線性代數(shù)二次型講義課件

1、線 性 代 數(shù) 通識教育平臺(tái)數(shù)學(xué)課程系列教材線 性 代 數(shù) 通識教育平臺(tái)數(shù)學(xué)課程系列教材第五章 二次型第一節(jié) 二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形 第二節(jié) 正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形第三節(jié) 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的其他方法第四節(jié) 二次型的分類 第五節(jié) 二次型在直角坐標(biāo)系下的分類 第五章 二次型第一節(jié) 二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形 第二節(jié) 正交變換法1了解二次型及其矩陣表示。2會(huì)用正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。知道化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的配方法。3知道慣性定律、二次型的秩、二次型的正定性及其判別法。本章學(xué)習(xí)要求：對于概念和理論方面的內(nèi)容，從高到低分別用“理解”、“了解”、“知道”三級來表述；對于方法，運(yùn)算和能力方面的內(nèi)容，從高到低分別用“熟

2、練掌握”、“掌握”、“能”（或“會(huì)”）三級來表述。1了解二次型及其矩陣表示。本章學(xué)習(xí)要求： 二次型就是二次多項(xiàng)式. 在解析幾何中討論的有心二次曲線, 當(dāng)中心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合時(shí), 其一般方程是 ax2+2bxy+cy2=f (1) 方程的左端就是x,y的一個(gè)二次齊次多項(xiàng)式. 為了便于研究這個(gè)二次曲線的幾何性質(zhì), 通過基變換(坐標(biāo)變換), 把方程(1)化為不含x,y混合項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)方程 ax2+cy2=f (2)在二次曲面的研究中也有類似的問題. 二次型就是二次多項(xiàng)式. 在解析幾何中討論的有心考察：方程表示 x y 平面上一條怎樣的曲線？圖形如何？將 x y 坐標(biāo)系逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)/4，即令則得此曲線在新的

3、u v 坐標(biāo)系下的方程考察：方程表示 x y 平面上一條怎樣的曲線？圖形如何？將 上述問題從幾何上看，就是通過坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)，消去式子中的交叉項(xiàng)，使之成為標(biāo)準(zhǔn)方程.而其中坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)所表示的線性變換是正交變換.綜上所述，從代數(shù)學(xué)的角度看，上述過程是通過正交變換將一個(gè)二次齊次多項(xiàng)式化為只含有平方項(xiàng)的二次多項(xiàng)式.二次型就是二次齊次多項(xiàng)式.上述問題從幾何上看，就是通過坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)，消去式子而其中坐標(biāo)軸定義第七章 二次型與二次曲面二次齊次多項(xiàng)式f (x, y, z) = a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2 a13xz + 2 a23yz稱為實(shí)二次型. 其中aij 為實(shí)常數(shù).

4、一、二次型的矩陣表示1、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形 取 a21 = a12 , a31 = a13 , a32 = a23 ,從而, 2a12xy = a12xy + a21yx , 2a13xz = a13xz + a31zx ,2a23yz = a23yz + a32zy .f = a11x2 + a12xy + a13xz + a21yx + a22y2 + a23yz + a31zx + a32zy + a33z2 = x (a11x + a12y + a13z)+ y (a21x + a22y + a23z)+ z (a31x + a32y + a33z)定義第七章 二次型與二次曲面二次齊次多

5、項(xiàng)式f (x, y, 第七章 二次型與二次曲面1、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形= XT AX .稱 A 為二次型 f 的矩陣，它是一個(gè)對稱矩陣.三元實(shí)二 次型 f三階實(shí)對稱矩陣 A一一對應(yīng)AX第七章 二次型與二次曲面1、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形= XT AX例 2 第七章 二次型與二次曲面例 11251111解上一頁 ,例 2 第七章 二次型與二次曲面例 11251111解上一頁例 2 第七章 二次型與二次曲面上一頁例 2若二次型 f 的矩陣為試寫出 f .解例 2 第七章 二次型與二次曲面上一頁例 2若二次型 f 的例 2 第七章 二次型與二次曲面練習(xí)1341010解上一頁 ,例 2 第七章 二次型與二次曲面練

6、習(xí)1341010解上一頁 例 2 第七章 二次型與二次曲面上一頁練習(xí)若二次型 f 的矩陣為試寫出 f .解例 2 第七章 二次型與二次曲面上一頁練習(xí)若二次型 f 的矩定義1第七章 二次型與二次曲面1、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形n 元二次型及其矩陣表示稱 n 元實(shí)二次齊次式為 n 元實(shí)二次型. 記 aij = aji, 則記 X = ( x1, x2, , xn)T, A =( aij )nn , 則f ( x1, x2, , xn) = X TAX ,其中 A 稱為二次型的矩陣，A 的秩稱為二次型的秩.定義1第七章 二次型與二次曲面1、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形n 元二第七章 二次型與二次曲面 由于aij = a

7、ji , 所以 A T= A , A中 aii 是 xi2 的系數(shù), aij 是交叉項(xiàng) xixj 系數(shù)的一半.注:n 元實(shí)二次型 fn 階實(shí)對稱矩陣 A一一對應(yīng)定義2稱只含平方項(xiàng)的二次型 為標(biāo)準(zhǔn)二次型.n 元標(biāo)準(zhǔn)二次型 fn 階對角 矩 陣一一對應(yīng)第七章 二次型與二次曲面 由于aij = aji , 第七章 二次型與二次曲面1、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形二、矩陣間的合同關(guān)系思考：二次型 f = X TAX 經(jīng)過滿秩線性變換 X = CY 后還是二次型嗎?對于二次型 f = X TAX ，作滿秩變換 X = CY ,則 f = X TAX = (CY )TA(CY) = Y T(C TAC ) Y .而

8、(C TAC )T = C TAT(C T )T = C TAC ,所以 f = Y T(C TAC ) Y 仍是關(guān)于新變量 Y 的二次型, 且二次型的矩陣為對稱矩陣 B=C TAC .滿秩變換 X = CYf = X TAXF = Y TBY B = C TAC第七章 二次型與二次曲面1、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形二、矩陣間的合定義3第七章 二次型與二次曲面對于 n 階實(shí)對稱矩陣 A 和 B ，若存在可逆矩陣 P 使P TAP = B則稱 A 合同于B，記作 A B因此，二次型經(jīng)滿秩線性變換后所得的新二次型，其矩陣與原二次型的矩陣是合同的.上一頁合同矩陣的性質(zhì)：XTAXYTBY經(jīng)滿秩的線性變換 X=P

9、YAB左乘以PT且右乘以P定義3第七章 二次型與二次曲面對于 n 階實(shí)對稱矩陣 A 和定義如果滿秩變換 X = CY 將二次型 f = X TAX 化成了標(biāo)準(zhǔn)二次型 的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形.為 f = X TAX上一頁1、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形三、二次型的標(biāo)準(zhǔn)形這樣的矩陣 C 是否存在？定理1對任意的實(shí)二次型 f =XTAX, 一定存在滿秩線性變換 X=CY, 使二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形.推論 1任意給定一個(gè)實(shí)對稱矩陣A, 一定存在可逆矩陣 C, 使得 CTAC 為對角矩陣.定義如果滿秩變換 X = CY 將二次型 f = 定義2. 正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形回顧：正交變換的概念設(shè) 是 n 維歐氏空間 Rn 上的線性

10、變換，若對任意的 X, YRn, 有| (X) (Y ) | = | XY | , 則稱 為 Rn 上的正交變換.第七章 二次型與二次曲面定理設(shè) 是歐氏空間 Rn 上的線性變換，則下列四個(gè)條件等價(jià)(互為充分必要條件) .(1) 為正交變換 .(2) 把 Rn 的標(biāo)準(zhǔn)正交基變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)正交基 .(3) | ()| = |, Rn ( 保持向量長度不變 ) .(4) ( (X ), (Y ) = ( X, Y ) ( 保內(nèi)積不變 ) .定義2. 正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形回顧：正交變換的概念設(shè)定義正交矩陣正交變換在標(biāo)準(zhǔn)正交基下所對應(yīng)的矩陣稱為正交矩陣.第七章 二次型與二次曲面定理 A 是正交矩陣 AT

11、A=E ( 或AAT = E ) .正交矩陣有如下性質(zhì)：定理 定理 設(shè) A 是正交矩陣 ，則(1) | A | = 1 .(2) A 1 =AT .設(shè) A 是正交矩陣 A 的列(行)向量組為相互正交的單位向量組.定義正交矩陣正交變換在標(biāo)準(zhǔn)正交基下所對應(yīng)的矩陣稱為正交矩陣.2. 正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形一、實(shí)對稱方陣的對角化定理 1實(shí)對稱方陣的特征值都是實(shí)數(shù) .證設(shè) 是實(shí)對稱方陣 A 的特征值，X 是對應(yīng)的特征向量，即將上式兩邊同時(shí)轉(zhuǎn)置，由 A 的對稱性，得而因此，2. 正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形一、實(shí)對稱方陣的對角化定理定理 2實(shí)對稱方陣的不同的特征值對應(yīng)的特征向量必正交.證設(shè) 1,2 是實(shí)

12、對稱方陣 A 的兩個(gè)不同的特征值，X1, X2 是對應(yīng)的特征向量，即因?yàn)?A 的對稱性，得從而，因此，定理 2實(shí)對稱方陣的不同的特征值對應(yīng)的特征向量必正交.證設(shè) 定理 3 若 是 n 階實(shí)對稱方陣 A 的 k 重特征值，則 A 對應(yīng)于 的線性無關(guān)特征向量的最大個(gè)數(shù)均為 k .實(shí)對稱方陣相似于一 個(gè)對角陣嗎？回答是肯定的！單擊 此處 可查閱進(jìn)一步內(nèi)容定理 4對于任一個(gè)n 階實(shí)對稱方陣 A, 必存在一個(gè)正交方陣 P 使 PTAP 為對角形，且 PTAP 的對角線上的元素均為 A 的 n 個(gè)特征值( 重?cái)?shù)計(jì)算在內(nèi)), P 的列向量為相應(yīng)于 n 個(gè)特征值的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量.證定理 3 若 是 n 階實(shí)

13、對稱方陣 A 的 k 重特征值證設(shè)實(shí)對稱方陣 A 的特征值為（重根計(jì)算在內(nèi)），則由定理3 知，證設(shè)實(shí)對稱方陣 A 的特征值為（重根計(jì)算在內(nèi)），則由定理3 記從而，記從而，定理 5任意一個(gè) n 元實(shí)二次型都存在正交變換 X = QY 使得其中 1, 2, , n 就是 A 的全部特征值, Q 的 n 個(gè)列向量是 A 的對應(yīng)于特征值1 , 2, , n 的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量.定理 5任意一個(gè) n 元實(shí)二次型都存在正交變換 X = Q第七章 二次型與二次曲面例 1求正交矩陣 Q 使 QTAQ 成對角形矩陣，并求此對角形矩陣.其中 解= ( 2)(2 6 + 5 ) = 0 ,A 的特征值為 1 = 1

14、, 2 = 2, 3 = 5.1 = 1 時(shí), 由 (EA)X = 0, 即上一頁第七章 二次型與二次曲面例 1求正交矩陣 Q 使 QTAQ 第七章 二次型與二次曲面解得對應(yīng)的特征向量為 1 = (0, 1, 1)T;2 = 2 時(shí), 由 (2EA)X = 0, 解得對應(yīng)的特征向量為 2 = (1, 0, 0)T ;3 = 5 時(shí), 由 (5EA)X = 0, 解得對應(yīng)的特征向量為 3 = (0, 1, 1)T.上一頁將 1, 2, 3 單位化，得故所求的正交變換矩陣為第七章 二次型與二次曲面解得對應(yīng)的特征向量為 1 = (Q =01000對應(yīng)于特征值1對應(yīng)于特征值2對應(yīng)于特征值5且Q TAQ

15、 =第七章 二次型與二次曲面上一頁Q =01000對應(yīng)于特征值1對應(yīng)于特征值2對應(yīng)于特征值5且2. 正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形第七章 二次型與二次曲面二、正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形1. 寫出二次型 f 的矩陣 A, 并求 A 的全部特征值 1, 2, , n ( 重?cái)?shù)計(jì)算在內(nèi) ) . 2. 求出各特征值的特征向量；若 i 是 k 重根時(shí)，找出 i 的 k 個(gè)線性無關(guān)的特征向量，并用施特正交化方法將它們正交化.步驟：3. 將所得的 n 個(gè)正交向量再單位化，得 n 個(gè)兩兩正交的單位向量 P1, P2, , Pn , 記 P = P1, P2, , Pn .則 X = PY 為所求正交變換，f 的標(biāo)

16、準(zhǔn)形為2. 正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形第七章 二次型與二次曲面二例 1求一個(gè)正交變換 X=QY 化二次型成標(biāo)準(zhǔn)形.二次型的矩陣解A 的特征值是 1 = 2 = 3 = 1, 4 = -3.上一頁例 1求一個(gè)正交變換 X=QY 化二次型成標(biāo)準(zhǔn)形.二次型的矩對于 4= -3,從而可取特征向量 1= ( 1, 1, 0, 0)T , 2= ( 0, 0, 1, 1)T 和 3 = ( 1, -1, 1, -1)T.上一頁對于 1 = 2 = 3 = 1, 通過求齊次線性方程組 (A -E)X=0, 得到其基礎(chǔ)解系并正交化: 對于 4= -3,從而可取特征向量 1= ( 1, 1,從而可取特征向量4

17、= ( 1, -1, -1, 1)T.將上述相互正交的特征向量單位化，得則在正交變換下，二次標(biāo)準(zhǔn)形為從而可取特征向量4 = ( 1, -1, -1, 1)T.第七章 二次型與二次曲面例 2求一個(gè)正交變換化二次型成標(biāo)準(zhǔn)形.二次型的矩陣解A 的特征多項(xiàng)式為A 的特征值是 1 = 2 = 0, 3 = 9.上一頁第七章 二次型與二次曲面例 2求一個(gè)正交變換化二次型成標(biāo)準(zhǔn)形第七章 二次型與二次曲面對于 1= 2 = 0,從而可取特征向量 p 1= (0, 1, 1)T及與 p1 正交的另一特征向量 p2 = (4, 1, 1)T.上一頁對于 3 = 9,取特征向量 p3 = (1, 2, 2)T.第七

18、章 二次型與二次曲面對于 1= 2 = 0,從而可取第七章 二次型與二次曲面將上述相互正交的特征向量單位化，得屬于特征值0屬于特征值9則存在正交變換使二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形上一頁第七章 二次型與二次曲面將上述相互正交的特征向量單位化，得屬練習(xí)解第七章 二次型與二次曲面 已知二次型通過正交變換化成標(biāo)準(zhǔn)形求參數(shù) a 及有所用的正交變換矩陣.二次型 f 的矩陣特征方程為= (2)(26 + 9 a2) = 0 ,A 的特征值為 1 = 1, 2 = 2, 3 = 5 .練習(xí)解第七章 二次型與二次曲面 已知二次型通過正交變換第七章 二次型與二次曲面將 = 1 ( 或 = 5 ) 代入特征方程，得a2 4 =

19、 0, a = 2.因 a 0, 故取 a = 2 .這時(shí)， 1 = 1 時(shí), 由 (EA)X = 0, 即解得對應(yīng)的特征向量為 1 = (0, 1, 1)T, 2 = 2 時(shí), 由 (2EA)X = 0 ,解得對應(yīng)的特征向量為 2 = (1, 0, 0)T,第七章 二次型與二次曲面將 = 1 ( 或 = 5 第七章 二次型與二次曲面 3 = 5時(shí), 由 (5EA)X = 0 ,解得對應(yīng)的特征向量為 3 = (0, 1, 1)T.將 1, 2, 3 單位化，得故所求的正交變換矩陣為T =01000上一頁第七章 二次型與二次曲面 3 = 5時(shí), 由第七章 二次型與二次曲面練習(xí)解已知二次型的秩為

20、2, (1) 求參數(shù) c 及此二次型對應(yīng)矩陣的特征值.(2) 指出方程 f (x1, x2, x3) = 1 表示何種二次曲面.(1)此二次型對應(yīng)矩陣為因 r(A) = 2, 解得 c = 3.第七章 二次型與二次曲面練習(xí)解已知二次型的秩為 2, (1)第七章 二次型與二次曲面這時(shí)， = (4)(9),故所求特征值為 = 0, = 4, = 9.(2) 由上述特征值可知二次型 f 通過變換，可化為標(biāo)準(zhǔn)形為那么 f (x1, x2, x3) = 1 表示橢圓柱面.第七章 二次型與二次曲面這時(shí)， = (4)(9)2. 正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形三、正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形在幾何方面的應(yīng)用設(shè) X

21、= (x, y, z ) T ，則三元二次型 XTAX 可以看作空間向量的函數(shù)，其中在標(biāo)準(zhǔn)基1，2，3下的坐標(biāo)就是 X .作滿秩線性變換 X = CY ，所得新的二次型 YTCTACY 就是關(guān)于空間向量在另一組基1，2，3下的坐標(biāo) 同一空間曲面在不同空間直角坐標(biāo)系中的方程2. 正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形三、正交變換法化二次型為標(biāo)3. 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的其他方法第七章 二次型與二次曲面當(dāng) n = 1 時(shí)，二次型已經(jīng)是標(biāo)準(zhǔn)形.證一、配方法定理1對任意的實(shí)二次型 f =XTAX, 一定存在滿秩線性變換 X=CY, 使二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形.假設(shè)對n -1元的二次型，結(jié)論成立.考慮n元二次型當(dāng)上面的二次型的

22、矩陣 A 為零矩陣時(shí)，結(jié)論成立.下面假定 A 不為零矩陣.分兩種情形討論：情形 I.A 的主對角元中至少有一個(gè)不為零，不妨設(shè)a11不為零. 這時(shí)3. 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的其他方法第七章 二次型與二次曲面當(dāng)其中，令或其中，令或顯然上述變換為一個(gè)滿秩的線性變換，將原二次型化為由歸納假定，對于n-1二次型存在滿秩線性變換使之成為標(biāo)準(zhǔn)形，即顯然上述變換為一個(gè)滿秩的線性變換，將原二次型化為由歸納假定，于是滿秩的線性變換將原二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，即情形 II.A 的主對角元全為零. 此時(shí) A 中至少有一個(gè)元素 aij （i j）不為零，不妨設(shè) a12 0.令于是滿秩的線性變換將原二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，即情形 II.

23、A 的則它是一個(gè)滿秩線性變換，且使得原二次型化為這時(shí)，上式右端關(guān)于變量的二次型中的系數(shù)不為零，故可視為情形 I 處理. 定理得證.則它是一個(gè)滿秩線性變換，且使得原二次型化為這時(shí)，上式右端關(guān)于第七章 二次型與二次曲面例 1化二次型因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)形中只含有平方項(xiàng). 因此逐個(gè)將變量配成一個(gè)完全平方的形式. 令解為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所作的滿秩線性變換.則第七章 二次型與二次曲面例 1化二次型因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)形中只含有平方所作的滿秩線性變換為練習(xí)用配方法化二次型所作的滿秩線性變換為練習(xí)用配方法化二次型第七章 二次型與二次曲面因 f 中含有 x 的平方項(xiàng). 可將含 x 的項(xiàng)歸到一起, 配成一個(gè)完全平方的形式. f = (x

24、2 + 2xy + 2xz) + 2y2 + 6z2 + 6yz= ( x2 + 2xy + 2xz + 2yz +y2 + z2 ) + ( 2y2 y2) + (6z2 z2) + (6yz 2yz) = ( x + y + z)2 + y2 + 5z2 + 4yz = ( x + y + z)2 + ( y2 + 4yz) + 5z2= ( x + y + z)2 + ( y + 2z )2 + z2 ,令解則第七章 二次型與二次曲面因 f 中含有 x 的平方項(xiàng). 可將第七章 二次型與二次曲面例 2解用配方法化 f = 2xy + 2xz 6yz 為標(biāo)準(zhǔn)形.令再令上一頁第七章 二次型與二

25、次曲面例 2解用配方法化 f = 2xy練習(xí)用配方法化二次型解令練習(xí)用配方法化二次型解令所用變換矩陣為所用變換矩陣為3. 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的其他方法第七章 二次型與二次曲面二、初等變換法設(shè) A 為 n 階實(shí)對稱矩陣，由第一節(jié)定理 1 知，存在可逆矩陣 C, 使得 CTAC 為對角陣，即而可逆矩陣可以表示成一系列初等矩陣的乘積，即因此，定理 1對任意實(shí)對稱矩陣 A, 存在一系列初等矩陣 P1，P2, , Ps , 使3. 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的其他方法第七章 二次型與二次曲面二由于說明，若矩陣 A 經(jīng)過一系列合同變換 ( 進(jìn)行初等列變換后再進(jìn)行同樣的初等行變換 ) 化為對角矩陣 D, 則單位矩陣 E

26、 經(jīng)過相同的一系列列變換化為矩陣 C.這樣，我們就得到利用矩陣初等變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法，即初等變換法.或者，若矩陣 A 經(jīng)過一系列合同變換 ( 進(jìn)行初等列變換后再進(jìn)行同樣的初等行變換 ) 化為對角矩陣 D, 則單位矩陣 E 經(jīng)過相同的一系列行變換化為矩陣 CT.由于說明，若矩陣 A 經(jīng)過一系列合同變換 ( 進(jìn)行初等列變換例 3解例 3解故當(dāng) 時(shí)，可使 故當(dāng) 時(shí)，可使 例 4解例 4解所以，所以，第七章 二次型與二次曲面但是通過配方法將二次型 f 化成標(biāo)準(zhǔn)形后, 對應(yīng)矩陣的秩不變, 即二次型 f 的秩就等于它的標(biāo)準(zhǔn)形的秩, 也就等于標(biāo)準(zhǔn)形中的項(xiàng)數(shù).配方法不能保持 R3 中向量的長度, 從而

27、不能保持幾何圖形不變 .也就是變成了xy平面上一個(gè)半徑為比如, xy 面上圓周 x2 + y2 =1, 在變換 x = x + y , y = x y 下, 變成 (x +y )2 + (x y )2 =1. 即上一頁第七章 二次型與二次曲面但是通過配方法將二次型 f 化成比如, 第二節(jié)例題2中所給的二次型在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為 而用配方法得到故經(jīng)過滿秩線性變換可將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形注：同一個(gè)二次型有不同形式的標(biāo)準(zhǔn)形，但標(biāo)準(zhǔn)形的秩相同，即平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)相同，并且正系數(shù)的平方項(xiàng)個(gè)數(shù)也相同！這就是所謂的慣性定理.比如, 第二節(jié)例題2中所給的二次型在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為 定義14 二次型的分類第七章 二

28、次型與二次曲面一、慣性定理和二次型的規(guī)范形定理1一個(gè) n 元二次型 f = XTAX 經(jīng)過不同的滿秩線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形后，標(biāo)準(zhǔn)形中正平方項(xiàng)的項(xiàng)數(shù) p 和負(fù)平方項(xiàng)的項(xiàng)數(shù) q 都是由原二次型唯一確定的，且其中 r ( A ) 為矩陣 A 的秩.稱二次型 f 的標(biāo)準(zhǔn)形中正平方項(xiàng)的項(xiàng)數(shù) p 為二次型 f 的正慣性指數(shù)，負(fù)平方項(xiàng)的項(xiàng)數(shù) q 為負(fù)慣性指數(shù). 若二次型 f 的標(biāo)準(zhǔn)形為如下形式則稱為規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)形，簡稱規(guī)范形. 其中 r 為二次型的秩.（規(guī)范形是唯一的）定義14 二次型的分類第七章 二次型與二次曲面一、慣性定理定義2第七章 二次型與二次曲面對于兩個(gè) n 元二次型若它們的秩 r 相同，且正慣性指數(shù)

29、p 相同（從而負(fù)慣性指數(shù)也相同），則這兩個(gè)二次型可以通過滿秩線性變換相互轉(zhuǎn)化. 也就可以歸為一類. 參數(shù) r 和 p 提供的分類的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn).設(shè)秩為 r 的 n 元二次型 f = X TAX 經(jīng)滿秩線性變換化為規(guī)范形則(2) 若 p = r 0 ;因 A 是正定陣, 存在可逆陣 P , 使PTAP = EX Rn , X 0, 而 P 可逆，即 A = (PT)1P1 , 故 X TAX = X T ( P T ) -1 P1 X= X T ( P 1)T P1 X= ( P 1 X )T ( P1 X ) 0 .故 PX 0, 同理 P1X 0, (1) A 是正定矩陣 ;(2) 對任意的非零

30、向量 X , 有 X TAX 0 .證(3) A 的所有特征值都大于零.正定二次型的規(guī)范形的矩陣顯然是個(gè)單位矩陣. 即單位矩陣是正定矩陣. 那么，怎么判斷正定矩陣？定理 2第七章 二次型與二次曲面若 A 是實(shí)對稱矩陣，則下列第七章 二次型與二次曲面 若A有一個(gè)非正的特征值，不妨設(shè) i 0, 存在正交陣P, 使得(2) 對任意的非零向量 X , 有 X TAX 0 ;(3) A 的所有特征值都大于零.令 X = P 1 , 其中 = ( 0, 0, , 0, 1, 0 , , 0 ), X TAX = ( P1 ) T A P 1則 的第 i 個(gè)分量是 1，其余分量全為 0. = i 0.= T

31、 (P1) T AP 1 = T 矛盾!= T P AP T 證上一頁第七章 二次型與二次曲面 若A有一個(gè)非正的特征值，不妨設(shè)第七章 二次型與二次曲面因?yàn)?A 的全部特征值都大于 0 ， 則 A 所對應(yīng)的二次型的規(guī)范形的正慣性指數(shù)就是 n , 故 A 是正定矩陣.(1) A 是正定矩陣(3) A 的所有特征值都大于零.證上一頁例 1解f 的矩陣為所以 f 是正定二次型.第七章 二次型與二次曲面因?yàn)?A 的全部特征值都大于 0 ，第七章 二次型與二次曲面(1) 設(shè)證定理 3 若二次型 XTAX 正定，則上一頁(2) 又因?yàn)锳正定，故存在可逆矩陣C, 使 CTAC=E, 即第七章 二次型與二次曲面

32、(1) 設(shè)證定理 3 第七章 二次型與二次曲面例 2故 A, B, C, D 不是 正定矩陣.解上一頁另外，C 的對角元第七章 二次型與二次曲面例 2故 A, B, C, D 不是第七章 二次型與二次曲面定理 4 n 元二次型 f = XTAX 正定的充要條件是 A 的各階順序主子式 |A k | 0, k =1, 2, , n .其中 ,上一頁第七章 二次型與二次曲面定理 4 n 元二次型例 2解f 的矩陣為因?yàn)?A 的順序主子式為所以，二次型 f 是正定的.例 2解f 的矩陣為因?yàn)?A 的順序主子式為所以，二次型 f第七章 二次型與二次曲面練習(xí)f 的矩陣由于 A1 = 1 0, |A3 |

33、 = | A | = 3A2 = 3 0.故 f 正定.解上一頁第七章 二次型與二次曲面練習(xí)f 的矩陣由于 A1 = 1定義34 二次型的分類第七章 二次型與二次曲面若 p = 0, r n 時(shí), 則稱 f 為半負(fù)定二次型，A 為半負(fù)定矩陣.(2) 若 p = 0, r = n 時(shí), 則稱 f 為負(fù)定二次型，A 為負(fù)定矩陣.(3) 若 0 p r n 時(shí), 則稱 f 為不定二次型，A 為不定矩陣.三、二次型的其他類型：設(shè)秩為 r 的 n 元二次型 f = X TAX 經(jīng)滿秩線性變換化為規(guī)范形定義34 二次型的分類第七章 二次型與二次曲面若 p = 定理 5設(shè)A是n階實(shí)對稱矩陣, 則下列命題等價(jià):(i)