在把 個(gè)方程依次相加，得由代數(shù)余子式的性質(zhì)可知,于是當(dāng) 時(shí),方程組 (2) 有唯一的一個(gè)解由代數(shù)余子式的性質(zhì)可知,于是當(dāng) 時(shí),方程由于方程組 與方程組 等價(jià),故也是方程組(1)的解.3. 重要定理定理1. 如果線性方程組的系數(shù)行列式不等于0，則方 程組一定有解，且解是唯一的.定理2. 如果線性方程組無(wú)解或有兩個(gè)不同的解，則 它的系數(shù)行列式必為0.由于方程組 與方程組 等價(jià),故也是方程推論1.