八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第十二章全等三角形專(zhuān)題訓(xùn)練五構(gòu)造全等三角形的常用技巧課件新人教版

第十二章全等三角形專(zhuān)題訓(xùn)練(五)構(gòu)造全等三角形的常用技巧第十二章全等三角形專(zhuān)題訓(xùn)練(五)構(gòu)造全等三角形的常用技巧類(lèi)型一利用“角平分線(xiàn)”構(gòu)造全等三角形角平分線(xiàn)涉及的輔助線(xiàn)作法較多，在本章中，常用到的基本模型有如下三種(AD為∠MAN的平分線(xiàn)，均有△PAB≌△PAC)：類(lèi)型一利用“角平分線(xiàn)”構(gòu)造全等三角形(一)結(jié)合“

過(guò)角平分線(xiàn)上一點(diǎn)作角兩邊的垂線(xiàn)”模型構(gòu)造全等三角形1．如圖，已知∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分線(xiàn)，將三角尺的直角頂點(diǎn)P在射線(xiàn)OM上滑動(dòng)，兩直角邊分別與OA，OB交于點(diǎn)C，D.求證：PC＝PD.(一)結(jié)合“過(guò)角平分線(xiàn)上一點(diǎn)作角兩邊的垂線(xiàn)”模型構(gòu)造全等三八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第十二章全等三角形專(zhuān)題訓(xùn)練五構(gòu)造全等三角形的常用技巧課件新人教版2．如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，若BD平分∠ABC，求證：∠A＋∠C＝180°.2．如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，若BD八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第十二章全等三角形專(zhuān)題訓(xùn)練五構(gòu)造全等三角形的常用技巧課件新人教版方法2：結(jié)合“過(guò)角平分線(xiàn)上一點(diǎn)作角平分線(xiàn)的垂線(xiàn)”模型來(lái)構(gòu)造全等三角形3．如圖，BD是∠ABC的平分線(xiàn)，AD⊥BD，垂足為D，求證：∠BAD＝∠DAC＋∠C.方法2：結(jié)合“過(guò)角平分線(xiàn)上一點(diǎn)作角平分線(xiàn)的垂線(xiàn)”模型來(lái)構(gòu)造全證明：延長(zhǎng)AD交BC于點(diǎn)E，∵AD⊥BD，∴∠ADB＝∠BDE＝90°.∵BD是∠ABC的平分線(xiàn)，∴∠ABD＝∠EBD.又∵BD＝BD，∴△ABD≌△EBD，∴∠BAD＝∠BED，∵∠BED＝∠DAC＋∠C，∴∠BAD＝∠DAC＋∠C證明：延長(zhǎng)AD交BC于點(diǎn)E，∵AD⊥BD，∴∠ADB＝∠BD4．如圖，在△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝90°，BD平分∠ABO交OA于點(diǎn)D，AE⊥BD于點(diǎn)E.求證：BD＝2AE.4．如圖，在△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝90°，BD平八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第十二章全等三角形專(zhuān)題訓(xùn)練五構(gòu)造全等三角形的常用技巧課件新人教版類(lèi)型二利用“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”構(gòu)造全等三角形5．如圖所示，AB∥CD，BE，CE分別是∠ABC，∠BCD的平分線(xiàn)，點(diǎn)E在A(yíng)D上，求證：BC＝AB＋CD.(提示：在BC上截取BF，使BF＝BA，連接EF)證明：在BC上截取BF＝AB，連接EF.先用SAS證△BAE≌△BFE，得∠A＝∠EFB.又AB∥CD，∴∠A＋∠D＝180°，又∠EFB＋∠EFC＝180°，∴∠D＝∠EFC，再用AAS證△EFC≌△EDC，∴FC＝CD，∴BC＝BF＋FC＝AB＋CD類(lèi)型二利用“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”構(gòu)造全等三角形6．如圖，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD，CE分別平分∠BAC，∠ACB，AD，CE相交于點(diǎn)O.(1)求∠AOC的度數(shù)；(2)求證：AC＝AE＋CD.6．如圖，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD，CE分別平分八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第十二章全等三角形專(zhuān)題訓(xùn)練五構(gòu)造全等三角形的常用技巧課件新人教版類(lèi)型三利用“倍長(zhǎng)中線(xiàn)法”構(gòu)造全等三角形如果問(wèn)題中的有關(guān)線(xiàn)段比較分散，同時(shí)條件中又含有三角形的中線(xiàn)(或中點(diǎn))，此時(shí)常將中線(xiàn)(或過(guò)中點(diǎn)的線(xiàn)段)延長(zhǎng)一倍后再與原三角形的某一頂點(diǎn)連接，以構(gòu)成“8”字形的全等三角形．類(lèi)型三利用“倍長(zhǎng)中線(xiàn)法”構(gòu)造全等三角形倍延中線(xiàn)7．如圖，在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)．(1)求證：AB＋AC>2AD；(2)若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范圍．倍延中線(xiàn)解：(1)證明：延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使DE＝AD，則AE＝2AD，連接BE.∵D為BC中點(diǎn)，∴CD＝BD，又AD＝ED，∠ADC＝∠EDB，∴△ADC≌△EDB(SAS)，∴BE＝AC，又∵AB＋BE>AE，∴AB＋AC>2AD(2)∵AB－BE<AE<AB＋BE，∴AB－AC<2AD<AB＋AC，又AB＝5，AC＝3，∴2<2AD<8.∴1<AD<4解：(1)證明：延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使DE＝AD，則AE＝2AD倍延過(guò)中點(diǎn)的線(xiàn)段8．如圖，在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥DF，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF.求證：BE＋CF＞EF.倍延過(guò)中點(diǎn)的線(xiàn)段證明：如圖，延長(zhǎng)ED到點(diǎn)G，使DG＝ED，連接CG，F(xiàn)G，∵CD＝BD，∠CDG＝∠BDE，DG＝DE，∴△DCG≌△DBE(SAS)，∴CG＝BE，再證△DEF≌△DGF(SAS)，∴FG＝FE，在△CFG中，CG＋CF＞FG，∴BE＋CF＞EF證明：如圖，延長(zhǎng)ED到點(diǎn)G，使DG＝ED，連接CG，F(xiàn)G，∵類(lèi)型四根據(jù)“一線(xiàn)三等角”構(gòu)造全等三角形如圖，兩種基本模型中“一線(xiàn)”指直線(xiàn)l，“三等角”指∠BAC＝∠ADB＝∠AEC(一般情況下都等于90°)，則有結(jié)論∠1＝∠3或∠2＝∠4.類(lèi)型四根據(jù)“一線(xiàn)三等角”構(gòu)造全等三角形9．已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，將△ABC放在平面直角坐標(biāo)系中，如圖所示．(1)如圖①，若A(1，0)，B(0，3)，求C點(diǎn)坐標(biāo)；(2)如圖②，若A(1，3)，B(－1，0)，求C點(diǎn)坐標(biāo)；(3)如圖③，若B(－4，0)，C(0，－1)，求A點(diǎn)坐標(biāo)．9．已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，將△AB八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第十二章全等三角形專(zhuān)題訓(xùn)練五構(gòu)造全等三角形的常用技巧課件新人教版第十二章全等三角形專(zhuān)題訓(xùn)練(五)構(gòu)造全等三角形的常用技巧第十二章全等三角形專(zhuān)題訓(xùn)練(五)構(gòu)造全等三角形的常用技巧類(lèi)型一利用“角平分線(xiàn)”構(gòu)造全等三角形角平分線(xiàn)涉及的輔助線(xiàn)作法較多，在本章中，常用到的基本模型有如下三種(AD為∠MAN的平分線(xiàn)，均有△PAB≌△PAC)：類(lèi)型一利用“角平分線(xiàn)”構(gòu)造全等三角形(一)結(jié)合“

過(guò)角平分線(xiàn)上一點(diǎn)作角兩邊的垂線(xiàn)”模型構(gòu)造全等三角形1．如圖，已知∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分線(xiàn)，將三角尺的直角頂點(diǎn)P在射線(xiàn)OM上滑動(dòng)，兩直角邊分別與OA，OB交于點(diǎn)C，D.求證：PC＝PD.(一)結(jié)合“過(guò)角平分線(xiàn)上一點(diǎn)作角兩邊的垂線(xiàn)”模型構(gòu)造全等三八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第十二章全等三角形專(zhuān)題訓(xùn)練五構(gòu)造全等三角形的常用技巧課件新人教版2．如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，若BD平分∠ABC，求證：∠A＋∠C＝180°.2．如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，若BD八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第十二章全等三角形專(zhuān)題訓(xùn)練五構(gòu)造全等三角形的常用技巧課件新人教版方法2：結(jié)合“過(guò)角平分線(xiàn)上一點(diǎn)作角平分線(xiàn)的垂線(xiàn)”模型來(lái)構(gòu)造全等三角形3．如圖，BD是∠ABC的平分線(xiàn)，AD⊥BD，垂足為D，求證：∠BAD＝∠DAC＋∠C.方法2：結(jié)合“過(guò)角平分線(xiàn)上一點(diǎn)作角平分線(xiàn)的垂線(xiàn)”模型來(lái)構(gòu)造全證明：延長(zhǎng)AD交BC于點(diǎn)E，∵AD⊥BD，∴∠ADB＝∠BDE＝90°.∵BD是∠ABC的平分線(xiàn)，∴∠ABD＝∠EBD.又∵BD＝BD，∴△ABD≌△EBD，∴∠BAD＝∠BED，∵∠BED＝∠DAC＋∠C，∴∠BAD＝∠DAC＋∠C證明：延長(zhǎng)AD交BC于點(diǎn)E，∵AD⊥BD，∴∠ADB＝∠BD4．如圖，在△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝90°，BD平分∠ABO交OA于點(diǎn)D，AE⊥BD于點(diǎn)E.求證：BD＝2AE.4．如圖，在△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝90°，BD平八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第十二章全等三角形專(zhuān)題訓(xùn)練五構(gòu)造全等三角形的常用技巧課件新人教版類(lèi)型二利用“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”構(gòu)造全等三角形5．如圖所示，AB∥CD，BE，CE分別是∠ABC，∠BCD的平分線(xiàn)，點(diǎn)E在A(yíng)D上，求證：BC＝AB＋CD.(提示：在BC上截取BF，使BF＝BA，連接EF)證明：在BC上截取BF＝AB，連接EF.先用SAS證△BAE≌△BFE，得∠A＝∠EFB.又AB∥CD，∴∠A＋∠D＝180°，又∠EFB＋∠EFC＝180°，∴∠D＝∠EFC，再用AAS證△EFC≌△EDC，∴FC＝CD，∴BC＝BF＋FC＝AB＋CD類(lèi)型二利用“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”構(gòu)造全等三角形6．如圖，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD，CE分別平分∠BAC，∠ACB，AD，CE相交于點(diǎn)O.(1)求∠AOC的度數(shù)；(2)求證：AC＝AE＋CD.6．如圖，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD，CE分別平分八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第十二章全等三角形專(zhuān)題訓(xùn)練五構(gòu)造全等三角形的常用技巧課件新人教版類(lèi)型三利用“倍長(zhǎng)中線(xiàn)法”構(gòu)造全等三角形如果問(wèn)題中的有關(guān)線(xiàn)段比較分散，同時(shí)條件中又含有三角形的中線(xiàn)(或中點(diǎn))，此時(shí)常將中線(xiàn)(或過(guò)中點(diǎn)的線(xiàn)段)延長(zhǎng)一倍后再與原三角形的某一頂點(diǎn)連接，以構(gòu)成“8”字形的全等三角形．類(lèi)型三利用“倍長(zhǎng)中線(xiàn)法”構(gòu)造全等三角形倍延中線(xiàn)7．如圖，在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)．(1)求證：AB＋AC>2AD；(2)若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范圍．倍延中線(xiàn)解：(1)證明：延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使DE＝AD，則AE＝2AD，連接BE.∵D為BC中點(diǎn)，∴CD＝BD，又AD＝ED，∠ADC＝∠EDB，∴△ADC≌△EDB(SAS)，∴BE＝AC，又∵AB＋BE>AE，∴AB＋AC>2AD(2)∵AB－BE<AE<AB＋BE，∴AB－AC<2AD<AB＋AC，又AB＝5，AC＝3，∴2<2AD<8.∴1<AD<4解：(1)證明：延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使DE＝AD，則AE＝2AD倍延過(guò)中點(diǎn)的線(xiàn)段8．如圖，在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥DF，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF.求證：BE＋CF＞EF.倍延過(guò)中點(diǎn)的線(xiàn)段證明：如圖，延長(zhǎng)ED到點(diǎn)G，使DG＝ED，連接CG，F(xiàn)G，∵CD＝BD，∠CDG＝∠BDE，DG＝DE，∴△DCG≌△DBE(SAS)，∴CG＝BE，再證△DEF≌△DGF(SAS)，∴FG＝FE，在△CFG中，CG＋CF＞FG，∴BE＋CF＞EF證明：如圖，延長(zhǎng)ED到點(diǎn)G，使DG＝ED，連接CG，F(xiàn)G，∵類(lèi)型四根據(jù)“一線(xiàn)三等角”構(gòu)造全等三角形如圖，兩種基本模型中“一線(xiàn)”指直線(xiàn)l，“三等角”指∠BAC＝∠ADB＝∠AEC(一般情況下都等于90°)，則有結(jié)論∠1＝∠3或∠2＝∠4.類(lèi)型四