理論力學(xué)課件26.3 剛體慣性力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化

1、 達(dá)朗貝爾原理（動(dòng)靜法）3、剛體慣性力系的簡(jiǎn)化 3、剛體慣性力系的簡(jiǎn)化 達(dá)朗貝爾原理（動(dòng)靜法）簡(jiǎn)化方法采用靜力學(xué)中的力系簡(jiǎn)化的理論。將所有虛擬的慣性力視作一個(gè)力系向任一點(diǎn)O簡(jiǎn)化而得到一個(gè)慣性力FIR（主矢） 和一個(gè)慣性力偶MIO（主矩）。(ii)d2(mrd2 (mr )考慮到：mai iC maiidt2dt2C故：(ii)maC與簡(jiǎn)化中心無(wú)關(guān)無(wú)論剛體作什么運(yùn)動(dòng)，慣性力系主矢無(wú)論剛體作什么運(yùn)動(dòng)，慣性力系主矢都等于剛體質(zhì)量與質(zhì)心加速度 的乘積，方向與質(zhì)心加速度方向相反。 MO (miai一般與簡(jiǎn)化中心有關(guān)1、剛體作平移向質(zhì)心C簡(jiǎn)化： (ia maCM MC ) i(miaC (ii)C 質(zhì)心到

2、簡(jiǎn)化中心C的矢徑。am1F1am1F1Im2 C F2ImnFnIMICaFIRC剛體平移時(shí)慣性力系可以簡(jiǎn)化為通過(guò)質(zhì)心的合力,其大小等于剛體的質(zhì)量與加速度的乘積,合力的方向與加速度方向相反。FIR maC 達(dá)朗貝爾原理（動(dòng)靜法）zrimiFzrimiFniIziOyiixiyx2、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)Oiri xi mOiri xi miyyiFiiI90 iFiInxFniIFniainainr2慣性力系對(duì)x，y，z軸的矩，分別以MIx ，xnMIy， MIz表示xnMIxMx(F)iIiI)imrsinz2i iiiixyyi ziixy考慮到：cosiirisiniiri 達(dá)朗貝爾原理（動(dòng)靜法）

3、 3、剛體慣性力系的簡(jiǎn)化M2myi zii令：Ji mi xi zi2J yz2 miyi ziM JJyz稱為對(duì)z軸的慣性積，取決于剛體質(zhì)量對(duì)于坐標(biāo)軸的分布情況同理可得慣性力系對(duì)y稱為對(duì)z軸的慣性積，取決于剛體質(zhì)量對(duì)于坐標(biāo)軸的分布情況M Iy2JJ而慣性力系對(duì)轉(zhuǎn)軸z軸的矩MIz為：M Iz M()() ri ( m r 2 J zii剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，慣性力系向轉(zhuǎn)軸上任一點(diǎn)O簡(jiǎn)化ii主矩為：M IO M Ix i M Iyj Iz k 達(dá)朗貝爾原理（動(dòng)靜法）慣性積的物理意義3、剛體慣性力系的簡(jiǎn)化當(dāng)剛體繞某個(gè)軸（例如z軸）轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，這樣的兩個(gè)積分:J miyi ziJ 稱之為對(duì)該轉(zhuǎn)軸的慣性積。它是

4、表示剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量。質(zhì)量是表示剛體平移慣性的量。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jz能夠準(zhǔn)確描述剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣性?zz轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jz和慣性積Jxz和Jyz一起才能完整描述繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣性。當(dāng)剛體在空間繞定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，可以分解成繞過(guò)該定點(diǎn)的三根坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動(dòng)，此時(shí)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣性需要通過(guò)剛體對(duì)三個(gè)坐標(biāo)zO軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（3個(gè)）和對(duì)三個(gè)坐標(biāo)軸的慣性積（6個(gè)）， 一共9zOJz=mr2/2JxJJxz JJO yxJJJ yz慣性張量JzxJJ z 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jz 描述的是剛體的質(zhì)量分布相對(duì)于轉(zhuǎn)軸的集中度；慣性積Jxz和Jyz描述的是剛體的質(zhì)量分布相對(duì)于轉(zhuǎn)軸的對(duì)稱度。 3、剛體慣性力系的簡(jiǎn)化 達(dá)朗貝爾原理（動(dòng)靜法）如果

5、剛體具有垂直于轉(zhuǎn)軸的質(zhì)量對(duì)稱平面，簡(jiǎn)化中心O取為此平面與轉(zhuǎn)軸的交點(diǎn)，則zOA(zOA(x, y, z)y, -z)Jxz mi miyizi0 xizi0z軸為剛體過(guò)O點(diǎn)的一個(gè)慣性主軸慣性力系簡(jiǎn)化的主矩為:M IOM J z當(dāng)剛體質(zhì)量有對(duì)稱平面且繞垂直于此對(duì)稱面的軸作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，慣性力系 向轉(zhuǎn)軸簡(jiǎn)化為此對(duì)稱面內(nèi)的一個(gè)力和一個(gè)力偶。這個(gè)力等于剛體質(zhì)量與質(zhì) 心加速度的乘積，方向與質(zhì)心加速度方向相反，作用線通過(guò)轉(zhuǎn)軸；這個(gè)力 偶的矩等于剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積，轉(zhuǎn)向與角加速度的 轉(zhuǎn)向相反。3、剛體作平面運(yùn)動(dòng)假設(shè)剛體具有質(zhì)量對(duì)稱平面，并且平行于該平面作平面運(yùn)動(dòng)。此時(shí)，剛體 的慣性力系可先簡(jiǎn)化

6、為對(duì)稱平面內(nèi)的平面力系。aaCFIRMIC隨基點(diǎn)（質(zhì)點(diǎn)C）的平移： maC繞通過(guò)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)：MIC JCFIR FIR maCMIC JC總結(jié)不論剛體作何種運(yùn)動(dòng)其慣性力系的主矢大小均等于剛體的質(zhì)量與質(zhì)心加速 度的乘積，方向與質(zhì)心加速度方向相反。剛體平移時(shí)，慣性力系對(duì)質(zhì)心的主矩為零；剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，慣性力系對(duì)轉(zhuǎn)軸上一點(diǎn)O的主矩由其三個(gè)分量確定；剛體平面運(yùn)動(dòng)時(shí)，慣性力系對(duì)質(zhì)心C的主矩大小等于對(duì)通過(guò)質(zhì)心C 且垂直于質(zhì)量對(duì)稱面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積，其轉(zhuǎn)向與角加速度的轉(zhuǎn)向相反。例3 如圖所示均質(zhì)桿的質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l，繞定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為 ，角加速度為 。試計(jì)算并畫出慣性力系向O點(diǎn)簡(jiǎn)化的結(jié)果。O

7、COC主矢FIO=-maC主矢大?。褐骶豈IO= -JO Fml FmIO2nl2IO OMIOFnIOCFOMIOFnIOCFFm2主矩大?。篗 1 ml2 3注意：此處不能以FIO=-maC，慣性力與質(zhì)心加速度相反為由，而把 慣性力系主矢畫在C點(diǎn)。如果這樣畫的話是絕對(duì)錯(cuò)誤的。 達(dá)朗貝爾原理（動(dòng)靜法）例4 如圖所示電動(dòng)機(jī)定子及其外殼總重量為m1，質(zhì)心位于處。轉(zhuǎn)子的質(zhì)量為m2， 3、剛體慣性力系的簡(jiǎn)化質(zhì)心位于C處，偏心距OC=e，圖視平面為轉(zhuǎn)子的質(zhì)量對(duì)稱平面。電動(dòng)機(jī)用地腳螺釘固定于水平基座上，轉(zhuǎn)軸O與水平基座間的距離為h。運(yùn)動(dòng)開始時(shí)，轉(zhuǎn)子質(zhì)心C位于最低位置，轉(zhuǎn)子以勻角速度 轉(zhuǎn)動(dòng)，求電動(dòng)機(jī)受到的總的約束力。Om1gm2gCFIhMAAFOm1gm2gCFIhMAAFAxx分析運(yùn)動(dòng)，虛加慣性力（偶），2FI 的大小為： FI m2e由達(dá)朗貝爾原理（動(dòng)靜法），列靜力學(xué)平衡方程：FAy 0 sin 0 0 )gcos 0M A 0M gesin hsin 0代入=t，得到：F m e2sint