第4章 相似三角形（綜合復習）（解析版）

1、第4章 相似三角形（綜合復習） 一、知識點梳理 二、知識點鞏固1.比例的性質四條線段a，b，c，d中，如果a與b的比等于c與d的比，即 ，那么這四條線段a，b，c，d叫做成比例線段，簡稱比例線段.其中b，c稱作內項，a，d稱作外項。知識要點：如果，那么.（內項之積等于外項之積）如果 a:b = b:c ,那么b2=ac ，b叫做a、c的比例中項。需要注意的是：兩條線段的長度必須用同一長度單位表示，若單位長度不同，先化成同一單位，再求它們的比，應用比例的基本性質可以將比例式與等積式進行相互變形，這是解決比例問題的重要方法。比例的基本性質還有以下兩推論：如果如果滿分必刷題：1如圖，在正方形ABCD

2、中，E，F分別是BC、AB上一點，且AFBE，AE與DF交于點G，連接CG若CGBC，則AF：FB的比為（）A1：1B1：2C1：3D1：4【分析】作CHDF于點H，證明AGDDHC，可得AGDHGH，tanADG由此可解決此問題【解答】解：作CHDF于點H，如圖所示在ADF和BAE中，ADFBAE（SAS）ADFBAE，又BAE+GAD90，ADF+GAD90，即AGD90由題意可得ADG+CDG90，HDC+CDG90，ADGHDC在AGD和DHC中，AGDDHC（AAS）DHAG又CGBC，BCDC，CGDC由等腰三角形三線合一的性質可得GHDH，AGDHGHtanADG又tanADF，

3、AFAB即F為AB中點，AF：FB1：1故選：A【點評】本題考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、比例、等腰三角形判定與性質、銳角三角函數等知識，學會添加常用輔助線構造全等三角形是解題關鍵2下列各組的四條線段a，b，c，d是成比例線段的是（）Aa4，b6，c5，d10Ba1，b2，c3，d4Ca2，b，c2，dDa，b3，c2，d【分析】根據比例線段的定義即如果其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段，對選項一一分析，即可得出答案【解答】解：A.41065，故不符合題意，B.1423，故不符合題意，C.2，故符合題意，D.32，故不符合題意，故選：C【點評】此題考

4、查了比例線段，根據成比例線段的概念，注意在相乘的時候，最小的和最大的相乘，另外兩個相乘，看它們的積是否相等同時注意單位要統一3已知線段a、b、c，其中c是a、b的比例中項，若a9cm，b4cm，則線段c長（）A6cmB5cmC18cmD6cm【分析】根據比例中項的定義，求解即可【解答】解：c是a、b的比例中項，c2ab，a9cm，b4cm，c236，c0，c6cm故選：A【點評】本題考查比例線段，比例中項的定義，解題的關鍵是熟練掌握比例中項的性質，屬于中考常考題型4已知三條線段的長分別為1cm，2cm，cm，如果另外一條線段與它們是成比例線段，那么另外一條線段的長為2cm或cm或cm【分析】根

5、據成比例線段的定義解答即可【解答】解：設另外一條線段的長為a，由題意，得或或或，解得a2cm或cm或cm故答案為：2cm或cm或cm【點評】本題主要考查了成比例線段的關系，已知成比例線段的四條中的三條，即可求得第四條2.黃金分割點C把線段AB分割成AC和CB兩段,如果,那么線段AB被點C黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，AC與AB的比叫做黃金比.0.618AB(叫做黃金分割值).需要注意的是：一條線段的黃金分割點有兩個.在畫線段的黃金分割點時，可以利用各邊比例為 的直角三角形來確定該點。滿分必刷題：5線段AB8，P是AB的黃金分割點，且APBP，則BP的長度為（）A44B8+8C88D4

6、+4【分析】根據黃金分割的定義解決問題即可【解答】解：線段AB8，P是AB的黃金分割點，且APBP，BPAB844故選：A【點評】本題考查黃金分割的定義，解題的關鍵是記住把線段AB分成兩條線段AC和BC（ACBC），且使AC是AB和BC的比例中項，叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點其中ACAB6如圖，在ABC中，C90，點D是BC邊上一動點，過點B作BEAD交AD的延長線于E若AC2，BC4，則的最小值為（）AB1CD【分析】過點E作EFBC于F，推出ACDEDF，根據相似三角形的性質得到，當OEBC時，EF有最大值，根據勾股定理得到AB2，由垂徑定理得到BFBC2，求得EF

7、1，即可得到結論【解答】解：如圖1，過點E作EFBC于F，C90，ACEF，ACDEDF，AEBE，A，B，E，C四點共圓，設AB的中點為O，連接OE，如圖2，當點E是中點時，EF的值最大，此時E，F，O共線AC2，BC4，AB2，OEOB，OEBC，BFBC2，OF1，EFOEOF1，的最小值為故選：D【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質，四點共圓，圓周角定理，知道當OEBC時，EF有最大值是解題的關鍵7三角形中，頂角等于36的等腰三角形稱為黃金三角形，如圖1，在ABC中，已知：ABAC，且A36（1）在圖1中，用尺規(guī)作AB的垂直平分線交AC于D，并連接BD（保留作圖痕跡，不寫作法）；（

8、2）BCD是不是黃金三角形？如果是，請給出證明；如果不是，請說明理由；（3）設，試求k的值；（4）如圖2，在A1B1C1中，已知A1B1A1C1，A1108，且A1B1AB，請直接寫出的值【分析】（1）可根據基本作圖中線段垂直平分線的作法進行作圖；（2）求得各個角的度數，根據題意進行判斷；（3）通過證明BDCABC，根據相似三角形的性質求解即可；（4）由黃金三角形的性質可知的值【解答】解：（1）如圖所示；（2）BCD是黃金三角形證明如下：點D在AB的垂直平分線上，ADBD，ABDAA36，ABAC，ABCC72，ABDDBC36又BDCA+ABD72，BDCC，BDBC，BCD是黃金三角形（3

9、）設BCx，ACy，由（2）知，ADBDBCxDBCA，CC，BDCABC，即，整理，得x2+xyy20，解得因為x、y均為正數，所以（4）理由：延長BC到E，使CEAC，連接AEA36，ABAC，ACBB72，ACE18072108，ACEB1A1C1A1B1AB，ACCEA1B1A1C1，ACEB1A1C1，AEB1C1由（3）知，【點評】此題考查的知識綜合性較強，能夠熟記黃金比的值，根據黃金比進行計算注意根據題目中定義的黃金三角形進行分析計算8如圖，AB是O的直徑，點C在O上，BOC108，過點C作直線CD分別交直線AB和O于點D、E，連接OE，DEAB，OD2（1）求CDB的度數；（2

10、）我們把有一個內角等于36的等腰三角形稱為黃金三角形它的腰長與底邊長的比（或者底邊長與腰長的比）等于黃金分割比寫出圖中所有的黃金三角形，選一個說明理由；求弦CE的長；在直線AB或CD上是否存在點P（點C、D除外），使POE是黃金三角形？若存在，畫出點P，簡要說明畫出點P的方法（不要求證明）；若不存在，說明理由【分析】（1）根據等邊對等角找到三角形CDB和OCD的關系，列方程求解；（2）結合（1）求得各個角的度數，根據題意進行判斷；根據黃金比求值計算；此題要分別考慮OE為底和腰的情況【解答】解：（1）AB是O的直徑，DEAB，OAOCOEDE，則EODCDB，OCEOEC，設CDBx，則EODx

11、，OCEOEC2x，又BOC108，CDB+OCD108，x+2x108，x36CDB36（2）有三個：DOE，COE，CODOEDE，CDB36，DOE是黃金三角形；OCOE，COE180OCEOEC36COE是黃金三角形；COB108，COD72；又OCD2x72，OCDCODODCD，COD是黃金三角形；COD是黃金三角形，OD2，OC1，CDOD2，DEOC1，CECDDE2（1）3；存在，有三個符合條件的點P1、P2、P3，如圖所示，以OE為底邊的黃金三角形：作OE的垂直平分線分別交直線AB、CD得到點P1、P2；以OE為腰的黃金三角形：點P3與點A重合【點評】此題的知識綜合性較強，

12、能夠熟記黃金比的值，根據黃金比進行計算注意根據題目中定義的黃金三角形進行分析計算平行線截線段成比例兩條直線被一組平行線(不少于3條)所截，所得的對應線段成比例已知如圖，直線l1、l2、l3是一組等距離的平行線，l4、l5是任意畫的兩條直線，分別于這組平行線一下相交于點A，B，C，D，E，F，則有.A字模型和8字模型 A字型 8字型則常用的比例式：依然成立.滿分必刷題：9如圖，已知ABCDEF，那么下列結論正確的是（）ABCD【分析】根據平行線分線段成比例定理逐個判斷即可【解答】解：AABCDEF，故本選項不符合題意；BABCDEF，故本選項不符合題意；CABCDEF，故本選項不符合題意；DAB

13、CDEF，故本選項符合題意；故選：D【點評】本題考查了平行線分線段成比例定理，能根據平行線分線段成比例定理得出正確的比例式是解此題的關鍵10如圖，AD是ABC的邊BC上的中線，點E是AD的中點，連接BE并延長交AC于點F，則AF：FC（）A1：2B1：3C1：4D2：5【分析】作DHAC交BF于H，如圖，先證明EDHEAF得到DHAF，然后判斷DH為BCF的中位線，從而得到CF2DH【解答】解：作DHAC交BF于H，如圖，DHAF，EDHEAF，EHDEFA，DEAE，EDHEAF（AAS），DHAF，點D為BC的中點，DHCF，DH為BCF的中位線，CF2DH2AF，AF：FC1：2，故選：

14、A【點評】本題考查平行線分線段成比例定理，三角形的中位線定理，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造平行線解決問題，屬于中考?？碱}型11在ABC中，MNAC，AC，則MN是 （1）【分析】根據平行線分線段成比例定理計算即可【解答】解：MNAC，1，AC，MNAC（1）故答案為：（1）【點評】本題考查了平行線分線段成比例定理，能根據平行線分線段成比例定理得出正確的比例式是解此題的關鍵12如圖，點D、E分別在ABC的邊AB，AC上，DEBC，點G在邊BC上，AG交DE于點H，點O是線段AG的中點，若AD：DB3：1，則AO：OH2：1【分析】根據已知條件推出AOAG，根據平行線分線段成比例定理求出，

15、推出AOAG，OHOGHGAG，代入求出即可【解答】解：點O是線段AG的中點，OAOGAG，DEBC，AD：DB3：1，OHOGHGAGAGAG，AO：OH（AG）：（AG）2：1，故答案為：2：1【點評】本題考查學生對平行線分線段成比例定理的靈活運用，關鍵是檢查學生能否熟練地運用平行線分線段定理進行推理13如圖，AB與CD相交于點E，點F在線段BC上，且ACEFDB若BE5，BF3，AEBC，則的值為（）ABCD【分析】設CFx，則，求出CF，由EFDB可求出的值【解答】解：設CFx，EFAC，解得x，CF，EFDB，故選：A【點評】本題考查平行線分線段成比例定理，解題的關鍵是熟練掌握基本知

16、識14如圖，在ABC中，D，E分別是邊BC，AC上的點，且BD，AEAC，連接AD、BE交于點F，則的值為（）ABCD【分析】過D作DGBE，交AC于G，依據平行線分線段成比例定理，即可得到EGCE，再根據平行線分線段成比例定理，即可得到的值【解答】解：如圖所示，過D作DGBE，交AC于G，則，EGCE，又AEAC，CEAC，EGACAC，EFDG，故選：B【點評】本題考查的是平行線分線段成比例定理，平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例靈活運用定理、找準對應關系是解題的關鍵相似三角形在和中，如果我們就說與相似，記作.k就是它們的相似比，“”讀作“相似于”.簡

17、而言之，對應角相等，對應邊成比例的三角形是相似三角形，反之，相似三角形的對應邊成比例，對應角相等，一定要注意在書寫時要角需要一一對應。5.相似三角形的判定定理平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似。判定定理：有兩個角對應相等的兩個三角形相似；兩邊對應成比例，且夾角相等的兩個三角形相似（此方法要求用三角形的兩邊及其夾角來判定兩個三角形相似，應用時必須注意這個角必需是兩邊的夾角，否則，判斷的結果可能是錯誤的.）；三邊對應成比例的兩個三角形相似；平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似。（即A字、8字模型）射影定理：在 HYPERLINK t /

18、item/%E5%B0%84%E5%BD%B1%E5%AE%9A%E7%90%86/_blank 直角三角形中，斜邊上的高是兩條 HYPERLINK t /item/%E5%B0%84%E5%BD%B1%E5%AE%9A%E7%90%86/_blank 直角邊在斜邊射影的比例中項，每一條 HYPERLINK t /item/%E5%B0%84%E5%BD%B1%E5%AE%9A%E7%90%86/_blank 直角邊又是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的 HYPERLINK t /item/%E5%B0%84%E5%BD%B1%E5%AE%9A%E7%90%86/_blank 比例中項。射影定理

19、是 HYPERLINK t /item/%E5%B0%84%E5%BD%B1%E5%AE%9A%E7%90%86/_blank 數學圖形計算的重要定理。在RtABC中，ABC=90，BD是斜邊AC上的高，則有射影定理如下：BD=ADCDAB=ACADBC=CDAC相似三角形的性質三角形三條中線的交點叫做三角形的重心，三角形的重心分每一條中線成1:2的兩條線段.即 .過點E作EHBC交AD于H，根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得CD=2EH，從而得到BD=2EH，再根據BDO和EHO相似，利用相似三角形對應邊成比例列出比例式計算即可得證，同理其他比例也可以得到相似三角形的性質

20、：相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等；相似三角形中的重要線段的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似； ，則由比例性質可得： 相似三角形面積的比等于相似比的平方，則分別作出與的高和，則利用相似三角形證明線段比例是常見題型，解決這一類問題步驟分為：定、找、證。具體如下：定：確定比例式中的四條線段所在的兩個可能相似的三角形；找：找到可以說明兩個三角形相似的條件；證：證明兩個三角形相似。如果不能證明，則要利用找中間比代替，替換其中的線段或者引平行線為輔助線等方法進行轉化。滿分必刷題：15如圖，在ABC中，D為BC上的一點，E為AD上的一點，BE的延長線交AC于點F已知，（a，b為不小于2的整數

21、），則的值是 【分析】過點D作DGAC交BF于點G，過B作BMAC，過D作DMAC，由DGAC，推出BDGBCF，GDEFAE，進一步推比例線段，求出，再根據三角形面積公式求出的值【解答】解：過點D作DGAC交BF于點G，過B作BMAC，過D作DMAC，BDGBCF，GDEFAE，b，DGCF，DGbAF，；故答案為：【點評】本題考查平行線分線段成比例定理，掌握平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例的應用，其中輔助線的做法是解題關鍵16如圖，在ABC中，D是AC的中點，ABC的角平分線AE交BD于點F，若BF：FD3：1，AB+BE3，則ABC的周長為 5【分

22、析】如圖，過點F作FMAB于點M，FNAC于點N，過點D作DTAE交BC于點T證明AB3AD，設ADCDa，證明ETCT，設ETCTb，則BE3b，求出a+b，可得結論【解答】解：如圖，過點F作FMAB于點M，FNAC于點N，過點D作DTAE交BC于點TAE平分BAC，FMAB，FNAC，FMFN，3，AB3AD，設ADDCa，則AB3a，ADDC，DTAE，ETCT，3，設ETCTb，則BE3b，AB+BE3，3a+3b3，a+b，ABC的周長AB+AC+BC5a+5b5，故答案為：5【點評】本題考查平行線分線段成比例定理，角平分線的性質定理等知識，解題的關鍵是學會利用參數解決問題，屬于中考

23、填空題中的壓軸題17如圖，在ABC中，EFCD，DEBC（1）求證：AF：FDAD：DB；（2）若AB15，AD：BD2：1，求DF的長【分析】（1）利用平行線分線段成比例定理，由EFCD得到，由DEBC得到，然后利用等量代換可得到結論；（2）根據比例的性質由AD：BD2：1可計算出AD10，則利用AF：FDAD：DB得到AF2DF，然后利用2DF+DF10可計算出DF【解答】（1）證明：EFCD，DEBC，（2）AD：BD2：1，BDAD，AD+AD15，AD10，AF：FDAD：DB，AF：FD2：1，AF2DF，AF+DF10，2DF+DF10，DF【點評】本題考查了平行線分線段成比例：

24、三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例18正方形紙片ABCD中，E，F分別是AB、CB上的點，且AECF，CE交AF于M若E為AB中點，則2；若CMF60，則2【分析】（1）連接BD，根據相似三角形計算即可；（2）把60的角放到直角三角形中，所以過C作CNAM所在直線，利用角平分線的性質求解即可【解答】解：（1）連接BD，如圖1，四邊形ABCD是正方形，ABCD，且ABCD，MEBMCD，MBEMDC，MCDMEB，E為AB中點，；（2）過點C作CNAF，交AF的延長線于點N，如圖2，在RtCMN中，CMF60，sin60，cos60，即CM2MN，AECF，BABC，BAAEBCCF，即

25、BEBF，RtABFRtCBE（SAS），FABECB，AMECMF，AECF，AMECMF（AAS），EMFM，AFBCFN，BN90FABFCN，MCFNCF，MFEM，2+22+22+故答案為：2；2+【點評】本題考查的是正方形的綜合題，解題的關鍵是從題中找到作出正確的輔助線CN19如果兩個相似三角形的面積比是1：4，那么它們的周長比是（）A1：16B1：4C1：6D1：2【分析】根據相似三角形周長的比等于相似比，相似三角形面積的比等于相似比的平方解答即可【解答】解：兩個相似三角形的面積比是1：4，兩個相似三角形的相似比是1：2，兩個相似三角形的周長比是1：2，故選：D【點評】本題考查的

26、是相似三角形的性質，掌握相似三角形周長的比等于相似比，相似三角形面積的比等于相似比的平方是解題的關鍵20如圖，在直角坐標系xOy中，A（4，0），B（0，2），連接AB并延長到C，連接CO，若COBCAO，則點C的坐標為（）A（1，）B（，）C（，2）D（，2）【分析】根據相似三角形對應邊成比例求出CB、AC的關系，從而得到，過點C作CDy軸于點D，然后求出AOB和CDB相似，根據相似三角形對應邊成比例求出CD、BD，再求出OD，最后寫出點C的坐標即可【解答】解：A（4，0），B（0，2），OA4，OB2，COBCAO，CO2CB，AC2CO，AC4CB，過點C作CDy軸于點D，AOy軸，AO

27、CD，AOBCDB，CDAO，BDOB，ODOB+BD2+，點C的坐標為（，）故選：B【點評】本題考查了相似三角形的性質，坐標與圖形性質，主要利用了相似三角形對應邊成比例，求出是解題的關鍵，也是本題的難點21如圖是一個由A、B、C三種相似的直角三角形紙片拼成的矩形，A、B、C的紙片的面積分別為S1、S2、S3，（S1與S2，S2與S3的相似比相同），相鄰紙片之間互不重疊也無縫隙，若S1S2S3，則這個矩形的面積一定可以表示為（）A4S1B6S2C4S2+3S3D3S1+4S3【分析】如圖，由A、B、C三種直角三角形相似，設相似比為k，EFm，則GHmk，FHmk2想辦法構建方程，求出k定值，證

28、明S2+S3S1即可解決問題；【解答】解：如圖，由A、B、C三種直角三角形相似，設相似比為k，EFm，則GHmk，FHmk2EHm（1+k2），FM，FKkm（1+k2），則有：km（1+k2）+mk，整理得：k4+k210，k2或（舍棄），S2S1，S3（）2S1S1，S2+S3S1，這個矩形的面積2S1+2（S2+S3）4S1，故選：A【點評】本題考查相似三角形的性質、矩形的性質等知識，解題的關鍵是學會利用參數，構建方程解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題22在ABC中，AB6cm，AC5cm，點D、E分別在AB、AC上若ADE與ABC相似，且SADE：S四邊形BCED1：8，則AD2或cm

29、【分析】由于ADE與ABC相似，但其對應角不能確定，所以應分兩種情況進行討論【解答】解：SADE：S四邊形BCED1：8，SADE：SABC1：9，ADE與ABC相似比為：1：3，若AED對應B時，則，AC5cm，ADcm；當ADE對應B時，則，AB6cm，AD2cm；故答案為：【點評】本題考查的是相似三角形的性質，相似三角形的對應邊成比例，相似三角形的面積比等于相似比的平方，意識到有兩種情況分類討論是解決問題的關鍵23如圖，已知在RtOAC中，O為坐標原點，直角頂點C在x軸的正半軸上，反比例函數y（k0）在第一象限的圖象經過OA的中點B，交AC于點D，連接OD若OCDACO，則直線OA的解析

30、式為y2x【分析】設OCa，根據點D在反比例函數圖象上表示出CD，再根據相似三角形對應邊成比例列式求出AC，然后根據中點的定義表示出點B的坐標，再根據點B在反比例函數圖象上表示出a、k的關系，然后用a表示出點B的坐標，再利用待定系數法求一次函數解析式解答【解答】解：設OCa，點D在y上，CD，OCDACO，AC，點A（a，），點B是OA的中點，點B的坐標為（，），點B在反比例函數圖象上，2k2，a44k2，解得，a22k，點B的坐標為（，a），設直線OA的解析式為ymx，則ma，解得m2，所以，直線OA的解析式為y2x故答案為：y2x【點評】本題考查了相似三角形的性質，反比例函數圖象上點的坐標

31、特征，用OC的長度表示出點B的坐標是解題的關鍵，也是本題的難點24如圖1，RtABC中，ACB90，AC6cm，BC8cm，動點P從點B出發(fā)，在BA邊上以每秒3cm的速度向點A勻速運動，同時動點Q從點C出發(fā)，在CB邊上以每秒2cm的速度向點B勻速運動，運動時間為t秒（0t2），連接PQ（1）若BPQ與ABC相似，求t的值；（2）（如圖2）連接AQ，CP，若AQCP，求t的值【分析】（1）根據勾股定理求出AB，分BPQBAC、BPQBCA兩種情況，根據相似三角形的性質列出比例式，計算即可；（2）過P作PMBC于點M，AQ，CP交于點N，則有PB5t，PM3t，BQ84t，根據ACQCMP，得出A

32、C：CMCQ：MP，代入計算即可【解答】解：（1）當BPQBAC時，BP3t，QC2t，AB10cm，BC8cm，當BPQBCA時，；或時，BPQ與ABC相似；（2）如圖所示，過P作PMBC于點M，AQ，CP交于點N，則有PB3t，NAC+NCA90，PCM+NCA90，NACPCM且ACQPMC90，ACQCMP，解得：【點評】此題是相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質，勾股定理，直角三角形的性質，等腰三角形的性質，由三角形相似得出對應邊成比例是解題的關鍵25如圖，ABC中，AB8厘米，AC16厘米，點P從A出發(fā)，以每秒2厘米的速度向B運動，點Q從C同時出發(fā)，以每秒3厘米的速度向A

33、運動，其中一個動點到端點時，另一個動點也相應停止運動，那么，當以A、P、Q為頂點的三角形與ABC相似時，運動時間是多少？【分析】首先設運動了ts，根據題意得：AP2tcm，CQ3tcm，然后分別從當APQABC與當APQACB時去分析求解即可求得答案【解答】解：設運動了ts，根據題意得：AP2tcm，CQ3tcm，則AQACCQ163t（cm），當APQABC時，即，解得：t；當APQACB時，即，解得：t4；故當以A、P、Q為頂點的三角形與ABC相似時，運動時間是：s或4s【點評】此題考查了相似三角形的性質此題難度適中，注意掌握方程思想、分類討論思想與數形結合思想的應用26如圖，在平面直角坐

34、標系xOy中，直線yx+3與x軸交于點C，與直線AD交于點A（，），點D的坐標為（0，1）（1）求直線AD的解析式；（2）直線AD與x軸交于點B，若點E是直線AD上一動點（不與點B重合），當BOD與BCE相似時，求點E的坐標【分析】（1）設直線AD的解析式為ykx+b，用待定系數法將A（，），D（0，1）的坐標代入即可；（2）由直線AD與x軸的交點為（2，0），得到OB2，由點D的坐標為（0，1），得到OD1，求得BC5，根據相似三角形的性質得到或，代入數據即可得到結論【解答】解：（1）設直線AD的解析式為ykx+b，將A（，），D（0，1）代入得：，解得：故直線AD的解析式為：yx+1；（2

35、）直線AD與x軸的交點為（2，0），OB2，點D的坐標為（0，1），OD1，yx+3與x軸交于點C（3，0），OC3，BC5過點E作EF垂直于BC于F，BOD與BEC相似，BE2，CE，BCEFBECE，EF2，CF1，E（2，2），CE，E（3，）即：E（2，2），或（3，）【點評】本題考查了相似三角形的性質，待定系數法求函數的解析式，正確的作出圖形是解題的關鍵27如圖，矩形OABC的頂點A、C分別在x軸和y軸上，點B的坐標為（2，3），雙曲線y（x0）的圖象經過BC上的點D與AB交于點E，連接DE，若E是AB的中點（1）求D點的坐標；（2）點F是OC邊上一點，若FBC和DEB相似，求BF的

36、解析式【分析】（1）先求出點E的坐標，求出雙曲線的解析式，再求出CD1，即可得出點D的坐標；（2）分兩種情況：FBC和DEB相似，當BD和BC是對應邊時，求出CF，得出F的坐標，用待定系數法即可求出直線BF的解析式；當BD與CF是對應邊時，求出CF、OF，得出F的坐標，用待定系數法即可求出直線BF的解析式；【解答】解：（1）四邊形ABCD是矩形，OABC，ABOC，B（2，3），E為AB的中點，ABOC3，OABC2，AEBEAB，E（2，），k23，雙曲線解析式為：y；點D在雙曲線y（x0）上，OCCD3，CD1，點D的坐標為：（1，3）；（2）BC2，CD1，BD1，分兩種情況：FBC和D

37、EB相似，當BD和BC是對應邊時，即，CF3，F（0，0），即F與O重合，設直線BF的解析式為：ykx，把點B（2，3）代入得：k，直線BF的解析式為：yx；FBC和DEB相似，當BD與CF是對應邊時，即，CF，OF3，F（0，），設直線BF的解析式為：yax+c，把B（2，3），F（0，）代入得：，解得：a，c，直線BF的解析式為：yx+；綜上所述：若FBC和DEB相似，BF的解析式為：yx，或yx+；【點評】本題考查了矩形的性質、坐標與圖形性質、相似三角形的性質、用待定系數法求反比例函數和一次函數的解析式、三角形面積的計算等知識；本題難度較大，綜合性強，特別是（2）中，需要進行分類討論，運

38、用相似三角形的性質求出點的坐標才能得出結果28如圖，每個小正方形的邊長均為1，則下列圖形中的三角形（陰影部分）與A1B1C1相似的是（）ABCD【分析】根據相似三角形的判定方法一一判斷即可【解答】解：因為A1B1C1中有一個角是135，選項中，有135角的三角形只有B，且滿足兩邊成比例夾角相等，故選：B【點評】本題考查相似三角形的性質，解題的關鍵是學會利用數形結合的思想解決問題，屬于中考常考題型29如圖，ABC的兩條高BD，CE相交于點O，則下列結論正確的是（）AABC是等腰三角形BOBOCCAEDACBD【分析】首先利用已知條件證明B、C、D、E四點共圓，然后利用圓的有關知識點即可解決問題【

39、解答】解：如圖，ABC的兩條高BD，CE相交于點O，BDCBEC90，B、C、D、E四點共圓，AEDACB，故C正確；EDBECB，EODBOC，EODBOC，故D錯誤；ABC中AB不一定等于AC，故A錯誤；OB不一定等于OC，故B錯誤；故選：C【點評】此題主要考查了相似三角形的性質與判定，同時也利用了四點共圓的知識點解決問題30如圖，ABC中，D、E是BC邊上的點，BD：DE：EC3：2：1，M在AC邊上，CM：MA1：2，BM交AD，AE于H，G，則BH：HG：GM等于（）A3：2：1B5：3：1C25：12：5D51：24：10【分析】連接EM，根據已知可得BHDBME，CEMCDA，根

40、據相似比從而不難得到答案【解答】解：連接EM，CE：CDCM：CA1：3EM平行于ADBHDBME，CEMCDAHD：MEBD：BE3：5，ME：ADCM：AC1：3AH（3）ME，AH：ME12：5HG：GMAH：EM12：5設GM5k，GH12k，BH：HM3：2BH：17kBHK，BH：HG：GMk：12k：5k51：24：10故選：D【點評】此題主要考查相似三角形的性質的理解及運用31如圖，在RtABC中，ABC90，AB3，BC4，RtMPN，MPN90，點P在AC上，PM交AB于點E，PN交BC于點F，當PE2PF時，AP3【分析】如圖作PQAB于Q，PRBC于R由QPERPF，推

41、出2，可得PQ2PR2BQ，由PQBC，可得AQ：QP：APAB：BC：AC3：4：5，設PQ4x，則AQ3x，AP5x，BQ2x，可得2x+3x3，求出x即可解決問題【解答】解：如圖作PQAB于Q，PRBC于RPQBQBRBRP90，四邊形PQBR是矩形，QPR90MPN，QPERPF，QPERPF，2，PQ2PR2BQ，PQBC，AQ：QP：APAB：BC：AC3：4：5，設PQ4x，則AQ3x，AP5x，BQ2x，2x+3x3，x，AP5x3故答案為3【點評】本題考查相似三角形的判定和性質、勾股定理、矩形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造相似三角形解決問題，屬于中考

42、?？碱}型32已知，如圖，平行四邊形ABCD的對角線相交于點O，點E在邊BC的延長線上，且OEOB，連接DE（1）求證：DEBE；（2）如果OECD，求證：BDCECDDE【分析】（1）由平行四邊形的性質得到BOBD，由等量代換推出OEBD，根據平行四邊形的判定即可得到結論；（2）根據等角的余角相等，得到CEOCDE，推出BDECDE，即可得到結論【解答】證明：（1）四邊形ABCD是平行四邊形，BOOD，OEOB，OEOD，OBEOEB，OEDODE，OBE+OEB+OED+ODE180，BEO+DEOBED90，DEBE；（2）OECDCEO+DCECDE+DCE90，CEOCDE，OBOE，

43、DBEOEB，DBECDE，BEDDEC，BDEDCE，BDCECDDE【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質，直角三角形的判定和性質，平行四邊形的性質，熟記定理是解題的關鍵33如圖，正方形ABCD中，M為BC上一點，F是AM的中點，EFAM，垂足為F，交AD的延長線于點E，交DC于點N（1）求證：ABMEFA；（2）若AB12，BM5，求DE的長【分析】（1）由正方形的性質得出ABAD，B90，ADBC，得出AMBEAF，再由BAFE，即可得出結論；（2）由勾股定理求出AM，得出AF，由ABMEFA得出比例式，求出AE，即可得出DE的長【解答】（1）證明：四邊形ABCD是正方形，ABAD，

44、B90，ADBC，AMBEAF，又EFAM，AFE90，BAFE，ABMEFA；（2）解：B90，AB12，BM5，AM13，AD12，F是AM的中點，AFAM6.5，ABMEFA，即，AE16.9，DEAEAD4.9【點評】本題考查了正方形的性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理；熟練掌握正方形的性質，并能進行推理計算是解決問題的關鍵34在RtABC，C90，D為AB邊的中點，點M，N分別在BC，AC邊上，且DMDN，MFAB于點F，NEAB于點E求證：AEDF【分析】根據D為AB中點，可得ADBD，然后分別證明DENMFD，AENMFB，由線段比例關系可以證明AEDF【解答】證明：在RtA

45、BC，C90，D為AB邊的中點，ADBD，DMDN，MFAB，NEABNDMDENMFD90，END+NDE90，NDE+FDM90，ENDFDM，DENMFD，MFENDEDF同理AENMFB，MFENAEBFDEDFAEBF，（ADAE）DFAE（BDDF），ADDFAEBD，AEDF【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質解決本題的關鍵是得到DENMFD，AENMFB35如圖，在RtABC中，C90，RtBAP中，BAP90，已知CBOABP，BP交AC于點O，E為AC上一點，且AEOC（1）求證：APAO；（2）求證：PEAO；（3）當AEAC，AB10時，求線段BO的長度【分析】（1

46、）根據等角的余角相等證明即可；（2）過點O作ODAB于D，根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得CODO，利用“SAS”證明APE和OAD全等，根據全等三角形對應角相等可得AEPADO90，從而得證；（3）設C03k，AC8k，表示出AECO3k，AOAP5k，然后利用勾股定理列式求出PE4k，BCBD104k，再根據相似三角形對應邊成比例列式求出k1然后在RtBDO中，利用勾股定理列式求解即可【解答】（1）證明：C90，BAP90CBO+BOC90，ABP+APB90，又CBOABP，BOCAPB，BOCAOP，AOPAPB，APAO；（2）證明：如圖，過點O作ODAB于D，CBOABP

47、，CODO，AEOC，AEOD，AOD+OAD90，PAE+OAD90，AODPAE，在AOD和PAE中，AODPAE（SAS），AEPADO90PEAO；（3）解：設AEOC3k，AEAC，AC8k，OEACAEOC2k，OAOE+AE5k由（1）可知，APAO5k如圖，過點O作ODAB于點D，CBOABP，ODOC3k在RtAOD中，AD4kBDABAD104kODAP，即解得k1，AB10，PEAD，PEAD4K，BDABAD104k6，OD3在RtBDO中，由勾股定理得：BO3【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質，勾股定理，相似三角形的判定

48、與性質，（2）作輔助線構造出過渡線段DO并得到全等三角形是解題的關鍵，（3）利用相似三角形對應邊成比例求出k1是解題的關鍵36如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點，連接DE過點A作AFDE，垂足為F，O經過點C、D、F，與AD相交于點G（1）求證：AFGDFC；（2）若正方形ABCD的邊長為4，AE1，求O的半徑【分析】（1）欲證明AFGDFC，只要證明FAGFDC，AGFFCD；（2）首先證明CG是直徑，求出CG即可解決問題；【解答】（1）證明：在正方形ABCD中，ADC90，CDF+ADF90，AFDE，AFD90，DAF+ADF90，DAFCDF，四邊形GFCD是O的內接四邊形，FC

49、D+DGF180，FGA+DGF180，FGAFCD，AFGDFC（2）解：如圖，連接CGEADAFD90，EDAADF，EDAADF，即，AFGDFC，在正方形ABCD中，DADC，AGEA1，DGDAAG413，CG5，CDG90，CG是O的直徑，O的半徑為【點評】本題考查相似三角形的判定和性質、正方形的性質、圓周角定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會添加常用輔助線，屬于中考?？碱}型37如圖，BC為半圓O的直徑，EFBC于點F，且BF：FC5：1，若AB8，AE2，則AD的長為【分析】連接BE，則ABE與BEC都是直角三角形，在直角ABE利用勾股定理即可求得BE的長，在直

50、角BEC中利用射影定理即可求得EC的長，根據切割線定理即可得到：ADABAEAC據此即可求得AD的長【解答】解：連接BEBC是直徑AEBBEC90在直角ABE中，根據勾股定理可得：BE2AB2AE28222605設FCx，則BF5x，BC6x又BE2BFBC即：30 x260解得：x，EC2FCBC6x212EC2，ACAE+EC2+2，ADABAEACAD故答案為【點評】本題主要考查了射影定理以及切割線定理，對于兩個定理的靈活應用是解題關鍵38如圖，已知AB為圓O的直徑，C為圓周上一點，D為線段OB內一點（不是端點），滿足CDAB，DECO，垂足為E若CE10，且AD與DB的長均為正整數，求

51、線段AD的長【分析】連接AC，BC，則ACB90由相似三角形的對應邊成比例可得CECOADBD設ADa，DBb，a，b為正整數，可得，進而得出ADa30【解答】解：如圖，連接AC，BC，則ACB90又CDAB，DECO，由RtCDERtCOD，可得CECOCD2，由RtACDRtCBD，可得CD2ADBD，所以CECOADBD設ADa，DBb，a，b為正整數，則由RtABC中，COAB，可得，又CE10，代入式得，整理得：（a5）（b5）25考慮到ab，只能是a5b50，得a525，b51因此ADa30【點評】本題主要考查了射影定理的運用，直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中

52、項每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項39如圖，嘉嘉在A時測得一棵4米高的樹的影長DF為8m，若A時和B時兩次日照的光線互相垂直，則B時的影長DE為（）A2mB2mC4mD4m【分析】根據題意，畫出示意圖，易得：RtCDERtFDC，進而可得，即DC2EDFD，代入數據可得答案【解答】解：根據題意得CECF，CD4m，FD8m；CECF，ECF90，ECD+DCF90，CDEF，CDECDF90，F+DCF90，ECDCFD，RtCDERtFDC，即CD2EDFD，代入數據可得428ED，解得：ED2（m）；即B時的影長DE為2m故選：A【點評】本題考查相似三角形的應用解題的

53、關鍵是正確證明三角形相似，運用相似三角形的性質進行計算40如圖，為了測量一棟樓的高度OE，小明同學先在操場上A處放一面鏡子，向后退到B處，恰好在鏡子中看到樓的頂部E；再將鏡子放到C處，然后后退到D處，恰好再次在鏡子中看到樓的頂部E（O，A，B，C，D在同一條直線上），測得AC2m，BD2.1m，如果小明眼睛距地面高度BF，DG為1.6m，試確定樓的高度OE【分析】根據題意得到GDCEOC和FBAEOA，利用相似三角形的對應邊的比相等列式計算即可【解答】解：令OEa，AOb，CBx，則由GDCEOC得，即，整理得：3.2+1.6b2.1aax，由FBAEOA得，即，整理得：1.6b2aax，將代

54、入得：3.2+2aax2.1aax，a32，即OE32米，答：樓的高度OE為32米【點評】本題考查了相似三角形的應用應用鏡面反射的基本性質，得出三角形相似，再運用相似三角形對應邊成比例即可解答相似多邊形的性質：一般的，對應角相等，對應邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形。相似多邊形對應邊的比叫做相似比。其性質有：相似多邊形的對應角相等，對應邊的比相等；相似多邊形的周長比等于相似比；相似多邊形的面積比等于相似比的平方滿分必刷題：41如圖所示，長為8cm，寬為6cm的矩形中，截去一個矩形（圖中陰影部分），如果剩下矩形與原矩形相似，那么剩下矩形的面積是（）A28cm2B27cm2C21cm2D20cm

55、2【分析】根據題意，剩下矩形與原矩形相似，利用相似形的對應邊的比相等可得【解答】解：依題意，在矩形ABDC中截取矩形ABFE，則矩形ABDC矩形FDCE，則，設DFxcm，得到：解得：x4.5，則剩下的矩形面積是：4.5627cm2故選：B【點評】本題就是考查相似形的對應邊的比相等，分清矩形的對應邊是解決本題的關鍵42如圖，以邊長為1的正方形ABCD的邊AB為對角線作第二個正方形AEBO1，再以BE為對角線作第三個正方形EFBO2，如此作下去，則所作的第n個正方形的面積Sn【分析】由正方形ABCD的邊長為1，根據正方形的性質，即可求得AO1，EO2的值，則可求得S2，S3，S4的值，即可求得規(guī)律所作的第n個正方形的面積Sn【解答】解：正方形ABCD的邊長為1，AB1，AC，AEAO1，則：AO2AB，S2，S3，S4，作的第n個正方形的