四川省綿陽(yáng)市2020屆高三上學(xué)期第一次診斷性考試數(shù)學(xué)理試題含解析

PAGE綿陽(yáng)市高中2017級(jí)第一次診斷性考試?yán)砜茢?shù)學(xué)一、選擇題1.已知，，則()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求解集合,然后求解.【詳解】因?yàn)?，，所?故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的交集運(yùn)算，先化簡(jiǎn)集合是求解此類問(wèn)題的關(guān)鍵，題目屬于簡(jiǎn)單題，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).2.若，則下列結(jié)論不正確的是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】結(jié)合不等式的性質(zhì)或特殊值，逐個(gè)選項(xiàng)驗(yàn)證.【詳解】因?yàn)?，所以，選項(xiàng)A正確；因?yàn)?，所以，選項(xiàng)B正確；因?yàn)椋?，選項(xiàng)C不正確；因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，所以，選項(xiàng)D正確.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的性質(zhì)，這類問(wèn)題的求解方法是利用常見(jiàn)的不等式的性質(zhì)或者利用特殊值進(jìn)行求解，側(cè)重考查邏輯推理的核心素養(yǎng).3.下列函數(shù)中定義域?yàn)?，且在上單調(diào)遞增的是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求解選項(xiàng)中各函數(shù)的定義域，再判定各函數(shù)的單調(diào)性，可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，的定義域?yàn)?，所以排除選項(xiàng)B,C.因?yàn)樵谑菧p函數(shù)，所以排除選項(xiàng)A，故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)，求解函數(shù)定義域時(shí)，熟記常見(jiàn)的類型：分式，偶次根式，對(duì)數(shù)式等，單調(diào)性一般結(jié)合初等函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判定，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).4.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則()A.4 B.5 C.10 D.15【答案】B【解析】【分析】先由求，再求公差，最后可得.【詳解】因?yàn)?，所以，可得，所以，故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的基本運(yùn)算，熟練記憶等差數(shù)列的求和公式及通項(xiàng)公式是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).5.已知函數(shù)，若，則()A.-2 B.-1 C.0 D.【答案】B【解析】【分析】先由寫(xiě)出，再由二者關(guān)系可得與的關(guān)系，易得.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，易?故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的表示方法，結(jié)合函數(shù)解析式的特征可求，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理的核心素養(yǎng).6.已知命題函數(shù)，的最小值為；命題若向量，，，滿足，則．下列命題中為真命題的是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先判斷命題，命題的真假，利用基本不等式和三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷命題為假，再用零向量判斷命題為假，進(jìn)而判斷命題和命題為真，易得為真.【詳解】由題意命題函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，由性質(zhì)可得，所以函數(shù)，取不到最小值，即命題為假，則命題為真；命題若向量為零向量，滿足，但不一定有，所以命題為假，則命題為真，所以為真.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查命題真假的判定，涉及基本不等式的最值問(wèn)題要注意條件的檢驗(yàn)，平面向量的運(yùn)算要熟記運(yùn)算規(guī)則，側(cè)重考查邏輯推理的核心素養(yǎng).7.若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先將化成與同底，再利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大小，然后利用中間值1比較的大小，最后易得三者關(guān)系.【詳解】因?yàn)?，由指?shù)函數(shù)單調(diào)遞增，且可得，且，又因?yàn)?，所?故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)式，對(duì)數(shù)式比較大小，指數(shù)式的大小比較一般是化為同底數(shù)來(lái)進(jìn)行，不同類的數(shù)值比較一般采用介值法進(jìn)行，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).8.已知x，y滿足約束條件，則的最小值為()A.4 B.2 C.1 D.【答案】C【解析】【分析】先作出可行域，平移目標(biāo)函數(shù)，確定取到最小值的點(diǎn)，然后求出點(diǎn)代入目標(biāo)函數(shù)可得.【詳解】作出可行域，如圖，易得目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取到最小值，由得，所以的最小值為，故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃求解最值問(wèn)題，主要求解方法是作出可行域，平移目標(biāo)函數(shù)，得到最值點(diǎn)，聯(lián)立方程組，求出最值點(diǎn)可得最值.9.設(shè)函數(shù)（其中常數(shù)）的圖象在點(diǎn)處的切線為l，則l在y軸上的截距為()A.1 B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】先求得的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，根據(jù)切點(diǎn)寫(xiě)出切線的點(diǎn)斜式方程，令可得l在y軸上的截距.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)為，可得圖象在點(diǎn)處的切線斜率為，且，則切線方程為，令可得，故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)求解在某點(diǎn)處的切線方程的策略是：先求導(dǎo)數(shù)，代入切點(diǎn)橫坐標(biāo)可得切線斜率，然后結(jié)合點(diǎn)斜式可求切線方程，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).10.某數(shù)學(xué)小組到進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐調(diào)查，了解到某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬(wàn)元利潤(rùn)目標(biāo)，準(zhǔn)備制定激勵(lì)銷售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案：在銷售利潤(rùn)超過(guò)10萬(wàn)元時(shí)，按銷售利潤(rùn)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金y（單位：萬(wàn)元）隨銷售利潤(rùn)x（單位：萬(wàn)元）的增加而增加，但獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)5萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過(guò)利潤(rùn)的25%．同學(xué)們利用函數(shù)知識(shí)，設(shè)計(jì)了如下的函數(shù)模型，其中符合公司要求的是（參考數(shù)據(jù)：，）()A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】先由題意得到符合公司要求的函數(shù)模型應(yīng)滿足的三個(gè)條件，再逐項(xiàng)驗(yàn)證即可.【詳解】由題意得，符合公司要求的函數(shù)模型應(yīng)滿足：當(dāng)時(shí)，①函數(shù)為增函數(shù)；②；③.對(duì)于選項(xiàng)A，滿足條件①，但當(dāng)時(shí)，則不滿足條件②，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，滿足條件①，但當(dāng)時(shí)，有，因而不符合條件②，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，滿足條件①，當(dāng)時(shí)，有，所以滿足條件②，且有恒成立，所以滿足條件③，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，不滿足條件①，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查不同函數(shù)的增長(zhǎng)模型，明確實(shí)際問(wèn)題蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)模型特點(diǎn)是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).11.函數(shù)在上單調(diào)遞增，且圖象關(guān)于對(duì)稱，則的值為()A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】先求周期的范圍，再進(jìn)一步得到的范圍，排除選項(xiàng)B,C,D.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以.又因?yàn)?，所以，所?只有選項(xiàng)A符合，經(jīng)檢驗(yàn)可知圖象關(guān)于對(duì)稱；故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)，利用單調(diào)性和對(duì)稱性確定參數(shù)，特值進(jìn)行排除也是常用方法，側(cè)重考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).12.在中，，的平分線AD交邊BC于點(diǎn)D，已知，且，則在方向上的投影為()A.1 B. C.3 D.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)得出四邊形為菱形，從而可得,進(jìn)而可求在方向上的投影.【詳解】因?yàn)?，如圖設(shè),,所以四邊形為菱形；因?yàn)?，，所?即有;結(jié)合比例性質(zhì)可得,所以;在方向上的投影為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的應(yīng)用，明確向量的運(yùn)算規(guī)則是求解的關(guān)鍵，數(shù)形結(jié)合能簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，側(cè)重考查直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).二、填空題13.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋覞M足，當(dāng)時(shí)，，則________．【答案】e【解析】【分析】先根據(jù)可得周期為，利用周期可求，從而可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以函?shù)的周期為，所以；又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用函數(shù)的周期求值，主要求解思路是：先根據(jù)題設(shè)條件得出函數(shù)的周期，再結(jié)合周期把目標(biāo)函數(shù)值轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，然后可求，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).14.已知向量，向量的模為1，且，則與的夾角為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)求得，然后利用向量的夾角公式可求.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，即有，，所以，故與的夾角為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的運(yùn)算，向量夾角的求解主要利用公式來(lái)求，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).15.2019年10月1日，在慶祝新中國(guó)成立70周年閱兵中，由我國(guó)自主研制的軍用飛機(jī)和軍用無(wú)人機(jī)等參閱航空裝備分秒不差飛越天安門(mén)，壯軍威，振民心，令世人矚目．飛行員高超的飛行技術(shù)離不開(kāi)艱苦的訓(xùn)練和科學(xué)的數(shù)據(jù)分析．一次飛行訓(xùn)練中，地面觀測(cè)站觀測(cè)到一架參閱直升飛機(jī)以千米/小時(shí)的速度在同一高度向正東飛行，如圖，第一次觀測(cè)到該飛機(jī)在北偏西的方向上，1分鐘后第二次觀測(cè)到該飛機(jī)在北偏東的方向上，仰角為，則直升機(jī)飛行的高度為_(kāi)_______千米．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】【解析】【分析】根據(jù)飛行時(shí)間和速度可求飛行距離，結(jié)合兩次觀察的方位角及三角形知識(shí)可得.【詳解】如圖，根據(jù)已知可得設(shè)飛行高度為千米，即，則;在直角三角形中，,所以，；在直角三角形中，同理可求；因?yàn)轱w行速度為千米/小時(shí)，飛行時(shí)間是1分鐘，所以,所以，解得，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查以現(xiàn)實(shí)問(wèn)題為背景的解三角形問(wèn)題，準(zhǔn)確理解方位角是求解本題的關(guān)鍵，融合了簡(jiǎn)單的物理知識(shí)，側(cè)重考查了直觀想象和邏輯推理的核心素養(yǎng).16.若函數(shù)有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)_______．【答案】或【解析】【分析】先求解導(dǎo)數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，確定函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值情況可求.【詳解】，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，時(shí)，，所以有極小值，由題意，令可得；當(dāng)時(shí)，，顯然成立；當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，且有，顯然成立；當(dāng)時(shí)，時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，所以有極大值，顯然成立；當(dāng)時(shí)，時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，所以有極小值，有極大值，，若函數(shù)有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，則需要，即，易知當(dāng)時(shí)，恒成立.綜上可得或，故答案為：或.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，零點(diǎn)問(wèn)題一般是結(jié)合導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性，極值等，結(jié)合圖象走勢(shì)情況進(jìn)行求解，難度較大，綜合性較強(qiáng)，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象和直觀想象的核心素養(yǎng).三、解答題17.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期與單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若，且，求的值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）先結(jié)合三角恒等變換的公式把目標(biāo)函數(shù)化簡(jiǎn)為標(biāo)準(zhǔn)型，結(jié)合周期求解公式和單調(diào)區(qū)間求解方法可求；（2）結(jié)合所給角的范圍，確定的范圍，結(jié)合函數(shù)值可得所求角.【詳解】解：（1）∴，即的最小正周期為．∵的單調(diào)遞減區(qū)間為，，∴由，，解得，，∴單調(diào)遞減區(qū)間為，．（2）由已知，可得，即，再由，可得，∴，解得．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及性質(zhì)，一般求解思路是：先利用公式把目標(biāo)函數(shù)化簡(jiǎn)為標(biāo)準(zhǔn)型，然后利用相應(yīng)性質(zhì)的求解方法求解，側(cè)重考查邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).18.已知數(shù)列滿足，，且，，數(shù)列的前n項(xiàng)和．（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）先根據(jù)條件可得數(shù)列是等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求，數(shù)列的通項(xiàng)公式可由公式求得；（2）先求解，根據(jù)通項(xiàng)公式的特點(diǎn)，利用分組求和法求和.【詳解】解：（1）∵，，即，∴數(shù)列是等差數(shù)列．由，，解得，，∴．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．．∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）由（1）得，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解和數(shù)列求和，已知求解通項(xiàng)公式時(shí)，通常利用公式求解，數(shù)列求和一般是利用通項(xiàng)公式的特征，選擇合適的方法求解，常用方法有：錯(cuò)位相減法，裂項(xiàng)相消法，分組求和法等，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理的核心素養(yǎng).19.已知中三個(gè)內(nèi)角A，B，C滿足．（1）求；（2）若，b是角B的對(duì)邊，，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先根據(jù)及平方關(guān)系，可以求得；（2）根據(jù)三角形的性質(zhì)及正弦定理可求，，然后利用面積公式可得.【詳解】解：（1）在中，，即，∴，由題意得．兩邊平方可得，根據(jù)，可整理為，解得或（舍去）．∴．（2）由，且，可得，為鈍角，∴，又，由正弦定理得，∴，．又為鈍角，由（1）得．∴的面積為綜上所述，的面積為．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用正弦定理和面積公式求解三角形問(wèn)題，解三角形時(shí)需要注意三角形性質(zhì)使用及面積公式的選擇，邊角的相互轉(zhuǎn)化是求解的常用策略，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理的核心素養(yǎng).20.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)在區(qū)間上值域；（2）若實(shí)數(shù)，均大于1且滿足，求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先把函數(shù)化簡(jiǎn)為，結(jié)合的范圍可得；（2）先根據(jù)得，表示出目標(biāo)函數(shù)，結(jié)合均值定理可求.【詳解】解：（1）由題意得，由，知，于是，∴，即，∴，∴的值域?yàn)椋?），所以．又，，∴當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“”，故，∵在上是增函數(shù)，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的值域及利用基本不等式求解最值，基本不等式求解最值問(wèn)題要滿足適用條件，等量關(guān)系的代換是本題求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).21.已知函數(shù)，，．（1）若存在極小值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若，求證：．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，通過(guò)分類討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)情況，得出極值情況，從而可求；（2）先把目標(biāo)不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)，判定單調(diào)性，得到最值，然后可證.【詳解】解：（1）由題意得，令，則．∴當(dāng)時(shí)，得，此時(shí)單調(diào)遞減，且，，當(dāng)時(shí)，得，此時(shí)單調(diào)遞增，且，，∴．①當(dāng)，即時(shí)，，于是在上是增函數(shù)，從而在上無(wú)極值．②當(dāng)，即時(shí)，存在，使得，且當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，故是在上的極小值點(diǎn)．綜上，．（2）要證）即等價(jià)于證明．①當(dāng)時(shí)，得，，顯然成立；②當(dāng)時(shí)，則，結(jié)合已知，可得．于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明，即證明．令，，則，令，則，易得在上單調(diào)遞增．∵，，∴存在使得，即．∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，，∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，∴，故，問(wèn)題得證．【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求解極值問(wèn)題一般是結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行，不等關(guān)系的證明一般是利用轉(zhuǎn)化思想進(jìn)行等價(jià)變形，然后構(gòu)造新函數(shù)，判定新函數(shù)的單調(diào)性或求解最值，本題綜合性較強(qiáng)，側(cè)重考