2022年河北省忠德學(xué)校衡水教學(xué)部數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析_第1頁
2022年河北省忠德學(xué)校衡水教學(xué)部數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析_第2頁
2022年河北省忠德學(xué)校衡水教學(xué)部數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析_第3頁
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2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知雙曲線:(,)的焦距為.點(diǎn)為雙曲線的右頂點(diǎn),若點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為,則雙曲線的離心率是()A. B. C.2 D.32.已知集合,則的值域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.3.已知向量,,則與的夾角為()A. B. C. D.4.若復(fù)數(shù)滿足,則(其中為虛數(shù)單位)的最大值為()A.1 B.2 C.3 D.45.不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)?,則()A., B.,C., D.,6.已知集合,則集合的非空子集個(gè)數(shù)是()A.2 B.3 C.7 D.87.已知是偶函數(shù),在上單調(diào)遞減,,則的解集是A. B.C. D.8.已知無窮等比數(shù)列的公比為2,且,則()A. B. C. D.9.四人并排坐在連號(hào)的四個(gè)座位上,其中與不相鄰的所有不同的坐法種數(shù)是()A.12 B.16 C.20 D.810.設(shè),分別為雙曲線(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),過點(diǎn)作圓的切線與雙曲線的左支交于點(diǎn)P,若,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.11.雙曲線的漸近線方程為()A. B.C. D.12.已知集合,,則()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知實(shí)數(shù),滿足,則的最大值為______.14.在一次體育水平測(cè)試中,甲、乙兩校均有100名學(xué)生參加,其中:甲校男生成績(jī)的優(yōu)秀率為70%,女生成績(jī)的優(yōu)秀率為50%;乙校男生成績(jī)的優(yōu)秀率為60%,女生成績(jī)的優(yōu)秀率為40%.對(duì)于此次測(cè)試,給出下列三個(gè)結(jié)論:①甲校學(xué)生成績(jī)的優(yōu)秀率大于乙校學(xué)生成績(jī)的優(yōu)秀率;②甲、乙兩校所有男生成績(jī)的優(yōu)秀率大于甲、乙兩校所有女生成績(jī)的優(yōu)秀率;③甲校學(xué)生成績(jī)的優(yōu)秀率與甲、乙兩校所有學(xué)生成績(jī)的優(yōu)秀率的大小關(guān)系不確定.其中,所有正確結(jié)論的序號(hào)是____________.15.某部門全部員工參加一項(xiàng)社會(huì)公益活動(dòng),按年齡分為三組,其人數(shù)之比為,現(xiàn)用分層抽樣的方法從總體中抽取一個(gè)容量為20的樣本,若組中甲、乙二人均被抽到的概率是,則該部門員工總?cè)藬?shù)為__________.16.已知數(shù)列與均為等差數(shù)列(),且,則______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)傳染病的流行必須具備的三個(gè)基本環(huán)節(jié)是:傳染源、傳播途徑和人群易感性.三個(gè)環(huán)節(jié)必須同時(shí)存在,方能構(gòu)成傳染病流行.呼吸道飛沫和密切接觸傳播是新冠狀病毒的主要傳播途徑,為了有效防控新冠狀病毒的流行,人們出行都應(yīng)該佩戴口罩.某地區(qū)已經(jīng)出現(xiàn)了新冠狀病毒的感染病人,為了掌握該地區(qū)居民的防控意識(shí)和防控情況,用分層抽樣的方法從全體居民中抽出一個(gè)容量為100的樣本,統(tǒng)計(jì)樣本中每個(gè)人出行是否會(huì)佩戴口罩的情況,得到下面列聯(lián)表:戴口罩不戴口罩青年人5010中老年人2020(1)能否有的把握認(rèn)為是否會(huì)佩戴口罩出行的行為與年齡有關(guān)?(2)用樣本估計(jì)總體,若從該地區(qū)出行不戴口罩的居民中隨機(jī)抽取5人,求恰好有2人是青年人的概率.附:0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82818.(12分)已知a>0,b>0,a+b=2.(Ⅰ)求的最小值;(Ⅱ)證明:19.(12分)在直角坐標(biāo)系中,已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,射線的極坐標(biāo)方程為,射線的極坐標(biāo)方程為.(Ⅰ)寫出曲線的極坐標(biāo)方程,并指出是何種曲線;(Ⅱ)若射線與曲線交于兩點(diǎn),射線與曲線交于兩點(diǎn),求面積的取值范圍.20.(12分)已知函數(shù),函數(shù)().(1)討論的單調(diào)性;(2)證明:當(dāng)時(shí),.(3)證明:當(dāng)時(shí),.21.(12分)已知函數(shù).(1)設(shè),若存在兩個(gè)極值點(diǎn),,且,求證:;(2)設(shè),在不單調(diào),且恒成立,求的取值范圍.(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).22.(10分)[選修45:不等式選講]已知都是正實(shí)數(shù),且,求證:.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

由點(diǎn)到直線距離公式建立的等式,變形后可求得離心率.【詳解】由題意,一條漸近線方程為,即,∴,,即,,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率,掌握漸近線方程與點(diǎn)到直線距離公式是解題基礎(chǔ).2、A【解析】

先求出集合,化簡(jiǎn)=,令,得由二次函數(shù)的性質(zhì)即可得值域.【詳解】由,得,,令,,,所以得,在上遞增,在上遞減,,所以,即的值域?yàn)楣蔬xA【點(diǎn)睛】本題考查了二次不等式的解法、二次函數(shù)最值的求法,換元法要注意新變量的范圍,屬于中檔題3、B【解析】

由已知向量的坐標(biāo),利用平面向量的夾角公式,直接可求出結(jié)果.【詳解】解:由題意得,設(shè)與的夾角為,,由于向量夾角范圍為:,∴.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查利用平面向量的數(shù)量積求兩向量的夾角,注意向量夾角的范圍.4、B【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可知復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心,1為半徑的圓上,再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可確定,即可得的最大值.【詳解】由知,復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心,1為半徑的圓上,表示復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與點(diǎn)間的距離,又復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在圓的圓心到的距離為1,所以.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)模的定義及其幾何意義應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

根據(jù)題意,分析不等式組的幾何意義,可得其表示的平面區(qū)域,設(shè),分析的幾何意義,可得的最小值,據(jù)此分析選項(xiàng)即可得答案.【詳解】解:根據(jù)題意,不等式組其表示的平面區(qū)域如圖所示,其中,,

設(shè),則,的幾何意義為直線在軸上的截距的2倍,

由圖可得:當(dāng)過點(diǎn)時(shí),直線在軸上的截距最大,即,當(dāng)過點(diǎn)原點(diǎn)時(shí),直線在軸上的截距最小,即,故AB錯(cuò)誤;

設(shè),則的幾何意義為點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率,由圖可得最大可到無窮大,最小可到無窮小,故C錯(cuò)誤,D正確;故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查本題考查二元一次不等式的性質(zhì)以及應(yīng)用,關(guān)鍵是對(duì)目標(biāo)函數(shù)幾何意義的認(rèn)識(shí),屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

先確定集合中元素,可得非空子集個(gè)數(shù).【詳解】由題意,共3個(gè)元素,其子集個(gè)數(shù)為,非空子集有7個(gè).故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查集合的概念,考查子集的概念,含有個(gè)元素的集合其子集個(gè)數(shù)為,非空子集有個(gè).7、D【解析】

先由是偶函數(shù),得到關(guān)于直線對(duì)稱;進(jìn)而得出單調(diào)性,再分別討論和,即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù),所以關(guān)于直線對(duì)稱;因此,由得;又在上單調(diào)遞減,則在上單調(diào)遞增;所以,當(dāng)即時(shí),由得,所以,解得;當(dāng)即時(shí),由得,所以,解得;因此,的解集是.【點(diǎn)睛】本題主要考查由函數(shù)的性質(zhì)解對(duì)應(yīng)不等式,熟記函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性、單調(diào)性等性質(zhì)即可,屬于??碱}型.8、A【解析】

依據(jù)無窮等比數(shù)列求和公式,先求出首項(xiàng),再求出,利用無窮等比數(shù)列求和公式即可求出結(jié)果。【詳解】因?yàn)闊o窮等比數(shù)列的公比為2,則無窮等比數(shù)列的公比為。由有,,解得,所以,,故選A?!军c(diǎn)睛】本題主要考查無窮等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用。9、A【解析】

先將除A,B以外的兩人先排,再將A,B在3個(gè)空位置里進(jìn)行插空,再相乘得答案.【詳解】先將除A,B以外的兩人先排,有種;再將A,B在3個(gè)空位置里進(jìn)行插空,有種,所以共有種.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查排列中不相鄰問題,常用插空法,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

設(shè)過點(diǎn)作圓的切線的切點(diǎn)為,根據(jù)切線的性質(zhì)可得,且,再由和雙曲線的定義可得,得出為中點(diǎn),則有,得到,即可求解.【詳解】設(shè)過點(diǎn)作圓的切線的切點(diǎn)為,,所以是中點(diǎn),,,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)、雙曲線定義、圓的切線性質(zhì),意在考查直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)計(jì)算能力,屬于中檔題.11、A【解析】

將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為,其漸近線方程為,化簡(jiǎn)整理即得漸近線方程.【詳解】雙曲線得,則其漸近線方程為,整理得.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用.12、C【解析】

求出集合,計(jì)算出和,即可得出結(jié)論.【詳解】,,,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查交集和并集的計(jì)算,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

畫出不等式組表示的平面區(qū)域,將目標(biāo)函數(shù)理解為點(diǎn)與構(gòu)成直線的斜率,數(shù)形結(jié)合即可求得.【詳解】不等式組表示的平面區(qū)域如下所示:因?yàn)榭梢岳斫鉃辄c(diǎn)與構(gòu)成直線的斜率,數(shù)形結(jié)合可知,當(dāng)且僅當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)時(shí),斜率取得最大值,故的最大值為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查目標(biāo)函數(shù)為斜率型的規(guī)劃問題,屬基礎(chǔ)題.14、②③【解析】

根據(jù)局部頻率和整體頻率的關(guān)系,依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.【詳解】不能確定甲乙兩校的男女比例,故①不正確;因?yàn)榧滓覂尚5哪猩膬?yōu)秀率均大于女生成績(jī)的優(yōu)秀率,故甲、乙兩校所有男生成績(jī)的優(yōu)秀率大于甲、乙兩校所有女生成績(jī)的優(yōu)秀率,故②正確;因?yàn)椴荒艽_定甲乙兩校的男女比例,故不能確定甲校學(xué)生成績(jī)的優(yōu)秀率與甲、乙兩校所有學(xué)生成績(jī)的優(yōu)秀率的大小關(guān)系,故③正確.故答案為:②③.【點(diǎn)睛】本題考查局部頻率和整體頻率的關(guān)系,意在考查學(xué)生的理解能力和應(yīng)用能力.15、60【解析】

根據(jù)樣本容量及各組人數(shù)比,可求得C組中的人數(shù);由組中甲、乙二人均被抽到的概率是可求得C組的總?cè)藬?shù),即可由各組人數(shù)比求得總?cè)藬?shù).【詳解】三組人數(shù)之比為,現(xiàn)用分層抽樣的方法從總體中抽取一個(gè)容量為20的樣本,則三組抽取人數(shù)分別.設(shè)組有人,則組中甲、乙二人均被抽到的概率,∴解得.∴該部門員工總共有人.故答案為:60.【點(diǎn)睛】本題考查了分層抽樣的定義與簡(jiǎn)單應(yīng)用,古典概型概率的簡(jiǎn)單應(yīng)用,由各層人數(shù)求總?cè)藬?shù)的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.16、20【解析】

設(shè)等差數(shù)列的公差為,由數(shù)列為等差數(shù)列,且,根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得,,解方程求出公差,代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為,由數(shù)列為等差數(shù)列知,,因?yàn)?所以,解得,所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為,所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的概念及其通項(xiàng)公式和等差中項(xiàng);考查運(yùn)算求解能力;等差中項(xiàng)的運(yùn)用是求解本題的關(guān)鍵;屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)有的把握認(rèn)為是否戴口罩出行的行為與年齡有關(guān).(2)【解析】

(1)根據(jù)列聯(lián)表和獨(dú)立性檢驗(yàn)的公式計(jì)算出觀測(cè)值,從而由參考數(shù)據(jù)作出判斷.(2)因?yàn)闃颖局谐鲂胁淮骺谡值木用裼?0人,其中年輕人有10人,用樣本估計(jì)總體,則出行不戴口罩的年輕人的概率為,是老年人的概率為.根據(jù)獨(dú)立重復(fù)事件的概率公式即可求得結(jié)果.【詳解】(1)由題意可知,有的把握認(rèn)為是否戴口罩出行的行為與年齡有關(guān).(2)由樣本估計(jì)總體,出行不戴口罩的年輕人的概率為,是老年人的概率為.人未戴口罩,恰有2人是青年人的概率.【點(diǎn)睛】本題主要考查獨(dú)立性檢驗(yàn)及獨(dú)立重復(fù)事件的概率求法,難度一般.18、(Ⅰ)最小值為;(Ⅱ)見解析【解析】

(1)根據(jù)題意構(gòu)造平均值不等式,結(jié)合均值不等式可得結(jié)果;(2)利用分析法證明,結(jié)合常用不等式和均值不等式即可證明.【詳解】(Ⅰ)則當(dāng)且僅當(dāng),即,時(shí),所以的最小值為.(Ⅱ)要證明:,只需證:,即證明:,由,也即證明:.因?yàn)?,所以?dāng)且僅當(dāng)時(shí),有,即,當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以【點(diǎn)睛】本題考查均值不等式,分析法證明不等式,審清題意,仔細(xì)計(jì)算,屬中檔題.19、(Ⅰ),曲線是以為圓心,為半徑的圓;(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)由曲線的參數(shù)方程能求出曲線的普通方程,由此能求出曲線的極坐標(biāo)方程.(Ⅱ)令,,則,利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式化簡(jiǎn),再由余弦函數(shù)的性質(zhì)求出面積的取值范圍;【詳解】解:(Ⅰ)由(為參數(shù))化為普通方程為,整理得曲線是以為圓心,為半徑的圓.(Ⅱ)令,,,,面積的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題考查曲線的極坐標(biāo)方程的求法,考查三角形的面積的求法,考查參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程的互化等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.20、(1)答案不唯一,具體見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【解析】

(1)求出的定義域,導(dǎo)函數(shù),對(duì)參數(shù)、分類討論得到答案.(2)設(shè)函數(shù),求導(dǎo)說明函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的最大值,即可得證.(3)由(1)可知,可得,即又即可得證.【詳解】(1)解:的定義域?yàn)?,,?dāng),時(shí),,則在上單調(diào)遞增;當(dāng),時(shí),令,得,令,得,則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;當(dāng),時(shí),,則在上單調(diào)遞減;當(dāng),時(shí),令,得,令,得,則在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;(2)證明:設(shè)函數(shù),則.因?yàn)?,所以,,則,從而在上單調(diào)遞減,所以,即.(3)證明:當(dāng)時(shí),.由(1)知,,所以,即.當(dāng)時(shí),,,則,即,又,所以,即.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,屬于難題.21、(1)證明見解析;(2).【解析】

(1)先求出,又由可判斷出在上單調(diào)遞減,故,令,記,利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值即可

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