三角形重心垂心外心內(nèi)心相關(guān)性質(zhì)介紹

1、三角形的“四心”所謂三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及內(nèi)心。當(dāng)三角形是正三角形時(shí)，四心重合為一點(diǎn)，統(tǒng)稱為三角形的中心。一、三角形的外心定義：三角形三條中垂線的交點(diǎn)叫外心，即外接圓圓心。ABC的重心一般用字母O表示。性質(zhì)：1.外心到三極點(diǎn)等距，即OAOBOC。外心與三角形邊的中點(diǎn)的連線垂直于三角形的這一邊，即ODBC,OEAC,OFAB.3.A11AOC,C1BOC,BAOB。222二、三角形的內(nèi)心定義：三角形三條角均分線的交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心，即內(nèi)切圓圓心。ABC的內(nèi)心一般用字母I表示，它擁有以下性質(zhì)：性質(zhì)：內(nèi)心到三角形三邊等距，且極點(diǎn)與內(nèi)心的連線均分頂角。2.三角形的面積1三角形

2、的周長(zhǎng)內(nèi)切圓的半徑23.AEAF,BFBD,CDCE；AEBFCD三角形的周長(zhǎng)的一半。4.BIC901A,CIA901AIB901C。2B，22三、三角形的垂心定義：三角形三條高的交點(diǎn)叫重心。ABC的重心一般用字母H表示。性質(zhì)：極點(diǎn)與垂心連線必垂直對(duì)邊，即AHBC,BHAC,CHAB。ABH的垂心為C，BHC的垂心為A，ACH的垂心為B。四、三角形的“重心”：定義：三角形三條中線的交點(diǎn)叫重心。ABC的重心一般用字母G表示。性質(zhì)：1.極點(diǎn)與重心G的連線必均分對(duì)邊。2.重心定理：三角形重心與極點(diǎn)的距離等于它與對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍。即GA2GD,GB2GE,GC2GF重心的坐標(biāo)是三極點(diǎn)坐標(biāo)的平均值即

3、xGxAxBxC,yGyAyByC.334.向量性質(zhì)：（1）GAGBGC0；（2）PG1(PAPBPC)，5.SBGCSCGASAGB1SABC。33五、三角形“四心”的向量形式：結(jié)論1：若點(diǎn)O為ABC所在的平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足OAOBOBOCOCOA，則點(diǎn)O為ABC的垂心。結(jié)論2：若點(diǎn)O為ABC所在的平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足222222OABCOBCAOCAB，則點(diǎn)O為ABC的垂心。結(jié)論3：若點(diǎn)G滿足GAGBGC0，則點(diǎn)G為ABC的重心。結(jié)論4：若點(diǎn)G為ABC所在的平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足OG1(OAOBOC)，3則點(diǎn)G為ABC的重心。結(jié)論5：若點(diǎn)I為ABC所在的平面內(nèi)一點(diǎn)，并且滿足aIAbIBcIC0（其中a,b,c為三角形的三邊），則點(diǎn)I為ABC的內(nèi)心。結(jié)論6：若點(diǎn)O為ABC所在的平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足(OAOB)BA(OBOC)CB(OCOA)AC，則點(diǎn)