曲線曲面積分習(xí)題及解答

第十章曲線曲面積分§10.1對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分一、選擇題.設(shè)曲線弧段AB為，則曲線積分有關(guān)系( ).(A)Jf(%,y)ds=-Jf(九y)ds； (B)Jf(九y)ds=Jf(%,y)dsAB(C)(D)答AB(C)(D)答(B).BAf(%,y)ds+Jf(%,y)ds=0rB BAf(%,y)ds=Jf(-%，—y)dsAB BA.設(shè)有物質(zhì)曲線U%=t,y限z= <.1),其線密度為p=y方，它的質(zhì)量m=().J1J1<1+12+14dt；0答(A).(B)J112<1+12+14dt；0J1、it\'1+12+14d1-0(A)J(A)J1e2%<2d%；0(C)J2erdr；0答(D)..設(shè)OM是從O(0,0)到M(1,1)的直線段，則與曲線積分I=』_6，募ds不相等的積分是().OM(B)J"2yY2dy；0(D)J1erX.2dr04.設(shè)L是從A(0,0)到B(4,3)的直線段，則曲線積分J(x-y)ds=( )?(A)(B)(A)(B)J(C)3 )4y-y)y;(C)3 )4y-y)y;答(D).、1+—dx?165.設(shè)L為拋物線y二x2曲線積分J6ds二().L(A)J1%，+4x2dx；(C)J1x\1+4x2dx；0答(C)?6.設(shè)L是從4(1,0)到J(x+y)ds=( )?點(diǎn)(0,0)到點(diǎn)(1,1)的一段弧，則(B)J1vyJ1+ydy；02)的直線段，則曲線積分(A)v(A)v2；(B)2； (C)-苴； (D)2<2?答(D).二、填空題1.設(shè)L是圓周x2+y2=1,則/」x3ds與/Jx5ds的大小關(guān)系是 1L2LO O答:/]=12.

2.設(shè)L是連接41,0)與B(0,1)兩點(diǎn)的直線段，則f(x+y)ds= .L3.f(x2+y2)nds=L:x=acost,y=asint(03.f(x2+y2)nds=.設(shè)L:x=acost,y=asint(0<t<2兀),則4f(x2一y2)ds-答：0. L.設(shè)l是圓周x2+y2-1,則/-fx2ds-L答：.設(shè)r:x-ecost,y-etsint,z-et，上相應(yīng)于t從0變到2的這段弧，則曲線積分f(12-y2)ds-.答：?(1-e-2)..設(shè)L為曲線y2-4x上從點(diǎn)AQ0)到點(diǎn)B(1,2)的弧段,貝4fy\■,1+xds- .L答：3.三、解答題.計(jì)算下列對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分：fxds其中為由直線y-x與拋物線y-x2所圍區(qū)域的O

整個(gè)邊界.合：112(5<5+6<2-1).J產(chǎn)ds其中L為圓周x2+y2二g，直線y=x及x軸在第一象限內(nèi)所圍成的扇形的整個(gè)邊界.O答：ea\2+a兀I-2.I4JJx2”ds，其中r為折線ABCD，這里A,B,C,D依次為點(diǎn)(0,0,0)、(0,0,2)、(1,0,2)、(1,3,2)?答：9Jy2dS 其中L為擺線一拱Lx=a(t-sint),y=a(1-cost)(0<t<2兀)?⑸J(x2+y2)ds其中L為曲線；x=a(cost+tsint)(0<t<2兀).L Iy=a(sint-1cost)答：2兀答：2兀2a3(1+2兀2).§10.2對(duì)坐標(biāo)的曲線積分一、選擇題.設(shè)AB為由a(0,兀)到B(§10.2對(duì)坐標(biāo)的曲線積分一、選擇題.設(shè)AB為由a(0,兀)到B(兀,0)的直線段，則J_sinydx+sinxdy=AB().2； (B)-1； (C)0； (D)1.答?.2.設(shè)°表示橢圓三+二=1,其方向?yàn)槟鏁r(shí)針，則a2b2)(x+y2)dx=( )?(A)式ab；0； (C)a+b2；(B).(D)1.答3.設(shè)°為由A(1,1)到B(2,3)的直線段，則f(x+3y)dx+(y+2x)dy=( )?°(A)f2[(x+2x)+(2x+3x)]dx；1(B)f2[(x+2x-1)+(2x-1+3x)]dx1(C)f2[(7x-3)+2(5x-1)]dx；1(C)f2[(7x-3)+2(5x-1)]dx；11(C).4.設(shè)曲線°的方程為x八信,y=碗t(0<t<-)，^2

則Jx2ydy-y2xdx=( )C口,(B)J2(cos21-sin21)dt0(C)J2cost、；sin口,(B)J2(cos21-sin21)dt0(C)J2cost、；sint02\sint.」一二 dt ,2sintvcost-. ；0 2%cost(D)2J：”.答(D).5.設(shè)/(")連續(xù)可導(dǎo)，l為以原點(diǎn)為心的單位圓，則必有5.().f(x2+y2)(xdx+ydy)=0；(B)Jf(x2+y2)(xdy+ydx)=0LL(C)。Jf(x2+y2)(dx+ydy)=0； (DpJf(x2+y2)(xdx+dy)=0?答L L6.設(shè)C是從O(0,0)沿折線y-1-|x-1|至IA(2,0)到的折線段,則Jxdy-ydx=(C0；-0；-1；答(C).-2；二、填空題1.L為1.L為xoy平面內(nèi)直線x二〃上的一段，則答：TOC\o"1-5"\h\z2.設(shè)L為y=%2上從O(0,0)到A(2,4)的一段弧,則j(%2-y2)d%= .L答：—56.153.設(shè)L為y=%2上從O(0,0)到A(2,4)的一段弧,則j(%2-y2)dy= .L答：-竺.3.l為圓弧y二74工2上從原點(diǎn)到A(2,2)的一段弧，則j%ydy= .答：4.3.設(shè)l為圓周(%-a)2+y2=a2(a>0)及%軸所圍成的在第一象限的區(qū)域的整個(gè)邊界(按逆時(shí)針方向繞行)，則j%ydy=答：一手..設(shè)J(x-2y)dx+(2x+3y)dy=-9，其中L為xoy平面上簡(jiǎn)單閉曲線，方向?yàn)槟鏁r(shí)針.則L所圍成的平面區(qū)域D的面積等于O答：32三、解答題.計(jì)算J(x+y)dx+(y-x)dy，其中L為:拋物線y=x2上從(1,1)到(4,2)的一段弧;從點(diǎn)(1,1)到點(diǎn)(4,2)的一直線段;先沿直線從點(diǎn)(11)到點(diǎn)(1,2),然后再沿直線到點(diǎn)(4,2)的折線;(4)曲線x二212+1+1,y二12+1上從點(diǎn)(1,1)到點(diǎn)(4,2)的一段弧.答案：(1)34； (2)11； (3)14; (4)332.

.計(jì)算1ydx+xdy其中L為圓周x=Rcost,y=Rsint上對(duì)應(yīng)tL從0到三的一段弧.2答：0..計(jì)算J(x+y)dx-(x-y)dy，其中L為圓周x2+y2=g(方向Lx2+y2按逆時(shí)針).o答：-2兀.4.計(jì)算Jxdx+ydy+(x+y-1)出其中r為從點(diǎn)(1,1,1)到點(diǎn)(2,3,4)的直線段.答：13.5.計(jì)算J5.計(jì)算J(x2-2xy)dx+(y2-2xy)dy，其中L是y=x2上從點(diǎn)(-1,1)到點(diǎn)(1,1)的一段弧.答：-14.15§10.3格林公式一、選擇題

1.設(shè)C是圓周X2+y2=R2,方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向，則J-X22+XV2dy用格林公式計(jì)算可化為().C。(A)J2兀d。JRr3dr； (B)J2兀d0JRr2dr；0 0 0 0(C)J2兀d0JR-4r3sin0cos0dr; (D)J2兀d0JRR2rdr. 谷(A)0 0 0 0.設(shè)L是圓周X2+y2二a，方向?yàn)樨?fù)向，).則J(x3-x2y)dx+(xy2-y3)dy一().L(B)-兀(B)-兀a4;(C);(D)--a4?2(D)..設(shè)L是從O(0,0)沿折線y=2-IX-2|到44,0)到的折線段,則Jxdy-ydx=( )C(A)8; (B)-8; (C)-4; (D)4.答(B).4.設(shè)p(x,y),Q(x,y)在單連通區(qū)域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則Jpdx+Qdy在D內(nèi)與路徑無關(guān)的充分必要條件是在D內(nèi)恒有().…AQ8P(A)—+——=0，

dxdy(B)名-竺二。;dxdy(嗯+冷。?答(B)?.設(shè)乙為一條不過原點(diǎn)，不含原點(diǎn)在內(nèi)的簡(jiǎn)單閉曲線,貝Jxdy-ydx( ).LX2+4^2(C)2k； (D)0?°(A)4k(C)2k； (D)0?答(D)?.設(shè)L為一條包含原點(diǎn)在內(nèi)的簡(jiǎn)單閉曲線，則)./_Jxdy-ydx(

l%2+4y2).O(A)因?yàn)榱x=理，所以/=0；dxSy以/不存在；(B)因?yàn)榻z，更不連續(xù)，所

dx，dy(C)2k；①)因?yàn)槊?。竺，所以沿不同的?的值不(C)2k；dxdy同.答(C)?7.表達(dá)式P(x,y)dx-Q(x,y)dy為某函數(shù)［/(x,y)的全傷攵分的充分心要條件是().(A)叱=絲;dxdy(B)叱=義;dydx(C)”一絲；Sx Sy(D)空一辿Sy Sx答(D).8.已知(x+今旭+ydy為某函數(shù)U(xy)的全微分，則(x+y)2 "a=().(A)0； (B)2； (C)-1； (D)1.答(B).9.設(shè)L是從點(diǎn)41,1)到點(diǎn)B(2,3)的直線段，TOC\o"1-5"\h\z則)(x+3y)dx+(y+3x)dy=( )?(A)(B)J2(x+3)dx+J3(y+6)dy(A)(B)1 1J2[(x+6x)+(2x+3x)]dx;1(C)J2(3x+1)dx+J3(y+3-yi1)dy; (D)J2[(3x-1)+(5x+1)]dx.1 1 2 1答(A).10*.設(shè)f(x)連續(xù)可導(dǎo)，且f(0)=1，曲線積分I=J(4,3)yf(x)tanxdx-f(x)dy與路徑無關(guān)，則f(x)=( ).(0,0)(A)1+cosx； (B)1-cosx； (C)cosx； (D)sinx?答?.二、填空題

.設(shè)區(qū)域D的邊界為L(zhǎng)，方向?yàn)檎?，D的面積為。.則fxdy-ydx=L。答：2。.D的邊界正向，則fL.設(shè)f(xy)在D：上+y2<1上具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，LD的邊界正向，則fLf(x,y)dy-[3y+f(x,y)]dx:.設(shè)l是圓周x2+y2=9，方向?yàn)槟鏁r(shí)針,貝Uf(2xy-y)dx+(x2-4x)dy=。答：-27兀..設(shè)L為閉曲線Ix|+|y|二2方向?yàn)槟鏁r(shí)針，a,b為常數(shù),則ijfaxdy-bydx二llxl+ly|O尸答：4(a+b)..設(shè)ABCDA為以點(diǎn)A(1,0),B(0,1),C(-1,0),D(0,-1)為頂點(diǎn)的正方形逆時(shí)針方向一周，則f*+s=Lx\+1.答：.設(shè)L為圓周x2+w=1上從A(1,0)到B(0,1)再到C(-1,0)的曲線段，則fey2dy=.答：7?f(2,2)2xydx+(x2-3)dy= ?(0,0)答：2.8.設(shè)L為直線y=x從。(0,0)到A(2,2)的一段，則fey2dx+2xyey2dy= .L答：2e4.9*.設(shè)L為拋物線上一段弧，試將積分f『(x,y)dx+Q(x,y)dy化為對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分，其中P(x,y),Q(x,y)在L上連續(xù).答：f*l~$.10*.設(shè)f(x)連續(xù)可導(dǎo)，且f(0)=0，曲線積分J[f(x)-ex]sinydx-f(x)cosydy與路徑無關(guān),則f(x)=.ex—e-x?~2-.三、解答題.計(jì)算jyidy，其中l(wèi)為圓周(x-1)2+y2二2的正向.L2(x2+y2)答:.計(jì)算J(2x-y+4)dx+(5y+3x-6)dy，其中L是頂點(diǎn)分別為(0,0)、(3,0)和(3,2)的三角形正向邊界.O答:12..計(jì)算J(2xy3-y2cosx)dx+(1-2ysinx+3x2y2)dy,其中L為拋物線2x二兀y2上由點(diǎn)(0,0)到七,1]的一段弧.12)答：上.4.計(jì)算J(x2-y)dx-(x+sin2y)dy，其中L是圓周y二\；‘萬—石

上由(0,0)到(1,1)的一段弧..證明下列曲線積分與路徑無關(guān)，并計(jì)算積分值:⑴』(2,3)(%+y)d%+(%-y)dy.(1,1)(2)』(2,1)(2%y-y4+3)d%+(%2一4%y3)dy.(1,0)答：5..驗(yàn)證下列P(%,y)d%+Q(%,y)dy在整個(gè)％.y平面內(nèi)是某函數(shù)u(%,y)的全微分，并求函數(shù)u(%,y).(%+2y)dx+(2%+y)dy?2%yd%+%2dy.答：(2%cosy+y2cos%)d%+(2ysin%—％2siny)dy.答：⑴三+2%y+止;⑵%2y; (3)%2cosy+y2sin%.^2 ^2.用格林公式計(jì)算J(x-x2y)dx+(xy2-y3+2)dy，其中L是L圓周y=\：2x-x2上由A(2,0)到。(0,0)的'一'段弧..用格林公式計(jì)算J(2xy-y4+3)dx+(x2+x-4xy3)dy，其中L是圓周y=v11-x2上由A(1,0)到B(-1,0)的'一'段弧.§10.4對(duì)面積的曲面積分一、選擇題1.設(shè)f是x°y平面上的一個(gè)有界閉區(qū)域D，則曲面積分JJf(x,y,z)dS與二重積分JJf(x,y)dxdy的關(guān)系是().D

xy(A)JJf(x,y,0)dS—JJf(x,y)dxdy；(B)JJf(x,y,0)dS--JJf(x,y)dxdyE Dy E Dy

(C)ff/(x,y,0)d5<JJf(x,j)dxdy；(D)jjf(x,j,O)dS>fff(x,y)dbcdyDxyDxyxy答(A)2.設(shè)z是拋物面z=%2+w(0Vz?4)，則下列各式正確的是().(A)JJ/(x,y,z)dS=JUf(x,y,x2+y2)dxdyfE x2+j2<4(B)fff(x,j,^)d5—ff/(X,y,%2+y2)，l+Zx2dxdy；Z x2+y2<4(C)JJ/(x,y,z)dS=JJ +>2)J1+4y2dxdy；E 尤2+>2<4(D)J]/(3z)dS=zff/(%,y,%2+>2)Jl+4x2+4y2dxdy 答x2+y2<4(D)?3.設(shè)A：%2+>2+Z2=〃2(z>0),\是2在弟'一^卜限中的部分,則有().(A)ffxdS=4JJ%dS；z 0(B)JJydS=4jJ%dS；z 4

(C)JJzdS=4JJzdS；Ei(C)JJzdS=4JJzdS；Ei4.設(shè)E是錐面4.設(shè)E是錐面z=<x2+y2(0<z<1)).(A)JJ(x2+y2)dS=J2"d°J1r2-rdr；0 0EJJ(X2+y2)dS=JEJJ(x2+y2)dS=v'2J2nd0J1r2dr；00E答(D).JJ(x2+y2)dS=<2J2"d°J1r2-r答(D).00E5.設(shè)e為平面2+2+三=1在第一卦限內(nèi)的部分,).(A)4JJ(A)4JJdxdy；

DXy(B)4-JJdxdy；Dy(C)4.(C)4.2(D)4.同J3dxJ2dy；.答(B).3 0 06.設(shè)E為曲面z=2-(x2+y2)在xoy平面上方的部分，則

JJzdS=( ).Z(A)J2兀deJ2-r2(2-r2)-rdr;(B)J2Kd0J2(2-r2)%1+4r2.rdr;0 0 0 0(C)J2兀deJ2(2-r2)-rdr； (D)J2Kdj2(2-r2)\1+4r2-rdr.答(C)7.(D).7.設(shè)Z為球面x2+y2+z2=2z，則下列等式錯(cuò)誤的是().JJxJJx(y2+z2)dS=0；ZJJy(w+z2)dS=0；Z(C)叫z(x2+y2)dS=0；Z(D)4J(x(C)叫z(x2+y2)dS=0；ZZ二、填空題.設(shè)Z:x2+y2+z2=a2,則JJ(x2+y2+z2)dS=Z貝JJx2y2z2dS=Z.設(shè)Z為球面x貝JJx2y2z2dS=Z.設(shè)Z為上半球面z二、,a2-x2-y2，則JJzdS=Z

答:.設(shè)工為下半球面z=_、：/2—%2->2,則J1zdS=答:設(shè)S為球面%2+>2+z2=a2，則JJzdS-答：2.設(shè)S為上半球面z=\:a2-%2->2，則JJ%dS=S答:.設(shè)S為平面%+>+z=1在第一卦限部分，則232JJSJJS答：2<22..設(shè)s為平面%+>+z=1在第一卦限部分，則JJzdS=.S答：亙.6.設(shè)工為平面2X+2>z=6在第一卦限部分，貝W(5-2X-2y-z)dS=-工答：-27.2三、解答題1.計(jì)算曲面積分Wf(X,y,z)dS，其中￡為拋物面工z二2-(X2+y2)在xoy面上方部分，f(x,y,z)分別如下：答：⑴ 13兀;(2) 坨兀;(3) 111兀.6 30 10.計(jì)算U(x2+y2)dS,其中￡是錐面zK'i及平面z二1￡所圍成的區(qū)域的整個(gè)邊界曲面.答：1+立兀..計(jì)算W(X2+y2)dS，其中￡是錐面z2二X2+y2被平面z二0￡和z二3所截得的部分.答:.計(jì)算JJZ卦限中的部分.

4、z+2x+—ydS，3)

其中E為平面答：4對(duì)?.計(jì)算j](%+y+z)dS,其中￡為球面X2+丁2+Z2=Q2上z>h(0<h<a)的邰分.谷：〃兀（。2-人2）?§10.5對(duì)坐標(biāo)的曲面積分一、選擇題1.設(shè)E球面X2+y2+[2=Q2外側(cè),D：X2+y2>〃2,則下列* 沖 一結(jié)論正確的是（ ）.ffz2dxdy=ff(〃2-%2-y2)dxdy；DxyPz2dxdy=2JJ(q2-%2-y2)d%dy；Dxy(C)件(C)件z2dxdy二0；z(D)(A)(B)(C)都不對(duì)?答(C)-2.設(shè)￡為柱面X2+WQ2被平面z=02.設(shè)￡為柱面X2+WQ2被平面z=0及z=3所截得的部).311zdxdy；zsffxdydzz3ffydxdz°；Zffxdydz+ydxdz,z答(D)?3.設(shè)E為柱面x2+y2=Q2被平面z=0及z=3所截得的部分外側(cè)在第JJzdxdy+xdydz+ydxdz=(

限內(nèi)的部分，3/3(JJM-x2dx；

oo

2卜出卜”-y2dy；ook/W-x2dx；0 0

(D)卜dzJS-y2dx?

oo(B)?).一X2一丁2,X取外側(cè),4?設(shè)).一X2一丁2,X取外側(cè),1取上側(cè).下列結(jié)論正確的是((A)ff(%2+y2+z2)drdy=〃2JJdxdy(B)船(%2+>2+z2)dxdy=2q2JJdxdy

(C)(%2+產(chǎn)+z2)drdy=(C)(%2+產(chǎn)+z2)drdy=2gdxdy；x2+y2<a2(DAo5.已知￡為平面x+y+z=l在第一卦限內(nèi)的下側(cè)，則JIzdxdy=（ ）?—J —y)dy；ooJi(l-x-y)dy；0 0—J —y)dy；ooJi(l-x-y)dy；0 0(C)fMyf1-x(l-x-y)dx；oo-fMyf1-x(C)fMyf1-x(l-x-y)dx；oo(A)6.曲面積分JJz2dxdy在數(shù)值上等于（）?（A）向量z2i穿過曲面￡的流量；（B）密度為的曲面￡的質(zhì)量；（C）向量z2k穿過曲面S的流量；（D）向量穿過曲面￡的流量.答（c）?二、填空題1.設(shè)￡是到平面上的閉區(qū)域＜1.設(shè)￡是到平面上的閉區(qū)域＜OVxVl的上伽J,0『1則U(x+y+z)dydz=.工答：0.2.設(shè)z是刈平面上的閉區(qū)域104x41的上側(cè)，[0<y<1TOC\o"1-5"\h\z則0(%+y+z)dxdy= .z答：1..設(shè)z為球面x2+y2+z2=a2取外側(cè)，則0(x2+y2+z2)dxdy=. .z°答：0..設(shè)z為球面x2+y2+z2=a2取外側(cè)，則Uzdxdy=. .z\o"CurrentDocument"答：4 O口： —aa3.3.設(shè)z為球面(x-a)2+(y—b)2+(z-c)2二R2取外側(cè)，則曲面積分ffzdxdy=..z答。4口： —aR3.3.設(shè)Z為球面X2+y2+"=Q2取外側(cè)，則+y2+z2)drdy=三、解答題.計(jì)算JJ%2y2zdxdy，其中Z是球面%2+y2+N2=7?2的下半部分的下側(cè).父.?！浮?2642、 2n今?—R7 ——兀尺7?4 (53753J