相關(guān)性的判定及有關(guān)重要結(jié)論

相關(guān)性的判定及有關(guān)重要結(jié)論1.線性相關(guān)與線性組合的關(guān)系定理2.相關(guān)性的判定定理定理3：在一個(gè)向量組中，若有一個(gè)部分向量組線性相關(guān)，則整個(gè)向量組也必定線性相關(guān)。推論：一個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量組的任何非空的部分向量組都線性無(wú)關(guān)。解：解：證明定理4.寫(xiě)成分量形式為對(duì)A作初等變換考慮A的r+1階子式按向量形式寫(xiě)，上式為：0推論1：當(dāng)m>n時(shí)，m個(gè)n維向量線性相關(guān)。推論2：任意m個(gè)n維向量線性無(wú)關(guān)的充要條件是由它們構(gòu)成的矩陣A=的秩r(A)=m。推論3：任意n個(gè)n維向量線性無(wú)關(guān)的充要條件是由它們構(gòu)成的方陣A的行列式不等于零。或r(A)=n.推論4：任意n個(gè)n維向量線性相關(guān)的充要條件是由它們構(gòu)成的方陣A的行列式等于零?；騬(A)<n.定理5：若m個(gè)r

維向量

線性無(wú)關(guān)，則對(duì)應(yīng)的m個(gè)r+1

維向量

也線性無(wú)關(guān)。用語(yǔ)言敘述為：線性無(wú)關(guān)的向量組，添加分量后仍舊線性無(wú)關(guān)。推論：r維線性無(wú)關(guān)的向量，添加n-r個(gè)相應(yīng)分量組成的n

維向量組仍舊線性無(wú)關(guān)。證明：向量組的極大無(wú)關(guān)組滿足定義1：設(shè)向量組或則稱(chēng)的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，簡(jiǎn)稱(chēng)極大無(wú)關(guān)組。極大無(wú)關(guān)組的含義有兩層：1無(wú)關(guān)性;2.極大性.注:1.線性無(wú)關(guān)向量組的極大無(wú)關(guān)組就是其本身;2.向量組與其極大無(wú)關(guān)組等價(jià);3.同一個(gè)向量組的極大無(wú)關(guān)組不惟一,但它們之間是等價(jià)的.例:求向量組的極大無(wú)關(guān)組.極大無(wú)關(guān)組的性質(zhì)定理1：設(shè)有兩個(gè)n維向量組若向量組(I)線性無(wú)關(guān)，且可由向量組(II)線性表示，則rs.證：設(shè)推論1：若向量組性表示，且r>s,則向量組線推論2：任意兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的等價(jià)向量組所含向量的個(gè)數(shù)相等。定理2：一個(gè)向量組的任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)相等。向量組的秩定義：向量組的極大無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)，稱(chēng)為向量組的秩，記為注：（1）線性無(wú)關(guān)的向量組的秩=向量的個(gè)數(shù)。（2）向量組線性無(wú)關(guān)秩=向量個(gè)數(shù)。定理3：推論：等價(jià)的向量組有相同的秩。必須注意：有相同秩的兩個(gè)向量組不一定等價(jià)。=n例1：設(shè)向量組線性表示,求例2：設(shè)有兩個(gè)n維向量組若你能舉一個(gè)反例嗎？向量組的秩的求法定理4：向量組的秩與該向量組所構(gòu)成的矩陣的秩相等。行秩：矩陣行向量組的秩；列秩：矩陣列向量組的秩。推論：矩陣的行秩與列秩相等。這實(shí)際上給出了一個(gè)求向量組秩的方法：先將向量組構(gòu)成一個(gè)矩陣，然后求矩陣的秩，這個(gè)秩就是向量組的秩。例1：求向量組的秩。解：極大無(wú)關(guān)組的求法列擺行變換法。例2：求向量組的秩及極大無(wú)關(guān)組。（記錄法與逐個(gè)考察法就不介紹了。）列擺行變換將矩陣化為梯形陣后，秩即求出來(lái)了。這時(shí)，只要在同一高度上取一個(gè)向量，即可得到極大無(wú)關(guān)組。如上例，求秩及一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。矛盾反例：但，行擺行變換不行！我們已經(jīng)看到：用矩陣可以解決向量組的