非對稱式的轉(zhuǎn)化策略

1、非對稱式的轉(zhuǎn)化策略李其明 解決數(shù)學(xué)問題實(shí)質(zhì)上是一個(gè)不斷轉(zhuǎn)化的過程；在中考或競賽試題中常常會顯現(xiàn)一些含兩根的非對稱式的問 題,同學(xué)們感到特殊困難,不易下手,其實(shí)利用轉(zhuǎn)化的思想,就可將復(fù)雜的、生疏的問題轉(zhuǎn)化為簡捷的、熟識 的問題,從而達(dá)到解決問題的目的；下面舉列說明轉(zhuǎn)化的常用策略；一、降次轉(zhuǎn)化例 1. 設(shè) x 1,x2是一元二次方程x2x30 的兩根,那么x342 x 219 的值為（）1B. 8 C. 6 D. 0 A. -4 分析：考慮到所求代數(shù)式的次數(shù)較高,可先依據(jù)根的定義,進(jìn)行降次,再利用韋達(dá)定理來解；解：設(shè) x1,x2是方程 x2xx 230 的兩根所以 x2x 130,x23012即

2、x23x 1,x23x 211912又由根與系數(shù)關(guān)系得x1x2所以原式x 13x14 3x2故應(yīng)選 D；二、消元轉(zhuǎn)化例 2. 已知 m、n 是一元二次方程x23 x10 的兩根,求代數(shù)式22 m4 n26 n1999的值；分析：此種方法一般先依據(jù)根與系數(shù)關(guān)系,用代入消元法,消去一個(gè)根,把兩根的非對稱式轉(zhuǎn)化為只含其 中一個(gè)根的代數(shù)式,并通過適當(dāng)變形,最終由方程根的定義整體代入求值；解：由已知 mn3 ,所以 m3nn199924 n26 n所以原式2 3由根的定義得：2 n3 n10所以原式 2022 三、配偶轉(zhuǎn)化例 3. 已知 , （ ）為方程 x2x20的兩根,不解方程求代數(shù)式2221 的值

3、；1,再聯(lián)立兩個(gè)非對稱式分析：把代數(shù)式221設(shè)為 M ,調(diào)換字母后,構(gòu)造對偶式N2M ,N,作出 MN,MN,即可求出M 、 N,從而使問題得到解決；解：設(shè) M221,就 N221所以 MN2222所以 M 5,即221的值為 5；四、組合轉(zhuǎn)化例 4. 如 、 為方程 x22x50的兩根,求22的值；,從而轉(zhuǎn)化為用基本對稱式及分析：所求代數(shù)式為 , 的非對稱式；如神奇地組合為22根的定義去解決；解：由于 、 為方程 x222x50的兩根50所以5,22505即2252所以22五、公式轉(zhuǎn)化對于形如 mn的非對稱式,其轉(zhuǎn)化公式mnm2n32mn* ；2例 5. 已知 x26 x70的兩根 , （ ）,不解方程求的值；解：由根與系數(shù)關(guān)系得：6,7所以28又由于 ,所以22由（ * ）式得： 32322322六、整體轉(zhuǎn)化例 6. 已知 , 為方程x2m2x10的兩根,求1m21m2的值；解：由根的定義可知：所以2m11122m242m同理：所以 12m1又由于144所以原式七、構(gòu)造轉(zhuǎn)化例 7. 設(shè) a22a10,b42b210,且 1ab210,求ab22b212022的值；a解：由于 a22a10所以122 1 a10a,b2看作是方程 x22x0的兩根又由于 b42 b210所以 b222b2101,所以