微積分學課件：6-2 正項級數(shù)收斂性的判別法

第二節(jié)正項級數(shù)的判別法第六章級數(shù)一、正項級數(shù)收斂的充要條件二、比較判別法三、達朗貝爾比值判別法四、柯西根值判別法五、積分判別法1.定義:這種級數(shù)稱為正項級數(shù).2.正項級數(shù)收斂的充要條件定理注該級數(shù)為正項級數(shù),又有(n=1,2,…)故當n1時,有即其部分和數(shù)列

{Sn}有界,從而,級數(shù)解級數(shù)是否收斂？例：證明即部分和數(shù)列有界3.比較審斂法不是有界數(shù)列定理證畢.比較審斂法的不便:須有參考級數(shù).判斷級數(shù)的斂散性.(0<x<3)由于又由等比級數(shù)的斂散性可知：原級數(shù)收斂.解例例解例解重要參考級數(shù):幾何級數(shù),P-級數(shù),調(diào)和級數(shù).4.比較審斂法的極限形式:則二級數(shù)有相同的斂散性;若?￥=1nnv發(fā)散,則?￥=1nnu發(fā)散;設?￥=1nnu與?￥=1nnv都是正項級數(shù)，如果,(1)當時(3)當時，(2)當時，;則收斂收斂，若證明由比較審斂法的推論,得證.故

>0,N>0,當

n>N時,由于(=0)取=1時,N>0,當

n>N時,故由比較判別法知：證(2)由于(=)M>0(不妨取

M>1),即由比較判別法知,證(3)故N>0,當

n>N時,0vn<un原級數(shù)發(fā)散.故原級數(shù)收斂.解判別級數(shù)的斂散性

(a>0為常數(shù)).因為(即

=1為常數(shù)

)又是調(diào)和級數(shù),它是發(fā)散的,發(fā)散.解原級數(shù)故例解由比較判別法及

P

級數(shù)的收斂性可知：例證明比值審斂法的優(yōu)點:不必找參考級數(shù).注解例判別下列級數(shù)的收斂性:

例解6.根值審斂法(柯西判別法)：

級數(shù)收斂.解例例研究級數(shù)的斂散性。解：由于所以級數(shù)收斂。注：此時比值判別法失效。因為：解：由于

判別的斂散性.(x>0,a>0為常數(shù))記解即當

x>a時,當

0<x<a時,當

x=a時,

=

1,

但故此時原級數(shù)發(fā)散.（級數(shù)收斂的必要條件）例

.

,1級數(shù)發(fā)散>=axl

.

,1級數(shù)收斂<=axl７.積分判別法設為上非負遞減連續(xù)函數(shù),那么級數(shù)與廣義積分同時收斂或同時發(fā)散。證：由假設為連續(xù)非負減函數(shù)，數(shù)在上可積，從而有對任何正依次相加可得若廣義積分收斂，則由上式左邊，對任何正整數(shù)有：由比較判別法知：若收斂。收斂，反之，若為收斂級數(shù)，則由（1）式右邊，對任一正整數(shù)有因為為非負減函數(shù)，故對任何正數(shù)Ａ，都有結(jié)合（2）式及比較判別法得廣義積分收斂。

同理可證它們同時發(fā)散。設為上非負單調(diào)連續(xù)函數(shù)(b>1為常數(shù))，那么正項級數(shù)與廣義積分同時收斂或同時發(fā)散。推論：例討論P級數(shù)的斂散性。解：函數(shù),當時在上是非負減函數(shù)，時發(fā)散。當時收斂，當時發(fā)散。顯然它是發(fā)散的.在由廣義積分時收斂，故由積分判別法得:例討論下列級數(shù)的斂散性.研究