中考中的最值問題選講

8中考中的最值問題選講武漢六中上智中學(xué)程松青結(jié)論1：直徑是圓中最大的弦.〖例1〗如圖，AB是00的一條弦，點(diǎn)C是00上一動(dòng)點(diǎn)，且ZACB=30。，點(diǎn)E、F分別是AC、BC的中點(diǎn)，直線EF與0O交于G、H兩點(diǎn).若00的半徑為7,則GE+FH的最大值為簡(jiǎn)答：由點(diǎn)E、F分別是AC、BC的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線定理得出EF=2AB=3.5為定值，則GE+FH=GH-EF=GH-3.5，所以當(dāng)GH取最大值時(shí)，GE+FH有最大值.而直徑是圓中最長(zhǎng)的弦，故當(dāng)GH為00的直徑時(shí)，GE+FH有最大值14-3.5=10.5.結(jié)論2：過圓內(nèi)一點(diǎn)的弦中，與過該點(diǎn)的直徑垂直的弦最短.〖例2〗在平面直角坐標(biāo)系x0y中，以原點(diǎn)0為圓心的圓過點(diǎn)A（13，0），直線y=kx-3k+4與00交于B、C兩點(diǎn)，則弦BC的長(zhǎng)的最小值為簡(jiǎn)答：y=kx-3k+4過定點(diǎn)D（3,4）,連接0D,過點(diǎn)D作弦CB丄0D,則CB為最短的弦，因?yàn)?B=13,0D=5，所以BD=12，所以BC=24結(jié)論3：弓形上的點(diǎn)到弦的距離中，最大距離是該弧的中點(diǎn)到弦的距離（或者過圓心的一條垂線段）〖例3〗如圖，已知00的半徑為2,弦BC的長(zhǎng)為2耳3，點(diǎn)A為弦BC所對(duì)優(yōu)弧上任意一點(diǎn)（B,C兩點(diǎn)除外）.（1）求ZBAC的度數(shù)；（2）求厶ABC面積的最大值.

〖例4〗如圖，直線y=2x+2與兩坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，以AB為直徑作OM,P(a,b)為OM上一動(dòng)點(diǎn)，則b-a的最大值是結(jié)論4：如圖，若點(diǎn)P不在上，射線0P交。0于M,射線0P的反向延長(zhǎng)線交00于N,則點(diǎn)P到圓上各點(diǎn)中，PM的長(zhǎng)最小，PN的長(zhǎng)最大.MM〖例5〗如圖，在RtAABC〖例5〗如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=8,BC=6,點(diǎn)D是平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AD=4,M為BD的中點(diǎn)，在D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，線段CM長(zhǎng)度的最大值是小值為K例6〗在矩形ABCD中，BC=&AC=10,點(diǎn)P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP,點(diǎn)E為AP上一點(diǎn)，且AE,AP的長(zhǎng)為一元二次方程2ax2+(a+1)x+18a=0(a豐0)的兩個(gè)根，則CE的最K例7〗等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形CDP中，AC=BC=<5,CD=CP,且PB=、込，則BD的最大值是,BD的最小值是PB=、込，則BD的最大值是,BD的最小值是AB〖例8〗如圖，00的直徑為4,C為00上一個(gè)定點(diǎn)，ZABC=30°,動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿半圓AB向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P與點(diǎn)C在直徑AB的異側(cè)），當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)運(yùn)動(dòng)停止，在運(yùn)動(dòng)過程中，過點(diǎn)C作CP的垂線CD交PB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.則AD的最大值為〖例9〗如圖，已知△ABC是等腰直角三角形，ZBAC=90°,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn).作正方形DEFG,連接AE,若BC=DE=2,在正方形DEFG繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)AE為最大值時(shí)，求AF的值.簡(jiǎn)答如圖：AF=<13結(jié)論5:如圖，直線L與。0相離，線段0P丄L,垂足為P,交。0于點(diǎn)M,PO的延長(zhǎng)線交。0于點(diǎn)N,則。0上各點(diǎn)到直線L的相離中，最小距離是PM的長(zhǎng)，最大距離是PN的長(zhǎng).〖例10〗在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(6，0)，點(diǎn)B(0,6),動(dòng)點(diǎn)C在以半徑為3的00上,當(dāng)點(diǎn)C在00上運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，AABC的面積最大？并求出△ABC的面積的最大值.xx簡(jiǎn)答：由AOAB為等腰直角三角形得AB二P20A二6邁,根據(jù)三角形面積公式得到當(dāng)點(diǎn)C到AB的距離最大時(shí)，AABC的面積最大，過0點(diǎn)作0E丄AB于E,0E的反向延長(zhǎng)線交00于C，此時(shí)C點(diǎn)到AB的距離的最大值為CE的長(zhǎng)然后利用等腰直角三角形的性質(zhì)計(jì)算出0E,然后計(jì)算厶ABC的面積為9邁+18；〖例11〗如圖，點(diǎn)P為半圓上任意點(diǎn)，E為BP的中點(diǎn)，AB=8,AD=6,則四邊形ADCE面積的最小值為

結(jié)論6：直線L與半徑為r的圓相離，圓心0到直線L的距離為d,點(diǎn)P為直線L上任意一點(diǎn)，PA與。0相切于點(diǎn)A,則PA的最小值是fd2r2,此時(shí)ZOPA最大.〖例12〗如圖，在RtAAOB中，0A=0B=^2,00的半徑為1,點(diǎn)P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作00的一條切線PQ（點(diǎn)Q為切點(diǎn)），則切線PQ的最小值為2J2.，，0P=AB，，0P=AB簡(jiǎn)答:首先連接OP、0Q，根據(jù)勾股定理知PQ2=0P2-0Q2，可得當(dāng)0P丄AB時(shí)，線段0P最短,即線段PQ最短，然后由勾股定理即可求得答案解：連接0P、0Q.???PQ是00的切線，.??0Q丄PQ；根據(jù)勾股定理知PQ2=0P2-0Q2,??.當(dāng)P0丄AB時(shí)，線段PQ最短,??在RtAA0B中，0A=0B=3'.-;2,.??AB=l20A=6,0A-0BQ=3，〖例14〗如圖，在矩形ABCD中，CD是00的直徑，E是BC中點(diǎn)，P是直線AE上任意一點(diǎn),AB=4,BC=6,PM,PN是00的切線，M,N是切點(diǎn)，當(dāng)ZMPN最大時(shí)，PM的長(zhǎng)為.結(jié)論7：弦與弦心距的關(guān)系：弦心距越大，弦越??；弦心距越小，弦越大.弓形的弦與所對(duì)的圓周角的關(guān)系：圓周角越大，所對(duì)的弦越大.〖例15〗0A經(jīng)過00的圓心0,M、N分別在00和OA上，且MN丄N0,已知兩圓的半徑分別是3、1.則MN的長(zhǎng)的最小值.CCK例16〗如圖，點(diǎn)C是00上一點(diǎn)，00的半徑為2邁,D、E分別是弦AC、BC上一動(dòng)點(diǎn),且OD=OE=<2,則AB的最大值為.結(jié)論8：取水問題、軸對(duì)稱問題〖例17〗已知菱形ABCD的兩條對(duì)角線分別為6和8,M、N分別是邊BC、CD的中點(diǎn)，P是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，則PM+PN的最小值為〖例18〗在厶ABC中，已知ZA=60°，ZC=75°，AB=10，點(diǎn)D、E、F分別在邊AB、BC、CA上，則△DEF的周長(zhǎng)的最小值為（5J6）.K例19〗如圖，在菱形ABCD中，設(shè)AE丄BC于點(diǎn)E,cosB=5,EC=2,點(diǎn)P為邊AB上一動(dòng)點(diǎn),則PE+PC的最小值為(則PE+PC的最小值為(彳；)〖例21〗△ABC中，ZABC=90°,AB=BC,0為AC的中點(diǎn)，AABE是等邊三角形，M為OB上一點(diǎn)，當(dāng)AM+BM+CM的最小值是J3+1時(shí)，BC=結(jié)論10:垂線段最短.〖例22〗如圖，在RtAABC中,AC=3,BC=4,點(diǎn)D為斜邊AB上一點(diǎn)，DE丄BC,DF丄AC，垂足分別為E、F.當(dāng)線段EF最小時(shí)，cosZEFD=K例23〗如圖，兩個(gè)同心圓的半徑分別為1,4，則矩形ABCD的面積最大值為

結(jié)論11：二次函數(shù)型〖例24〗如圖，已知AB為00的直徑，CD平分ZACB，與00交于點(diǎn)D,AB與CD交于點(diǎn)E.若AC+BC=14，則CE的最大值為./r