概率統(tǒng)計(jì)條件概率

2012年5月概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)—第一章隨機(jī)事件及其概率1第一章二、乘法公式一、條件概率第四節(jié)條件概率三、全概率公式與貝葉斯公式2Ⅰ定義引例：取一副牌，隨機(jī)地取一張(1)問(wèn)抽中的是K的概率(2)若已知抽中的是紅桃，問(wèn)抽中的是K的概率解(1)一、條件概率B——抽中的是K3(2)A——抽中的是紅桃B——抽中的是K定義——條件概率分析：即求4結(jié)論：對(duì)一般古典概型問(wèn)題，設(shè)分別表示試驗(yàn)E，事件AB，事件A所包含的基本事件數(shù)，則有：定義：(嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義)設(shè)A,B為兩事件，且稱為事件A發(fā)生條件下事件B發(fā)生的條件概率。5Ⅱ條件概率的性質(zhì)條件概率滿足概率公理化定義中的三個(gè)條件。3.(可列可加性)設(shè)是兩兩互不相容的事件則6證互不相容7另：條件概率也同時(shí)滿足概率的6個(gè)性質(zhì)例如：和事件逆事件Ⅲ計(jì)算條件概率(1)在縮減樣本空間中求事件概率(2)利用定義(公式)8(4,1),(4,2),(4,3)}(3,1),(3,2),(3,4)(2,1),(2,3),(2,4)S={(1,2),(1,3),(1,4)例1

盒子里有4只產(chǎn)品，其中3只一等品，一只二等品，試驗(yàn)E：依次取兩只，做無(wú)放回抽樣.事件A:第一次取得一等品；事件B:第二次取得一等品，求解法一（縮減樣本空間）間S，將產(chǎn)品編號(hào)，1,2,3為一等品,4號(hào)為二等品,表示第一次，第二次分別取到i號(hào)，j號(hào)。為了能具體寫(xiě)出E的樣本空9由引例的結(jié)論得：法二（公式法）由條件概率的公式10例2

設(shè)一批產(chǎn)品的一、二、三等品各占60%,30%,10%,現(xiàn)從中任取一件，結(jié)果不是三等品，求取得是一等品的概率。解則由已知得11定理設(shè)，則有，則有推廣

三維n維其中其中二、乘法公式12證明

左面n維其中右面13例3.假設(shè)某學(xué)校學(xué)生四級(jí)英語(yǔ)考試的及格率為98%，其中70%的學(xué)生通過(guò)六級(jí)英語(yǔ)考試,試求從該校隨機(jī)的選出一名學(xué)生通過(guò)六級(jí)考試的概率。解設(shè)A=“通過(guò)四級(jí)英語(yǔ)考試”

B=“通過(guò)六級(jí)英語(yǔ)考試”由題意,可知14例4.為了防止意外,在礦井中同時(shí)安裝兩種報(bào)警系統(tǒng)A與B,每種系統(tǒng)單獨(dú)使用時(shí),其有效概率分別為A為0.92,B為0.93,在A失靈的條件下B有效的概率為0.85,求1)B失靈的條件下,A有效的概率2)發(fā)生意外時(shí),A與B至少有一個(gè)有效的概率解:設(shè)A＝“A系統(tǒng)有效”，B＝“B系統(tǒng)有效”由題意:1)15例4.為了防止意外,在礦井中同時(shí)安裝兩種報(bào)警系統(tǒng)A與B,每種系統(tǒng)單獨(dú)使用時(shí),其有效概率分別為A為0.92,B為0.93,在A失靈的條件下B有效的概率為0.85,求1)B失靈的條件下,A有效的概率2)發(fā)生意外時(shí),A與B至少有一個(gè)有效的概率解:2)16例5.設(shè)一個(gè)班中30名學(xué)生采用抓鬮的辦法分一張電影票的機(jī)率是否相等？解設(shè)“第名學(xué)生抓到電影票”17…………所以抓鬮決定誰(shuí)去看電影是公平的。例6.某人忘了電話號(hào)碼的最后一個(gè)數(shù)字，因而隨意撥號(hào)，求他撥號(hào)不超過(guò)三次而接通所需電話的概率，若已知最后一個(gè)數(shù)字是奇數(shù)，那么此概率是多少？解

設(shè)表示第i次撥通所需電話；表示不超過(guò)三次而接通所需電話；18例7.一批零件共100件,其中有10件次品,每次從其中任取一個(gè)零件，取后不放回。試求：1)若依次抽取3次,求第3次才抽到合格品的概率2)如果取到一個(gè)合格品就不再取下去，求在3次內(nèi)取到合格品的概率“第次抽到合格品”解:設(shè)1)2)設(shè)“三次內(nèi)取到合格品”則且互不相容19例7.一批零件共100件,其中有10件次品,每次從其中任取一個(gè)零件，取后不放回。試求：1)若依次抽取3次,求第3次才抽到合格品的概率2)如果取到一個(gè)合格品就不再取下去，求在3次內(nèi)取到合格品的概率解:(方法二)利用對(duì)立事件“三次都取到次品”下利用條件概率求做20321解即且西如圖所示。有三個(gè)箱子，分別編號(hào)為1,2,3,箱內(nèi)所放東球，求取得紅球的概率.某人從三箱中任取一箱，從中任意摸出一1.引例三、全概率公式與貝葉斯(Bayes)公式21由于故222.事件的劃分定義設(shè)S

是隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間若：（互斥性）（完備性）則稱是樣本空間S的一個(gè)劃分。例如

設(shè)試驗(yàn)E為“擲骰子觀察其點(diǎn)數(shù)”。樣本空間為其中，是S

的一個(gè)劃分。23不是S

的一個(gè)劃分。，，而3.全概率公式設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E

的樣本空間S，A

為E

的任意一定理個(gè)事件,為S

的一個(gè)劃分,，則有稱為全概率公式。24證由已知得所以互不相容故又因?yàn)榈?5去構(gòu)造這一組Bi往往可以簡(jiǎn)化計(jì)算.全概率公式的理論和實(shí)用意義在于:在較復(fù)雜情況下計(jì)算P(A)不易,但A

總是伴隨著某個(gè)Bi出現(xiàn)，所以適當(dāng)?shù)?6例8

假設(shè)有甲、乙兩袋，甲袋中有3個(gè)白球2個(gè)紅球，乙袋中有2個(gè)紅球3個(gè)白球，今從甲中任意取一只放入乙中，再?gòu)囊抑腥稳∫磺?，?wèn)取到白球的概率為多少？解設(shè)A表示從乙中取到白球，B1

表示從甲中取到白球，B2

表示從甲中取到紅球,B1

，B2

為S的一個(gè)劃分，由全概率公式得27某廠生產(chǎn)的儀器每臺(tái)以0.7的概率可以出廠，以0.3的概率需要進(jìn)一步調(diào)試，經(jīng)調(diào)試后以0.8的概率可以出廠，以0.2的概率為不合格品，不能出廠。求每臺(tái)儀器能出廠的概率。例9解設(shè)B“儀器能出廠”

A1“儀器需要調(diào)試”

A2

“儀器不需要調(diào)試”28引例從如圖所示的箱子中任取一球,發(fā)現(xiàn)是紅球,問(wèn)它是取自一號(hào)箱的概率.解

設(shè)=“球取自i號(hào)箱”=“取得紅球”運(yùn)用全概率公式計(jì)算P(A)4.貝葉斯Bayes公式32129運(yùn)用全概率公式計(jì)算P(A)定理設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E

的樣本空間為S,A為E的任意一個(gè)事件,為S的一個(gè)劃分,且則，稱此式為貝葉斯公式。30例10.解:分別表示他乘火車(chē),汽車(chē),輪船,飛機(jī)設(shè)A=“他來(lái)遲了”由題意,則某人從外地來(lái)參加會(huì)議,他乘火車(chē),汽車(chē),輪船或飛機(jī)來(lái)的概率為如果他乘飛機(jī)來(lái)不會(huì)遲到;而乘火車(chē),輪船或汽車(chē)來(lái)遲的概率為試求:1)他來(lái)遲的概率2)如果他來(lái)遲了，試推斷他是怎樣來(lái)的？下求31例10.1)由全概率公式2)由貝葉斯公式乘火車(chē)的可能性最大32已知“結(jié)果”求“原因”全概率公式尋找導(dǎo)致A發(fā)生的每個(gè)原因的概率.②貝葉斯公式是在觀察到事件A已發(fā)生的條件下，注：①全概率公式是在已知導(dǎo)致事件A的每個(gè)原因發(fā)生的概率的條件下，求事件A發(fā)生的概率。已知“原因”求“結(jié)果”貝葉斯公式33例11.設(shè)某工廠甲,乙,丙3個(gè)車(chē)間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品,產(chǎn)量依次占全廠的45％,35％,20％,且各車(chē)間的合格品率為0.96,0.98,0.95,現(xiàn)在從待出廠的產(chǎn)品中檢查出1個(gè)次品,問(wèn)該產(chǎn)品是由哪個(gè)車(chē)間生產(chǎn)的可能性最大？解分別表示該產(chǎn)品是由甲、乙、丙車(chē)間生產(chǎn)，設(shè)A表示“任取一件產(chǎn)品為次品”由題意得由貝葉斯公式34所以該產(chǎn)品是甲車(chē)間生產(chǎn)的可能性最大。用全概率公式求得35作業(yè)321頁(yè)3,4,536例12.在電報(bào)系統(tǒng)中，不斷發(fā)出“0”和“1”，發(fā)“0”和“1”的概率為0.6和0.4，發(fā)“0”分別以0.7,0.1和0.2接受為“0”“1”和模糊信息“X”，發(fā)“1”分別以0.85,0.05和0.1接收“1”,“0”和模糊信息“X”，試求：⑴收到信息為模糊信息的概率。⑵收到模糊信息應(yīng)該譯成什么信息的最好。分析

發(fā)信息

收信息“0”“0”0.7“1”0.1“X”0.20.6“1”“1”0.05“0”0.85“X”0.10.437解

設(shè)Ai表示“發(fā)出的信息為“i”，i=0,1Bi表示“收到的信息為“i”，i=0,1,X⑴⑵，所以應(yīng)為“0”信息好。38商店成箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分別為0.8,0.1,0.1，某顧客選中一箱，從中任選4只檢查，結(jié)果無(wú)次品，便買(mǎi)下了這一箱.否則退回，問(wèn)⑴顧客買(mǎi)下該箱的概率；⑵在顧客買(mǎi)下的一箱中，確實(shí)沒(méi)有次品的概率。B0

,B1

,B2

分別表示“箱中恰好有0，1，2只次品⑴由全概率公式:解例13設(shè)A表示“顧客買(mǎi)下所察看的一箱”39⑵由Bayes全公式:40第一章二、多個(gè)事件相互獨(dú)立一、兩個(gè)事件相互獨(dú)立第五節(jié)事件的相互獨(dú)立性三、伯努利概型41考慮：在什么條件下成立？可知B表示“乙擲出偶數(shù)點(diǎn)”A表示“甲擲出偶數(shù)點(diǎn)”引例

擲甲乙兩枚骰子，42一、兩個(gè)事件相互獨(dú)立

定義1設(shè)A、B是兩個(gè)事件，如果有如下等式成立則稱事件A、B相互獨(dú)立。定理設(shè)A、B是兩個(gè)事件⑴若，則A、B相互獨(dú)立的充分必要條件為⑵若A、B相互獨(dú)立,都相互獨(dú)立。43證⑴若相互獨(dú)立,則有反之由乘法公式⑴若，則A、B相互獨(dú)立的充分必要條件為44定理

當(dāng)時(shí)，互不相容與相互獨(dú)立不能同時(shí)成立。證

A、B互不相容反之A、B相互獨(dú)立則，故A、B不可能互不相容。⑵其余同理可證。⑵若A、B相互獨(dú)立,注：區(qū)分互不相容、相互獨(dú)立45例1.甲,乙兩人的命中率為0.5和0.4,現(xiàn)兩人獨(dú)立地向目標(biāo)射擊一次,解:設(shè)A=“甲射擊一次命中目標(biāo)”的概率是多少?B=“乙射擊一次命中目標(biāo)”C=“目標(biāo)被命中”則相互獨(dú)立,且已知目標(biāo)被命中,則它是乙命中46二、多個(gè)事件的相互獨(dú)立性引例在考試中，表示“第i個(gè)學(xué)生得100分”i=1,2,…n則是相互獨(dú)立的。若下面四個(gè)等式同時(shí)成立定義2則稱A,B,C相互獨(dú)立，如果只有前三個(gè)等式成立，則稱A,B,C兩兩相互獨(dú)立。47注：事件(n>2)相互獨(dú)立事件兩兩相互獨(dú)立推廣

n個(gè)事件相互獨(dú)立（參考書(shū)27頁(yè)）定理⑴若相互獨(dú)立,則其中任意k個(gè)事件也相互獨(dú)立。⑵則其中任意k個(gè)事件的對(duì)立事件與其它的事件組成的n個(gè)事件也相互獨(dú)立。48例2.解:由題意兩兩獨(dú)立故A,B,C不相互獨(dú)立現(xiàn)有四張卡片，如圖所示現(xiàn)從中任取一張,設(shè)分別表示抽到寫(xiě)有數(shù)字的卡片,試判定事件之間的關(guān)系49例3A,B,C,D連接方式如圖，LRACBD各繼電器閉合與否是獨(dú)立的，且閉合的概率均為P，求R至L為通路的概率。解

設(shè)A,B,C,D分別表示A,B,C,D閉合表示“L——R通路”則由獨(dú)立性50例4甲、乙、丙三人向同一飛機(jī)射擊，設(shè)甲、乙、丙的命中率分別為0.4、0.5、0.7，只一人擊中飛機(jī)，飛機(jī)被擊落的概率為0.2；兩人同時(shí)擊中，飛機(jī)被擊落的概率為0.6；三人擊中飛機(jī)，飛機(jī)被擊落的概率為1，求⑴“飛機(jī)被擊落”的概率⑵若飛機(jī)被擊落，求它是兩人同時(shí)擊落的概率解⑴設(shè)A表示“飛機(jī)被擊落”表示“飛機(jī)被i個(gè)人同時(shí)擊中”i=1,2,3是S的一個(gè)劃分51分別表示“甲、乙、丙命中”用全概率公式⑴設(shè)A表示“飛機(jī)被擊落”表示“飛機(jī)被i個(gè)人同時(shí)擊落”i=0,1,2,352

用Bayes公式⑵若飛機(jī)被擊落，求它是兩人同時(shí)擊落的概率53例5設(shè)，，，問(wèn)A、B是否獨(dú)立？解整理得A，B獨(dú)立54例6

某儀器有3個(gè)燈泡，燒壞第一、第二、第三個(gè)燈泡的概率分別為0.1,0.2,0.3.當(dāng)燒壞一個(gè)燈泡時(shí)，儀器發(fā)生故障的概率為0.25.燒壞二個(gè)燈泡時(shí)，儀器發(fā)生故障的概率為0.6.燒壞三個(gè)燈泡時(shí)，儀器發(fā)生故障的概率為0.9.求儀器發(fā)生故障的概率.解設(shè)Ak

表示“恰有k個(gè)燈泡燒壞”，

k

=1,2,3.B表示“儀器發(fā)生故障”.55解設(shè)Ak

表示“恰有k個(gè)燈泡燒壞”，

k

=1,2,3.B表示“儀器發(fā)生故障”.所以56例7

甲乙兩人乒乓球比賽,每局甲勝的概率為p(p≥0.5),對(duì)甲而言,采用三局兩勝制有利,還是采用五局三勝制有利？（各局勝負(fù)相互獨(dú)立）解⑴三局兩勝所以甲最終獲勝的概率為⑵五局三勝

甲獲勝:“甲甲”、“乙甲甲”、“甲乙甲”57甲獲勝：“甲甲甲”“乙甲甲甲”、“甲乙甲甲”、“甲甲乙甲”“甲乙甲乙甲”、“乙甲甲乙甲”、“乙甲乙甲甲”“乙乙甲甲甲”、“甲乙乙甲甲”、“甲甲乙乙甲”⑵五局三勝所以甲最終獲勝的概率為58比較⑴和⑵當(dāng)，對(duì)甲采用五局三勝制有利；當(dāng)時(shí)，兩種賽制甲乙最終獲勝的概率相同。59注：⑵相互獨(dú)立事件至少發(fā)生一次的概率計(jì)算⑴區(qū)分事件的互斥性和獨(dú)立性；若事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立,則⑶一般根據(jù)實(shí)際背景判斷事件的獨(dú)立性。60例6設(shè)每門(mén)炮射擊一飛機(jī)的命中率為0.6,現(xiàn)有若干門(mén)炮同時(shí)獨(dú)立地對(duì)飛機(jī)進(jìn)行一次射擊，問(wèn)需要多少門(mén)炮才能以0.99的把握擊中一飛機(jī)。解設(shè)需要n門(mén)炮。Ak“第k門(mén)炮擊中飛機(jī)”B“飛機(jī)被擊落”故至少需要6門(mén)炮才能以0.99的把握擊中飛機(jī)。61某人做一次試驗(yàn)獲得成功的概率僅為0.2，他持之以恒，不斷重復(fù)試驗(yàn)，求他做10次試驗(yàn)至少成功一次的概率？做20次又怎樣呢？解：設(shè)他做k次試驗(yàn)至少成功一次的概率為pk，則p10=P(A1∪A2∪…∪A10

)=1－(1－0.2

)10≈0.8926=1－P(A1)P(A2)…P(A10

)Aj={第j次試驗(yàn)成功}，j=1，2，…例762三、伯